(完整word版)习题六样本及抽样分布

习题六样本及抽样分布一、填空题1. 设来自总体X 的一个样本观察值为：2.1, 5.4,3.2, 9.8, 3.5，则样本均值4.8，样本方差 =2.7162 ；2. 在总体X 〜N(5,16)中随机地抽取一个容量为 与6之间的概率 =0.9332 ;3. 设某厂生产的灯泡的使用寿命 X 〜N(1000, 9 的样本，得到 X 940,s 100，则 P(X 940)74.设X 1,X 2,...,X 7 为总体 X ~ N(0,0.52)的一个样本，则 P( X i 24)0.025 ;i 15•设X 1,X 2,...,X 6为总体X ~ N(0,1)的一个样本，且cY 服从2分布，这里，Y (X 1 X 2 X 3)2 (X 4 X 5 X 6)2，则 c 13_；6•设随机变量X,丫相互独立，均服从N(0,32)分布且X 1,X 2,...,X 9与¥,丫2,...,丫9分 别是来自总体X,Y 的简单随机样本，则统计量U 》...X 9服从参数为9牡...丫92—的_L 分布。

7•设X 1,X 2,X 3,X 4是取自X ~ N(0,22)正态总体的简单随机样本且Y a(X ! 2X 2)2 b(3X 3 4X 4)2,，贝U a 0.05 , b 0.01 时，统计量 丫服从 2分布，其自由度为_2_;&设总体X 服从正态分布X ~ N(0, 22),而X 1,X 2,...,X 15是来自总体的简单随机 样本，则随机变量丫X 1： ... x*2(X 121 ... X 17)10.设随机变量X ~ F(n,n)且P( X1A) 0.3, A 为常数，则 P(X ―)A二、选择题1 .设X 1,X 2,...,X n 是来自总体N(1 n — 1 n记 S 2 — (X i x)2,s ； - (X in 1 i 1 n i 12)的简单随机样本,一 彳 nx)2,s ； 土 (X i n 1 i 1 X 是样本均值, )2,1 (X i )2,则服从自由度n 1的t 分布的随机变量是 n i 1A X c X c X fA.—「 ] -------------B . —. f —— C. —j. +—— D .* --- S i/V n 1 S^w n 1S jd n 1S jJ n 12.设F n (x)是经验分布函数，基于来自总体 X 的样本，而F(x)是X 总体的 分布函数，则下列命题错误的为，对于每个给定的x,F n (x) ( B )A.是分布函数B.依概率收敛于F(x)S ： ( A );36的样本，则均值X 落在42)(单位:小时)，抽取一容量为服从 F 分布，参数为 10,5 ;1 9•设随机变量X ~t(n)(n 1),Y —,则Y 〜F(n,1);X、解答题1. 设X i ,X 2,X 3是总体N( , 2)的一个样本，其中 已知而 0未知，则以下 的函数中哪些为统计量？为什么？3. 设总体X 服从0- 1分布，X 1,X 2,...,X 均值，则下列各选项中的量不是统计量的是(A. min{ X 1,X 2,X 3,X 4,X 5} C. max{X 1,X 2,X 3,X 4,X 5}4. 设X 1,X 2，…，X n 是正态总体N(, 则下列各选项中的量不是统计量的是(nA. (X i )2i 1nX i 2C .(—)2i 15是来自总体X 的样本，X 是样本 B )B . X 1 (1 p)XD. X 5 5X2)的一个样本，其中 C )。

统计学抽样与抽样分布练习题第6章抽样与抽样分布练习6.1从均值为200、标准差为50的总体中，抽取n?100的简单随机样本，用样本均值x估计算总平均数。

（1）x的数学期望是多少？（2）x的标准差是多少？（3）x的抽样分布是什么？（4）样本方差的抽样分布是什么？6.2假定总体共有1000个单位，均值??32，标准差??5。

从中抽取一个样本量为30的简单随机样本用于获得总体信息。

（1）x的数学期望是多少？（2）x的标准差是多少？6.3从标准偏差为5的总体中抽取样本量为40的样本，样本的平均值为25。

样本均值抽样标准差?x等于多少?6.4设置总体平均值？？17.标准偏差？？10.从人群中随机抽取样本量为25的样本，其均值为x25；同样，抽取一个样本量为100的随机样本，样本均值为x100。

（1）描述x25的抽样分布。

（2）描述x100的抽样分布。

6.5从？？从10个总体中随机抽取50个样本，计算样本均值的抽样标准差：（1）重复抽样。

（2）如果不重复抽样，总体单位分别为50000、5000和500。

6.6从??0.4的总体中，抽取一个样本量为100的简单随机样本。

（1） P的数学期望是什么？（2） P的标准差是多少？（3） P的分布是什么？6.7假定总体比例为??0.55，从该总体中分别抽取样本量为100、200、500和1000的样本。

