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2019年人教A版选修2-3高二数学 2.3.1离散型随机变量的均值优质课教案

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§2．3离散型随机变量的均值与方差

§2．3．1离散型随机变量的均值

教学目标：

知识与技能：了解离散型随机变量的均值或期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望．

过程与方法：理解公式“E（aξ+b）=aEξ+b”，以及“若ξB（n,p），则Eξ=np”.能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或期望。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散型随机变量的均值或期望的概念

教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教学过程：

一、复习引入：

1.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

knkknnqpCkP)(，（k＝0,1,2,…，n，pq1）．

于是得到随机变量ξ的概率分布如下：

ξ 0 1 … k … n P nnqpC00 111nnqpC … knkknqpC … 0qpCnnn

称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记knkknqpC＝b(k；n，p)．

二、讲解新课：

根据已知随机变量的分布列，我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率，但分布列的用途远不止于此，例如：已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下

ξ 4 5 6 7 8 9 10

P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

在n次射击之前，可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数．这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或期望

根据射手射击所得环数ξ的分布列，

我们可以估计，在n次射击中，预计大约有

nnP02.0)4( 次得4环；

nnP04.0)5( 次得5环；

…………

nnP22.0)10( 次得10环．

故在n次射击的总环数大约为

n02.04n04.05n22.010

02.04(04.05n)22.010，

从而，预计n次射击的平均环数约为

02.0404.0532.822.010． 这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平．

对于任一射手，若已知其射击所得环数ξ的分布列，即已知各个)(iP（i=0，1，2，…，10），我们可以同样预计他任意n次射击的平均环数:

)0(0P)1(1P…)10(10P．

1. 均值或数学期望:

一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为

ξ x1 x2 … xn …

P p1 p2 … pn …

则称 E11px22px…nnpx… 为ξ的均值或数学期望，简称期望．

2. 均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平

3. 平均数、均值:

一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令1p2p…np，则有1p2p…npn1，E1(x2x…nxn1)，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值

4. 均值或期望的一个性质:

若ba(a、b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为

ξ x1 x2 … xn … η bax1 bax2 … baxn …

P p1 p2 … pn …

于是E11)(pbax22)(pbax…nnpbax)(…

＝11(pxa22px…nnpx…)1(pb2p…np…)

＝baE，

由此，我们得到了期望的一个性质:baEbaE)(

5.若ξB（n,p），则Eξ=np

证明如下：

∵ knkknknkknqpCppCkP)1()(，

∴ E0×nnqpC00＋1×111nnqpC＋2×222nnqpC＋…＋k×knkknqpC＋…＋n×0qpCnnn．

又∵ 11)]!1()1[()!1()!1()!(!!knknnCknknnknknkkC，

∴ E(np0011nnCpq＋2111nnqpC＋…＋)1()1(111knkknqpC＋…＋)0111qpCnnnnpqpnpn1)(．

故 若ξ～B(n，p)，则Enp．

三、讲解范例：

例1. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分的期望

解：因为3.0)0(,7.0)1(PP，

所以7.03.007.01E

例2. 一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望

解：设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是,，则~ B（20,0.9）,)25.0,20(~B,

525.020,189.020EE

由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：

2555)(5)5(,90185)(5)5(EEEE

例3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望

解：∵6,,2,1,6/1)(iiP，

6/166/126/11E=3.5

例4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望．

解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为

ξ 1 2 3 4 5 6

P 61 61 61 61 61 61

所以

E1×61＋2×61＋3×61＋4×61＋5×61＋6×61

＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×61＝3.5． 抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值．

四、课堂练习：

1. 口袋中有5只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则E（ ）

A．4； B．5； C．4.5； D．4.75

答案：C

2. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中的1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求

⑴他罚球1次的得分ξ的数学期望；

⑵他罚球2次的得分η的数学期望；

⑶他罚球3次的得分ξ的数学期望．

3．设有m升水，其中含有大肠杆菌n个．今取水1升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ的数学期望．

五、小结 ：

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np

六、布置作业：练习册 七、板书设计（略）

八、教学反思：

(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；

(2)求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤：

①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值；

②求ξ取各个值的概率，写出分布列；

③根据分布列，由期望的定义求出Eξ 公式E（aξ+b）= aEξ+b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ=np。

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最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差》教材梳理

最新人教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差》教材梳理

庖丁巧解牛

知识·巧学

一、离散型随机变量的均值

若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

则称EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望.

随机变量的均值反映的是离散型随机变量的平均取值水平.由定义可知，离散型随机变量的均值与它本身有相同的单位.

知识拓展 上述问题推广到一般有：假设随机试验进行了ｎ次，根据X的分布列，在ｎ次试验中，有p1n次出现了x1，p2n次出现了x2，…，pnn次出现了xn，在ｎ次试验中，X出现的总次数为p1nx1＋p2nx2＋…＋pnnxn.因此ｎ次试验中，X出现的平均值=nnxpnxpnxpnni221=EX，即EX=p1x1+p2x2+…+pnxn.

辨析比较 随机变量的均值与样本的平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化.对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体的均值.

