备战2020年高考数学一轮复习第13单元算法推理证明与复数单元训练B卷文

专题十三推理与证明挖命题【真题典例】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点1.合情推理与演绎推理①了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用.②了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异2017课标Ⅱ,7,5分根据给出的说法进行推理★☆☆2016课标Ⅱ,15,5分根据给出的说法进行推理2014课标Ⅰ,14,5分根据给出的说法进行推理2.直接证明与间接证明①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点.②了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点2018江苏,19,16分直接证明利用导数研究初等函数的性质★☆☆3.数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题2014安徽,21,13分用数学归纳法证明不等式的性质★☆☆分析解读 1.能利用已知结论类比未知结论或归纳猜想结论并加以证明.2.了解直接证明与间接证明的基本方法,体会数学证明的思想方法.3.掌握“归纳—猜想—证明”的推理方法及数学归纳法的证明步骤.4.归纳推理与类比推理是高考的热点.本章在高考中的推理问题一般以填空题形式出现,分值约为5分,属中档题;证明问题一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.破考点【考点集训】考点一合情推理与演绎推理1.(2018山东淄博一模,6)有一段“三段论”推理是这样的:对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x=x0是函数f(x)的极值点,因为f(x)=x3在x=0处的导数值为0,所以x=0是f(x)=x3的极值点,以上推理( )A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确答案A2.(2018山西高考考前适应性测试,7)完成下列表格,据此可猜想多面体各面内角和的总和的表达式是( )多面体顶点数V面数F棱数E各面内角和的总和三棱锥46四棱锥55五棱锥6(说明:上述表格内,顶点数V指多面体的顶点数)A.2(V-2)πB.(F-2)πC.(E-2)πD.(V+F-4)π答案A3.(2017山西太原三模,4)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+中“…”代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+=x求得x=.类比上述过程,=( )A.3B.C.6D.2答案A考点二直接证明与间接证明1.(2018湖北普通高中联考,7)分析法又叫执果索因法,若使用分析法证明:设a<b<c,且a+b+c=0,求证:b2-ac<3c2,则证明的依据应是( )A.c-b>0B.c-a>0C.(c-b)(c-a)>0D.(c-b)(c-a)<0答案C2.(2018吉林梅河口第五中学第三次月考,5)①已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q>2;②设a为实数,f(x)=x2+ax+a,求证|f(1)|与|f(2)|中至少有一个不小于,用反证法证明时可假设|f(1)|≥,且|f(2)|≥,以下说法正确的是( )A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确,②的假设错误D.①的假设错误,②的假设正确答案C考点三数学归纳法(2018山东邹城第一中学期中,9)用数学归纳法证明:“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×5×…×(2n-1)×(2n+1)(n∈N*)”时,从n=k到n=k+1,等式的左边需要增加的代数式是( )A.2k+1B.C. D.2(2k+1)答案D炼技法【方法集训】方法归纳推理与类比推理的应用1.(2017陕西渭南一模,4)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:他们研究过图中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,故将其称为三角形数,由以上规律,知这些三角形数从小到大形成一个数列{a n},那么a10的值为( )A.45B.55C.65D.66答案B2.(2018湖南模拟,8)天干地支纪年法源于中国,中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配,排列起来,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年为“甲子”,第二年为“乙丑”,第三年为“丙寅”,……,以此类推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新开始,即“甲戌”“乙亥”,然后地支回到“子”重新开始,即“丙子”,以此类推.已知1949年为“己丑”年,那么到中华人民共和国成立80年时为年( )A.丙酉B.戊申C.己申D.己酉答案D3.已知数列{a n}为等差数列,若a m=a,a n=b(n-m≥1,m,n∈N*),则a m+n=.类比等差数列{a n}的上述结论,对于等比数列{b n}(b n>0,n∈N*),若b m=c,b n=d(n-m≥2,m,n∈N*),则可以得到b m+n= .答案过专题【五年高考】A组统一命题·课标卷题组1.(2016课标Ⅱ,15,5分)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说:“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是.答案1和32.(2014课标Ⅰ,14,5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案AB组自主命题·省(区、市)卷题组考点一合情推理与演绎推理1.(2016北京,8,5分)袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C.乙盒中红球不多于丙盒中红球D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案B2.(2015山东,11,5分)观察下列各式:=40;+=41;++=42;+++=43;……照此规律,当n∈N*时,+++…+= .答案4n-1考点二直接证明与间接证明1.(2014山东,4,5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根答案A2.(2018江苏,19,16分)记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=.对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”,并说明理由.解析本题主要考查利用导数研究初等函数的性质,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力以及逻辑推理能力.(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f'(x)=1,g'(x)=2x+2,由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得此方程组无解.因此,f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,则f'(x)=2ax,g'(x)=,设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得即(*)得lnx0=-,即x0=,则a==.当a=时,x0=满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)的“S点”,因此,a的值为.(3)f'(x)=-2x,g'(x)=,x≠0,f'(x0)=g'(x0)⇒b=->0⇒x0∈(0,1),f(x0)=g(x0)⇒-+a==-⇒a=-,令h(x)=x2--a=,x∈(0,1),a>0,设m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,∴m(x)在(0,1)上有零点,则h(x)在(0,1)上有零点.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.思路分析本题是新定义情境下运用导数研究函数零点问题,前两问只需按新定义就能解决问题,第三问中先利用f'(x 0)=g'(x0)对x0加以限制,然后将f(x0)=g(x0)转化成a=-,从而转化为研究h(x)=,x∈(0,1),a>0的零点存在性问题,再研究函数m(x)=-x3+3x2+ax-a,x∈(0,1),a>0,由m(0)<0,m(1)>0,可判断出m(x)在(0,1)上存在零点,进而解决问题.C组教师专用题组考点一合情推理与演绎推理1.(2014北京,8,5分)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人答案B2.