数学：5.3日历中的方程导学案(北师大版七年级上)

第五章一元一次方程3 一元一次方程的应用第1课时一、教学目标1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题.2.通过具体问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系.3.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.4.通过对实际问题的探讨，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望.二、教学重难点重点：抓住变化中的不变量，设出未知数，根据等量关系列出方程.难点：在具体问题中找出等量关系，建立方程模型.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计环节一知识回顾【复习回顾】教师活动：想一想：解一元一次方程的一般步骤：预设：填空：长方形的周长=__________，面积=_______.正方形的周长=__________，面积=_______.长方体的体积=______，正方体的体积=____.圆的周长=_______，面积=___________.圆柱的体积=_______________.预设答案：2(a+b)；ab；4a；a2；abc；a3；2πr；πr2；πr2h(或sh)【观察思考】教师活动：老师手里的橡皮泥在手压前和手压后有何变化？你发现了一个相等关系没有？预设答案：变胖了，变矮了.手压前后体积不变，重量不变.高度和底面半径发生了改变.设计意图：复习回顾已学知识，为新课的学习做准备.让学生观察橡皮泥的过程中体会等体积变化的现象中蕴涵的不变量.同时分析出不变量与变量间的等量关系.环节二典例探究【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再小组交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.【引例】某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6cm，12cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?教师活动：想一想，什么发生了变化？什么没有发生变化？问题1：在这个问题中有一个怎样的等量关系？预设答案：旧包装的容积= 新包装的容积问题2：设易拉罐的高度为x m，填写下表：预设答案：问题3：根据等量关系，列出方程：.解得x = .因此，易拉罐的高变成了m.预设答案：π×3.32×12= π×32×x；14.52；14.52教师活动：列方程时，关键是找出问题中的等量关系.设计意图：通过几个问题，寻找图形问题中的等量关系，激发学生的求知欲望，培养学生的积极性.此时要注意提醒学生π的取值相关细节问题.此类题目中的π值由等式的基本性质就已约去，无须带具体值；若是题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定精确程度.【例】用一根长为10 m 的铁丝围成一个长方形.(1)使得该长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的长、宽各为多少米？(2)使得该长方形的长比宽多0.8 m，此时长方形的长、宽各为多少米？它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化？(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？教师活动：在这个过程中什么没有发生变化？分析：由题意知，长方形的周长始终是不变的，即长与宽的和为：10×12= 5(m).解：（1）如图所示：设此时长方形的宽为x m，则它的长为（x + 1.4）m根据题意，得x + x + 1.4 = 10×1 2 .解这个方程，得x = 1.8.1.8 + 1.4 = 3.2.此时长方形的长为 3.2 m，宽为1.8 m.（2）如图所示：设此时长方形的宽为x m，则它的长为(x + 0.8)m.根据题意，得x + x + 0.8 = 10×1 2 .解这个方程，得x = 2.1.2.1 + 0.8 = 2.9.此时长方形的长为 2.9 m，宽为2.1m，面积为2.9×2.1 = 6.09(m2)，(1)中长方形所围成的面积为3.2×1.8 = 5.76(m2).此时长方形的面积比(1)中面积增大 6.09 – 5.76 = 0.33(m2).（3）如图所示：设正方形的边长为x m.根据题意，得x + x = 10×12 .解这个方程，得x = 2.5.正方形的边长为2.5 m，它所围成的面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2)，比(2)中面积增大6.25 – 6.09 = 0.16(m2).等量关系：周长不变长方形的周长不变时，它的面积会随着长和宽的变化而变化，当_______（即为）时，面积最大.预设答案：长=宽；正方形.设计意图：鼓励学生通过独立思考发现：围成的长方形的长和宽在发生变化，但在围的过程中，长方形的周长不变，由此便可建立“等量关系”.同时，根据计算，发现随着长方形长与宽的变化，长方形的面积也在发生变化.培养学生数学思考的严谨性，语言表述的准确性.环节三总结归纳【方法归纳】通过上述两个例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨：如何找等量关系及列一元一次方程解实际问题的一般步骤.等积变形：1.形状变了，体积没变；原材料的体积＝成品的体积．2.解决等积变形的问题时，通常利用体积相等建立方程.等长变形：1.线段长度不变时，不管围成怎样的图形，周长不变.即C前=C后.2.当长方形周长不变时，长方形的面积随着长与宽的变化而变化，当长与宽相等时，面积最大.【思考交流】在上面的问题中，所列方程的两边分别表示什么量?列方程的思路是什么?与同伴进行交流.预设答案：相等的量；方程的思路：审，设，列，解，检，答.①审：通过审题找出等量关系；②设：设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称；③列：依据找到的等量关系，列出方程；④解：求出方程的解；⑤检：检验所得的解是否符合题意；⑥答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称.设计意图：明确如何根据等积变形和等长变形找等量关系，以及列一元一次方程解决实际问题的步骤.环节四 巩固练习教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.某工厂要制造直径长为120 mm ，高为20 mm 的圆钢毛坯，现有的原料是直径长为60 mm 的圆钢若干米，则应取原料的长为( )A.50 mmB.60 mmC.70 mmD.80 mm预设答案：D2. 墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图虚线所示(单位：cm). 小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图实线所示. 小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？【分析】等量关系是变形前后周长相等. 解：设长方形的长是 x cm.根据题意，得x + x + 10 + 10 =10 + 10 + 10 + 10 + 6 + 6 解得 x = 16答：小颖所钉长方形的长为16 cm ，宽为 10 cm.3. 一种牙膏出口处直径为5 mm ，小明每次刷牙都挤出1 cm 长的牙膏，这样一支牙膏可以用36次，该品牌牙膏推出新包装，只是将出口处直径改为6 mm ，小明还是按习惯每次挤出1 cm 的牙膏，这样，这一支牙膏能用多少次？【分析】等量关系是变形前后体积相等. 解：设这一支牙膏能用x 次，根据题意得π×252（）×10×36＝π×262（）×10x . 解这个方程，得x ＝25.答：这一支牙膏能用25次． 教师活动：注意单位要统一哦！4.把一块长、宽、高分别为5cm 、3cm 、3cm 的长方体铁块，浸入半径为4cm 的圆柱形玻璃杯中(盛有水)，水面将增高多少？(结果保留两位小数)【分析】等量关系是水面增高体积=长方体体积. 解：设水面增高 x 厘米，则2533=π4x ⨯⨯⨯⨯解得 ..π4509016x =≈ 因此，水面增高约为0.90厘米.设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯. 环节五 课堂小结通过这节课，你学到了哪些内容？设计意图：回顾知识点形成知识体系，养成回顾梳理知识的习惯.。

