江苏省南通市如东县2019-2020学年高一上学期期末数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、单选题1. 设集合，，则等于（）A．B．C．D．2. 等于（）A．B．C．D．3. 已知点，，则与共线的单位向量为（）A．B．D．C．或4. 已知函数，则等于（）C．3 D．9A．B．5. 在中，D为边BC上的一点，且，则( ) A．B．C．D．6. 已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则的值为（）A．B．C．D．7. 已知角的终边过点，则等于（）A．B．C．3 D．8. 求值：（）A．B．C．0 D．9. 函数是定义域为，周期为2的函数，且当时，；已知函数，则函数在区间内的零点个数为（）A．11 B．13 C．15 D．1710. 平行四边形ABCD中，已知，，，点E，F分别满足，，若，则等于（）A．B．C．1 D．2二、多选题11. 在中，，，若是直角三角形，则k的值可以是（）A．B．C．D．12. 已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数在区间上单调递增D．与图象的所有交点的横坐标之和为三、填空题13. 函数的定义域是________．14. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数，则的解集是________．15. 若函数的部分图象如图所示，则的值为_______________．16. 矩形ABCD中，，，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则的取值范围是________．四、解答题17. 已知，．（1）求；（2）当k为何值时，与垂直？18. 已知函数．（1）求的值；（2）若，，求的值．19. 已知函数．（1）若函数在上是单调函数，求实数m的取值范围；（2）若函数在上有最大值为3，求实数m的值．20. 如图，半径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中，设．（1）将十字形的面积S表示为的函数；（2）求十字形的面积S的最大值．21. 设函数为奇函数．（1）求实数a的值；（2）当时，求的值域．22. 如果函数在定义域的某个区间上的值域恰为，则称函数为上的等域函数，称为函数的一个等域区间．（1）若函数，，则函数存在等域区间吗？若存在，试写出其一个等域区间，若不存在，说明理由（2）已知函数，其中且，，．（ⅰ）当时，若函数是上的等域函数，求的解析式；（ⅱ）证明：当，时，函数不存在等域区间．。
2020-2021学年度高一第一学期期末质量调研模拟数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分）1. 设全集U =R ，集合{|0}M x x =≥，集合2{|1}N x x =<，则M ∩（U C N ）=（ ）A. 0,1B. 0,1C. [)1,+∞ D. 1,【答案】C2. “2a =”是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 3. 已知1212a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1234b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，4log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. c a b <<B. c b a <<C. a b c <<D. b a c <<【答案】B4. 已知函数()()log 23a f x x =++的图象恒过定点(),m n ，且函数()22g x mx bx n =-+在[1,)+∞上单调递减，则实数b 的取值范围是（ ） A. [1,)+∞ B. [1,)-+∞ C. (,1)-∞- D. (,1)-∞【答案】B5. 已知函数()xh x e =与函数()g x 的图像关于y x =对称，且()11x f x g x -⎛⎫=⎪+⎝⎭，有如下五个命题，正确的个数为（ ）①函数()f x 的定义域为()1,1-；②函数()f x 是偶函数③若()()()g a b g b a =<，则4a b+的取值范围是[)4,+∞④对于任意的(),1,1a b ∈-，都有()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+=⎪+⎝⎭⑤对于函数()f x 定义域中任意的两个不同实数1x ，2x ，总满足()()12120f x f x x x ->-．A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】C6. 对于函数()f x ，()g x ，设{|()0}x f x α∈=，{|()0}x g x β∈=，若存在,αβ，使得||2αβ-，则称(),()f x g x 互为“零点相邻函数”.若2()3x f x e x -=+-与2()2g x x ax a =---互为“零点相邻函数”，则实数a 的取值范围是（ ） A. 142,5⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 142,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 14(,2),5⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭ D. 14(,2],5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B7. Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I K t --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（ ）（ln19≈3） A. 60 B. 63C. 66D. 69【答案】C8. 在ABC 中，2AB =，3AC =，4BC =，若点M 为边BC 所在直线上的一个动点，则432MA MB MC ++的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】D二、多项选择题（本大题共4小题，每题5分，全部选对得5分，只要有一个选错得0分，漏选得3分，满分20分）9. 已知集合{|13}A x x =-<<，集合{|1}B x x m =<+，则A B =∅的一个充分不必要条件是（ ）A. 2m ≤-B. 2m <-C. 2m <D. 43m -<<-【答案】BD10. 下列结论中正确的是（ ）A. 终边经过点()(),0a a a ≠的角的集合是,4k k Z πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； B. 