小样本下指数分布尺度区间估计

I

摘 要

指数分布是可靠性工程中最重要的分布之一，对其参数区间估计的研究有一定的理论意义和实用价值。本文主要针对小样本情况，研究指数分布尺度参数的区间估计问题。

讨论了单参数指数分布尺度参数基于选定枢轴变量的最短区间估计方法，根据假设检验与区间估计之间内在的联系，通过似然比检验推导出尺度参数在无偏估计类中最短的置信区间； 针对双参数指数分布，在位置参数未知的条件下，利用尺度参数一致最小方差无偏估计构造枢轴变量推导出该参数的置信区间，同时又利用似然比检验法求出尺度参数置信区间，两种方法所得结果相同，最后给出了尺度参数的定数截尾估计； 本文最后想对指数分布尺度区间估计进行改进，由于涉及到陌生的概念被迫中止，所以将在进一步学习和研究以后再进行讨论。

关键词：区间估计；单参数指数；双参数指数；尺度参数；置信区间。

II

Abstract

Ponential distribution is one of the most important distributions in reliability engineering. It is

both theoretically meaningful and practical to study the estimation of its parameter range. In

this article the parameter range estimation of an exponential distribution scale is studied by

taking small samples. The choice of the parameter(s) of single-parameter exponential

distribution based on the selection of shortest interval of a pivot is discussed. According to the

inner connection of hypothesis testing and range estimation, the shortest confidence interval is

derived via likelihood ratio testing. For double-parameter exponential distribution, the

confidence interval of its position parameter is derived from the pivot constructed from the

scale parameter UMVU. The confidence interval of this scale parameter is obtained using

likelihood testing. These two methods give the same results from which the truncation

estimation for the scale parameter is determined. Finally, the distribution of scale index would

like to improve the range of estimates, as it relates to the concept of strangers was forced to

suspend, it will further study and research in the future discussion.

Keywords: range estimation;single-parameter exponent; double-parameter exponent; scale

parameter; confidence interval.

III

目录

1 绪论 .................................................................. 1

1.1 定义介绍 ......................................................... 1

1.2 小结 ............................................................. 3

2 单参数指数分布的置信区间 .............................................. 4

2.1 引言 ............................................................. 4

2.2 尺度参数区间估计最短化 ........................................... 4

2.3 似然比检验法构造置信区间 ......................................... 9

2.4 小结 ............................................................ 15

3 双参数指数分布尺度参数的区间估计 ..................................... 16

3.1 引言 ............................................................ 16

3.2 带冗余参数尺度参数的区间估计 ..................................... 16

3.3 尺度参数的定数截尾估计 .......................................... 20

4 总结 ................................................................. 23

4.1 综述 ............................................................ 23

4.2 尺度参数区间估计的改进 .......................................... 23

致 谢 ................................................... 错误！未定义书签。

参考文献 ................................................................ 25

附录A 英文原文 .......................................................... 26

附录B 汉语翻译 .......................................................... 32

1

1 绪论

1.1 定义介绍

定义1.1 设样本nXXX,,,21来自分布函数为F(X;), (为未知参数)的总体，对于给定的常数)1,0(，如果存在两个统计量nXXX,,,2111与nXXX,,,2122满足

121P ， (1.1)

则称随机区间21,是参数的置信水平为1的置信区间。

由概率性质易知

1P

即

12211PPP (1.2)

由置信区间定义得

21PP (1.3)

故可得到与定义1.1等价的定义1.2

定义1.2 设总体X分布函数为F(X;)，其中为未知参数，对于给定的常数)1,0(，由来自总体X的简单随机样本nXXX,,,21确定的两个统计量nXXX,,,2111和nXXX,,,2122满足11P，10和22P，20且21，则称随机区间21,是的置信水平为1的置信区间。

说明：在定义1.1中，是事先选定的，与假设检验类似，对给定的置信水平1，人们总是力图构造这样的区间估计，使得(1.1)式得到满足，并且至少存在一个，使得1)()(21XXP，这意味着置信水平被“足量”使用了，以满足区间的精确度尽可能高的要求。

区间估计的要旨是充分使用样本提供的信息，做出尽可能可靠和精确的估计，有了样本nXXX,,,21，就要把估计在区间21,之内，不难理解，这里要有两个要求：

（1）要以很大的可能性落在区间21,内，也就是说概率21P要尽量大。

（2）区间长度12要尽可能小，或某种能体现这个要求的其它准则。故此，评价区间估计的优良性有两个要求，其一是置信水平（可靠度），即区间包含未知参数概率的大小；其二是精确度，即衡量置信区间的长度，因置信区间是随机区间，故应使用平均 2

长度12E作为精确度的度量。平均长度俞小俞好，但在样本大小一定的条件下，这两者是矛盾的，犹如假设检验中犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率这一对矛盾，完全与Neyman和Pearson的假设检验理论的基本思想类似，而区间估计理论和方法的基本问题莫不在于已有样本资源的限制下，怎样找出更好的估计方法，以尽量提高二者——置信水平和精确度，但终归有一定的限度。Neyman提出并为现今广泛采用的原则，在使得置信水平达到一定要求的前提下，寻找精确度尽可能高的区间估计，也就是寻找区间平均长度尽可能短，或者区间包含非真值的概率尽可能小的区间估计。

通常，我们通过使用枢轴变量来推导参数的置信区间，或者用某个量的渐近分布（中心极限定理）获得参数的置信区间，但是在样本容量不太大时，并不能保证渐近分布的精确性， 要研究小样本下参数区间估计问题，故采用枢轴变量法推导参数的置信区间。欲构造参数的置信水平为1的置信区间，我们首先考虑的MLE或充分统计量，然后据此得到一个统计量)(XM，并基于)(XM构造枢轴变量，然后推导的置信区间。

定义1.3 设样本X的分布族为);(XF，其中为分布的参数，设)(XTT为一统计量，若在已知T的条件下，X的分布与参数无关，则称T是充分统计量。

定义1.4 设TnXXXX,,,21是来自分布族);(XF的独立同分布的样本，随机变量);(XTT是样本与参数的函数，而它的分布又必须与参数无关的已知分布，具有这一特性的随机变量称为枢轴变量。一般地，T常是充分统计量或点估计的函数。