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2010-2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)答案

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2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 1 of 9 第 1 页 共 9 页 北 京 交 通 大 学

2010~2011学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）答案 一．（本题满分8分） 一间宿舍内住有6位同学，求这6位同学中至少有2位的生日在同一个月份（不考虑出生所在的年份）的概率． 解： 设A“6位同学中至少有2位的生日在同一个月份”． 所求概率为AP．…………………………..1分 考虑事件A的逆事件： A“6位同学的生日各在不同的月份”．…………………………..1分

777199074.02985984665280112116612PAPAP．

……..2分 …..2分 …………..2分 二．（本题满分8分） 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是3.0，1.0，4.0和2.0．如果他乘火车、轮船、汽车、飞机来的话，迟到的概率分别为31、72、52、61，结果他未迟到，试问他乘火车来的概率是多少？ 解： 设B“朋友来访迟到”， 1A“朋友乘火车来访”， 2A“朋友乘轮船来访”，

3A“朋友乘汽车来访”， 4A“朋友乘飞机来访”．……..1分 所求概率为BAP1，由Bayes公式得 ……..1分 44332211

11

1ABPAPABPAPABPAPABPAPABPAPBAP

 …..2分 2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 2 of 9 第 2 页 共 9 页 

6112.05214.07211.03113.0

3113.0

……..2分

652.0534.0751.0323.0323.0



1050.29494382356． ……………..2分

三．（本题满分8分） 设随机变量X的密度函数为





其它010525525025xxxxxf

试求随机变量X的分布函数xF． 解： 当0x时，

00xxdtdttfxF； …….1分 当50x时， 50250200xdttdtdttfxFxx；……..2分 当105x时， 255055015212552250xxdttdttdtdttfxFxx；……..2分 当10x时， 102552250105505xxxdtdttdttdtdttfxF．……..2分 2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 3 of 9 第 3 页 共 9 页 因此，随机变量X的分布函数为10110550152150500022xxxxxxxxF ．……..1分 四．（本题满分8分） 试决定常数C，使得!kCpkk，,2,1k为某一离散型随机变量X的分布列，其中0为参数． 解：

若使!kCpkk，,2,1k是某一随机变量X的分布列，当且仅当

0!kCpkk

，,2,1k，而且11kkp， ……..2分

因此有 11111!!kkkkkkpCCCekk，……..4分

所以有 11Ce．……..2分 五．（本题满分8分） 设U与V分别是掷一颗均匀的骰子两次先后出现的点数．试求一元二次方程

02VUxx 有两个不相等的实数根的概率． 解： 一元二次方程02VUxx有两个不相等的实数根的充分必要条件是

042VU，或者VU42．……..2分 又VU,的联合分布列为361,jViUP，6,,2,1,ji．……..2分 所以，一元二次方程02VUxx有两个不相等的实数根的充分必要条件是VU,的取值应为下列情形之一：1,3，2,3，1,4，2,4，3,4，1,5，2,5，3,5，2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 4 of 9 第 4 页 共 9 页 4,5，5,5，6,5，1,6，2,6，3,6，4,6，5,6，6,6．……..2分

3617

02有两个不相等的实数根一元二次方程VUxxP．……..2分

六．（本题满分8分） 设随机变量X服从区间1,2上的均匀分布，试求随机变量2XY的密度函数yfY． 解： 随机变量X的密度函数为





其它01231xxpX

．……..1分

设2XY的分布函数为yFY，则有 yXPyYPyFY2．……..1分

当0y时，0yFY； 当40y时，yFyFyXyPyXPyFXXY2； 当4y时，1yFY．……..1分 综上所述，得随机变量2XY的分布函数为





114000yyyFyFyyFXXY ．……..1分

因此，随机变量2XY的密度函数为 



其它04021yypyp

yyFypXX

YY ．……..1分

当10y时，10y，01y，于是有 31ypX，31

ypX

，

因此有yyypypyypXXY3131312121； 当41y时，21y，12y，于是有 2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 5 of 9 第 5 页 共 9 页 0ypX