(2017北京,14,5分)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作情况如图所示,其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是.答案①Q1②p23.(2015福建,15,5分)一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…x n(n∈N*),其中x k(k=1,2,…,n)称为第k位码元.二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0).已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组:其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于.答案54.(2014陕西,14,5分)观察分析下表中的数据:多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.答案F+V-E=2考点二直接证明与间接证明1.(2018北京,20,14分)设n为正整数,集合A={α|α=(t1,t2,…,t n),t k∈{0,1},k=1,2,…,n}.对于集合A中的任意元素α=(x1,x2,…,x n)和β=(y1,y2,…,y n),记M(α,β)=[(x1+y1-|x1-y1|)+(x2+y2-|x2-y2|)+…+(x n+y n-|x n-y n|)].(1)当n=3时,若α=(1,1,0),β=(0,1,1),求M(α,α)和M(α,β)的值;(2)当n=4时,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意元素α,β,当α,β相同时,M(α,β)是奇数;当α,β不同时,M(α,β)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;(3)给定不小于2的n,设B是A的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素α,β,M(α,β)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.解析(1)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以M(α,α)=[(1+1-|1-1|)+(1+1-|1-1|)+(0+0-|0-0|)]=2,M(α,β)=[(1+0-|1-0|)+(1+1-|1-1|)+(0+1-|0-1|)]=1.(2)设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4.由题意知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数,所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3.所以B⊆{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1 ,0)}.将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1) .经验证,对于每组中两个元素α,β,均有M(α,β)=1.所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以集合B中元素的个数不超过4.又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,所以集合B中元素个数的最大值为4.(3)设S k={(x1,x2,…,x n)|(x1,x2,…,x n)∈A,x k=1,x1=x2=…=x k-1=0}(k=1,2,…,n),S n+1={(x1,x2,…,x n)|x1=x2=…=x n=0},所以A=S1∪S2∪…∪S n+1.对于S k(k=1,2,…,n-1)中的不同元素α,β,经验证,M(α,β)≥1.所以S k(k=1,2,…,n-1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.所以B中元素的个数不超过n+1.取e k=(x1,x2,…,x n)∈S k且x k+1=…=x n=0(k=1,2,…,n-1).令B={e1,e2,…,e n-1}∪S n∪S n+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.故B是一个满足条件且元素个数最多的集合.2.(2017浙江,22,15分)已知数列{x n}满足:x1=1,x n=x n+1+ln(1+x n+1)(n∈N*).证明:当n∈N*时,(1)0<x n+1<x n;(2)2x n+1-x n≤;(3)≤x n≤.证明(1)用数学归纳法证明:x n>0.当n=1时,x1=1>0.假设n=k时,x k>0,那么n=k+1时,若x k+1≤0,则0<x k=x k+1+ln(1+x k+1)≤0,矛盾,故x k+1>0.因此x n>0(n∈N*).所以x n=x n+1+ln(1+x n+1)>x n+1.因此0<x n+1<x n(n∈N*).(2)由x n=x n+1+ln(1+x n+1)得,x n x n+1-4x n+1+2x n=-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1).记函数f(x)=x2-2x+(x+2)ln(1+x)(x≥0),f'(x)=+ln(1+x)>0(x>0).函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(0)=0,因此-2x n+1+(x n+1+2)ln(1+x n+1)=f(x n+1)≥0,故2x n+1-x n≤(n∈N*).(3)因为x n=x n+1+ln(1+x n+1)≤x n+1+x n+1=2x n+1,所以x n≥.由≥2x n+1-x n得-≥2>0,所以-≥2≥…≥2n-1=2n-2,故x n≤.综上,≤x n≤(n∈N*).方法总结 1.证明数列单调性的方法.①差比法:作差a n+1-a n,然后分解因式,判断符号,或构造函数,利用导数求函数的值域,从而判断其符号.②商比法:作商,判断与1的大小,同时注意a n的正负.③数学归纳法.④反证法:例如求证:n∈N*,a n+1<a n,可反设存在k∈N*,有a k+1≥a k,从而导出矛盾.2.证明数列的有界性的方法.①构造法:构造函数,求函数的值域,得数列有界.②反证法.③数学归纳法.3.数列放缩的方法.①裂项法:利用不等式性质,把数列的第k项分裂成某数列的相邻两项差的形式,再求和,达到放缩的目的.②累加法:先把a n+1-a n进行放缩.例:a n+1-a n≤q n,则有n≥2时,a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)≤a1+q+q2+…+q n-1.③累乘法:先把进行放缩.例:≤q(q>0),则有n≥2时,a n=a1···…·≤a1q n-1(其中a1>0).④放缩为等比数列:利用不等式性质,把非等比数列{a n}放缩成等比数列{b n},求和后,再进行适当放缩.3.(2017江苏,19,16分)对于给定的正整数k,若数列{a n}满足:a n-k+a n-k+1+…+a n-1+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n(n>k)总成立,则称数列{a n}是“P(k)数列”.(1)证明:等差数列{a n}是“P(3)数列”;(2)若数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,证明:{a n}是等差数列.证明本小题主要考查等差数列的定义、通项公式等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力.(1)因为{a n}是等差数列,设其公差为d,则a n=a1+(n-1)d,从而,当n≥4时,a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n,k=1,2,3,所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n,因此等差数列{a n}是“P(3)数列”.(2)数列{a n}既是“P(2)数列”,又是“P(3)数列”,因此,当n≥3时,a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n,①当n≥4时,a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n.②由①知,a n-3+a n-2=4a n-1-(a n+a n+1),③a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n).④将③④代入②,得a n-1+a n+1=2a n,其中n≥4,所以a3,a4,a5,…是等差数列,设其公差为d'.在①中,取n=4,则a2+a3+a5+a6=4a4,所以a2=a3-d',在①中,取n=3,则a1+a2+a4+a5=4a3,所以a1=a3-2d',所以数列{a n}是等差数列.方法总结数列新定义型创新题的一般解题思路:1.阅读审清“新定义”;2.结合常规的等差数列、等比数列的相关知识,化归、转化到“新定义”的相关知识;3.利用“新定义”及常规的数列知识,求解证明相关结论.