导数利用导数研究函数的单调性1.（2012年高考（辽宁文））函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)2. （2012年高考（浙江理））设a ＞0，b ＞0．A ．若2223a b a b +=+，则a ＞bB ．若2223a b a b +=+，则a ＜bC ．若2223a b a b -=-，则a ＞bD ．若2223a b a b -=-，则a ＜b3.（2012年高考（浙江文））已知a ∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间。
(2)证明:当0≤x≤1时, ()+2>0f x a -。
【解析】(1)由题意得2()122f x x a '=-,当0a ≤时,()0f x '≥恒成立,此时()f x 的单调递增区间为(),-∞+∞.当0a >时,()12(f x x x '=-+,此时函数()f x 的单调递增区间为⎡⎢⎣. (2)由于01x ≤≤,当2a ≤时,33()2422442f x a x ax x x +-=-+≥-+. 当2a >时,333()242(1)244(1)2442f x a x a x x x x x +-=+--≥+--=-+.设3()221,01g x x x x =-+≤≤,则2()626(g x x x x '=-=-+.所以min 343()()1039g x g ==->. 当01x ≤≤时,32210x x -+>. 故3()24420f x a x x +-≥-+>.4.（2012年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f ef x x -'=-+; (1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值.得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔>当x e =时,max ()2e F x =当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为2e5.（2012年高考（陕西理））设函数()x f x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】()(1)x f x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()xf x xe =为减函数;1x >-时,()0f x '>,()xf x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.6.（2012年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是（ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f7.（2012年高考（重庆文））已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.【解析】::(Ⅰ)因3()f x ax bx c =++ 故2()3f x ax b '=+ 由于()f x 在点2x = 处取得极值 故有(2)0(2)16f f c '=⎧⎨=-⎩即1208216a b a b c c +=⎧⎨++=-⎩ ,化简得12048a b a b +=⎧⎨+=-⎩解得112a b =⎧⎨=-⎩(Ⅱ)由(Ⅰ)知 3()12f x x x c =-+,2()312f x x '=-令()0f x '= ,得122,2x x =-=当(,2)x ∈-∞-时,()0f x '>故()f x 在(,2)-∞-上为增函数;当(2,2)x ∈- 时,()0f x '< 故()f x 在(2,2)- 上为减函数 当(2,)x ∈+∞ 时()0f x '> ,故()f x 在(2,)+∞ 上为增函数.由此可知()f x 在12x =- 处取得极大值(2)16f c -=+,()f x 在22x = 处取得极小值(2)16f c =-由题设条件知1628c += 得12c =此时(3)921,(3)93f c f c -=+==-+=,(2)164f c =-=-因此()f x 上[3,3]-的最小值为(2)4f =-8.（2012年高考（广东文））设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B =I .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞U ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞U ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()1313331a a a x +---=()()()2313331a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x()0,aa(),1a1 ()1,+∞()f x ' + 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a .②当13a =时,()()0,11,D =+∞U ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得 x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞U ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x()0,aa()1,a x()2,x +∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.9.（2012年高考（江西文））已知函数2()()x f x ax bx c e =++在[]0,1上单调递减且满足(0)1,(0)0f f ==.(1)求a 的取值范围;(2)设()()()g x f x f x '=--,求()g x 在[]0,1上的最大值和最小值. 【解析】(1)由(0)1f c ==,(1)0f =⇒1,1c a b =+=-,则2()[(1)1]x f x ax a x e =-++,2'()((1))x f x ax a x a e =+--,依题意须对于任意(0,1)x ∈,有()0f x '<,当0a >时,因为二次函数2(1)y ax a x a =---的图像开口向上,而(0)0f a '=-<,所以须(1)(1)0f a e '=-<,即01a <<,当1a =时,对任意(0,1)x ∈,有2()(1)0x f x x e '=-<,符合条件;当0a =时,对任意(0,1)x ∈,()0x f x xe '=-<,()f x 符合要求,当0a <时,因(0)0f a '=>,()f x 不符合条件,故a 的取值范围为01a ≤≤.(2)因()(21),()(21)xxg x ax e g x ax a e '=-+=-+-当0a =时,()0xg x e '=>,()g x 在0x =上取得最小值(0)1g =,在1x =上取得最大值(1)g e =;当1a =时,对于任意(0,1)x ∈,有()20xg x xe '=-<,()g x 在0x =上取得最大值(0)2g =,在1x =上取得最小值(1)0g =;当01a <<时,由1()002ag x x a-'=⇒=>, 10.（2012年高考（江苏））若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点. (1)求a 和b 的值;(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数. 