，31ypX，

因此有yyypypyypXXY613102121．……..2分 因此，随机变量2XY的密度函数为





其它041611031yyyyypY

．……..1分

七．（本题满分8分） 试解释“在大量独立重复试验中，小概率事件几乎必然发生”的确切意思． 解： 设A是一随机事件，其概率10AP．……..1分 现独立重复做试验，则在n次独立重复试验中，事件A至少发生一次的概率为 n

AP11．……..2分

令n，则有11lim111limnnnnAPAP．……..2分 这表明，只要试验次数n充分大，不管随机事件A的概率多么小，随机事件A在n次独立重复试验中至少发生一次的概率与1可以任意接近，即随机事件A在n次独立重复试验中至少发生一次是几乎必然的．……..3分 八．（本题满分8分） 一公寓有200户住户，一户住户拥有汽车辆数X的分布列为 X 0 1 2 P 1.0 6.0 3.0

试用中心极限定理近似计算，至少要设多少车位，才能使每辆汽车都具有一个车位的概率至少为95.0？（设：95.0645.1，其中x是1,0N的分布函数．） 解： 设需要的车位数为n，iX表示第i个住户需要的车位数，200,,2,1X．则随机2010-2011学年第一学期概率论与数理统计学期末考试试卷（A卷）答案 Page 6 of 9 第 6 页 共 9 页 变量20021,,,XXX独立同分布，而且 2.13.026.011.00iXE，

8.13.026.011.002222iXE，……..2分

于是有 36.02.18.1222iiiXEXEXD．……..1分

由题意，得









200120012001200120012001iiiiiiiiiiiiXDXEnXDXEX

PnXP



36.02002.1200200120012001n

XD

XEX

P

iiiii

i



72240n．……..3分

由题设，95.072240n，因此得645.172240n， 所以有 9583.25372645.1240n． 因此至少需要254个车位，才能满足题设要求．……..2分 九．（本题满分8分） 设随机变量X与Y相互独立，而且都服从参数为的指数分布，令 YXVYXU3,34， 试求二维随机变量VU,的相关系数VU,． 解： 因为X与Y都服从参数为的指数分布，所以 1YEXE，2