将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是3π； C. 若α是第三象限角，则2α是第二象限角，2α为第一或第二象限角； D. {}4590,M x x k k Z ==︒+⋅︒∈，{}9045,N y y k k Z ==︒+⋅︒∈，则M N ⊆． 【答案】ABD11. 如图，B 是AC 的中点，2BE OB =，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且(),OP xOA yOB x y R =+∈，则下列结论正确的为（ ）A. 当0x =时，[]2,3y ∈B. 当P 是线段CE中点时，12x =-，52y =C. 若x y +为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段D. x y -的最大值为1- 【答案】BCD12. 设函数()ln f x x x =，()212g x x =，给定下列命题，其中正确的是（ ） A. 若方程()f x k =有两个不同的实数根，则1,0k e⎛⎫∈- ⎪⎝⎭； B. 若方程()2kf x x =恰好只有一个实数根，则0k <；C. 若120x x >>，总有()()()()1212m g x g x f x f x ->-⎡⎤⎣⎦恒成立，则m 1≥；D. 若函数()()()2F x f x ag x =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 【答案】ACD三、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13. 已知121120510sin sin πθπθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2tan 5πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____. 【答案】214. 若1x >，则191x x +-的最小值等于_____. 【答案】1515. 若函数221()lg 1x x f x x mx ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩在区间[0,)+∞上单调递增，则实数m 的取值范围为________【答案】910m ≤16. 如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O .已知AC BC =，AC BC ⊥，AD BD ⊥，且O 是AC的中点，若2AD AB CD CB ⋅-⋅=，则AC BD ⋅的值为__________.【答案】3-四、解答题（本大题共6小题，满分70分）17. 若集合501x A x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，集合{}2210B x x x =--<，集合{}11C x m x m =-≤≤+．（1）求集合()RAB ；（2）若A C A ⋃=，求实数m 的取值范围．【答案】（1）[)11,1,52R A B ⎛⎤⋂=--⋃ ⎥⎝⎦；（2）()0,4m ∈． 18. 已知扇形的面积为6π，弧长为6π，设其圆心角为α （1）求α的弧度；（2）求()cos sin 2119cos sin 22παπαππαα⎛⎫+-- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.【答案】（1）12πα=（2）219. 在①2{|2},B x x x =+>②{|B x y =这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中. 问题.已知全集U =R ，A ={x |2x -1<0}，且_________，求().U A B ⋂ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】若选择①，()U A B ={|1}x x >；若选择②，(){|}2U A B x x =≥20. 在直角坐标系中，O 为坐标原点，(3,1)OA =，(2,1)OB =-，(,)OC a b =. （1）若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系； （2）若3AC AB =-，求点C 的坐标. 【答案】（1）25b a =-；（2）(6,7)21. 中国“一带一路”战略构思提出后,某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇,决定开发生产一款大型电子设备,生产这种设备的年固定成本为500万元,每生产x 台,需另投入成本()C x (万元),当年产量不足80台时,()21402C x x x =+ (万元); 当年产量不小于80台时()81001012180C x x x=+- (万元),若每台设备售价为100万元,通过市场分析,该企业生产的电子设备能全部售完. （1）求年利润y (万元)关于年产量x （台）的函数关系式；（2）年产量为多少台时,该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？【答案】（1）2160500,0802{81001680,80x x x y x x x -+-<<=⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭（2）9022. 已知函数()4141x x a f x ⋅-=+是定义在R 上的奇函数. （1）求a 的值；（2）判断并证明函数()f x 的单调性，并利用结论解不等式：()()22320f x x f x -+-<；（3）是否存在实数k ，使得函数()f x 在区间[],m n 上的取值范围是,44mn k k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）1a =；（2）()f x 是R 上的增函数，证明见解析；21x -<<；（3）存在；实数k 的取值范围是().。
