4.1.1导数与函数的单调性 学案 高中数学选修1-1北师大版

导数在研究函数中的应用

考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.

知 识 梳 理

1.函数的单调性与导数的关系

函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：

(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；

(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.

2.函数的极值与导数

条件 f′(x0)＝0

x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0 x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0

图象

形如山峰

形如山谷

极值

f(x0)为极大值 f(x0)为极小值

极值点 x0为极大值点 x0为极小值点

3.函数的最值与导数

(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件

如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤

①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；

②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

[常用结论与微点提醒] 1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.

2.对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件.

3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.

1.3.1函数的单调性与导数（第二课时）教学设计

【教学目标】

1.知识与能力：

会利用导数解决函数的单调性及单调区间。会求单调区间，会讨论含参函数单调性

2.过程与方法：

通过利用导数研究单调性问题的探索过程,体会从特殊到一般的、数形结合的研究方法。

3.情感态度与价值观：

通过导数方法研究单调性问题，体会到不同数学知识间的内在联系，同时通过学生动手、观察、思考、总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。通过导数研究单调性的步骤的形成和使用，使得学生认识到利用导数解决一些函数（尤其是三次、三次以上的多项式函数）的问题，因而认识到导数的实用价值。

【教学重点和难点】

对于本节课学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由特殊到一般、数到形、直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。根据以上的分析和新课程标准的要求，我确定了本节课的重点和难点。

教学重点：

1.利用导数研究函数的单调性，求函数的单调区间．(重点)

2.利用数形结合思想理解导函数与函数单调性之间的关系，及单调性的逆用.(难点)

3.含参数的函数讨论单调性（难点）

【教学设计思路】

现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本节可从单调性与导数的关系的发现到应用都有意识营造一个较为自由的空间，让学生能主动的去观察、猜测、发现、验证，积极的动手、动口、动脑，使学生在学知识同时形成思想、方法。

整个教学过程突出了三个注重：

1、注重学生参与知识的形成过程，体验应用数学知识解决简单数学问题的乐趣。

2、注重师生、生生间的互相协作、共同提高。

3、注重知能统一，让学生获得知识同时，掌握方法，灵活应用。

根据新课程标准的要求，本节课的知识目标定位在以下三个方面：

一是能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间；

二是掌握判断函数单调性的方法；

三是能由导数信息绘制函数大致图像,会根据单调性求字母范围。

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-- 高中数学课本内容及其重难点

北师大版高中数学必修一

· 第一章 集合(考点的难度不是很大，是高考的必考点)ﻫ· 1、集合的基本关系ﻫ· ２、集合的含义与表示ﻫ· ３、集合的基本运算（重点)

（2课时）

· 第二 章函数ﻫ· 1、生活中的变量关系

· 2、对函数的进一步认识ﻫ· 3、函数的单调性(重点)ﻫ· 4、二次函数性质的再研究（重点)

· ５、简单的幂函数

(５课时）ﻫ· 第三章 指数函数和对数函数

· １、正整数指数函数ﻫ· 2、指数概念的扩充

· 3、指数函数（重点)

· 4、对数

· 5、对数函数（重点)

· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）

（3课时）ﻫ· 第四章 函数应用ﻫ· １、函数与方程ﻫ· 2、实际问题的函数建模

（２课时）

北师大版高中数学必修二

· 第一章 立体几何初步ﻫ· 1、简单几何体ﻫ· 2、三视图(重点)

· 3、直观图(１课时)ﻫ· ４、空间图形的基本关系与公理（重点）ﻫ· ５、平行关系（重点)ﻫ· ６、垂直关系(重点)ﻫ· 7、简单几何体的面积和体积(重点)

· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点)

(4课时)

· 第二章 解析几何初步

· 1、直线与直线的方程ﻫ· ２、圆与圆的方程ﻫ· 3、空间直角坐标系

（4课时）

北师大版高中数学必修三

· 第一章 统计ﻫ· 1、统计活动：随机选取数字

· 2、从普查到抽样ﻫ· 3、抽样方法

· 4、统计图表ﻫ· 5、数据的数字特征（重点）ﻫ· 6、用样本估计总体

· 7、统计活动:结婚年龄的变化

· 8、相关性ﻫ· ９、最小二乘法 --

-- （３课时)ﻫ· 第二章 算法初步

· 1、算法的基本思想

· 2、算法的基本结构及设计（重点)ﻫ· 3、排序问题（重点)

· 4、几种基本语句

(2课时）

· 第三章 概率ﻫ· 1、随机事件的概率(重点)

· 2、古典概型(重点)

《3.1.1导数与函数的单调性》教学反思

发表时间：2020-12-08T13:30:06.250Z 来源：《中国教师》2020年第11期 作者： 赵泽林

[导读] 高中数学教师不是简单的数学概念与试题的教书匠，

赵泽林

西安市西电中学 陕西 西安 710000

摘要：高中数学教师不是简单的数学概念与试题的教书匠，高中数学教师要善于挖掘知识内涵，要帮助学生养成阅读教材的习惯，要帮助学生建构算法思想，要注重渗透数学思想方法。下面，笔者将《导数与函数的单调性》为例，谈谈数学教学反思。

关键词：教学反思；挖掘内涵；养成习惯；建构算法

我一直认为，高中数学教师不是简单的数学概念与试题的教书匠，高中数学教师应该以每一个数学知识为媒介，教会学生学数学，教学生会学数学，教学生会用用数学。在《导数与函数的单调性》的第一课时的教学结束后，我认真反思我的教学，有几点感触。

一、要善于挖掘知识内涵

高中数学课程强调本质，注意适度形式化，但又不只限于形式化的表达，强调对数学本质的认识，要讲逻辑推理，更要讲道理，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。学生在数学1已经学习了函数的单调性和简单基本初等函数的图像及其性质，之后在选修2-

2第二章变化率与导数第二节课学习了导函数的概念，并理解用定义判断简单函数的单调性的基本思路，明确用定义判断函数单调性的步骤为：取值—作差（或作商）--变形—定号—结论。在本节课教学中如何引导学生认识单调性解决的是随着自变量的增加，是增加还是减少的

问题，理解导数刻画的是因变量相对于自变量的变化快慢问题，体会导数是比单调性更加精确地反映函数的变化趋势的一个量，怎样会让

问题提出的更加自然，拉进学生与要研究的问题的距离，也有利于学生思维主动性的发挥和教学难点的突破呢？

所以本节课的难点是解决“为什么会将导数与函数的单调性联系起来”？为此我为学生设计了以下问题：

思考：若函数在R是一个可导函数，则“在R上恒成立”是“在区间R内递增”的（ ）