考点三数学归纳法1.(2015江苏,23,10分)已知集合X={1,2,3},Y n={1,2,3,…,n}(n∈N*),设S n={(a,b)|a整除b或b整除a,a∈X,b∈Y n}.令f(n)表示集合S n所含元素的个数.(1)写出f(6)的值;(2)当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.解析(1)f(6)=13.(2)当n≥6时,f(n)=(t∈N*).下面用数学归纳法证明:①当n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;②假设n=k(k≥6)时结论成立,那么n=k+1时,S k+1在S k的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:1)若k+1=6t,则k=6(t-1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=k+2+++3=(k+1)+2++,结论成立;2)若k+1=6t+1,则k=6t,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立.综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.2.(2014重庆,22,12分)设a1=1,a n+1=+b(n∈N*).(1)若b=1,求a2,a3及数列{a n}的通项公式;(2)若b=-1,问:是否存在实数c使得a2n<c<a2n+1对所有n∈N*成立?证明你的结论.解析(1)解法一:a 2=2,a3=+1.由题设条件知(a n+1-1)2=(a n-1)2+1,从而{(a n-1)2}是首项为0,公差为1的等差数列,故(a n-1)2=n-1,即a n=+1(n∈N*).解法二:a2=2,a3=+1,可写为a1=+1,a2=+1,a3=+1.因此猜想a n=+1.下用数学归纳法证明上式:当n=1时结论显然成立.假设n=k时结论成立,即a k=+1,则a k+1=+1=+1=+1.这就是说,当n=k+1时结论成立.所以a n=+1(n∈N*).(2)解法一:设f(x)=-1,则a n+1=f(a n).令c=f(c),即c=-1,解得c=.下面用数学归纳法证明命题a2n<c<a2n+1<1.当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(0)=-1,所以a2<<a3<1,结论成立.假设n=k时结论成立,即a2k<c<a2k+1<1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而c=f(c)>f(a2k+1)>f(1)=a2,即1>c>a2k+2>a2.再由f(x)在(-∞,1]上为减函数得c=f(c)<f(a2k+2)<f(a2)=a3<1.故c<a2k+3<1,因此a2(k+1)<c<a2(k+1)+1<1.这就是说,当n=k+1时结论成立.综上,符合条件的c存在,其中一个值为c=.解法二:设f(x)=-1,则a n+1=f(a n).先证:0≤a n≤1(n∈N*).①当n=1时,结论明显成立.假设n=k时结论成立,即0≤a k≤1.易知f(x)在(-∞,1]上为减函数,从而0=f(1)≤f(a k)≤f(0)=-1<1.即0≤a k+1≤1.这就是说,当n=k+1时结论成立.故①成立.再证:a2n<a2n+1(n∈N*).②当n=1时,a2=f(1)=0,a3=f(a2)=f(0)=-1,有a2<a3,即n=1时②成立.假设n=k时,结论成立,即a2k<a2k+1.由①及f(x)在(-∞,1]上为减函数,得a2k+1=f(a2k)>f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)<f(a2k+2)=a2(k+1)+1.这就是说,当n=k+1时②成立.所以②对一切n∈N*成立.由②得a2n<-1,即(a2n+1)2<-2a2n+2,因此a2n<.③又由①、②及f(x)在(-∞,1]上为减函数得f(a2n)>f(a2n+1),即a2n+1>a2n+2,所以a2n+1>-1,解得a2n+1>.④综上,由②、③、④知存在c=使a2n<c<a2n+1对一切n∈N*成立.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2019届山东日照一中高三第二次质量达标检测,6)由①安梦怡是高三(21)班的学生,②安梦怡是独生子女,③高三(21)班的学生都是独生子女.写一个“三段论”形式的推理,则大前提,小前提和结论分别为( )A.②①③B.③①②C.①②③D.②③①答案B2.(2019届安徽六校教育研究会高三第一次素质测试,8)如图,第1个图形由正三角形扩展而成,共12个顶点,第2个图形由正方形扩展而成,共20个顶点,……,第n个图形是由正n+2边形扩展而成,n∈N*,则第n个图形的顶点个数是( )A.(2n+1)(2n+2)B.3(2n+2)C.2n(5n+1)D.(n+2)(n+3)答案D3.(2019届江西九江高三第一次十校联考,11)请观察下列数的排列规律,数字1的位置在第一行第一列,表示为(1,1),数字14的位置在第四行第三列,表示为(4,3),根据特点推算出数字2019的位置为( )A.(45,44)B.(45,43)C.(45,42)D.该数不会出现答案C4.(2018山西孝义模拟,7)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛,今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名,甲猜不是3号就是5号;乙猜6号不可能;丙猜2号,3号,4号都不可能;丁猜是1号,2号,4号中的某一个.若以上四位老师中只有一位老师猜对,则猜对者是( )A.甲B.乙C.丙D.丁答案C5.(2017江西南昌调研,11)设等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项之积为T n,并且满足条件:a1>1,a2016a2017>1,<0,下列结论中正确的是( )A.q<0B.a2016a2018-1>0C.T2016是数列{T n}中的最大项D.S2016>S2017答案C二、填空题(每小题5分,共20分)6.(2019届湖北重点高中联考协作体高三期中考试,16)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.设a ij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行,从左往右数第j个数,如a42=8,若a ij=2018,则i+j= .答案817.(2018河北衡水中学第十次模拟考试,16)观察下列各式:13=1;23=3+5;33=7+9+11;43=13+15+17+19;……若m3(m∈N*)按上述规律展开后,发现等式右边含有“2017”这个数,则m的值为. 答案458.(2017湖北襄阳优质高中联考,15)将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:(x2+x+1)0=1,(x2+x+1)1=x2+x+1,(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1,……观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其构造方法为:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有2k+1个数,若(x2+x+1)5(1+ax)的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为.答案19.(2018河南豫南九校第六次质量考评,15)已知函数f(x)=++,由f(x-1)=++是奇函数,可得函数f(x)的图象关于点(-1,0)对称,类比这一结论,可得函数g(x)=++…+的图象关于点对称.答案。

第2讲直接证明与间接证明创作人：历恰面日期：2020年1月1日【2021年高考会这样考】1．在历年的高考中，证明方法是常考内容，考察的主要方式是对它们原理的理解和用法．难度多为中档题，也有高档题．2．从考察形式上看，主要以不等式、立体几何、解析几何、函数与方程、数列等知识为载体，考察综合法、分析法、反证法等方法．【复习指导】在备考中，对本局部的内容，要抓住关键，即分析法、综合法、反证法，要搞清三种方法的特点，把握三种方法在解决问题中的一般步骤，熟悉三种方法适用于解决的问题的类型，同时也要加强训练，到达熟能生巧，有效运用它们的目的．根底梳理1．直接证明(1)综合法①定义：利用条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．②框图表示：P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．(2)分析法①定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为断定一个明显成立的条件(条件、定理、定义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法．②框图表示：Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件. 2．间接证明一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t .t 与假设矛盾，或者与某个真命题矛盾．