2020-2021学年江苏省南通市如皋城西中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设全集U是实数集R，M={x|x2＞4}，N={x|x≥3或x＜1}都是U的子集，则图中阴影部分所表示的集合是（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2≤x≤2}C．{x|1＜x≤2}D．{x|x＜2}参考答案：A【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】用集合M，N表示出阴影部分的集合；通过解二次不等式求出集合M；利用交集、补集的定义求出中阴影部分所表示的集合．【解答】解：图中阴影部分表示N∩（C U M），∵M={|x2＞4}={x|x＞2或x＜﹣2}，∴C U M={x|﹣2≤x≤2}，∴N∩（C U M）={﹣2≤x＜1}．故选A2. 方程x2+y2-2x+4y-4=0表示的圆的圆心、半径分别是A. （-1，2），3B. （1，-2），3C. （1，-2），9D. （-1，2），9参考答案：B略3. 若△ABC的三个内角满足，则△ABC ( )A．一定是锐角三角形. B．一定是直角三角形.C．一定是钝角三角形. D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.参考答案：C4. 已知有如图程序，如果程序执行后输出的结果是11880，那么在程序Loop后面的“条件”应为 ( )A．i > 9 B. i >= 9 C. i <= 8 D. i < 8参考答案：B5. 命题“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是（）A. ?x∈R，x3﹣x2+1≥0B. ?x∈R，x3﹣x2+1＞0C. ?x∈R，x3﹣x2+1≤0D. ?x∈R，x3﹣x2+1＞0参考答案：B【分析】直接利用全称命题的否定解答即可.【详解】命题“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x∈R，x3﹣x2+1＞0.故选：B【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6. 三条线段的长分别为5，6，8，则用这三条线段A. 能组成直角三角形B. 能组成锐角三角形C. 能组成钝角三角形D. 不能组成三角形参考答案：C【分析】先求最大角的余弦，再得到三角形是钝角三角形.【详解】设最大角为，所以，所以三角形是钝角三角形.故选：C【点睛】本题主要考查余弦定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7. 下列函数中周期为π且为偶函数的是A. B.C. D.参考答案：A【分析】对于每一个选项化简再判断得解.【详解】对于选项A,周期为且是偶函数，所以选项A正确；对于选项B,，周期为π且是奇函数，所以选项B错误；对于选项C,y=cosx,周期为2π，所以选项C错误；对于选项D,y=-sinx,周期为2π，所以选项D错误.故答案为A【点睛】(1)本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 使用周期公式，必须先将解析式化为或的形式；正弦余弦函数的最小正周期是.8. 若0＜a＜1，则不等式>0的解集是A．(a，) B．(，a)C．(－∞，)∪(，+∞) D．(－∞，)∪(a，+ ∞)参考答案：C9. 如果二次函数y=x2+2x+(m-2)有两个不同的零点，则m的取值范围是（）A. B. C. D.参考答案：D10. 已知正实数m，n满足，则mn的最大值为（）A．B．2 C. D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知向量夹角为，且；则参考答案：12. 设等差数列的前n项和为，若，则＝__________。
江苏省如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集U={1,2，3，4}，集合A={1,4}，B={2,4}，则A∩(∁U B)=()A. {2}B. {4}C. {1}D. {1,2，4}【答案】C【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，B={2,4}，∴∁U B={1,3}，∵A={1,4}，∴A∩(∁U B)={1,4}∩{1,3}={1}．故选：C．先求出∁U B，再求出A∩(∁U B)本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题．2.若幂函数f(x)的图象经过点(3,√3)，则f(4)=()A. 16B. −2C. ±2D. 2【答案】D【解析】解：设幂函数y=f(x)=x a，x∈R，函数图象过点(3,√3)，，则3a=√3，a=12∴幂函数f(x)=x12，∴f(4)=412=2．故选：D．根据幂函数的定义利用待定系数法求出f(x)的解析式，再计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.函数f(x)=lg(x+1)+√3−x的定义域为()A. (−∞,3]B. (−1,3]C. [0,3]D. (−1,3)【答案】B【解析】解：由题意得：x+1>0，解得：−1<x≤3，{3−x≥0故函数的定义域是(−1,3]，第1页，共13页故选：B．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．4.已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为()cm2．A. πB. 4πC. 2πD. √2π【答案】C【解析】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．5.已知向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(3,−1)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. π3【答案】A【解析】解：根据题意得，a⃗⋅b⃗ =12−2=10∴cos<a⃗，b⃗ >=√16+4×√9+1=√22∴向量a⃗与b⃗ 的夹角为π4．故选：A．运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是()第3页，共13页A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．7. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25【答案】D【解析】解：∵sin 2θ+cos 2θ=1，∴2sin 2θ−3sinθcosθ =2sin 2θ−3sinθcosθsin 2θ+cos 2θ =2tan 2θ−3tanθ1+tan 2θ =2×22−3×21+22=25， 故选：D ．题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．8. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2，则|2a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2√7B. 2C. 2√3D. 2√5【答案】C【解析】解：∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2；∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4+2a ⃗ ⋅b ⃗ +4=4；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2；∴(2a ⃗ +b ⃗ )2=4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12；∴|2a ⃗ +b ⃗ |=2√3． 