第五章 留数及其应用
解：
（1）是本性奇点（2）是非孤立奇点（3）是一阶极点
解：
（1）3zi是单零点。
（2）0z是二重零点，zk是单零点。
（3）0z是四阶零点，2zki是一阶零点。
解：
（1）0z是一阶极点，2zi是二阶极点
（2）0z是二阶极点
（3）4zk是一阶极点
（4）0z是三阶极点，2zki是一阶极点
（5）0z是可去奇点
（6）0z是可去奇点，2zki是一阶极点
证明：函数()fz以a为极点的充要条件是1()fz以a为零点，由此可明白，结论成立。
证明：令 0110()()(),(1)()0mfzzzfzmfz且；
0110()()()(1)()0ngzzzgzngz且， 那么
1010110101101()()()()()()()()()()()()(),()()mmnnmnfzmzzfzzzfzgznzzgzzzgzfzfzzzgzgz
1010101()()()()()()()()()mnmfzzzfzfzzzgzngzzzgz，因此当mn时，
00'10'10()()()()()()limlimzzzzfzfzfzgzgzgz
当mn时，上式左侧两个极限均为零；当mn时，上式两边极限均为，故结论成立。 解：
（1）是可去奇点（2）是可去奇点
解：
（1）孤立奇点有0，z0e1Res[,0]=e10z。
（2）孤立奇点有2,i
77222128Re[,2]5(2)(1)21zszz
725633Re[,]100(2)(1)zisizz
（3）孤立奇点为-1，3sin2Re[,1]2sin2(1)zsz
（4）孤立奇点为0，2353111111111()[()()][3!5!3!5!fzzzzzzzz
1
第五章 留数及其应用
5.1解：
（1）是本性奇点（2）是非孤立奇点（3）是一阶极点
5.2解：
（1）3zi是单零点。
（2）0z是二重零点，zk是单零点。
（3）0z是四阶零点，2zki是一阶零点。
5.3解：
（1）0z是一阶极点，2zi是二阶极点
（2）0z是二阶极点
（3）4zk是一阶极点
（4）0z是三阶极点，2zki是一阶极点
（5）0z是可去奇点
（6）0z是可去奇点，2zki是一阶极点
5.4证明：函数()fz以a为极点的充要条件是1()fz以a为零点，由此可知道，结论成立。
5.5证明：令 0110()()(),(1)()0mfzzzfzmfz且；
0110()()()(1)()0ngzzzgzngz且， 则
1010110101101()()()()()()()()()()()()(),()()mmnnmnfzmzzfzzzfzgznzzgzzzgzfzfzzzgzgz
1010101()()()()()()()()()mnmfzzzfzfzzzgzngzzzgz，所以当mn时，
00'10'10()()()()()()limlimzzzzfzfzfzgzgzgz
当mn时，上式左边两个极限均为零；当mn时，上式两边极限均为，故结论成立。
5.6解：
（1）是可去奇点（2）是可去奇点
2
5.7解：
（1）孤立奇点有0，z0e1Res[,0]=e10z。
（2）孤立奇点有2,i
77222128Re[,2]5(2)(1)21zszz
725633Re[,]100(2)(1)zisizz
（3）孤立奇点为-1，3sin2Re[,1]2sin2(1)zsz
留数在微积分计算中的应用
微积分是数学中的基础分支之一，主要研究变化率、曲线和曲面的性质等。留数是在复变函数理论中引入的一个重要概念，它在微积分计算中扮演着重要的角色。本文将详细介绍留数在微积分计算中的应用。
留数是指复变函数在某个点的极限值与实数域的函数值的商。更具体地，对于一个复变函数f(z)，如果在某个点a处有极点，那么留数就是f(z)在a点的极限值除以(z-a)的导数在a点的值。留数在复数域中具有一定的分布规律，例如在简单奇点处的留数为零，而在阶乘奇点处的留数则与阶乘有关。
留数与积分的关系可以从以下几个方面来理解：留数的定义与积分密切相关。利用留数可以计算某些复杂函数的积分。例如，利用留数定理可以求解柯西积分公式。留数在求解某些数学物理问题中也起着关键作用，例如在求解狄利克雷边界值问题时需要用到留数的性质。
留数定理是微积分中的一个重要定理，它把复数域中的函数与实数域中的函数建立了。具体来说，如果f(z)是一个复变函数，它在实数域上的某个区间[a, b]上有定义，那么f(z)在[a, b]上的积分可以表示为： ∫f(z)dz = ∫f(x)dx + ∑(Res(f(z), z0)) * 2πi
其中，Res(f(z), z0)表示f(z)在z=z0处的留数。利用留数定理，我们可以计算一些在实数域上难以求解的积分。
柯西积分公式是复变函数理论中的基本公式之一，它表示一个复变函数可以表示为某个积分的形式。利用留数的性质，我们可以推导出柯西积分公式的多种形式，例如单极点柯西积分公式和双极点柯西积分公式等。这些公式在求解一些复杂函数的积分时非常有用。
狄利克雷判别法是一种判断级数是否收敛的方法，它是利用留数的性质进行判断的。具体来说，如果一个级数的每一项的函数在某个点处具有相同的极点，那么这个级数的和可以通过求这些极点的留数来进行估计。这种判断方法为我们提供了一种新的思路来解决级数的收敛问题。
第五章 留数理论及其应用
本章的中心问题是留数定理.借助第四章的讨论，我们引入留数概念并计算留数.我们即将看到柯西－古萨基本定理，柯西积分公式都是留数定理的特殊情况.作为留数定理的应用，我们可以把沿闭曲线的积分的计算转化为孤立奇点处的留数计算.对于高等数学中的一些定积分和广义积分，按过去的计算方法可能比较复杂，甚至难以算出结果，而用留数计算的方法则相对简便.因此留数定理在理论和实际应用中都具有重要意义.
1. 留数的定义
如果f(z)在z0处解析，那么对于z0的邻域中的任意一条简单闭曲线C，都有()d0Cfzz.
如果z0是f(z)的孤立奇点，那么对于解析圆环00zz内包含z0的正向简单闭曲线C，上述积分只与f(z)和z0有关，而与C无关，但积分值不一定为零.现在我们来计算这个积分.由第四章定理4.12,f(z)在z0的邻域内可展开成罗朗级数：
0()()nnnfzazz,
其中
101()d,0,1,2,2π()nnCfaniz
特别地，11()d2πCafi.于是得到
1()d2πCfia.
因此a−1这个系数有它特殊的含义.我们把f(z)在z0处的罗朗级数中(z−z0)−1项的系数a−1称为f(z)在孤立奇点z0处的留数，记为
Res [f(z),z0]=a−1,
(5.1)
即
Res[f(z),z0]= 1()d2πCfzzi.
(5.2)
例5．1 求下列积分的值，其中C为包含z=0的简单正向闭曲线.
(1) 3cosdCzzz (2) 12edzCz.
解： (1)令f(z)=z−3cosz，则z=0为f(z)的孤立奇点.又因