二、随机变量函数的数学期望

对随机变量X，若Y=ａX＋ｂ，其中ａ，ｂ是常数，则Y是随机变量，且有E(aX+b)=aEX+b.

对上述公式，特别地：

(1)当a=0时，E（b）=b，即常数的数学期望就是这个常数本身；

(2)当a=1时，E（X＋b）=EX＋b，即随机变量X与常数之和的期望等于X的期望与这个常数的和；

(3)当b=0时，E(aX)=aEX，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.

三、常见的离散型随机变量的均值

1.两点分布：若X服从两点分布，则EX=p.

事实上，假设在一次试验中某事件发生的概率为p，X是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p，则有P（X=0）=q，P（X=1）=p，可得:

EX=0×q＋1×p=p.

数学：2.1离散型随机变量及其分布列 教案一(新人教A版选修2-3)

数学：2.1离散型随机变量及其分布列 教案一(新人教A版选修2-3)

数学试卷

2． 1．2离散型随机变量的分布列

教学目标：

知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与方法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

教学重点：离散型随机变量的分布列的概念

教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列

授课类型：新授课

课时安排：2课时

教 具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示

2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量

3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量

4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出

若是随机变量，baba,,是常数，则也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）

请同学们阅读课本P5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？

二、讲解新课：

1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为

x1，x2，…，x3，…，

ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为()iiPxp，则称表

ξ x1 x2 … xi …

P P1 P2 … Pi …

为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列

2.

分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0AP，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，…；

二项分布随机变量的均值(说课稿)

二项分布随机变量的均值(说课稿)

二项分布随机变量的均值（说课稿）

1

本节课是人教版高中数学选修2-3第二章第3节的第2课时，是在学生学习了离散型随机变量的均值定义和简单的线性性质，会计算两点分布随机变量的

均值之后所进行的内容。它既是离散型随机变量均值定义的具体应用，也是前

面二项分布内容的延伸。同时，它还为后面学习二项分布随机变量的方差做铺

垫。由于二项分布是实际应用当中一种常见和重要的离散型随机变量分布模型，

因此理解好二项分布随机变量均值的含义、掌握好其计算公式在解决市场预测，

经济统计，风险与决策等领域的实际问题中有着重要的作用。

2

[1]通过对实际问题的背景分析，理解二项分布随机变量均值的含义；

[2]通过二项分布随机变量均值计算公式的推导与应用，掌握二项分布随机变

量均值的计算公式。

[1]通过对二项分布随机变量均值计算公式的探究、推导，提高学生抽象概括、

推理论证的能力，体会数学建模、先猜后证、化归等数学基本思想；

[2]通过对实际问题的解答，培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力，

增强应用意识。

[1]通过对本课题中难点的解决，培养学生锲而不舍的钻研精神和科学态度； [2]通过对问题的解决，增强学生对于“一般与特殊”，“主要矛盾与次要矛盾

在一定条件下可以互相转化”等辩证唯物主义思想的领悟。

3

【教学重点】[1]二项分布随机变量均值计算公式的推导及应用；

[2]数学建模、先猜后证、化归等数学思想方法的渗透。 【教学难点】二项分布随机变量均值计算公式的推导。

第 1 页 共 9 页

以高中数学新课程基本理念和建构主义理论为

指导，以问题为载体、以学生为中心进行教学设计。

第一环节的目的是导入新知；第二环节的目的

是获取新知；第三环节的目的是迁移应用；第四环节的目的是认知提

升；第五环节的目的是拓展创新。

1

【1】在NBA篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分。假设姚明罚球命中的概率为0.9， 问题1.1：他罚球1次的得分的均值是多少？

人教版高中数学选修2-3全部教案

人教版高中数学选修2-3全部教案

人教版选修2-3

第一章 计数原理

1.1 分类加法计数原理与分部乘法计数原理

探究与发现子集的个数有多少

1.2 排列与组合

探究与发现组合数的两个性质

1.3 二项式定理

小结

第二章 随机变量及其分布

2.1 离散型随机变量及其分布列

2.2 二项分布及其应用

阅读与思考这样的买彩票方式可行吗?

探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大

2.3 离散型随机变量的均值与方差

2.4 正态分布

信息技术应用μ,б对正态分布的影响

小结

第三章 统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

实习作业

小结

第一章计数原理

1．1分类加法计数原理和分步乘法计数原理

第一课时

1分类加法计数原理

（1）提出问题

问题1.1：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？

问题1.2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车.如果一天中火车有3班，汽车有2班.那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？

（2）发现新知

分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法.那么完成这件事共有

nmN种不同的方法.

（3）知识应用

例1.在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了解到，A,B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下：

A大学B大学

生物学数学

化学会计学

医学信息技术学

物理学法学

工程学

如果这名同学只能选一个专业，那么他共有多少种选择呢？

分析：由于这名同学在A,B两所大学中只能选择一所，而且只能选择一个专业，又由于两所大学没有共同的强项专业，因此符合分类加法计数原理的条件．解：这名同学可以选择A,B两所大学中的一所．在A大学中有5种专业选择方法，在B大学中有4种专业选择方法．又由于没有一个强项专业是两所大学共有的，因此根据分类加法计数原理，这名同学可能的专业选择共有5+4=9（种）.