离散型随机变量的数学期望和方差
知识点
一、离散型随机变量的数学期望
1. 定义
则称E(X)=人》• X2p2亠 '亠人口亠I•.亠X n P n为随机变量X的数学期望或均值。
2. 意义：反映离散型随机变量取值的平均水平。
3•性质：若X是随机变量，丫二aXF，其中a,b是实数，则Y也是随机变量，且E(aX b^aE(X) b
二、离散型随机变量的方差
1. 定义
n
则称D(X)八，(人-E(X))2p i为随机变量的方差。
i=1
2. 意义：反映离散型随机变量偏离均值的程度。
2
3. 性质：D(aX b)二a D(X)
三、二项分布的均值与方差
如果X ~ B(n, p)，则E(X)二np ， D(X)二叩(1 - p)。
题型一离散型随机变量的均值
【例1】设随机变量X的分布列如下表，且E(X)= 1.6,则a— b =( )
A.0.2 B . 0.1
C.—0.2 D . 0.4
【例2】随机抛掷一枚质地均匀的骰子，则所得点数E的数学期望为()
A . 0.6
B . 1
C. 3.5 D . 2
【例3】某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或错选得0分•小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________________________ .
【例4】(2016年高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰•机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器
三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.
(1)求X的分布列；
⑵若要求P(X W n)> 0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n= 19与n= 20之中选其一，应选用哪个？
【过关练习】
1•今有两台独立工作的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为
匕则E( 3等于(
)
A . 0.765
B . 1.75
C . 1.765
D . 0.22
2•某射手射击所得环数 3的分布列如下：
3•已知随机变量 3的分布列为
则 x = _______ , P(1< 33) = __________ , E( 3 = ________
.
4.(2015年高考重庆卷)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10个粽子，其中豆沙粽 2个，肉粽 3个，白棕5个，这三种粽子的外观完全相同•从中任意选取 3个.
(1) 求三种粽子各取到1个的概率；
(2) 设X 表示取到的豆沙粽个数，求 X 的分布列与数学期望.
题型二 离散型随机变量方差的计算
【例1】若X 的分布列为
其中 p € (0,1)，则( )
A . D(X) = p 3
B .
C . D(X) = p — p 2
D .
0.9和0.85，设发现目标的雷达的台数为
D(X)= p 2 D(X)= pq 2
A . 8
B . 12 2 C.9
D . 16
【例 3】若 D(3= 1 ,则 D( 3- D( 3) = _________ .
3
【例 4】若随机变量 X 1 〜B(n,0.2), X 2〜B(6, p), X 3〜B(n , p),且 E(X 1)= 2, D(X 2)=刁 贝卩 c(X 3)=( )
A . 0.5 B. 1.5 C. 2.5
D . 3.5
【例5】根据以往的经验，某工程施工期 间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表:
降水量X X<300
300W X<700
700 W X<900
X > 900
工期延误 天数Y
2
6
10
该工程施工期间降水量 的均值与方差.
【过关练习】
1•某人从家乘车到单位，途中有
3个路口 .假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是
0.4,
则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为 ( )
A . 0.48
B . 1.2
C . 0.72
D . 0.6
2.
设投掷一个骰子的点数为随机变量 X ,则X 的方差为 .
3.
盒中有2个白球，3个黑球，从
中任取 3个球，以X 表示取到白球的个数，
n 表示取到黑球的个数.给出
6 9 9
下列结论：① E(X)= 5, E (n= 5；② E(X 2) = E (n ；③ E (n )= E(X);④ D(X) = D (n = 25. 其中正确的是 _________ .(填上所有正确结论的序号) 4.
海关大楼顶端镶有 A 、B 两面大钟，它们的日走时误差分别为
X 1、X 2(单位：s),其分布列如下：
【例2】设随机变量 ,k = 0,1,2,…,n ,且 E(8 = 24,则 D( 3的值为(
历年气象资料表明, E 的分布列为P(E= k) = C n