1

varvarYX．……..1分

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2010-2011-2概率论试题及答案A

2010-2011-2概率论试题及答案A

2010/20112 概率论与数理统计（A 卷 ）数理学院 全校一、填空题（每个小题3分，共15分）1．袋中有同型号球9只，其中4只白球，5只红球.从中依次取出两个球，取后不放回，则至少有一只红球的概率是________.2．已知()0.2,()0.3,()0.5,()0,()0.1,()0.2======P A P B P C P AB P AC P BC ，则事件A ，B ，C 中至少有一个发生的概率为________.3.已知随机变量123,,X X X 均服从［0，2］上的均匀分布，则123(32)-+=E X X X _____ .4.设2~(1,3)X N ,2~(0,4)Y N ,12=-XY ρ，32=+X Y Z ,则X 和Z 的相关系数=XZ ρ________.5. 设X 为一随机变量，且2() 1.1,()0.1,()0==>E X Var X E X ，则由切比雪夫不等式可知{02}<<≥P X ________.二、选择题（每个小题3分，共15分）1．已知()0.6,()0.4,()0.5,===P A P B P A B 则()= P A B （ ）. (A) 0.6； (B)0.4； (C)0.8； (D) 0.7.2. 已知随机变量~(,)X B n p ,且()3.2,() 1.92,==E X Var X 则二项分布中的参数,n p 的值为（ ）.(A) 6,0.6==n p ； (B) 8,0.6==n p ； (C) 8,0.4==n p ； (D) 6,0.4==n p . 3．设随机变量X 与Y 相互独立, ()()0,==E X E Y ()()1,==Var X Var Y 则2[()]+=E X Y （ ）.(A) 0； (B)1； (C)2； (D) 4.4. 已知随机变量2~(,)X N μσ，则随σ的增大,概率{}-<P X μσ（ ）.(A)单调减小； (B) 单调增大； (C)增减不定； (D)保持不变.5. 已知总体2~(,)X N μσ，2σ未知，有样本12,,, n X X X ，则检验00:=H μμ时，应选用检验统计量（ ）.课程考试试题 学期 学年 拟题学院（系）: 适 用 专 业:XX ；X (D) 2021()=-∑ni i X μσ. 三、计算题（共20分）1．（ 12分）甲，乙，丙三地区爆发了某种流行病,三个地区感染此病的比例分别为111,,643，现从这三个地区任抽取一个人，求(1)此人染病的概率；(2)如果此人感染流行病，分别计算此人是选自甲地，乙地，丙地的概率. 2．（8分）某地有A,B 两队进行乒乓球比赛,规定一方先胜3局则比赛结束.设每场比赛A 队获胜的概率为0.5,记X 为比赛的局数.（1）写出X 的分布律与分布函数；（2）求X 的期望. 四、计算题（共30分）1．（12分）随机变量X 的分布函数为22,0,()0,0.-⎧⎪+≥=⎨⎪<⎩x a be x F x x求：（1）常数,a b ；（2）X 的概率密度函数；（3）<<P X . 2．（8分）已知~(0,1)X N ，求=XY e 的概率密度函数. 3．(10分)设二维随机向量（X ，Y ）的概率密度为22,1,(,)0,⎧≤<=⎨⎩cx y x y f x y 其他.(1)试确定常数c ；(2)求边缘概率密度(),()X Y f x f y ；(3)讨论X 与Y 的独立性. 五、计算题（共15分）1．（6分）已知~(100,0.2)X B ，求 {1430}<<P X 的近似值. （已知(1.5)0.9332,Φ=(2)0.9772Φ=,(2.5)0.9938Φ=）. 2.（9分）设12,,,n X X X 是总体X 的一个样本，X 的概率密度为(1),01,()0,⎧+<<=⎨⎩x x f x θθ其他.其中(1)>-θθ是未知参数，试求θ的矩估计量与极大似然估计量. 六、证明题（5分）已知随机变量X 和Y 相互独立,均服从正态分布2(0,3)N ，129,,, X X X 与129,,, Y Y Y 分别为抽自总体X 和Y的简单样本，证明统计量9=∑iXU 服从自由度为9的t 分布.（答案要注明各个要点的评分标准）一、填空题（每个小题3分，共15分） 1．56； 2．0.7； 3. 4； 4. 0； 5. 0.9. 二、选择题（每个小题3分，共15分）1． A ； 2. C ； 3．C ； 4. D ； 5. C ． 三、计算下列各题（共20分）1．