从而断定綈q 为假，推出q 为真的方法，叫做反证法．一个关系综合法与分析法的关系分析法与综合法相辅相成，对较复杂的问题，常常先从结论进展分析，寻求结论与条件、根底知识之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或者者在证明时将两种方法穿插使用． 两个防范(1)利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进展推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．(2)用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的标准性，常常用“要证(欲证)…〞“即要证…〞“就要证…〞等分析到一个明显成立的结论P ，再说明所要证明的数学问题成立．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，那么p 、q 的大小为( )．A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．不确定 解析 q ＝ab ＋mad n ＋nbcm＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd＝ab ＋cd ＝p ，当且仅当mad n ＝abcm时取等号． 答案 B2．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x(x ＜0)，那么a 与b 大小关系为( )． A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a ≤b解析 a ＝lg 2＋lg 5＝1，b ＝e x，当x ＜0时，0＜b ＜1. ∴a ＞b . 答案 A3．否认“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数〞时，正确的反设为( )． A ．a ，b ，c 都是奇数 B ．a ，b ，c 都是偶数 C ．a ，b ，c 中至少有两个偶数D ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或者都是奇数解析 ∵a ，b ，c 恰有一个偶数，即a ，b ，c 中只有一个偶数，其反面是有两个或者两个以上偶数或者没有一个偶数即全都是奇数，故只有D 正确． 答案 D4．(2021·调研)设a 、b ∈R ，假设a －|b |＞0，那么以下不等式中正确的选项是( )． A ．b －a ＞0 B ．a 3＋b 3＜0 C ．a 2－b 2＜0 D ．b ＋a ＞0 解析 ∵a －|b |＞0，∴|b |＜a ，∴a ＞0，∴－a ＜b ＜a ，∴b ＋a ＞0. 答案 D5．在用反证法证明数学命题时，假如原命题的否认事项不止一个时，必须将结论的否认情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC 中，假设AB ＝AC ，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时应分：假设________和________两类． 答案 ∠BAP ＝∠CAP ∠BAP ＞∠CAP考向一 综合法的应用【例1】►设a ，b ，c ＞0，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .[审题视点] 用综合法证明，可考虑运用根本不等式． 证明 ∵a ，b ，c ＞0，根据均值不等式，有a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a＋a ≥2c . 三式相加：a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋a ＋b ＋c ≥2(a ＋b ＋c )．当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c . 综合法是一种由因导果的证明方法，即由条件出发，推导出所要证明的等式或者不等式成立．因此，综合法又叫做顺推证法或者由因导果法．其逻辑根据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理符合规律，才能保证结论的正确性． 【训练1】 设a ，b 为互不相等的正数，且a ＋b ＝1，证明：1a ＋1b＞4.证明 1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝2＋b a ＋ab≥2＋2＝4.又a 与b 不相等．故1a ＋1b＞4.考向二 分析法的应用【例2】►m ＞0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m .[审题视点] 先去分母，合并同类项，化成积式． 证明 ∵m ＞0，∴1＋m ＞0. 所以要证原不等式成立，只需证明(a ＋mb )2≤(1＋m )(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立， 故原不等式得证．逆向考虑是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． 【训练2】 a ，b ，m 都是正数，且a ＜b . 求证：a ＋mb ＋m ＞ab. 证明 要证明a ＋mb ＋m ＞ab，由于a ，b ，m 都是正数， 只需证a (b ＋m )＜b (a ＋m )， 只需证am ＜bm ，由于m ＞0，所以，只需证a ＜b .a ＜b ，所以原不等式成立．(说明：此题还可用作差比拟法、综合法、反证法)考向三 反证法的应用【例3】►函数f (x )＝a x＋x －2x ＋1(a ＞1)． (1)证明：函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． (2)用反证法证明f (x )＝0没有负根．[审题视点] 第(1)问用单调增函数的定义证明；第(2)问假设存在x 0＜0后，应推导出x 0的范围与x 0＜0矛盾即可．证明 (1)法一 任取x 1，x 2∈(－1，＋∞)，不妨设x 1＜x 2，那么x 2－x 1＞0，ax 2－x 1＞1，且ax 1＞0.所以ax 2－ax 1＝ax 1(ax 2－x 1x 1＋1＞0，x 2＋1＞0，所以x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＝x 2－2x 1＋1－x 1－2x 2＋1x 2＋1x 1＋1＝3x 2－x 1x 2＋1x 1＋1＞0，于是f (x 2)－f (x 1)＝ax 2－ax 1＋x 2－2x 2＋1－x 1－2x 1＋1＞0， 故函数f (x )在(－1，＋∞)上为增函数． 法二 f ′(x )＝a xln a ＋3x ＋12＞0，∴f (x )在(－1，＋∞)上为增函数．(2)假设存在x 0＜0(x 0≠－1)满足f (x 0)＝0，那么ax 0＝－x 0－2x 0＋1，又0＜ax 0＜1，所以0＜－x 0－2x 0＋1＜1，即12＜x 0＜2，与x 0＜0(x 0≠－1)假设矛盾．故f (x 0)＝0没有负根．当一个命题的结论是以“至多〞，“至少〞、“唯一〞或者以否认形式出现时，宜用反证法来证，反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：①与条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与事实矛盾等方面，反证法常常是解决某些“疑难〞问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器．【训练3】 a ，b 为非零向量，且a ，b 不平行，求证：向量a ＋b 与a －b 不平行． 证明 假设向量a ＋b 与a －b 平行， 即存在实数λ使a ＋b ＝λ(a －b )成立， 那么(1－λ)a ＋(1＋λ)b ＝0，∵a ，b 不平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－λ＝0，1＋λ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，λ＝－1，所以方程组无解，故假设不成立，故原命题成立．标准解答24——怎样用反证法证明问题【问题研究】 反证法是主要的间接证明方法，其根本特点是反设结论，导出矛盾，当问题从正面证明无法入手时，就可以考虑使用反证法进展证明.在高考中，对反证法的考察往往是在试题中某个重要的步骤进展.【解决方案】 首先反设，且反设必须恰当，然后再推理、得出矛盾，最后肯定.【例如】►(此题满分是12分)(2021·)设直线l 1：y ＝k 1x ＋1，l 2：y ＝k 2x －1，其中实数k 1，k 2满足k 1k 2＋2＝0.(1)证明l 1与l 2相交；(2)证明l 1与l 2的交点在椭圆2x 2＋y 2＝1上．第(1)问采用反证法，第(2)问解l 1与l 2的交点坐标，代入椭圆方程验证．[解答示范] 证明 (1)假设l 1与l 2不相交， 那么l 1与l 2平行或者重合，有k 1＝k 2，(2分) 代入k 1k 2＋2＝0，得k 21＋2＝0.(4分)这与k 1为实数的事实相矛盾，从而k 1≠k 2，即l 1与l 2相交．(6分)(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋1，y ＝k 2x －1，解得交点P 的坐标(x ，y )为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2－k 1，y ＝k 2＋k1k 2－k 1.