因式分解讲解

1 专题1.3 整式与因式分解（知识讲解） 【基本考点要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查. 【知识点梳理】 考点一、整式 1.单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 特别说明：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 特别说明：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质：

因式分解例题讲解及练习一、因式分解的定义1、计算=-)2(x x=-+)3)(3(x x=+2)(y x2、根据上面的式子填空()()⋅=-x x 22 ()()⋅=-92x()2222==++y xy x3、上面的两个过程是互逆的，第1题的变形是我们前面所学的整式乘法，第2题从左往右的变形我们叫做因式分解。

把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。

因式分解与整式乘法是相反方向的变形。

例题：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ） A 、bx ax b a x -=-)(B 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-C 、)1)(1(12-+=-x x xD 、c b a x c bx ax ++=++)(练习1、下列变形是分解因式的是（ ）。

A x 2－4x ＋4=x(x －4)＋4 ，B (x ＋3)2=x 2＋6x ＋9C x 2＋6x ＋9 = (x ＋3)2D (x ＋3)(x －3)=x 2-92、一个多项式分解因式的结果是)2)(2(33b b -+，那么这个多项式是（ ）A 、46-b B 、64b -C 、46+bD 、46--b二、提公因式法 1、公因式定义：在多项式的各项中都含有的因式叫做这个多项式各项的公因式。

例题：找出下列多项式的公因式：（1）3x+6 （2）7x2－21x;（3）8a3b2－12ab3c+abc （4）－24x3－12x2+28x.练习：1、写出下列多项式各项的公因式.（1）ma+mb（2）4kx－8ky（3）5y3+20y2（4）a2b－2ab2+ab2、下列各式公因式是a的是（）A. ax＋ay＋5 B．3ma－6ma2 C．4a2＋10ab D．a2－2a＋ma3、－6xyz＋3xy2－9x2y的公因式是（）A.－3x B．3xz C．3yz D．－3xy2、运用提公因式法分解因式例题1：将下列各式分解因式：（1）3x+6 （2）7x2－21x （3）8a3b2－12ab3c+abc（4）－24x3－12x2+28x练习:1、（1）8x－72= （2）a2b－5ab=（3）4m3－6m2= （4）a2b－5ab+9b=（5）－a2+ab－ac= （6）－2x3+4x2－2x=2、把多项式－4a3+4a2－16a分解因式（）A.－a(4a2－4a+16)B.a(－4a2+4a－16)C.－4(a3－a2+4a)D.－4a(a2－a+4)3、用提取公因式法分解因式正确的是（）A.12abc－9a2b2=3abc(4－3ab)B.3x2y－3xy+6y=3y(x2－x+2y)C.－a2+ab－ac=－a(a－b+c)D.x2y+5xy－y=y(x2+5x)4.如果b－a=－6，ab=7，那么a2b－ab2的值是( )A.42B.－42C.13D.－13例题2、将下列各式分解因式（1）a （x －3）+2b （x －3） （2）a （x －y ）+b （y －x ） （3）6（m －n ）3－12（n －m ）2练习：1、请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“－”号，使等式成立:（1）2－a =__________（a －2） （2）y －x =__________（x －y ） （3）b +a =__________（a +b ） （4）（b －a ）2=__________（a －b ）2（5）－m －n =__________（m+n ） （6）－s 2+t 2=__________（s 2－t 2） 2、将下列各式分解因式（1）5x （a +b ）+10y （a +b ） （2）x (x －y )－y (y －x )（3）()()222236q p m q p +-+ （4）mn （m －n ）－m （n －m ）2（5）（b －a ）2+a （a －b ）+b （b －a ）3、把多项式（3a －4b ）（7a －8b ）＋（11a －12b ）（8b －7a ）分解因式的结果是（ ）A ．8（7a －8b ）（a －b ）B ．2（7a －8b ）2C ．8（7a －8b ）（b －a ）D ．－2（7a －8b ）4、把（x －y ）2－（y －x ）分解因式为（ ） A ．（x －y ）（x －y －1） B ．（y －x ）（x －y －1） C ．（y －x ）（y －x －1） D ．（y －x ）（y －x ＋1）三、用公式法因式分解；1、代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a －b)＝a 2－b 2完全平方公式：(a±b)2＝a 2±2ab+b 22、因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a 2－b 2＝(a+b)(a －b)完全平方公式：a 2±2ab+b 2＝(a±b)2例1：分解因式：（1）4a 2－9b 2 (2)－25a 2y 4+16b 16注：要先将原式写成公式左边的形式，写成(4b 8)2－(5ay 2)2练习1:分解因式：（1）36b 4x 8－9c 6y 10 （2）(x+2y)2－(x －2y)2（3）81x 8－y 8 （4）(3a+2b)2－(2a+3b)22、分解因式： (2m －n)2－121(m+n)2 －4(m+n)2+25(m －2n)2例2、分解因式：（1）x 2+6ax+9a 2 （2）－x 2－4y 2+4xy（3）9（a －b ）2+6（a －b ）+1速效基础演练：1、下列各式从左到右的变形错误的是（ ）。