12（1）分别计算样本比例的标准偏差？P（2）当样本量增大时，样本比例的标准差有何变化？6.8假设超市一次性购物的平均消费为85元，标准差为9元。

随机抽取40个样本客，每个顾客消费金额大于87元的概率是多少？6.9大学生月平均支出为448元，标准差为21元。

随机抽取49名学生，样本均值为在441～446之间的概率是多少？6.10假设一个总体共有8个数值：54，55，59，63，64，68，69，70。

从该总体中按重复抽样方法n？2个随机样本。

（1）计算总体的平均值和标准偏差。

§样本及抽样理论题型一 有关样本分布及统计量的命题【例6.1】设总体X 服从两点分布(1,)B p ，即{1}P X p ==，{0}1P X p ==-.其中p 是未知参数，125,,,X X X 是来自X 的简单随机样本. （1）写出125,,,X X X 的联合概率分布；（2）指出21255115,max(),2,()i i X X X X p X X ≤≤++-中哪些是统计量哪些不是统计量. 【解】（1）X 的分布律可写为1{}(1),xxP X x p p -==- (0,1)x =所以，125,,,X X X 的联合分布为55111{}(1)i ix x i i i P Xx p p -==∏==∏-55115(1)iii i x x p p ==-∑∑=- .（2）2125115,max(),()i i X X X X X ≤≤+-都是统计量，而52X p +含有未知量p ，不是统计量.【例6.2】设总体服从参数λ为的指数分布，分布密度为,0,()0,0.x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩ 求()E X ,()D X 和2()E S .【解】 01()x i E X xe dx λλλ+∞-==⎰,201()()x i D X x e dx λλλ+∞-=-⎰21λ=. (1,2,,)i n =由于11ni i X X n ==∑, 所以1111()().n i i n E X E X n n λλ===⨯=∑22211111()()().n ni i i i D X D X D X n n n λ=====∑∑ 2211()(())1n i i E S E X X n ==--∑2111()1n ii E X n λ==--∑11()1n i i D X n ==-∑211n n n λ=⨯-21(1)n λ=-. 【例6.3】设从总体中随机抽取容量为10的样本进行观测，观测数据为：1，2，4，3，3，4，5，6，4，8，试计算样本均值，样本方差和经验分布函数.【解】 依题意，样本均值10114,10i i X X ===∑ 22211()1ni i S X nX n ==--∑ 221111n ii n X X n n ==---∑4=. 经验分布函数10()F x 为100,0,0.1,12,0.2,23,0.4,34,()0.7,45,0.8,56,0.9,68,1,8.x x x x F x x x x x <⎧⎪≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≤<⎪≤<⎪⎪≥⎩题型二 2χ分布、t 分布和F 分布的应用【例6.4】 设1216,,,X X X 是来自正态总体(0,1)N 的样本，记421()ii Y X ==∑812162225913()()()i i i i i i X X X ===+++∑∑∑，问c 取何值时，cY 服从2χ分布.【解】令4812162222123415913(),(),(),()ii i i i i i i Y X YX Y X Y X ========∑∑∑∑ ，则1Y ，2Y ，3Y ，4(0,4)Y N ，从而12Y ，22Y ，32Y ，4(0,1)2Y N ，且它们相互独立，得 22222123411()(4)44Y Y Y Y Y χ=+++， 故取14c =.【例6.5】（99.3.7）设129,,,X X X 是来自正态总体X 的简单随机样本，11261()6Y X X X =+++，27891()3Y X X X =++，922211()2i i S X Y ==-∑，12)Y Y Z S -=.证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】记2()D X σ=（未知），由于12()()()E Y E Y E X ==，12()0E Y Y -=，2212(),()63D Y D Y σσ==，又1Y 和2Y 独立，则22212()632D Y Y σσσ-=+=.从而(0,1)U N =根据正态分布方差的性质，2222S χσ=服从自由度为2的2χ分布.由于1Y 和2Y 独立，1Y 和2S 独立，2Y 和2S 独立，且1Y ，2Y ，2S 相互独立，因此12Y Y -与2S 也独立，根据t 分布的应用模式12)(2)Y Y Z t S-==【例6.6】 设121,,,,,,n n n m X X X X X ++为总体2(0,)XN σ的样本，（1）确定a 与b ，使2211()()nn mii i i n a X b X +==++∑∑服从2χ分布 ；(2) 确定c，使1n i cX=∑t 分布；（3）确定d ，使2211n n miii i n cXX+==+∑∑服从F 分布.【解】（1）由21(0,)nii XN n σ=∑，得1(0,1)ni i X N σ=∑，从而22211()(1)ni i X n χσ=∑，同理22211()(1)n mi i n X n χσ+=+∑，又因21()nii X =∑与21()n mii n X +=+∑相互独立，故222221111()()(2)nn mi i i i n X X n m χσσ+==++∑∑从而2211,a b n m σσ==. （2）因为1(0,1)ni N =，221()()n mii n X m χσ+=+∑1n i i X =与21()n mii n X σ+=+∑独立，由t 分布定义知1ni X =1nX =(1)t m -.故c =（3）因为22211()nii Xn χσ=∑，22211()n mii n X m χσ+=+∑，且2211nii Xσ=∑与2211n mii n Xσ+=+∑独立，由F 分布定义知22221111()n mn m ii i n i n XX n m σσ++=+=+∑∑=2211n m n mi ii n i n m X Xn ++=+=+∑∑(,)F n m =.从而md n=. 【例6.7】若()T t n 分布，问2T 服从什么分布？ 【分析】当2(0,1),()XN Yn χ，且X 与Y 相互独立时，()T t n =，22X T Y n= 又22(1)Xχ，且2X 与Y 相互独立，因此 2221(1,)X X T F n Y n Y n==.即2T 服从自由度为(1,)n 的F 分布.题型三 抽样分布定理【例6.8】设总体X 服从正态分布2(,0.3)N μ，12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，求容量至少取多大才能使{0.1}0.05P X μ-≥≤.【解】由2(,0.3)X N μ知20.3(,)XN nμ 有{0}0.05P X μ-≥≤， 1{0.1}0.05P X μ--<≤，即 {0.1}0.95P X μ-<≥，而 {0.1}P X P μ-<=<213=Φ-.要求2)10.953Φ-≥，查正态分布表 1.963≥，所以35n =. 【例6.9】设总体2(,)XN μσ，已知样本容量24n =，样本方差212.5227s =，求总体标准差大于3的概率. 