（12分）解 设A =｛此人染病｝，B =｛此人来自甲地｝，C =｛此人来自乙地｝，D=｛此人来自丙地｝，则1()()(),3===P B P C P D (111)(|),(|),(|),643===P A B P A C P A D (2)分（1）由全概率公式，有()(|)()(|)()(|)()11111116343334=++=⨯+⨯+⨯=P A P A B P B P A C P C P A D P D (6)分（2）由贝叶斯公式，有()(|)(|)()=P B P A B P B A P A11263194⨯== ……………………….8分 ()(|)(|)()=P C P A C P C A P A 11143134⨯== …………………... 10分()(|)(|)()=P D P A D P D A P A 11433194⨯== (12)分2．解 （1）X 的分布律为 (4)分分布函数为0,3,1,34,4()5,45,81, 5.<⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩x x F x x x ……………………………….…6分(2)131333()3453.48888=⨯+⨯+⨯+⨯=E X …………………………….….8分 四、计算下列各题（共30分）1．（12分）解 （1）由分布函数的性质，得22lim ()lim()1,-→∞→∞=+=x x x F x a be即1,=a .…………….2分2200lim ()lim()0,++-→→=+=x x x F x a be 即1,+=a b 1=-b故 1,=a 1=-b ……………………4分 （2）()()'=f x F x22,0,()0,0.-⎧⎪≥=⎨⎪<⎩x xe x fx x (8)分（3）22221[4--<<==-=x x P X xedx e…………………12分 2.（8分）设(),()Y Y F y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则当0y ≤时，有 (){}{}{}0.XY F y P Y y P e y P =≤=≤=∅= …………2分 当0y >时，因为()xgx e =是x 的严格单调增函数，所以有{}{ln }.Xe y X y ≤=≤因而2ln 2(){}{}{ln }x yX Y F y P Y y P e y P X y edx--∞=≤=≤=≤=………………….…6分再由()(),Y Y f y F y '=得2(ln)2,0,()0,yYyf y-⎧>=≤⎩y0.………………….…8分3．(10分)解（1）由211214(,)1,21xf x y dxdy cx y dy dx c∞∞-∞-∞-⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰得214c=. ……2分（2）()(,)Xf x f x y dy∞-∞=⎰212422121(1),11,,11,840,0,xx x xx ydy x⎧⎧--≤≤-≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰其他.其他.…………………5分()(,)Yf y f x y dx∞-∞=⎰5227,01,,01,20,0,x ydx y y y⎧⎧≤≤≤≤⎪⎪==⎨⎨⎪⎪⎩⎩其他.其他.………………8分（3）由于(,)()()X Yf x y f x f y≠，所以X与Y不独立 (10)分五、计算题（共15分）1．（6分）解：由于~(100,0.2)X B，则()20,()16.E X Var X==…………2分{1430}<<P X1420203020{}444XP---=≤≤20{1.5 2.5}4XP-=-≤≤ (4)分(2.5)( 1.5)≈Φ-Φ-(2.5)[1(1.5)]0.9270=Φ--Φ=………………………6分2.（9分）解：(1) 总体的一阶原点矩11()()(1)2E X xf x dx x x dxθθθθ∞-∞+==⋅+=+⎰⎰，样本一阶原点矩为X (2)分令12Xθθ+=+，得θ的矩估计为21ˆ1XXθ-=-. …………………4分(2)似然函数为12()(1)...nnL x x xθθθθθ=+ (6)分即 1ln ()ln(1)ln ,nii L n x θθθ==++∑令1ln ()ln 01ni i d L n x d θθθ==+=+∑ (8)分得θ的极大似然估计为 1ˆ(1)ln nii nxθ==-+∑ 所以θ的极大似然估计量为 1ˆ(1)ln nii nXθ==-+∑ (9)分六、证明题（5分）证明 因为2~(0,3)i X N ,2~(0,3)i Y N所以 911~(0,1)9i i X X N ==∑，1~(0,1)3i Y N …………2分29291~3i i Y V χ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，且X 与V 相互独立， (3)分9991~i iX XXt ==∑∑ ………………………………5分。