日历中的方程长安三中宋苗一、教材分析《日历中的方程》是北师大版义务教育标准试验数学教材七年级（上）第五章《一元一次方程》的第三节。

《日历中的方程》是从在认识方程、列方程、解方程的基础上进而到用方程解决实际问题的转折点，是继续学习用方程解决实际问题的开始。

让学生认识到学习方程的意义，数学来源于生活，又服务于生活，以及运用方程解决实际问题的关键在于建立等量关系。

这节课首要任务是激发学生对列方程的兴趣和成就感，规范列方程解应用题的步骤“审、设、列、解、答”。

二、学生起点分析1. 七年级学生对初中生活充满了期待，对新知识的学习充满了好奇，对与生活有关系的数学知识非常感兴趣。

2.日历在生活中比较普遍，学生好奇心很强，且在第三章用字母表示数探索规律时学生接触过日历中存在的规律，对此比较熟悉。

3.学生已经掌握列方程及一元一次方程的解法。

三、教学目标1、知识与技能（1）能够认真审题，分析问题，从实际问题找出等量关系，列出一元一次方程；（2）能够将文字语言联系到数学语言，且在实际问题中验证方程解的合理性。

2、过程与方法（1）经历探索日历中数与数之间的规律，培养学生从不同角度去分析问题。

（2）经历探究日历中数与数之间规律的过程培养学生观察、归纳的能力。

（3）能够认真分析情境中的生活问题，小组合作将现实问题转化为数学问题的过程。

3、情感态度价值观（1）通过有趣的情境设置，增强学生探究生活中日历问题的兴趣。

（2）通过用方程求解实际问题，激发学生对数学的兴趣，使学生体会到数学来源于生活，数学无处不在。

四、教学重、难点教学重点：能够仔细审题，从日历中找出等量关系，根据实际生活中的意义，来检验解的合理性。

初步了解列方程解应用题的步骤“审、设、列、解、答”。

教学难点：将日历问题转化为数学问题，找出合适的等量关系来列方程，能够根据实际意义来检验方程解的合理性。

教学准备：1、每位同学准备一份日历2、教师准备多媒体课件教学方法：启发式为主七.教学反思:本节课运用了日历很有趣的实物，让学生明显的增加了学习数学的兴趣，本节课的课堂学习气氛是非常不错的。