【解】 由222(1)(1)n s n χσ--，现24n =，故 222223(23)s χχσ=，所以 211{3}{}9P P σσ>=<22232312.5227{}9s P σ⨯=<22{32}1{32}.P P χχ=<=-≥ 查表得{3}10.10.9P σ>=-=. 【例6.10】设总体2(,)XN μσ，μ与2σ皆末知，已知样本容量16n =，样本均值12.5x =，样本方差2 5.333s =，求{0.4}P x μ-<.【解】 由于σ未知，需用t 统计量： (1).x t t n=-其中s 为样本标准差，现16, 2.309n s ==，(15).0.5773x t t μ-={0.4}{0.692}0.5773x P x P μμ--<=< {0.692}P t =<{0.6920.692}P t =-<<1{0.692}{0.692}P t P t =-≥-≤-. 由于t 分布关于原点对称，故{0.692}{0.692}P t P t ≥=≤-故{0.4}12{0.692}P x P t μ-<=-≥，查表得{0.692}0.25P t ≥=. 所以，{0.4}120.250.5P x μ-<=-⨯=.【例6.11】 （94.3.3）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，X 是样本均值，记2111()1n i i S X X n ==--∑，2211()n i i S X X n ==-∑， 2311()1n i i S X n μ==--∑，2411()n i i S X n μ==-∑. 则服从自由度为1n -的t 分布的是 【 】()A X t =()BX t =()C X t =. ()DX t =【分析】由抽样分布知识和 t 分布的应用模型(0,1)X N ，2212()(1)nii XX n χσ=--∑(1)t n -.即(1)X X t n =-.选()B .【例 6.12】设12,,,n X X X 和12,,,n Y Y Y 是分别来自于正态总体21(,)X N μσ和22(,)YN μσ，且相互独立，则以下统计量服从什么分布？（1）22122(1)()n s s σ-+ ； （2）2122212[()()]n X Y s s μμ---+ 【解】（1）由2212(1)(1)n s n χσ--，2222(1)(1)n s n χσ--，由2χ分布的性质.222122(1)()(22)n s s n χσ-+-.（2）2122(,)X Y N n σμμ--(0,1)X Y N故有22(1)X Y χ，又有222122(1)()(22)n s s n χσ-+-，由F 分布的定义21222212222212122[()()]1[()()](1,22)(1)()(22)nX Y n X Y F n n s s s s n μμσμμσ------=--++-.【例6.13】设总体211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ从两个总体分别抽样，得到如下结果：111n =，218.27s =，18n =，22 4.89s =，求概率2212{}P σσ>.【解】 由于211(,)XN μσ，222(,)Y N μσ所以22112222(10,7)s F s σσ，从而22211222{}{1}P P σσσσ>=>222111222222{}s s P s s σσ=<{(10,7) 1.6912}P F =<0.750=.§历年考研真题评析1、【06.3.4】设总体X 的概率密度为1()()2xf x e x -=-?<+?，12,,,n X X X 为总体X 的简单随机样本，样本方差2S ，则2()E S =______________.【分析】样本方差2S 的数学期望等于总体方差，由于X 概率密度的对称性， ()0E X =，故2222201()()()()222x E S D X E X x f x dx x e dx s +??--?=====?蝌.2、【04.3.4】设总体X 服从正态分布21(,)N m s ，总体Y 服从正态分布22(,)N m s ，112,,,n X X X 和212,,,n Y Y Y 分别是来自总体X 和Y 的简单随机样本，则12221112()()2n n i j i j X X Y Y E n n ==轾犏-+-犏犏=犏+-犏犏臌邋______________. 【分析】因为122111()1n i i E X X n s =轾犏-=犏-臌å，222121()1n j j E Y Y n s =轾犏-=犏-臌å，故应填2s .3、【09.3.4】设12,,,n X X X 是来自二项分布(,)B n p 的简单随机样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，记统计量2T X S =-，则()E T =______________. 【分析】222()()()()(1)E T E X S E X E S np np p np =-=-=--=. 4、【10.3.4】设12,,,n X X X 是来自总体2(,)(0)N m s s >的简单随机样本，记统计量211n i i T X n ==å，则()E T =________.【分析】因简单随机样本12,,,n X X X 独立同分布，即2(,)iX N m s ，于是，22222(),(),()()[()]i i i i i E X D X E X D X E X m s s m ===+=+，因此，222222111111()()n n n i i i i i E T E X E X n n n s m s m ===骣骣鼢珑===+=+鼢珑鼢珑桫桫邋?. 5、【02.3.3】设随机变量X 和Y 都服从标准正态，则 【 】()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2c 分布. ()C 2X 和2Y 服从2c 分布. ()D 22X Y服从F 分布.【分析】由于X ，Y 不一定相互独立，故()A ，()B ，()D 不一定成立，又(0,1)X N ，故22(1)Xχ，同理，22(1)Y χ.选()C .6、【98.3.3】设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的简单随机样本，212(2)X a X X =-233(34)b X X +-，则当a =_______,b =________时，统计量X 服从2χ分布，其自由度为________.【分析】1234,,,X X X X 独立同正态分布2(0,2)N ，因此，122X X -与3434X X -也相互独立且分别服从正态分布(0,20)N 和(0,100)N ，都服从标准正态分布(0,1)N ，利用2χ分布的应用模式2223412(34)(2)(2)20100X X X X X χ--=+.因此，当11,20100a b ==时，统计量X 服从2χ分布. 7、【97.3.3】设随机变量X 和Y 独立且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量U =服从________分布，参数为________.【分析】由于129,,,X X X 相互独立与X 同分布，故1291()(0,1)9X X X N +++类似地，129,,,Y Y Y 相互独立且与Y 同分布，故22221291()(9)9Y Y Y χ+++，由于1291()9X X X +++与2221291()9Y Y Y +++相互独立，，因此1291()(9)X X X t +++=.