2.3.2 离散型随机变量的方差学习 目 标核 心 素 养1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念．2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)1.通过离散型随机变量的方差的学习，体会数学抽象的素养．2．借助方差解决实际问题，提高数学运算的素养.1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n则(x i －E (X ))描述了i D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．思考：随机变量的方差与样本方差有什么关系？[提示] 随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．2．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )；(2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )． 3．离散型随机变量方差的线性运算性质 设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．若随机变量X 服从两点分布，且在一次试验中事件A 发生的概率P ＝0.5，则E (X )和D (X )分别为( )A ．0.25；0.5B ．0.5；0.75C ．0.5；0.25D ．1；0.75C [E (X )＝0.5，D (X )＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝19，则ξ的标准差为________． 13 [ξ的标准差D (ξ)＝19＝13.]3．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ －1 0 1 P121316则－13 59 [均值E (ξ)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13； 方差D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59.]求随机变量的方差与标准差【例X －1 0 1 P1214a(2)计算X 的方差；(3)若Y ＝4X ＋3，求Y 的均值和方差．[解] (1)由分布列的性质，知12＋14＋a ＝1，故a ＝14，从而X 2的分布列为X 2 0 1 P1434(2)法一：(直接法)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14.故X 的方差D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋142×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋142×14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋142×14＝1116.法二：(公式法)由(1)知a ＝14，所以X 的均值E (X )＝(－1)×12＋0×14＋1×14＝－14，X 2的均值E (X 2)＝0×14＋1×34＝34，所以X 的方差D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2＝1116.(3)因为Y ＝4X ＋3，所以E (Y )＝4E (X )＋3＝2，D (Y )＝42D (X )＝11.方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X 2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D (X )＝E (X 2)－[E (X )]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D (aX ＋b )＝a 2D (X )．1．已知η的分布列为：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．[解] (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6. (2)∵Y ＝2η－E (η)， ∴D (Y )＝D (2η－E (η)) ＝22D (η)＝4×384＝1 536.两点分布与二项分布的方差【例2】 设X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)，则D (3X )＝( )A ．10B ．30C ．15D ．5A[由P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎪⎫13k ⎝ ⎛⎭⎪⎫235－k(k ＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13， 所以D (X )＝5×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝109，D (3X )＝9D (X )＝10.]1．(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X 服从二项分布B (n ，p )，且E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96，求二项分布的参数n ，p 的值．[解] 由E (3X ＋2)＝9.2，D (3X ＋2)＝12.96及X ～B (n ，p )知 ⎩⎨⎧ E (3X ＋2)＝3E (X )＋2，D (3X ＋2)＝9D (X )，即⎩⎨⎧3np ＋2＝9.2，9np (1－p )＝12.96，解得⎩⎨⎧n ＝6，p ＝0.4， 所以二项分布的参数n ＝6，p ＝0.4.2．(改变问法)本例题条件不变，求E (3X ＋2)． [解] 由例题可知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，13，所以E (X )＝5×13＝53. 故E (3X ＋2)＝3E (X )＋2＝7.求离散型随机变量的均值与方差的关注点1．写出离散型随机变量的分布列．2．正确应用均值与方差的公式进行计算．3．对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．均值、方差的实际应用[1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：A机床次品数X1012 3P 0.70.20.060.04次品数X2012 3P 0.80.060.040.10由E(X12[提示]不能．因为E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.所以，不能由E(X1)和E(X2)的值比较两台机床的产品质量．2．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A，B两台机床加工质量？[提示]利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．【例3】甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．[思路点拨](1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．[解](1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分别为(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，说明甲射击的环数的均值比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲：分数X 80 90 100 概率P0.20.60.2乙：分数Y 80 90100 概率P0.40.20.4[解] 因为E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80， 即E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．对随机变量X 的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛． (4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝ i ＝1n(x i －E (X ))2p i展开得到).1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值．( ) (2)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平．( ) (3)离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．( ) (4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( )[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．已知X的分布列为A．0.7B．0.61C．－0.3 D．0B[E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]3．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．乙[因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．]4．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝4，D(X)＝43，求n，p的值．[解]由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝4 3，得1－p＝1 3，∴p＝23，n＝6.