(9分)从而2x 2＋y 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫2k 2－k 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋k 1k 2－k 12＝8＋k 22＋k 21＋2k 1k 2k 22＋k 21－2k 1k 2＝k 21＋k 22＋4k 21＋k 22＋4＝1，此即说明交点P (x ，y )在椭圆2x 2＋y 2＝1上．(12分)用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否认结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否认结论进展推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进展推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，但是推导出的矛盾必须是明显的． 【试一试】 数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列．[尝试解答] (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，那么a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2，两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p ＜q ＜r ，且p ，q ，r ∈N *)，那么2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p ＜q ＜r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证．。

高考专题训练十三 推理与证明班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟 分值：75分 总得分_______一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2020·江西)观察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，则72020的末两位数字为( )A ．01B ．43C ．07D ．49解析：∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,77＝823543…由此可知数列{7n＋1}的每项末两位数字每隔4项出现一项循环，又2020＝(4×502＋2)＋1， ∴72020的末两位数字为43.答案：B2．(2020·郑州市高中毕业班质量预测)已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <bc ＋a，则( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a解析：由已知得c (b ＋c )<a (a ＋b )，a (c ＋a )<b (b ＋c )，即(c －a )(a ＋b ＋c )<0，(a －b )(a ＋b ＋c )<0.又a ＋b ＋c >0，因此有c －a <0，a －b <0，故c <a <b ，选A.答案：A3．(2020·四川省绵阳市高三诊断性测试)记a ＝sin(cos2020°)，b ＝sin(sin2020°)，c ＝cos(sin2020°)，d ＝cos(cos2020°)，则a 、b 、c 、d 中最大的是( )A ．aB ．bC ．cD ．d解析：注意到2020°＝360°×5＋180°＋30°，因此sin2020°＝－sin30°＝－12，cos2020°＝－cos 30°＝－32，－π2<－32<0，－π2<－12<0,0<12<32<π2，cos 12>cos 32>0，a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－sin 32<0，b ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－sin 12<0，c ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝cos 12>d＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝cos 32>0，因此选C. 答案：C4．(2020·江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a ，b ，c 成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是( )A ．|b －a ＋1c －b|≥2 B ．a 3b ＋b 3c ＋c 3a ≥a 4＋b 4＋c 4C ．b 2>ac D ．|b |－|a |≤|c |－|b |解析：设等差数列a ，b ，c 的公差为d (d ≠0)，则|b －a ＋1c －b |＝|d ＋1d |＝|d |＋|1d|≥2 |d |×1|d |＝2，因此A 成立；b 2－ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22－ac ＝a －c 24>0，因此C 成立；由2b ＝a＋c 得|2b |＝|a ＋c |≤|c |＋|a |，即|b |－|a |≤|c |－|b |，因此D 成立；对于B ，当a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，a 3b ＋b 3c ＋c 3a ＝53，a 4＋b 4＋c 4＝98，此时B 不成立．综上所述，选B.答案：B5．(2020·西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是( )A ．(7,5)B ．(5,7)C ．(2,10)D ．(10,1)解析：依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n ＋1，且每组共有n 个整数对，这样的前n 组一共有n n ＋12个整数对，注意到1010＋12<60<1111＋12，因此第60个整数对处于第11组(每对整数对的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每对整数对的和为12的组中的各对数依次为(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个整数对是(5,7)，选B.答案：B6．(2020·江苏镇江模拟)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，假设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60度B ．假设三内角都大于60度C ．假设三内角至多有一个大于60度D ．假设三内角至多有两个大于60度解析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于60度”．故选B.答案：B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2020·南昌一模)观察下列等式： 12＝1 12－22＝－3， 12－22＋32＝6， 12－22＋32－42＝－10， …，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n ∈N *， 12－22＋32－42＋…＋(－1)n ＋1n 2＝________.解析：注意到第n 个等式的左边有n 项，右边的结果的绝对值恰好等于左边的各项的所有底数的和，即右边的结果的绝对值等于1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12＝n 2＋n2，注意到右边的结果的符号的规律是：当n 为奇数时，符号为正；当n 为偶数时，符号为负，因此所填的结果是(－1)n ＋1n 2＋n2.答案：(－1)n ＋1n 2＋n28．(2020·东北三省四市教研联合体等值模拟诊断)设S 、V 分别表示面积和体积，如△ABC 面积用S △ABC 表示，三棱锥O －ABC 的体积用V O －ABC 表示．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是三棱锥A －BCD 内一点，则有__________________________．解析：由类比思想可得结论．答案：V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝09．(2020·苏北四市调研(三))已知扇形的圆心角为2α(定值)，半径为R (定值)，分别按图1、图2作扇形的内接矩形，若按图1作出的矩形的面积的最大值为12R 2tan α，则按图2作出的矩形的面积的最大值为________．解析：将图1沿水平边翻折作出如图所示的图形，则内接矩形的最大面积S ＝2·12R 2·tan α＝R 2·tan α，所以图2中内接矩形的面积的最大值为R 2tan α2.答案：R 2tan α210．