学科： 数学 年级 ： 七年级 执笔：郑家勤 审核：数学备课组内容：运用一元一次方程——水箱变高了 课型 ： 新授课 时间：一：自主学习与探究认真阅读教材Pl41～Pl42内容，并回顾下列内容：1．列方程解应用题应注意哪些事项?(1)_________________． (2)____________________．(3)__________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?(1)__________________． (2)________________．(3)__________________． (4)_________________．⑤____________________.3．填空：长方形的周长=_________． 面积=__________ ．长方体的体积=_________． 正方体的体积=__________．圆的周长=___________． 面积=_______________．圆柱的体积=_______________．解决以下问题：1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有如下的等量关系：锻压前的体积=锻压后的体积．解：设锻压后圆柱的高为x 米，填写下表：根据等量关系，列出方程：___________________________________________．解得 x _______________．答：高变成了__________厘米．2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．(1)使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为99x_________米．(2)使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与(1)中所围长方形相比，面积有什么变化?(3)使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化?二：典例讲练例1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是( )【跟踪练习】1．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m，而长减少了5 m，那么面积增加15㎡，设长方形原来的宽为x m，则所列方程是( )2．一块矩形草坪的长比宽多l0米，它的周长是132米，求宽x．所列的方程是( )3．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．【当堂达标】7．用直径为120 mm的圆钢铸造成5.9㎏的工件，已知每立方厘米的圆钢重7.8g，这样需截取圆钢的长是多少㎜?解题时，设需要截圆钢的长为x mm，那么下面列方程正确的是( )8．为了做一个试管架，在长为a cm(a>6 cm)的木板上钻3个小孔(如图5—3—4)，每个小孔的直径为2cm,则x等于( )9．已知一个三角形三条边长的比为2：4：5，最长边比最短边长6㎝，则这个三角形的周长为( )A．21㎝B．22㎝C．23㎝D．24㎝10．墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如图5—3—8实线所示．小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图5—3—8虚线所示．小颖所钉长方形的长、宽各为___________________厘米?11.要锻造直径为16厘米、高为5厘米的圆柱形毛坯．设需截取边长为6厘米的方钢x厘米，可得方程为___________________________.12.(2012.山西)图5—3—5是边长为30 cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图5—3—5所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，则它的体积是________.13·一个底面半径为4㎝，高为10㎝的圆柱形烧杯中装1 cm高的水．把烧杯中的水倒入底面半径为1㎝的圆柱形试管中，刚好倒满试管．问试管的高为多少㎝?三：巩固练习 一、选择题1．周长为68的长方形ABCD 被分成7个全等的长方形，如图5—3—6所示，则长方形ABCD 的面积为 ( )A ．98B ．196C ．280D ．2842.用长为20米的铁丝围成一个长方形方框，使长为6.2米，宽为x 米，则可列方程为 ( )3.一个长方形的周长是40 cm ，若将长减少8 cm ，宽增加2 cm ，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm4.有一个底面半径为10 cm ，高为30 cm 的圆柱形大杯中存满了水，把水倒人一一个底面直径为lo cm 的圆柱形小杯中，刚好倒满12杯，则小杯的高为 ( )A ．6 cmB ．8 cmC ．10 cmD ．12 cm二、填空题5.三角形三边长之比为7：5：4，若中等长度的一边长的两倍比其它两边长的和少3 cm ，则三角形的周长为_________________________.6.将底面直径为12厘米，高为30厘米的圆柱水桶装满水，倒人一个长方体水箱中，水只占水箱容积的32，设水箱容积为x 立方厘米，则可列方程_________________． 7．将一个底面直径是10厘米，高为40厘米的圆柱锻压成底面直径为l5厘米的圆柱，求它的高?若设高为x 厘米，则所列的方程为_____________．8.三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体(下底面为圆面，单位：㎝)如图5—3—7所示．则三个几何体的体积和为_____________3cm ．(计算结果保留π)三、解答题9．将一个底面直径是10厘米，高为36厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖’’形圆柱，高变成了多少?四、拓展应用10．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下的一块重量是多少？四：课后反思：教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