课时分层作业(十五)离散型随机变量的方差(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1)，则E(X)和D(X)的值分别为()A．0和1B．p和p2C．p和1－p D．p和(1－p)pD[由题意知随机变量X满足两点分布，∴E(X)＝p，D(X)＝(1－p)p.]2．已知随机变量ξ满足P(ξ＝1)＝0.3，P(ξ＝2)＝0.7，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．0.6和0.7 B．1.7和0.09C．0.3和0.7 D．1.7和0.21D[E(ξ)＝1×0.3＋2×0.7＝1.7，D(ξ)＝(1.7－1)2×0.3＋(1.7－2)2×0.7＝0.21.] 3．已知随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p等于()A.17 B.16C.15 D.14A[由题意得np＝7且np(1－p)＝6，解得1－p＝67，∴p＝17.]4．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝13，k＝1,2,3，则D(3ξ＋5)等于()A．6 B．9 C．3 D．4A[E(ξ)＝(1＋2＋3)×13＝2，D(ξ)＝13[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，所以D(3ξ＋5)＝32D(ξ)＝9×23＝6.故选A.]5．甲、乙两个运动员射击命中环数ξ，η的分布列如下表．表中射击比较稳定的运动员是()A．甲C ．一样D ．无法比较B [由题中分布列可得：E (ξ)＝8×0.3＋9×0.2＋10×0.5＝9.2， E (η)＝8×0.2＋9×0.4＋10×0.4＝9.2，D (ξ)＝(8－9.2)2×0.3＋(9－9.2)2×0.2＋(10－9.2)2×0.5＝0.76， D (η)＝(8－9.2)2×0.2＋(9－9.2)2×0.4＋(10－9.2)2×0.4＝0.5.6 ∵E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＞D (η)，∴甲、乙两名运动员射击命中环数的平均数相等，而乙的成绩波动性较小，更稳定．]二、填空题6．一批产品中，次品率为13，现连续抽取4次，其次品数记为X ，则D (X )的值为________．89 [由题意知X ～B⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13，所以D (X )＝4×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝89.] 7．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________．0．5 [在一次试验中发生次数记为ξ，则ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )，所以p (1－p )＝0.25，解得p ＝0.5.]8．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________. 25 [设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.] 三、解答题9．已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2，求D (Y )的值． [解] 由12＋13＋p ＝1，得p ＝16. 又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， 所以x ＝2.(1)D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－232×16＝59.(2)因为Y ＝3X －2，所以D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )＝5.10．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x ，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y ，令X ＝x ·y .求：(1)X 所取各值的概率； (2)随机变量X 的均值与方差． [解] (1)P (X ＝0)＝53×3＝59； P (X ＝1)＝1×13×3＝19； P (X ＝2)＝1＋13×3＝29； P (X ＝4)＝13×3＝19. (2)X 的分布列如下：所以E (X )＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1.D (X )＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.[能力提升练]1．已知随机变量ξ，η满足ξ＋η＝8，且ξ服从二项分布ξ～B (10,0.6)，则E (η)和D (η)的值分别是( )A ．6和2.4B ．2和2.4C ．2和5.6D ．6和5.6B [由已知E (ξ)＝10×0.6＝6，D (ξ)＝10×0.6×0.4＝2.4. 因为ξ＋η＝8，所以η＝8－ξ.所以E (η)＝－E (ξ)＋8＝2，D (η)＝(－1)2D (ξ)＝2.4.]2．抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这次试验成功，则在10次试验中，成功次数X 的均值和方差分别是( )A.103，20081B.559，10081C.809，109 D.509，20081D [成功次数X 服从二项分布，每次试验成功的概率为1－23×23＝59，故在10次试验中，成功次数X 的均值E (X )＝10×59＝509，方差D (X )＝10×59×49＝20081.]3．某旅游公司为三个旅游团提供了a ，b ，c ，d 四条旅游线路，每个旅游团队可任选其中一条线路，则选择a 线路的旅游团数X 的方差D (X )＝________.916 [由题意知X 的可能取值有0,1,2,3，并且 P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764， P (X ＝2)＝C 23×343＝964，P (X ＝3)＝143＝164.∴E (X )＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝34，D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－342×2764＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－342×2764＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－342×964＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－342×164＝916×2764＋116×2764＋2516×964＋8116×164＝916.]4．抛掷一枚均匀硬币n (3≤n ≤8)次，正面向上的次数ξ服从二项分布B ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，若P (ξ＝1)＝332，则方差D (ξ)＝________. 32 [因为3≤n ≤8，ξ服从二项分布B⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，12，且P (ξ＝1)＝332，所以 C 1n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝332， 即n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝664，解得n ＝6，所以方差D (ξ)＝np (1－p )＝6×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝32.] 5．A ，B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2.根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为(1)在A ，B 1)和Y 2(单位：万元)分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差D (Y 1)，D (Y 2)；(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，(100－x )万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．[解] (1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为E (Y 1)＝5×0.8＋10×D (Y 1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4；E (Y 2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8；D (Y 2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12. (2)f (x )＝D ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 100·Y 1＋D ⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 100·Y 2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1002D (Y 1)＋⎝⎛⎭⎪⎫100－x 1002D (Y 2) ＝41002[x 2＋3(100－x )2] ＝41002(4x 2－600x ＋3×1002)． 所以当x ＝6002×4＝75时，f (x )＝3为最小值.。