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若 6＋a t ＝6a t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则a ＋t ＝________.解析：根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为n ＋nn 2－1＝n nn 2－1，所以当n＝6时，a ＝6，t ＝35，所以a ＋t ＝41.答案：41三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．(12分)已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a n －2S n ＝1，数列{b n }满足b n ＝2log12a n ，n ∈N *.(1)求函数{a n }的通项公式a n 与{b n }的前n 项和T n ； (2)设数列{b n a n}的前n 项和为U n ，求证：0<U n ≤4.解：(1)易得a 1＝12.当n ≥2时，4a n －2S n ＝1， ① 4a n －1－2S n －1＝1， ② ①－②得2a n －4a n －1＝0⇒a n ＝2a n －1， ∴a na n －1＝2(n ≥2)， ∴数列{a n }是以a 1＝12为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2n －2，a 1＝12也适合此式，故a n ＝2n －2.从而b n ＝4－2n ，其前n 项和T n ＝－n 2＋3n .(2)证明：∵{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，b n a n ＝4－2n2n －2.∴U n ＝212＋01＋－22＋…＋6－2n 2n －3＋4－2n2n －2， ③12U n ＝21＋02＋－222＋…＋6－2n 2n －2＋4－2n2n －1， ④ ③－④得12U n ＝4－21－22－222－…－22n －2－4－2n 2n －1，∴U n ＝4n2n －1.易知U 1＝U 2＝4，当n ≥3时，U n －U n －1＝2－n2n －3<0，∴当n ≥3时，数列{U n }是递减数列， ∴0<U n ≤U 3＝3. 综上，0<U n ≤4.12．(13分)在数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝3，且数列{a n ＋1＋a n }是公比为2的等比数列，数列{a n ＋1－2a n }是公比为－1的等比数列，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：当k 为正奇数时，1a k ＋1a k ＋1<32k ＋1；(3)求证：当n ∈N *时，1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n<1.解：(1)依题意有a n ＋1－2a n ＝(a 2－2a 1)(－1)n －1＝3(－1)n ，a n ＋1＋a n ＝(a 2＋a 1)·2n －1＝3·2n ，两式相减有a n ＝2n＋(－1)n ＋1，n ∈N *.(2)证明：当k 为正奇数时，1a k ＋1a k ＋1＝12k ＋1＋12k ＋1－1＝3·2k22k ＋1＋2k －1<32k ＋1.(3)证明：1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2n －1＋1a 2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1a 4＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2n －1＋1a 2n <322＋324＋…＋322n ＝1－14n <1，n ∈N *.。

【2019最新】精选高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13-1归纳与类比试题理北师大1．归纳推理根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性．我们将这种推理方式称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理．归纳推理的基本模式：a，b，c∈M且a，b，c具有某属性，结论：任意d∈M，d也具有某属性．2．类比推理由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理．简言之，类比推理是两类事物特征之间的推理．类比推理的基本模式：A：具有属性a，b，c，d；B：具有属性a′，b′，c′；结论：B具有属性d′.(a，b，c，d与a′，b′，c′，d′相似或相同)3．归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理的结果不一定正确．4．演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ×)(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( √)(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ×)(4)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √)(5)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N＋)．( ×)(6)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．( ×)1．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于( )A．28 B．76 C．123 D．199答案C解析从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，依据此规律，a10＋b10＝123.2．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A．在数列{an}中，a1＝1，an＝(an－1＋)(n≥2)，由此归纳数列{an}的通项公式B．由平面三角形的性质，推测空间四面体性质C．两直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线与第三条直线形成的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°D．某校高二共10个班，1班51人，2班53人，3班52人，由此推测各班都超过50人答案C解析A、D是归纳推理，B是类比推理，C符合三段论模式，故选C.3．(2017·济南质检)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可得出空间内的下列结论：①垂直于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③垂直于同一个平面的两个平面互相平行；④垂直于同一条直线的两个平面互相平行．则正确的结论是________．答案 ①④解析 显然①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异面或相交；对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交． 4．(教材改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an ＝a1＋a2＋…＋a19－n (n<19，n∈N＋)成立，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b9＝1，则存在的等式为________________．答案 b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋) 解析 利用类比推理，借助等比数列的性质，b ＝b1＋n·b17－n ，可知存在的等式为b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N＋)．5．(2016·西安质检)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N＋，1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝______. 答案 n2解析 ∵1＝12,1＋2＋1＝22， 1＋2＋3＋2＋1＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n ＋…＋2＋1＝n2. 题型一 归纳推理命题点1 与数字有关的等式的推理 例1 (2016·山东)观察下列等式：⎝⎛⎭⎪⎫sin π3－2＋－2＝×1×2； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π5－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3； ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π7－2＋－2＋－2＋… ＋－2＝×3×4；⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π9－2＋－2＋－2＋… ＋－2＝×4×5；…照此规律，－2＋－2＋－2＋…＋－2＝__________.