【解析】(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，.(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2.当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根.② 当()1 2x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.③ 当()1 1x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断, ∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，;当2d < 时()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点:( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点.( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t <i ，.而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点.综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有 5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点.11.（2012年高考（湖南理））已知函数()f x =axex =-,其中a ≠0.(1) 若对一切x∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)由题意知,21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==--- 令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则【方法总结】1.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域．(2)求方程f′(x)＝0的根．(3)用方程f′(x)＝0的根和不可导点的x的值顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并形成表格．(4)由f′(x)＝0的根左右的符号以及f′(x)在不可导点左右的符号来判断f′(x)在这个根或不可导点处取极值的情况.2.函数的最大(小)值是在函数极大(小)值基础上的发展．从函数图象上可以直观地看出：如果在闭区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值，只要把函数y＝f(x)的所有极值连同端点处的函数值进行比较，就可以求出函数的最大(小)值.热点三利用导数研究综合问题12.（2012年高考（天津文））已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+--> (I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围;(III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.13.（2012年高考（陕西文））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设n 为偶数,(1)1f -≤,(1)1f ≤,求b+3c 的最小值和最大值;(3)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; 【解析】（Ⅰ）当112()1n n b c n f x x x ==-≥=+-，，时，1111()(1)()10()12222n n nnf f f x=-⨯<∴Q，在（，）内存在零点．又当'11(,1)()102nnx f x nx-∈=+>时，，11()1()122n nf x f x∴∴在（，）上是单调递增的，在（，）内存在唯一零点．解法三：由题意，知()()1111.f b cf b c-=-+⎧⎪⎨=++⎪⎩，解得()()112f fb--=，()()1122f fb+--=．∴()()32113b c f f+=+--．又∵()111f-≤-≤，()111f-≤≤，∴630b c-≤+≤．当02b c==-，时，36b c+=-；当0b c==，30b c+=．∴3b c+的最小值是-6，最大值是0．（2）当2n=时，cbxxxf++=22)(．对任意]1,1[)(4)()(]1,1[,2221221-≤--∈在等价于都有xfxfxfxx上的最大值与最小值之差4≤M,据此分类讨论如下：14.（2012年高考（天津理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N ∈. 【解析】(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞()ln()f x x x a =-+11()101x a f x x a a x a x a+-'⇒=-==⇔=->-++ ()01,()01f x x a f x a x a ''>⇔>-<⇔-<<-得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*）15.（2012年高考（陕西理））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 的增减性.【解析】(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1nn f x x x =+-∵111()(1)()10222n n n f f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点.又当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,1()10n n f x nx -'=+>∴ ()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点.注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112b-≤≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2bM f f f =---22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--=+--21||()4b c b c =++--+2||(1)42b =+≤恒成立 (3)证法一 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,11111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭于是有11111111()0()11()n nn n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x L L 是递增数列.证法二 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x L L 是递增数列.【考点剖析】一．明确要求1.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数不超过三次)．