10-11_1__概率论与数理统计C__A卷__答案__

10-11_1__概率论与数理统计C__A卷__答案__

少学时一、填空题（每小题4分, 共20分）1、0.7. 2、2357(1)C p p -. 3、44 . 4、(8,)B p .5、14 . 二、单项选择题（每小题4分, 共20分）1、B. 2 D. 3、C. 4、B. 5、A.三、解答题 (本题10分) 设B A ,分别表示电池是甲，乙厂生产的；C 表示事件“取出的产品是次品”， 由题意：由题意：(())75.0=A P ， (())25.0=B P , ()02.0=A C P , ()04.0=B C P , （1） 由全概率公式得：由全概率公式得： ()()()()()B P B C P A P A C P C P ´+´=＝025.025.004.075.002.0=´+´ ……………………………………………………55分 （2） 由贝叶斯公式得：由贝叶斯公式得：()()()()()()4.0025.025.004.0=´=´==C P B P B C P C P BCP C B P (10)10分四、解答题(本题10分) 因为5(1)9P X ³=，故4(1)9P X <= 而 2(1)(0)(1)P X P X p <===-, 故得24(1),9p -= 即 1.3p = ……………………………………………………55分 从而从而 465(1)1(0)1(1)0.8024781P Y P Y p ³=-==--=» (10)10分五、解答题 (本题10分 )()()()2ln Y F y P Y y P X y =£=-£=2y P X e -æö³ç÷èø21y P X e -æö=-<ç÷èø (6)6分 当0y £时 ()0Y F y =当0y >时 ()y F Y =()201y eX f x dx --ò=201y edx --ò=21y e --\ ()y f Y =()[]'y F Y =2120ye -ìïíïî 00y y >£ …………………………………………1010分 六、解答题 (本题 10分) (1) 由240()d e d 18x cf x x cx x +¥+¥--¥===òò得8c =. ....………………………………………………………………………………33分(2) 24()()d()8e d xE X xf x x x x x +¥+¥--¥==òò2240π8e d .4xx x +¥-==ò …………………………………………………66分 (3) 2222401()()d()8e .4x E X x f x x x x+¥+¥--¥==òò少学时故2221π4π()()[()]4416D XE X E X æö-=-=-=ç÷èø (10)10分 七、解答题 (本题 10分) 联合分布表中含有零元素，X 与Y 显然不独立，由联合分布律易求得X ，Y 及XY的分布律，其分布律如下表：的分布律，其分布律如下表：X -1 0 1 P 38 28 38Y-1 0 1 P38 28 38XY -1 0 1 P284828……………………………………………………33分由期望定义易得E （X ）=E （Y ）=E （XY ）=0.从而E (XY )=E (X )·E (Y ),再由相关系数性质知ρXY =0,即X 与Y 的相关系数为0，从而X 和Y 是不相关的. (7)7分 又331{1}{1}{1,1}888P X P Y P X Y =-=-=´¹==-=-从而X 与Y 不是相互独立的. (10)10分八、解答题 (本题 10分)（1）()()dy y x f x fXò+¥¥-=,＝1060xxdy -ìïíïîò 其它10££x ()610x x -ìïíïî＝ 其它10££x (2)2分 ()()dx y x f y f Y ò+¥¥-=,=1060y xdx -ìïíïîò 其它10££y()2310y ì-ïíïî＝ 其它10££y ............................................................44分 显然：()()(),X Y f x y f x f y ¹，\ X 与Y 相互不独立相互不独立 (6)6分 （2）()P Y X £11206yydy xdx -=òò()120312y dy=-ò＝34 .…………………………10分。