答案×n×(n＋1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.命题点2 与不等式有关的推理例2 (2016·山西四校联考)已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，类比得x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.答案nn解析第一个式子是n＝1的情况，此时a＝11＝1；第二个式子是n＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n＝3的情况，此时a＝33＝27，归纳可知a＝nn.命题点3 与数列有关的推理例3 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝n2＋n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝n2－n，六边形数N(n,6)＝2n2－n.… …可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.答案 1 000解析由N(n,4)＝n2，N(n,6)＝2n2－n，可以推测：当k为偶数时，N(n，k)＝n2＋n，∴N(10,24)＝×100＋×10＝1 100－100＝1 000.命题点4 与图形变化有关的推理例4 (2017·大连月考)某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34 C．52 D．55答案D解析由2＝1＋1,3＝1＋2,5＝2＋3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6年为8，第7年为13，第8年为21，第9年为34，第10年为55，故选D.思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略(1)与数字有关的等式的推理．观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解．(2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．(3)与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊现象，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可．(4)与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．(1)(2015·陕西)观察下列等式：1－＝，1－＋－＝＋，1－＋－＋－＝＋＋，…据此规律，第n个等式可为_______________________________________________________．(2)(2016·抚顺模拟)观察下图，可推断出“x”处应该填的数字是________．答案(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋12n(2)183解析(1)等式左边的特征：第1个等式有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－＋－＋…＋－；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个有n项，且由前几个的规律不难发现第n个等式右边应为＋＋…＋.(2)由前两个图形发现：中间数等于四周四个数的平方和，∴“x”处应填的数字是32＋52＋72＋102＝183.题型二类比推理例5 (1)(2017·西安质检)对于命题：如果O是线段AB上一点，则||＋||＝0；将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．(2)求的值时，采用了如下方法：令＝x，则有x＝，解得x＝(负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋的值为________．答案(1)VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0(2)1＋32解析(1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.(2)令1＋＝x，则有1＋＝x，解得x＝(负值已舍去)．思维升华(1)进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行类比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．(2)类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维的与高维的类比；等差数列与等比数列类比；数的运算与向量的运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设ha，hb，hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：＋＋＝1.把它类比到空间，则三棱锥中的类似结论为______________________．答案＋＋＋＝1解析设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A－BCD四个面上的高，P为三棱锥A－BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd，于是可以得出结论：＋＋＋＝1.题型三演绎推理例6 设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N＋，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.(1)证明当n＝1时，4a1＝a－5，a＝4a1＋5，又an>0，∴a2＝.(2)解当n≥2时，4Sn－1＝a－4(n－1)－1，∴4an＝4Sn－4Sn－1＝a－a－4，即a＝a＋4an＋4＝(an＋2)2，又an>0，∴an＋1＝an＋2，∴当n≥2时，{an}是公差为2的等差数列．又a2，a5，a14成等比数列，∴a＝a2·a14，即(a2＋6)2＝a2·(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)知a1＝1，又a2－a1＝3－1＝2，∴数列{an}是首项a1＝1，公差d＝2的等差数列．∴an＝2n－1.(3)证明＋＋…＋1anan＋1＝＋＋＋…＋1－＋＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)<.思维升华演绎推理是由一般到特殊的推理，常用的一般模式为三段论，演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提，一般地，若大前提不明确时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．(1)某国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，是因为( )A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．非以上错误(2)(2016·洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数答案(1)C (2)B解析(1)因为大前提“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能类比，所以不符合三段论推理形式，所以推理形式错误．(2)A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以C、D都不正确，只有B正确，故选B.10．高考中的合情推理问题考点分析合情推理在近年来的高考中，考查频率逐渐增大，题型多为选择、填空题，难度为中档．解决此类问题的注意事项与常用方法：(1)解决归纳推理问题，常因条件不足，了解不全面而致误．应由条件多列举一些特殊情况再进行归纳．(2)解决类比问题，应先弄清所给问题的实质及已知结论成立的缘由，再去类比另一类问题．典例 (1)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测： ①b2 014是数列{an}的第________项； ②b2k－1＝________.(用k 表示)(2)设S ，T 是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数y ＝f(x)满足：(1)T ＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1<x2时，恒有f(x1)<f(x2)．那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是________． ①A＝N ＋，B ＝N ；②A＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0<x≤10}； ③A＝{x|0<x<1}，B ＝R ； ④A＝Z ，B ＝Q.解析 (1)①an＝1＋2＋…＋n ＝，b1＝＝a4， b2＝＝a5， b3＝＝a9， b4＝＝a10， b5＝＝a14， b6＝＝a15，…b2 014＝＝a5 035.