即U 服从参数为9的t 分布.8、【01.3.4】设总体X 服从正态分布2(0,2)N ，而1215,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本， 则随机变量2221210222112152()X X X Y X X X +++=+++服从________，参数为________. 【分析】因为2(0,2)(1,2,,15)iX N i =.于是(0,1)2i X N ，从而有22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭而且由样本的独立性可知，22221012(10)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭与2222151112(5)222X X X χ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭相互独立，故222101222212102222221121515111210222(10,5)2()10222X X X X X X Y F X X X X X X 骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç+++桫桫桫==+++骣骣骣÷鼢ç珑+++÷鼢ç珑鼢?珑ç桫桫桫.9、【05.1.4】设12,,,(2)n X X X n ≥为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，2S 为样本方差，则 【 】()A (0,1)nX N . ()B 22().nS n χ()C (1)(1).n Xt n S--. ()D222(1)(1,1).i ni i n X F n X =-=-å【分析】由抽样分布定理知，(0,1).X N =可排除()A ；(1)X t n =-，可排除()C ；2222(1)(1)(1)1n S n S n c -=--，可排除()B ；因为221(1)Xc ，222(1)nii X n c =-å，且221(1)Xc 与222(1)ni i X n c =-å相互独立，于是2212222(1)1(1,1).(1)i nn ii i i n X X F n Xn X ==-==--邋选()D .10、【03.1.4】设随机变量()(1)Xt n n >，21Y X=，则 【 】 ()A 2()Yn χ. ()B 2(1).Y n χ- ()C (,1).Y F n . ()D (1,).Y F n =【分析】由题设知，X =，其中(0,1)U N ，2()Vn χ.于是22211V n V n Y X U U ===，这里22(1)U χ，由F 分布的定义知21(,1)Y F n X =.选()C .11、【01.1.9】设总体X 服从正态分布2(,)(0),N μσσ>从该总体中抽取简单随机样本12,,,(2)n X X X n ≥，其样本均值为2112ni i X X n ==∑，求统计量21(2)ni n i i Y X X X +==+-∑的数学期望().E Y【解】记111n i i X X n ==∑，211nn i i X X n +==∑，则有122X X X =+.因此221211()(2)()()n n i n i in i i i E Y E X X X E X X X X ++==⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎡⎤=+-=-+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪⎪⎩⎭∑∑ 2211221()2()()()n i i n i n i i E X X X X X X X X ++=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ 221211()0()n n i n i i i E X X E X X +==⎡⎤⎡⎤=-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑∑22(1)(1)n n σσ=-+- 22(2)n σ=-. 12、【98.1.4】从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本，如果要求其样本均值位于（1.4,5.4）内的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？ 【解】以X(0,1)X N ，从而{1.4 5.4}X P X P ⎧⎫<<=<<210.95⎫=Φ≥⎪⎭. 所以0.975Φ≥即1.96≥，2(3 1.96)34.57n ≥⨯≈. 因此n 至少应取35.§6.4 习题全解1、设128,,,X X X 是来自(0,)θ 上均匀分布的样本，0θ>末知，求样本的联合密度函数.【解】128812810,,,(,,,)0x x x f x x x 其他θθ<<=⎧⎪⎨⎪⎩2、 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其概率分布律为()(0,1,)!iP X i ei i λλ-===求样本12,,...,n X X X 的联合分布律.【解】样本12,,...,n X X X 的联合分布律为{}1122,,...,n n P X i X i X i ==={}1nk k P X i ==∏=11()!nkk in nk k ei λλ=-=∑=∏0,1,2,,1,2,,k i i n == .3、若总体2(,)XN μσ，其中2σ已知，但μ末知，而12,,,n X X X 为它的一个简单随机样本，指出下列量中哪些是统计量，哪些不是统计量. （1）11nii X n=∑ ；（2）211()nii X n μ=-∑ ；（3）211()1nii X X n =--∑ ；（4；（5； （6【解】（1）、（3）、（4）、（6）给出的各统计量，而（2）、（5）给出的量因含有末知参数μ，所以不是统计量 .4、总体X 的一组容量为10的样本观测值为：0,0.2,0.25,0.3,0.1,2,0.15,1,0.7,1----，求经验分布函数10()F x .【解】将样本观测值重新排序10.70.30.100.150.20.2512-<-<-<-<<<<<<，所以经验分布函数为：10010.210.70.40.70.3()0.81212x x x F x xx ≤--<≤--<≤-=<≤>⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩5、 来自总体X 的一组样本观测值为：i x102 104 106i n2 3 5求样本均值X ，样本方差2S 和样本标准差S .【解】104.6x =，22.71=s ， 1.646s = .6、在总体2(52,6.3)N 中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X 在50.8到53.8之间的概率. 【解】 由2(52,6.336)X N 知5252(0,1)6.362.12X X N --=故所求概率为{}50.8525253.85250.853.8 2.122.12 2.12X P X P ---<<=<<⎧⎫⎨⎬⎩⎭521.14 1.712.12X P -=-≤≤⎧⎫⎨⎬⎩⎭(1.71)(1.14)=Φ-Φ-(1.71)1(1.14)=Φ-+Φ0.956410.8729=-+0.8293= .7、设随机变量X 与Y 相互独立，且222(,),()YXN n μσχσ，证明()t t n =.【证明】由于2(,)X N μσ，则(0,1)X N μσ-据t分布的定义，()X t t n μ-==. 