故选：C ．根据条件，对|a ⃗ +b ⃗ |=2两边平方即可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，从而可求出(2a ⃗ +b ⃗ )2的值，进而得出|2a ⃗ +b ⃗ |的值． 考查向量数量积的运算，求向量长度的方法．9. 已知函数f(x)={sin π2x,−4≤x ≤02x +1,x >0，则y =f[f(x)]−3的零点为( )A. 0和3B. 2C. −3D. −1 【答案】C【解析】解：设t =f(x)， 解方程f(t)−3=0得： {−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，解得：t =1，即f(x)=1， 即{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，解得：x =−3， 故选：C ．由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设t =f(x)，解方程f(t)−3=0得：{−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，得：t =1，再分段解方程{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，得解．本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题．10.在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是35，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则点B的横坐标为()A. 4−3√310B. 3+4√310C. 3√3−410D. 3√3+410【答案】B【解析】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为θ，横坐标是cosθ=35，故点A的纵坐标为sinθ=45，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则OB射线对应的终边对应的角为θ−π3，则点B的横坐标为cos(θ−π3)=cosθcosπ3+sinθsinπ3=12cosθ+√32sinθ=3+4√310，故选：B．设射线OA对应的角为θ，利用任意角的三角函数的定义求得cosθ、sinθ，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为cos(θ−π3)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．11.已知函数f(x)=e x−e−x，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0的解集为()A. (0,1]B. [−12,1] C. [−1,−√22] D. [−1,12]【答案】D【解析】解：∵f(x)=e x−e−x，∴f(−x)=e−x−e x=−(e x−e−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵y=e x是增函数，y=e−x，是减函数，则f(x)=e x−e−x，是增函数，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0得不等式f(2x2−1)≤−f(x)=f(−x)，则2x2−1≤−x，即2x2+x−1≤0，得(x+1)(2x−1)≤0，得−1≤x≤12，即不等式的解集为[−1,12]，故选：D．根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．第5页，共13页12. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0，若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−12)B. (32,+∞) C. (−∞,−12)∪(32,+∞)D. (−12,32)【答案】A【解析】解：已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0， 若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0， 由题意有：此方程有两不等正实数根， 即{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0， 解得：a <−12， 故选：A ．由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0，得解，本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：(827) −23−lg √2−lg √5=______．【答案】74【解析】解：(827) −23−lg √2−lg √5=94−12(lg2+lg5)=94−12=74．故答案为：74．直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可． 本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．14. 已知sin(α+π6)=13，则sin(2α−π6)=______．【答案】−79【解析】解：sin(2α−π6)=sin[2(a+π6)−π2]=−cos2(a+π6)=−[1−2sin2(a+π6)]=−(1−2×19)=−79，故答案为：−79根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．15.三角形ABC中，已知AC=4，AB=2，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．【答案】−87【解析】解：∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AP⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ；AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AQ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴12AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ )∴12×4=2×4+3×16+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−87故答案为：−87由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后两式相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．