把下列各式分解因式-14x2+11x+6-23x2+10x+8-36x2-7xy-5y2-44x2.18x 18-54a+b2+4a+b-15
试将-x2-6x+16-分解因式-=-x2+6x-16）-=-x+8x-2-提示：当二次项系数为1时，先提 -负号再因式分解。
会课总袭-1、十字相乘法-借助十字交叉线分解因式的方法-2、用土字相乘法把形如x2+px+g二次三项式-3 x2+px+q=x+a-x+b其中q、p、a、b之-间的符号关系-g>0时，q分解的因数a、b同号且a、b 号与p符-号相同-当q<0时，q分解的因数a、b异号（其中绝对值较大-的因数符号与p符号相同
恩容欣貌-2x+3x-4=2x2.5x+12-1x-2xX-4+1xX3=-5x-结果中一次项系数是分解十字交叉相乘所得的和
探蒙新知-十字相乘法（竖分常数交叉-验，横写因式不能乱。-例1、用十字相乘法分解因式2x2-2x-12-法 ：-2x2.2x-12-x-32x+4-X-=2x-3x+2-xX4+2x×（-3=-2x-①竖分二次项与 数项-②交叉相乘，和相加-③检验确定，横写因式
探家新知-十字相乘法（竖分常数交-叉验，横写因式不能乱。-例1、用十字相乘法分解因式2x2-2x-12-法 ：-=x+22x-6-X-=2x+2x-3-XX--6+2xX2=-2x
顺口溜：竖分常数交叉验，横写因式不能乱。-例1、2-12x2-29x+15-↓-U-3x--5-X-4x9x+-20x=-29x-所以：原式=3x-54x-3

可编辑修改精选全文完整版整式的乘法与因式分解一：[整式的乘法与因式分解]初二数学知识点之整式乘除与因式分解讲解及汇总1.单项式的乘法法那么：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式;对于只在一个单项式里含有的字母，那么连同它的指数作为积的一个因式.单项式与多项式的乘法法那么：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加.多项式与多项式的乘法法那么：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加.单项式的除法法那么：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，那么连同它的指数作为商的一个因式.多项式除以单项式的法那么：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.2、乘法公式：①平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2文字语言表达：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差.②完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2文字语言表达：两个数的和(或差)的平方等于这两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍.3、因式分解：因式分解的定义.把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解.掌握其定义应注意以下几点：(1)分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可;(2)因式分解必须是恒等变形;(3)因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止.弄清因式分解与整式乘法的内在的关系.因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式.除了课堂上的学习外,数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了初二数学知识点解析：二次函数的应用，希望对大家的学习有一定帮助。

2.有一个抛物线形桥拱，其最大高度为16米，跨度为40米，现在它的示意图放在平面直角坐标系中(如右图)，那么此抛物线的解析式为().3.某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长到达了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是()4.把一段长1.6米的铁丝围长方形ABCD，设宽为x，面积为y.那么当y最大时，x所取的值是()A.0.5B.0.4C.0.3D.0.6【考点归纳】1.二次函数的解析式：(1)一般式：();(2)顶点式：();(3)交点式：().2.顶点式的几种特殊形式.线()对称，顶点坐标为(，).⑴当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是();⑵当a 0时，抛物线开口向()，有最()(填"高"或"低")点,当X=()时，有最()("大"或"小")值是().【典型例题】一、例1橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如下图).假设OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.(1)求这条抛物线的解析式;(2)假设不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外6.以下函数关系中，是二次函数的是( )A.在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系B.当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系C.等边三角形的周长C与边长a之间的关系D.圆心角为120°的扇形面积S与半径R之间的关系小编为大家整理的初二数学知识点解析：二次函数的应用相关内容大家一定要牢记，以便不断提高自己的数学成绩，祝大家学习愉快!二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法(1)掌握提公因式法的概念;(2)提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三局部：①系数一各项系数的最大公约数;②字母--各项含有的相同字母;③指数--相同字母的最低次数;(3)提公因式法的步骤：第一步是找出公因式;第二步是提取公因式并确定另一因式.需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项.(4)注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底〞;②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“-〞号，使括号内的第一项的系数是正的.2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用;常用的公式：①平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2一.常量、变量：在一个变化过程中,数值发生变化的量叫做变量;数值始终不变的量叫做常量。