2010-2011(1)《概率论》(A)和答案2011-1-8

2010-2011(1)《概率论》(A)和答案2011-1-8

专业、班级：姓名：学号：共8 页第2 页共8页第5页共8页第 6 页共8页第7 页共8页第8 页一、单项选择题(每题3分 共30分) （1）B （2）D （3）A（4）B （5）D （6）C （7）C （8）A （9）C （10）B二、（8分）解：()()()0.60.50.40.4P AB P B P AB =-=-⨯=......................4分()()()()0.7P A B P A P B P AB =+-= ......................8分三、（6分）解：设i A 表示第)3,2,1(=i i 台车床需要维修，则所求概率为)(1321A A A P P -= ......................2分利用独立性有 )()()(1321A P A P A P P -= ......................4分997.0)85.01)(8.01)(9.01(1=----= ......................6分四、（8分） 解：[1,),()()()...........31()01()(ln )(ln )....................................5X X Y Y Y X Y e Y F y P Y y P e y y F y y F y P X y F y =+∞=≤=≤<≥≤=可能取值范围为的分布函数为分当时，＝当时，＝分[(ln )]'1() (60)1XY Y F y y f y y ≥⎧=⎨<⎩则的密度函数为分分分8 (1)0117...............................................10112.ln ⎪⎩⎪⎨⎧<≥=⎪⎩⎪⎨⎧<≥=-y y y y y y ey五、（8分）解：设X 表示一年内死亡的人数，则~(1000000,0.0001)X B ………3分 于是保险公司亏本的概率为(200002001000000)(10000)1P X P X P X >⨯=>=-≤ ……….5分=1P -≤……….6分=1P -≤10≈-Φ≈ …………8分 六、（18分） 解：()0()00(1)()(,) (200)()(,) (30)x y x X x y y Y edy e x f x f x y dy x edx e y f y f x y dx y +∞-+-+∞-∞+∞-+-+∞-∞⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎧=>⎪==⎨⎪≤⎩⎰⎰⎰⎰分分（2）因为 (,)()()X Y f x y f x f y =所以X 与Y 是否相互独立........................8分(3) 0()()(,)()()()0xX Y Y Y e x f x f y f x y f x y f y f y x -⎧>===⎨≤⎩........................11分(4) {}111()100011()12x x y x P X Y dx e dy e e dx e --+---+≤==-=-⎰⎰⎰ ........................14分(5)()0.()(,) (150)00000Z z x z x z Z X Yf z f x z x dxe dx z ze z z z +∞-∞-+--=+=-⎧⎧>>⎪=⎨⎨≤⎩⎪≤⎩⎰⎰分= ........................18分七、（14分）解:(1) 1130063()()55E X dx x xy dy =+=⎰⎰ ........................3分 11220063()()55E Y dx x y y dy =+=⎰⎰ ........................5分 11320067()()520E XY dx x y xy dy =+=⎰⎰ ........................8分 (2) 7331cov(,)()()()02055100X Y E XY E X E Y =-=-∙=-≠ ........................10分 所以，X Y 与是相关的 ........................11分（3）21cov(29,)2cov(,)cov(9,)10050X Y X Y Y +=+=-=- ........................14分八、（8分）解：设),(Y X L 为一天中该厂获得的利润，由题意分2.......................)(100300300),(⎩⎨⎧>-+≤=X Y X Y X X Y Y Y X L而),(Y X 的联合概率密度为 分其它，，4.......................0,201030102001),(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤=y x y x f则一天中该厂可取得的平均利润是分6.............................................),(),()(⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x L L E =⎰⎰⎰++20101030]300)100200([2001dy ydx dx y x y y =314333（元）分8.......................................................。

概率论与数理统计期末考试试卷答案

概率论与数理统计期末考试试卷答案

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分)1、A ，B 为二事件，则A 、B 、C 、D 、2、设A ，B ，C 表示三个事件，则表示A 、A ，B ，C 中有一个发生B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生3、A 、B 为两事件，若，，，则成立A 、B 、C 、D 、4、设A ，B 为任二事件，则A 、B 、C 、D 、5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是A 、与独立B 、与独立C 、D 、与一定互斥6、设离散型随机变量的分布列为其分布函数为，则A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量的密度函数为，则常数A 、B 、C 、4D 、58、设～，密度函数，则的最大值是A 、0B 、1C 、D 、9、设随机变量可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为，则下式成立的是A 、B 、C 、D 、10、设服从二项分布B(n,p),则有A 、B 、C 、D 、11、独立随机变量，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是A 、B 、C 、D 、12、设随机变量的分布列为： 则常数c= A 、0 B 、1 C 、D 、13、设～,又常数c 满足,则c 等于A 、1B 、0C 、D 、-114、已知,则=A 、9B 、6C 、30D 、3615、当服从( )分布时,。

A 、指数B 、泊松C 、正态D 、均匀16、下列结论中，不是随机变量与不相关的充要条件。

A、 B、C、 D、与相互独立17、设～且，则有A、 B、C、 D、18、设分别是二维随机变量的联合密度函数及边缘密度函数，则是与独立的充要条件。

A、 B、C、与不相关D、对有19、设是二维离散型随机变量，则与独立的充要条件是A、 B、 C、与不相关D、对的任何可能取值20、设的联合密度为，若为分布函数，则A、0B、C、D、1二、计算题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)1、若事件 A与B相互独立，。