②由①知b2k －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×5－1⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －1＋12×52＝.(2)对于①，取f(x)＝x －1，x∈N＋，所以A ＝N ＋，B ＝N 是“保序同构”的，故排除①； 对于②，取f(x)＝所以A ＝{x|－1≤x≤3}，B ＝{x|x ＝－8或0<x≤10}是“保序同构”的，故排除②； 对于③，取f(x)＝tan(πx －)(0<x<1)，所以A ＝{x|0<x<1}，B ＝R 是“保序同构”的，故排除③.④不符合，故填④.答案 (1)①5 035 ② (2)④1．(2016·重庆检测)演绎推理“因为对数函数y ＝logax(a>0且a≠1)是增函数，而函数y ＝是对数函数，所以y ＝是增函数”所得结论错误的原因是( )12log x 12log xA ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．大前提和小前提都错误答案 A解析 因为当a>1时，y ＝logax 在定义域内单调递增，当0<a<1时，y ＝logax 在定义域内单调递减，所以大前提错误． 2．下列推理是归纳推理的是( )A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P 点的轨迹为椭圆B ．由a1＝1，an ＝3n －1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n 项和Sn 的表达式C ．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 答案 B解析 从S1，S2，S3猜想出数列的前n 项和Sn ，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理，故应选B. 3．(2016·西安八校联考)观察一列算式：1⊗1,1⊗2,2⊗1,1⊗3,2⊗2,3⊗1,1⊗4,2⊗3,3⊗2,4⊗1，…，则式子3⊗5是第( ) A ．22项B ．23项C．24项D．25项答案C解析两数和为2的有1个，和为3的有2个，和为4的有3个，和为5的有4个，和为6的有5个，和为7的有6个，前面共有21个，3⊗5是和为8的第3项，所以为第24项．4．(2016·泉州模拟)正偶数列有一个有趣的现象：①2＋4＝6；②8＋10＋12＝14＋16；③18＋20＋22＋24＝26＋28＋30，…按照这样的规律，则2 016所在等式的序号为( ) A．29 B．30C．31 D．32答案C解析由题意知，每个等式正偶数的个数组成等差数列3,5,7，…，2n＋1，…，其前n 项和Sn＝＝n(n＋2)且S31＝1 023，即第31个等式中最后一个偶数是1 023×2＝2 046，且第31个等式中含有63个偶数，故2 016在第31个等式中．5．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}(bn＝)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )A．dn＝B．dn＝c1·c2·…·cnnC．dn＝D．dn＝n c1·c2·…·cn答案D解析若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝，(1)21·n nnc q-∴dn＝＝，即{dn}为等比数列，故选D.12 1·n c q-6．把正整数按一定的规则排成如图所示的三角形数表，设aij(i，j∈N＋)是位于这个三角形数表中从上往下第i行，从左往右数第j个数，如a42＝8，若aij＝2 009，则i与j的和为________．答案107解析由题可知奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1 005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数为961，前32个奇数行内数的个数为1 024，故2 009在第32个奇数行内，则i＝63，因为第63行第1个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1 923＋2(j－1)，所以j＝44，所以i＋j＝107.7．若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1(a>b>0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是＋＝1，那么对于双曲线则有如下命题：若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a>0，b>0)外，过P0作双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程是________________．答案－＝1解析设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则P1，P2的切线方程分别是x1x－＝1，－＝1.a2因为P0(x0，y0)在这两条切线上，故有－＝1，－＝1，这说明P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线－＝1上，故切点弦P1P2所在的直线方程是－＝1.8.如图，我们知道，圆环也可以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积S＝π(R2－r2)＝(R－r)×2π×.所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r 为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×为长的矩形面积．请你将上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝{(x，y)|(x－d)2＋y2≤r2}(其中0<r<d)绕y轴旋转一周，则所形成的旋转体的体积是________．答案2π2r2d解析平面区域M的面积为πr2，由类比知识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得到的旋转体为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面积为πr2)为底，以O为圆心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以旋转体的体积V＝πr2×2πd＝2π2r2d.9．设f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．解f(0)＋f(1)＝＋131＋3＝＋13＋3＝＋＝，同理可得f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.证明：f(x)＋f(1－x)＝＋131－x＋3＝＋3x3＋3·3x＝＋3x33＋＝＝.10．(2016·泉州模拟)先阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题：已知a1，a2∈R，a1＋a2＝1，求证：a＋a≥.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2，即f(x)＝2x2－2(a1＋a2)x＋a＋a2＝2x2－2x＋a＋a.因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－8(a＋a)≤0，从而得a＋a≥.(1)若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，请写出上述结论的推广式；(2)参考上述证法，对你推广的结论加以证明．(1)解若a1，a2，…，an∈R，a1＋a2＋…＋an＝1，则a＋a＋…＋a≥.(2)证明构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2.即f(x)＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋a＋a＋…＋a2n＝nx2－2x＋a＋a＋…＋a，因为对一切x∈R，恒有f(x)≥0，所以Δ＝4－4n(a＋a＋…＋a)≤0，从而得a＋a＋…＋a≥.11.对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f(x)＝x3－x2＋3x－，请你根据这一发现，(1)求函数f(x)的对称中心；(2)计算f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()．解(1)f′(x)＝x2－x＋3，f″(x)＝2x－1，由f″(x)＝0，即2x－1＝0，解得x＝.f()＝×()3－×()2＋3×－＝1.由题中给出的结论，可知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)．(2)由(1)知函数f(x)＝x3－x2＋3x－的对称中心为(，1)，所以f(＋x)＋f(－x)＝2，即f(x)＋f(1－x)＝2.故f()＋f()＝2，f()＋f()＝2，f()＋f()＝2，…，f()＋f()＝2.所以f()＋f()＋f()＋f()＋…＋f()＝×2×2 016＝2 016.。