2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数不超过三次)．4.会利用导数解决某些实际问题.二．命题方向1.利用导数研究函数的单调性、极值是近几年高考的热点．2.选择题、填空题侧重于利1用导数确定函数的单调性和极值．解答题侧重于导数与函数、解析几何、不等式、数列的综合应用，一般难度较大，属中高档题.3.利用导数研究函数的最值以及解决生活中的优化问题，已成为近几年高考的考点且每年必考！4.选择题、填空题主要考查函数的最值，而解答题则考查函数综合问题，一般难度较大.三．规律总结(1)注意函数定义域的确定．(2)在实际问题中，如果函数在区间内只有一个极值点，那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．两个条件(1)f′(x)＞0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件．(2)对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．三个防范【基础练习】1.(教材习题改编)函数f(x)＝1＋x－sin x在(0,2π)上是()A．增函数B．减函数C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增答案：A解析：f′(x)＝1－cos x>0，∴f(x)在(0,2π)上递增．2．(教材习题改编)函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是()A．－9B．－16C．－12 D．－11答案：B解析：由f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝－2或x＝2.又f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(2)＝16，f(3)＝9，∴函数f(x)在[－3,3]上的最小值为－16.3．(经典习题)已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)解析：f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6＝0有两个不等实根，即Δ＝4m2－12×(m＋6)>0.∴m>6或m<－3.4. (经典习题)若a>3，则方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰有________个实根．解析：设f (x )＝x 3－ax 2＋1，则f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )， 由于a >3，则在(0,2)上f ′(x )<0，f (x )为减函数， 而f (0)＝1>0，f (2)＝9－4a <0，则方程x 3－ax 2＋1＝0在(0,2)上恰有1个实根．5. (教材习题改编)函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间为________．【答案】 (－1,11)【解析】f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x －11)(x ＋1)，当－1<x <11时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．【名校模拟】一．基础扎实1．(浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期4月联考试题理 )已知向量a ，b 满足02≠=b a ，且关于x 的函数5632)(23+⋅++=x x x x f b a a 在实数集R 上单调递增，则向量a ，b 的夹角的取值范围是 A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,0π B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,0π C ．⎥⎦⎤⎝⎛3,0π D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,32.(2012年云南省第一次统一检测理)函数322122+---=x x x y 的极大值等于（A ）51（B ）1- （C ）1 （D ）2- 【答案】A 【解析】∵322122+---=x x x y ，∴222222)322(844322()24)(12(644+--+=+--++-+-='x x x x x x x x x x y ）. ∵当2-<x 或1>x 时，0>'y ，当12<<-x 时，0<'y ， ∴当2-=x 时，y 取得极大值.∴y 的极大值等于51. 故选（A ）.3.(山西省2012年高考考前适应性训练文)若商品的年利润y （万元）与年产量x （百万件）的函数关系式：123273++-=x x y （)0>x ，则获得最大利润时的年产量为（ ） A ．4百万件 B ．3百万件 C ．2百万件 D ．1百万件 【答案】B【解析】依题意得，()()'2327333y x x x =-+=--+，当03x <<时，'0y >；当3x >时，'0y <，因此当3x =时，该商品的年利润最大，依题意得知，选B. 4(浙江省温州中学2012届高三10月月考理）函数2cos 3y x x =+-在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的 最大值是 . 解析：112sin 0sin 2y x x '=->><，11sin 0,sin 22y x '><∴=时时 323626max y ππ=+⨯-=5.(东城区普通高中示范校高三综合练习(二) （文）)(本题满分13分)已知函数32()231f x ax ax =-+，3()42a g x x =-+()a ∈R . (Ⅰ) 当1a =时, 求函数()y f x =的单调区间；(Ⅱ) 当0≤a 时，若任意给定的[]00,2x ∈,在[]0,2上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使 得0()()i f x g x =成立，求a 的取值范围．由题意可得a a -<+-1232 解得1-<a . 综上，a 的取值范围为)1,(--∞.------------------------------13分 6.(河南省郑州市2012届高三第二次质量预测文) 已知函数.(I)当时，求在上的最大值和最小值(II)若函数在[1, e]上为增函数，求正实数a 的取值范围.所以，只需(1)340a ϕ=-≥，所以43a ≥. ………12分 7.(2012云南省第一次高中毕业生统一检测复习文)已知实数a 是常数，2()()7ln 1f x x a x =+-+. 当1x >时，()f x 是增函数.（Ⅰ）求a 的取值范围； （Ⅱ）设n 是正整数，证明：22111111)1)ln(1)722n n n⨯+++++++>+L L （（． 解：（Ⅰ）∵2()()7ln 1f x x a x =+-+，∴7()22f x x a x'=+-. ∵当1x >时，()f x 是增函数， ∴7()220f x x a x'=+-≥在1x >时恒成立. 即72a x x≥-在1x >时恒成立. ∵当1x >时，72x x -是减函数，∴当1x >时，7522x x -<.∴52a ≥.8.(长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)（本题满分12分）已知函数xe ax xf 1)(-=（1） 当1=a 时，求函数)(x f 的单调区间；（2） 若对任意的]2,21[∈x ，x x f >)(恒成立，求实数a 的取值范围。