5.3《一元一次方程的应用》教学设计教材分析本节课是北师大版（ 2024）七年级上册的第五章第三节（《一元一次方程的应用》教学内容，它是学生学习完一元一次方程的概念和解法后的第一个模型应用内容，目的是让学生感受一元一次方程是刻画现实世界常见的数学模型之一。

本节课内容与学生现实生活结合紧密，这样可以让学生更容易根据问题中的数量关系建立方程模型。

与此同时，由于本节课是学生首次经历建立数学模型并求解的全过程，所以对于本课的教学，需引导学生真正经历从实际问题中获得等量关系、建立和求解一元一次方程模型的全过程，感悟模型思想，为以后学习研究其他数学模型奠定基础。

因此，本节课无论是在知识上还是思想方法及能力上都起着举足轻重的作用。

本节课的重点是通过对实际问题所涉及的数学关系的理解，找到图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化。

难点是审清题意，关键让学生抓住图形问题中的不变量。

核心素养目标：思维品质、能正确分析应用题的题意，找出题中的不变量——等量关系，设未知数、列方程、求解并检验解的合理性。

数学建模、通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力。

情感态度与价值观、通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生的好奇心和主动学习的欲望。

教学重点与难点：重点：能正确分析应用题的题意，找出题中的不变量——等量关系，设未知数、列方程、求解并检验解的合理性。

难点：通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力。

课前准备：多媒体课件、细绳、小球、水杯。

教学过程：一、创新情境，引入新课活动内容：情境1：成语（ 朝三暮四”的故事（ 附内容：从前有个人养了一群猴子.每天早晨和晚上都喂每只猴子四个橡子，可是他家里越来越穷了，已经买不起这么多橡子了，这可怎么办，于是他想了一个办法，第二天他对猴子们说，从今天开始，每天早上给你们三个橡子，晚上给四个，猴子们一听，早上的比晚上的少，气的大叫起来，那个人灵机一动，连忙改口说，要不我每天早上给你们四个橡子，晚上三个橡子，这样总可以了吧，猴子们一听，早上比晚上多，都高兴的跳了起来。

日历中的方程一、复习与巩固：1.解方程158=+x ，移项得 ；2.解方程03=x ，得=x ； 3.解方程：（1）8563+=-x x ； （2）x x x =---)433(32)23(43.4.小明说：“我姐姐今年的年龄是我去年的年龄的2倍少6”，已知姐姐今年20岁，问小明今年几岁了？二、填空题：1.在某个月的日历上，一个竖列上相邻的三个数中，若设中间一个为x ，则另两个可表示为 ；2.某校学生假期外出考察4天，已知这4天的日期之和是42，则他们是 ；3.某个月日历上的一个竖列上的三个数之和是75，则这个竖列上的第一个数是 .三、选择题：1.如果两个数中较大的一个的3倍是较小一个的4倍，且两数的差是8，那么两个数中较大的一个是（ ）.A.1B.24C.32D.142.某车间去年一月份生产零件x 个，二月份比一月份增加2倍，三月份增加到二月份的2倍，且第一季度共生产零件30000个，求每月生产的零件数，则应列出方程为（ ）A.3000042=++x x xB. 3000023=++x x xC. 3000062=++x x xD. 3000022=++x x x3.兄弟两人交谈，兄对弟说：“六年前，咱俩的年龄和已满一百岁了”，则现在两人的年龄和为（）A.94B.106C.88D.112四、列方程解应用题：1.小彬假期外出旅游一周，这一周各天的日期之和是84，小彬是几号回家的？2.有一些分别标有6、12、18、24、…的卡片上，后一张的数比前一张上的数字大6，小明拿到了相邻的3张卡片，且它们的和是342.（1）小明拿到了哪3张卡片？（2）你能拿到了相邻的3张卡片，使得这些卡片上的数字之和是86吗？3.你能在日历上圈出一个竖列上相邻的3个数，使得它们的和是40吗？为什么？附加题：姐妹俩今年的年龄和是30岁，当姐姐像妹妹现在这样大时，妹妹的年龄恰好是姐姐年龄的一半，问姐姐今年几岁？。