8、若对总体X 有()E X m =，2()D X s =，取X 的容量为n 的样本，样本均值为X ，问n 多大时，有(0.1)0.95P X μσ-<≥.【解】 由2(,)XN n σμ(0,1)X N -知(0.1)P X P μσ-<=<(210.95=Φ-≥即(0.975Φ≥，查表得 1.96≥，即385n ≥ . 9、 设总体(150,400)XN ，(125,625)Y N ，并且X ，Y 相互独立，现从两总体中分别抽取容量为5的样本，样本均值分别为X ，Y ，求{}0P X Y -≤ . 【解】 {}0P X Y P -≤=≤(1.75)=Φ-0.0401= .10、 设总体X ，Y 都服从正态分布2(,)N μσ，并且X ，Y 相互独立，X ，Y 分别是总体X 和Y 的容量为n 的样本均值，确定n 的值，使{}00.01P X Y ->= .【解】 由于)(0,1)X Y X Y N -=-于是，{}P X Y P Y σ->=->21=-⎡⎢⎣0.01=.即0.995Φ=2.58=，13.3128n =，取14n = . 11、 设总体(0,1)XN ，126,,,X X X 为X 的一个样本，设2123()=++Y X X X2456()+++X X X ，求常数C ，使2χY分布.【解】 由于126,,,X X X 独立同分布,所以123456(0,3),(0,3)X X X N X X X N ++++456(0,1),(0,1)3X X X X X X N N ++++于是 22123456()()X XX X X X +++++=223+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦2212Y Y =+其中222212(1),(1)33Y Y χχ.所以 22221212345611()()()33Y Y X X X X X X +=+++++⎡⎤⎣⎦ 21(2)3Yχ，即13C = .12、 设1210,,,X X X 为来自总体(0,0.09)N 的样本，求{}10211.44ii PX=>∑ .【解】 设总体为X ，则由(0,0.09)X N 可知(0,1)0.3X N ，(0,1)0.3i X N ，1,2,,10,i =因此 10222211(10),0.3i i Xχχ==∑ 利用2χ分布表，可得1021 1.44i i P X =>⎧⎫⎨⎬⎩⎭∑1022211 1.440.30.3i i P X =⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭∑{}216P χ=>0.10≈ .13、设125,,,X X X 是总体(0,1)X N 的一个样本，若统计量()U t n =，试确定c 与n .【解】 由于i X 独立同分布(1,2,3,4,5)=i ,所以2222345(0,1),(3)X XN X X Xχ+++,且两者相互独立,由t分布定义知(3)U t=故=c3=n .14、设总体2(0,)X Nσ，12,X X是样本，求212212()()X XYX X+=-的分布.【解】记X X X XU V+-==22122212()()X X UYX X V+==-，由于221212(0,2),(0,2)X X N X X Nσσ+-则2222(0,1),(0,1),(1),(1)U N V N U Vχχ .下面证明U和V相互独立.因为U，V都服从标准正态分布(0,1)N，因此只要证明U，V互不相关，即cov(,)0U V=即可.由于()0,()0E U E V==，因此，cov(,)()()()()=-=U V E UV E U E V E UV[]121221()()2E X X X Xσ=+-221221()2E X Xσ=+221221()()02E X E Xσ=-=⎡⎤⎣⎦.即22(1,1)UY FV=.15、设总体21(,)X Nμσ,222(,)Y Nμσ,从二总体中分别抽取样本,得到下列数据:18n= ,10.5x=,2142.25s=；210n= , 13.4y=，2256.25s=，求概率2221( 4.40)Pσσ< .【解】由于22122212(7,9)S SF Fσσ=，0.05(7,9) 3.29F=，故( 3.305)0.05P F≥≈ .从而 22221122212242.254.40 4.4056.25σσσσ<=⋅<⨯⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭S P P S ( 3.305)P F =< 1( 3.305)P F =-≥10.05=-0.95= .B1、设有N 个产品，其中有M 个次品，进行放回抽样，定义i X 如下：1,0,i i X i 第次取得次品,第次取得正品.=⎧⎨⎩求样本12,,...,n X X X 的联合分布.【解】 因为是放回抽样，所以12,,...,n X X X 独立同分布，{}{}1,01i i M M P X P X NN====-.则12,,...,n X X X 的联合分布为{}111,,()(1)ni i ni i n xi n n x P X x X x M N M N ==-∑===-∑. 2、设总体2(,)XN nσμ，12,,...,n X X X 是样本，证明：22241[()](1)σ=-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭∑n i i E X X n . 【证明】由222(1)(1)n Sn χσ--和221(1)()ni i n S X X =-=-∑得22212()(1)nii X X n χχσ=-=-∑ .使用2χ分布期望和方差的公式，22()1,()2(1)E n D n χχ=-=-，于是，22224121()([()])n i n i i i X X E X X E σσ==--=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑422()E σχ⎡⎤=⎣⎦2422(()())D E σχχ⎡⎤=+⎣⎦42242(1)(1)(1)n n n σσ⎡⎤=-+-=-⎣⎦. 3、设129,,...,X X X 是来自正态总体的简单随机样本，11262789()6,()3=+++=++Y XX X Y X X X ,922221271(),)2ii S X Y Z Y Y S ==-=-∑ . 证明：统计量Z 服从自由度为2的t 分布.【证明】 因为2()D X σ=为末知，而12()()E Y E Y =，21()6D Y σ=，22()3D Y σ=.由1Y 与2Y 的独立性，12()0E Y Y -=，22212().632D Y Y σσσ-=+=故 1((0,1).U Y Y N =-由正态总体样本方差的性质知，2222().S n σχ又由1Y 与2Y 独立知，1Y 与2S 独立，2Y 与2S 独立，于是12Y Y -也与2S 独立.从而，由t 分布随机变量的构造知12)(2).Z Y Y S t =-=§同步自测题及参考答案一、选择题1、设12,X X 是来自总体X 的样本，a 是一个未知参数，则是统计量的是 【 】()A 12X aX +. ()B 12aX X . ()C 2212X X +. ()D 221()i i X a =-å.2、设12,,n X X X 是来自总体2(,)XN m s 的样本，m 是未知参数，则是统计量的是()A max{}i X . ()B 21()ni i X m =-å. ()C X m -. ()D 22()X m s -+. 【 】3、设126,,X X X 是来自2(,)N m s 的样本，62211()5i i s X X ==-å，则2()D s = 【 】 ()A 413s . ()B 425s . ()C 415s . ()D 225s .4、设2(1,2)XN ，12,,n X X X 为X 的样本，则 【 】()A1(0,1)2X N -. ()B1(0,1)4X N -.