16.已知函数f(x)=x+ax，其中a∈R，若关于x的方程f(|2x−1|)=2a+13有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．第7页，共13页【答案】[23,+∞)【解析】解：设t =g(x)=|2x −1|， 其图象如图所示，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由图可知：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)， ①当t 2=1时，解得：a =23，由a =23，解得t 1=23∈(0,1)，满足题意， ②当t 2>1时，由二次方程区间根问题可得： {ℎ(1)<0ℎ(0)>0，解得：a >23， 综合①②得：实数a 的取值范围是a ≥23， 故答案为：[23,+∞)．由方程的根与函数的零点问题设t =g(x)=|2x −1|，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，运算可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|−1<x −m <5}，B ={x|12<2x <4}．(1)当m =1时，求A ∩(∁U B)；(2)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．【答案】解：A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}； (1)m =1时，A ={x|0<x <6}，且∁U B ={x|x ≤−1，或x ≥2}；第9页，共13页∴A ∩(∁U B)={x|2≤x <6}； (2)∵A ∩B =⌀；∴m −1≥2，或m +5≤−1； ∴m ≥3，或m ≤−6；∴实数m 的取值范围为{m|m ≤−6，或m ≥3}．【解析】(1)可求出A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}，m =1时，求出集合A ，然后进行补集、交集的运算即可；(2)根据A ∩B =⌀即可得出m −1≥2，或m +5≤−1，解出m 的范围即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义．18. 已知cosα=45，cos(α+β)=513，α，β均为锐角．(1)求sin2α的值； (2)求sinβ的值．【答案】解：(1)∵cosα=45，α为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=√1−(45)2=35，∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．(2)∵α，β均为锐角，cos(α+β)=513，∴α+β∈(0,π)， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−(513)2=1213， ∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1213×45−513×35=3365．【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+β)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．19. 已知向量a ⃗ =(√3cosx +sinx,4sinx)，b ⃗ =(√3cosx +sinx,−√3cosx)，设f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1)将f(x)的图象向右平移π3个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g{x)的图象，求g(x)的单调增区间；(2)若x ∈[0,π3]时，mf(x)+m ≥f(x)+2恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意得f(x)=(√3cosx +sinx)2−4√3sinxcosx=3cos 2x +sin 2x −2√3sinxcosx =1+2cos 2x −√3sin2x =1+1+cos2x −√3sin2x=2+2cos(2x +π3)，∴g(x)=2+2cos(x −π3)，由2kπ−π≤x −π3≤2kπ，k ∈Z ， 得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，k ∈Z ，即g(x)的增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k ∈Z ．(2)当x ∈[0,π3]时， 可得f(x)+1∈[1,4]，∴mf(x)+m ≥f(x)+2⇔m ≥f(x)+2f(x)+1=1+1f(x)+1， 易得1+1f(x)+1的最大值为2，∴使原不等式恒成立的m 的范围为[2,+∞)， 故实数m 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(1)首先利用数量积把f(x)化为三角函数，再利用坐标变换得到g(x)，结合余弦函数单调性可得增区间；(2)利用所给范围确定f(x)+1为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可．此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中．20. 在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，D 是线段BC 上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为线段AB 上一点．