()C(0,1)X N . ()D(0,1)X N .5、X 服从正态分布，且()1E X =-，2()4E X =，则11ni i X X n ==å服从的分布为【 】()A 3(1,)N n -. ()B 4(1,)N n -. ()C 1(,4)N n -. ()D 13(,)N n n-. 6、设随机变量2(,)X N m s ，2()Y n c ，则T =【 】 ()A (1)t n -分布. ()B ()t n 分布. ()C (0,1)N 分布. ()D (1,)F n 分布.7、设12,,n X X X 是来自总体(0,1)XN 的样本，X 是样本均值，则 【 】()A (0,1)X N . ()B (0,1)nXN . ()C 221()ni i X n c =å. ()D (1)Xt n -.8、设2()X m χ，2()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则随机变量X mF Y n=服从的分布为 【 】()A (1,1)F n m --. ()B (1,1)F m n --. ()C (,)F n m . ()D (,)F m n .9、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N服从的分布为 【 】()A (1,2)F . ()B (2,2)F . ()C (2)t . ()D (3)t10、设1234,,,X X X X 为来自正态总体(0,1)N 的一个样本，则统计量212234()()X X X X +-服从分布为 【 】()A (2,2)F . ()B (1,1)F . ()C (2)t . ()D (4)t二、填空题1、设12,,n X X X 是来自指数分布()E l 的简单随机样本，0l >为未知参数，则12,,n X X X 的概率分布为：________________，设10n =时，样本的一组观测值为4，6，4，3，5，4，5，8，4，7则样本均值为：________________，样本方差为________________.2、设12,,n X X X 是来自于正态总体2(,)N m s 的一个样本，X 和2S 分别为样本均值和样本方差，则X_________X ________X _________分布.3、设X 与Y 相互独立，且22(),()X m Y n χχ，则X Y+______________.4、设2(,)XN m s ，X 与2S 分别是容量为n 的样本均值和样本方差，则21()ni i X Xσ=-∑____________分布.5、设总体(,4)XN m ，12,,n X X X 是来自总体的一个简单随机样本，n ³______时才能使2()0.1E X m -?.6、设随机变量X 服从自由度k 为t 的分布，则随机变量函数2X 服从自由度__________为的___________分布.7、设随机变量X 服从自由度为(,)m n 的F 分布，则随机变量函数1X服从自由度为____________的____________分布.8、设随机变量X 和Y 相互独立且均服从正态分布2(0,4)N ，而随机样本1216,,X X X 和1216,,Y Y Y 分别是来自正态总体X 和Y，则统计量U =服从_______分布，参数为______________. 三、解答题1、设总体],[~b a U X ，12,,n X X X 是来自总体X 的样本，试写出样本12,,nX X X 的联合密度函数.2、从织布车间抽取7尺布，检查每尺的疵点数，得到样本值：0，3，2，1，1，0，1，求其经验分布函数.3、设从总体2(,)XN m s 抽取样本1210,,,X X X ，求下列概率：（1）1210{max(,,,)10}P X X X >；（2）1210{min(,,,)5}P X X X £.4、设总体X 的分布密度为 11()0x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他1250,,,X X X 是来自总体的一样本，试求()E X ,()D X ,2()D S .5、 总体(,6)XN m ，从中取出一个容量为25的样本，样本方差为2S ，求2{9.1}P S >.6、设总体X 服从正态分布2(,5)XN m .（1）从总体中抽取容量为64的样本，求样本均值X 与总体均值μ之差的绝对值小于1的概率{1}P X μ-<；（2）抽取样本容量n 多大时，才能使{1}P X μ-<达到0.95？ 7、设126,,,X X X 是来自正态总体2(,)N m s 的一个样本，记11231()3Y X X X =++， 24561()3Y X X X =++， 322111()3i i S X Y ==-å，试求统计量12()T Y Y S =-的概率分布.8、设总体X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(30,3)XN ；1220,,,X X X 和1225,,,Y Y Y 是分别来自X 和Y 的样本，求{0.4}P X Y ->.9、设总体1(,10)XN m 、2(,15)YN m ,从总体X 中取出容量为25的样本，从总体Y 中取出容量为31的样本，设X 和Y 相互独立且样本方差分别为21S ，22S ,求2122{ 1.26}S P S >. 10、设总体21(,)XN m s ，22(,)Y N m s ，从二总体中分别抽取样本，得到下列数据：17n =，54x =，21116.7;s =28n =，42y =，2285.7;s = 求概率12{0.87.5}P m m <-<.同步自测题参考答案一、选择题1、()C . 2. ()A . 3. ()B . 4. ()C . 5. ()A . 6. ()D . 7. ()C . 8. ()D 9. ()C . 10. ()B 二、填空题 1、112exp{}0,(,,,)00.nn i i i n i x x f x x x x l l=ìïï->ï=íïï£ïïîå， 5x =，22.2S = 2.2(,)N ns m ，(0,1)N ，(1)t n - 3. 2(2)m c . 4. 2(1)n c -. 5.40. 6.(1,)k ，F 7. (,)n m ，F8. t ，16. 三、解答题 1、12121,,,()(,,,)0.n nn a x x x b b a f x x x 其他ìïï?ï-=íïïïïî.2、70,2701,(10)5712,6723,13.x x F x x x <⎧⎪≤<⎪⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩ . 3.(1)0.8224,(2)0.4991. .4、()0,E X =()0.01,D X = 2()0E S = .5、0.05.提示：222(251)(24)6S c c -=，22(251)9.1{9.1}{}6P S P c -?>=>6. (1)0.8904,(2)96.n = 7、(2)t8、0.66,提示：(30,920),(30,925)XN Y N ，2(0,0.9)X YN -，{0.4}P X Y ->1{0.4}P X Y =--?1[2(0.44)1]0.66.=-F -=1{90.44}P X Y =--<9、0.05,提示：2221122212(1,1)SF n n S s s --.10、0.175,提示：取统计量12()()(2).X Y T t n n μμ---=+-。

概率论与数理统计 第六章 抽样分布练习题与答案详解（答案在最后）1．设n X X X ,,,21 为取自总体X 的样本，总体方差2σ=DX 为已知，X和2S 分别为样本均值，样本方差，则下列各式中（ ）为统计量．(A)21)(∑=-ni iEX X(B) 22)1(σS n - (C) i EX X - (D) 12+nX2．设总体) ,(~2σμN X ，其中μ已知，2σ未知，n X X X ,,,21 是来自X的样本，判断下列样本的函数中，（ ）是统计量．(A) σ++21X X (B) 221)(S X ni i∑=-μ(C) ),,,min(21n X X X (D)212σ∑=ni iX3．今测得一组数据为12.06，12.44，15.91，8.15，8.75，12.50，13.42，15.78，17.23．试计算样本均值，样本方差及顺序统计量*1X ,*9X ．4．设总体) ,(~2σμN X ，样本观测值为3.27，3.24，3.25，3.26，3.37，假设25.3=μ，22016.0=σ，试计算下列统计量的值：(1) nX U σμ-=，(2) 251221)(1∑=-=i iX Xσχ,(3) 251222)(1∑=-=i iXμσχ．5．某厂生产的电容器的使用寿命服从指数分布，但参数λ未知，为统计推断需要，任意抽查n 只电容器测其实际使用寿命．试问此题中的总体，样本及其分布各是什么？6．某市抽样调查了一百户市民的人均月收入，试指出总体和样本． 7．某校学生的数学考试成绩服从正态分布) ,(2σμN ．教委评审组从该校学生中随机抽取50人进行数学测试，问这题中总体，样本及其分布各是什么？8．设1621,,,X X X 是来自正态总体) ,2(~2σN X 的样本，X 是样本均值，则~1684-X （ ） (A) )15(t (B) )16(t (C) )15(2χ (D) 1) ,0(N9．设总体) ,0(~2σN X ，n X X X ,,,21 为其样本，∑==n i i X n X 11，212)(1∑=-=n i i n X X n S ，在下列样本函数中，服从)(2n χ分布的是（ ）． (A)σnX (B)∑=ni iX1221σ (C)22σnnS (D)nS n X 1- 10．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 为X 的简单随机样本，X ，2nS 同上题，则服从)1(2-n χ分布的是（ ）．(A)nX σμ- (B)1--n S X nμ (C)22σnnS (D)212)(1∑=-ni iXμσ11．设总体) ,(~2σμN X ，n X X X ,,,21 是X 的样本，X ,2S 是样本均值和样本方差，则下列式子中不正确的有（ ）(A))1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (B))1 ,0(~N X σμ-(C) )1(~--n t nSX μ (D))(~)(2221n Xni iχσμ∑=-12．设n X X X ,,,21 和n Y Y Y ,,,21 分别取自正态总体) ,(~21σμN X 和) ,(~22σμN Y ，且X 和Y 相互独立，则以下统计量各服从什么分布？(1) 22221))(1(σS S n +-； (2)nS S Y X )()()(222121+---μμ；(3) 2221221)]()[(S S Y X n +---μμ． 其中X ,Y 是X ,Y 的样本均值，21S ,22S 是X ,Y 的样本方差．13．设n X X X ,,,21 是正态总体) ,(~2σμN X 的样本，记2121)(11∑=--=n i i X X n S ， 2122)(1∑=-=n i i X X n S ， 2123)(11∑=--=n i i X n S μ， 2124)(1∑=-=n i i X n S μ， 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量有（ ）(A) 11--n S X μ (B) 12--n S X μ (C) n S X 3μ- (D) nS X 4μ-14．设321 , ,X X X 是来自正态总体)9 ,(~μN X 的样本，232212)()(μχ-+-=X b X X a ，则当=a ____，=b ____时，22~χχ(___)．15．设921,,,X X X 和1621,,,Y Y Y 分别为来自总体)2 ,(~21μN X 和)2 ,(~22μN Y 的两个相互独立的样本，它们的样本均值和样本方差分别为X ,Y 和21S ,22S ．求以下各式中的621,,,ααα ．(1) 9.0})({91221=<-<∑=i i X X P αα；(2) 9.0}|{|31=<-αμX P ；(3) 9.0)(||416122=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=αμi i Y Y Y P ；(4) 9.0815621225=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααS S P ． 16．在天平上重复称量一个重为a （未知）的物品．假设n 次称量结果是相互独立的，且每次称量结果均服从).20 ,(2a N ．用n X 表示n 次称量结果的算术平均值．为使n X 与a 的差的绝对值小于0.1的概率不小于%95，问至少应进行多少次称量？17．根据以往情形，某校学生数学成绩)10 ,72(~2N X ，在一次抽考中，至少应让多少名学生参加考试，可以使参加考试的学生的平均成绩大于70分的概率达到0.9以上？18．在均值为80，方差为400的总体中，随机地抽取一容量为100的样本，X 表示样本均值，求概率}3|80{|>-X P 的值．19．设总体)5 ,40(~2N X ，从中抽取容量64=n 的样本，求概率}1|40{|<-X P 的值．20．设总体X 与Y 相互独立，且都服从)2 ,30(2N ，从这两总体中分别抽取了容量为201=n 与252=n 的样本，求4.0||>-Y X 的概率．21．设总体)2 ,0(~2N X ，而1521,,,X X X 是X 的样本，则)(221521121021X X X X Y ++++= 服从什么分布，参数是多少？又问当a 为何值时，215272621X X X X a F ++++= 服从)9 ,6(F ？22．设总体)4 ,0(~N X ，1021,,,X X X 是X 的样本，求(1) }13{1012≤∑=i i X P ；(2) }76)(3.13{2101≤-≤∑=i i X X P ．23．从总体) ,(~2σμN X 中抽取容量为16的样本，2S 为样本方差，求}041.2{22≤σS P ．24．从总体)2 ,12(~2N X 中随机抽取容量为5的样本521,,,X X X ，求} 284.44)12( {512>-∑=i i X P ．答案详解1．B(A)中含总体期望EX 是未知参数，(C)中EX EX i =也是未知参数，都不是统计量，而(D)不是样本的函数，当然不是统计量．2．B ，C3．样本容量9=n ，利用计算器的统计功能键，算出92.12=x ，65.9)107.3(22==s ，观察921,,,x x x ，可得最小值15.8*1=x ，最大值23.17*=n x ．