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b⃗ ，求x −y ； (2)求CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【答案】解：(1)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ +23a ⃗ ，第11页，共13页∴x =23，y =13，∴x −y =13 (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)因为在三角形ABC 中，4B =2，AC =1，∠ACB =π2，∴∠CAB =30∘，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−4λ2+λ⋅1×2×√32=−4λ2+√3λ=−4(λ−√38)2+316∈[−4+√3,316] (3)∵A ，M ，D 三点共线，∴可设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)⋅23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵F 为AB 的中点，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又C ，M ，F 三点共线，∴存在t ∈R 使得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12t CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x =12t23(1−x)=12t ，解得{x =25t =45，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=45×1×2×(−√32)+25×4=85−4√35【解析】(1)将AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，与已知比较得x =23，y =13，可得x −y =13； (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，将CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，再相乘可得； (3)先根据向量共线和三点共线得到CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相乘可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD 内修建儿童乐园，已知AB =2百米，BC =4百米，点E ，N 分别在AD ，BC 上，梯形DENC 为水上乐园；将梯形EABN 分成三个活动区域，M 在AB 上，且点B ，E 关于MN 对称，现需要修建两道栅栏ME ，MN 将三个活动区域隔开.设∠BNM =θ，两道栅栏的总长度L(θ)=ME +MN ．(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数的定义域； (2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．【答案】解：(1)∵点B ，E 关于MN 对称，∴Rt △BMN≌RtEMN ，∴BM =EM ，∠BMN =∠EMN =π2−θ， ∴∠AME =π−2(π2−θ)=2θ，设AM =x ，则BM =EM =2−x ，∴cos2θ=AMEM =x2−x ， ∴x =2cos2θcos2θ+1=2cos 2θ−1cos 2θ=2−1cos 2θ，由sinθ=BM MN =2−xMN可得MN =2−xsinθ=1sinθcos 2θ， ∴ME +MN =1cos 2θ+1sinθcos 2θ=sinθ+1sinθcos 2θ=1sinθ(1−sinθ)．由∠AME =2θ<π2可知0<θ<π4．∴L(θ)=1sinθ(1−sinθ)(0<θ<π4).(2)∵0<θ<π4，∴0<sinθ<√22，∴sinθ(1−sinθ)≤(sinθ+1−sinθ2)2=14，当且仅当sinθ=1−sinθ即sinθ=12时取等号．∴当θ=π6时，L(θ)取得最小值4．【解析】(1)设AM =x ，得出x 与θ的关系，求出EM ，MN ，即可求用θ表示的l 函数表达式；(2)根据基本不等式和θ的范围得出L(θ)的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．22. 若函数f(x)=x|x −m|+m 2，m ∈R ．(1)若函数f(x)为奇函数，求m 的值；(2)若函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，求实数m 的取值范围； (3)若函数f(x)在x ∈[1,2]上的最小值为7，求实数m 的值． 【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数， ∴f(0)=m 2=0，解得m =0； (2)∵f(x)={−x 2+mx +m 2,x <m x 2−mx+m 2,x≥m， ∵函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，当m ≤0时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2， 由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当0<m ≤1时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2，由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增；当m≥2时，f(x)=−x2+mx+m2的对称轴为x=m2，若2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减；若m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，综上可得，m的范围是(−∞,1]∪[4,+∞)；(3)由(2)可得m≤1时，f(x)在[1,2]递增，可得f(1)=1−m+m2=7，解得m=−2(3舍去)，当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增，可得f(m)=m2=7，解得m=√7，不符合条件，舍去；当2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减，若f(1)=m−1+m2，f(2)=2(m−2)+m2，f(1)−f(2)=3−m，当2≤m≤3，令f(2)=7，解得m=2√3−1，成立；若3<m<4，可令f(1)=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去；当m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，令f(1)=7，即m−1+m2=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去．综上可得m的值为−2或2√3−1．【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得m；(2)讨论m<0，m=0，0<m<1，m=1，1<m<2，2≤m<4，m≥4时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；(3)由(2)的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题．第13页，共13页。