注 上面得到的x ，2s ，*1x ，*nx 依次是统计量∑==ni i X n X 11，),,,max( ),,,,min( ,)(1121*21*1212n n n n i i X X X X X X X X X X n S ==--=∑=的观察值．注意统计量与统计量的观察值的区别，前者是随机变量，后者是具体的数值4．258.3=x ，00017.02=s (1) 118.1=u ； (2) 656.221=χ；(3) 906.322=χ，提示 为了计算22χ的值，先将其展开为)52(1251512222μμσχ+-=∑∑==i i i iX X ，其中，∑=512i iX ，∑=51i i X 均可由计算器的统计功能键求出来5．“电容器的使用寿命”是总体X ，其服从参数为λ的指数分布，即X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0.x , 0 0,x ,)(x X e x f λλ“抽查的n 只电容的使用寿命”是容量为n 的样本n X X X ,,,21 ．由于n X X X ,,,21 相互独立且每个i X 与总体X 具有相同的分布，所以，样本的联合概率密度为⎩⎨⎧=>=∏=+++-=., 0,,,1 ,0,)(),,,()(12121其它n i x e x f x x x f i x x x n i X ni n n λλ 6．总体X 为该市市民户的人均月收入，容量为100的样本10021,,,X X X 为抽查的100户市民的人均月收入7．总体X 为该校学生的数学考试成绩，容量为50的样本5021,,,X X X 为抽取的50人的数学成绩总体) ,(~2σμN X ，即其概率密度为222)(21)(σμσπ--=x X ex f ，样本5021,,,X X X 的概率密度为∑⎪⎪⎭⎫⎝⎛==--50122)(2150502121),,,(i i x e x x x f μσσπ8．D因为) ,2(~2σN X ，根据正态总体的抽样分布),2(~2nN X σ，)1 ,0(~)2(4162222N X X n X U σσσ-=-=-=9．(A) 因) ,0(~2σN X ，由正态总体的抽样分布，有) ,0(~2nN X σ，所以)1 ,0(~2N nX nXU σσ==．(B) 因) ,0(~2σN X i ，得)1 ,0(~N X iσ，n i ,,1 =，且这n 个标准正态变量相互独立，所以由2χ分布的定义知，)(~1212122n X X ni i ni i χσσ∑∑==⎪⎭⎫⎝⎛=．(C) 2122)1()(S n X X nS ni i n-=-=∑=，由正态总体的抽样分布知)1(~)1()(22221222--=-=∑=n S n X XnSni iχσσσ．(D) ()nS X X n n n S n i i n 2122)1(11=--=-∑=,由正态分布的抽样分布知 )1(~11--=-=-=n t S n X n S X nSX T nnμ， 或者，由(A)，(C)的结果，根据t 分布的定义有)1(~1)1(22--=-=n t S n X n nS n X T nn σσ．综上可知，应选B ． 10．C 11．B12．(1) )22(2-n χ； (2) )22(-n t ； (3) )22 ,1(-n F 13．B 14．181=a ，91=b 时，)2(~22χχ 15．(1) 由正态总体的抽样分布得∑=-91222)8(~)(21i iX Xχ，因此，}44)(4{})({2912191221αααα<-<=<-<∑∑==i ii i X XP X X P9.0}4)8({}4)8({2212=>->=αχαχP P ，令95.0}4)8({12=>αχP ，05.0}4)8({22=>αχP ，根据2χ分布得上侧临界值的定义，查表可得，733.2)8(4295.01==χα，955.21)8(4205.02==χα，即932.104733.21=⨯=α，82.874955.212=⨯=α注 一般来说，满足条件{}αχ-=<<12B A P的数（临界值）A ，B 有很多对，这里我们采用的取法是使A ，B 满足{}{}222αχχ=≥=≤B P A P ．通常认为这样的取法比较好，对于F 分布也类似(2) 由正态总体的抽样分布)1 ,0(~91N X σμ-，即)1 ,0(~321N X μ-， 得9.0}23||23{}|{|3131=<-=<-αμαμX P X P ，根据)1 ,0(N 分布得双侧临界值的定义，查表得645.1232/10.03==u α，所以097.132645.13=⨯=α．(3) 由正态总体的抽样分布)15(~1622t S Y μ-，即)15(~)(422t S Y μ-，得⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<--∑=422241612215||)(||αμαμS Y P Y Y Y P i i 9.0154)(4 422=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<-=αμS Y P ．根据t 分布的双侧临界值的定义，并查表得75.1)15(1542/10.04==t α，于是，113.015475.14==α．(4) 由正态总体得抽样分布)8 ,15(~222212222122F S S S S =，得90.005.095.0158158815621225621225=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<ααααS S P S S P ， 查F 分布上侧临界值表，得645.21)15 ,8(1)8 ,15(15805.095.05===F F α， 22.3)8 ,15(15805.06==F α， 所以，709.08645.2155=⨯=α，038.6709.081522.36==⨯=α 16．16≥n ，即至少应进行16次称量提示 对该物品进行独立重复称量的所有可能结果，看成总体X ，则n 次称量结果n X X X ,,,21 就是X 的一容量为n 的样本，n X 即样本均值．由题意知，).20 ,(~2a N X ，根据正态总体的抽样分布，)2.0 ,(~2na N X n ，按条件95.0}1.0 || {≥<-a X P n 来求出n17．至少要42个学生参加抽考18．0.1336提示 该总体并非正态总体，然而100=n 为大样本，所以)100400,80(~N X 19．0.8904 20．约等于0.3446 21．)5 ,10(~F Y ；23=a 22．(1) 因为)4 ,0(~N X i ，)10,,1( =i 且1021,,,X X X 相互独立，所以)10(~421012χ∑=i i X ， }4134{}13{10121012∑∑==≤=≤i i i iX P X Pαχ-=>-=1}25.3)10({1 2P ，由于25.3)10(2=αχ，反查2χ分布表，得，975.0=α，故025.0975.01}13{1012=-=≤∑=i i X P ．(2) 因为)9(~49)(2221012χσS X Xi i=-∑=，所以， }194932.3{}76)(3.13{21012≤≤=≤-≤∑=S P X X P i i 2122}19)9({}32.3)9({ ααχχ-=>->=P P ， 由32.3)9(21=αχ及19)9(22=αχ，反查2χ分布表，得95.01=α及025.02=α，所以，925.0025.095.0}76)(3.13{1012=-=≤-≤∑=i i X X P23．0.99 24．0.05。