山东省2017-2018年中考数学二轮专题复习 专题6 二次函数

时，S有最大值，最大值为 ，此时点P的坐标为（3; ＝－ m2＋9m＝－ （m2－6m）＝－ （m－3）2＋ .


∵－ ＜0，∴ 当m＝3
类型二面积问题
典例2 （2023·
湘潭）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c 的图象与x轴交于点
∴ 设M（t，－t2＋2t＋3）（0＜t＜3），则Q（t，－t＋3）.∴ MQ
＝－t2＋3t.过点Q作QD⊥OC，垂足为D，则易得△CDQ是等腰直
角三角形.∴ CQ＝ t.
∴ MQ＋ CQ＝－t2＋3t＋2t＝－t2＋5t＝－



−
＋ .∴


时，MQ＋ CQ 有最大值，此时点M的坐标为
式，当x＝1时求出y的值，从而求出点P的坐标，此时PA＋PC的最
小值就是BC的长，利用勾股定理求解即可；（3） 由抛物线与直线
BC对应的函数解析式，分别设出点M，Q的坐标，过点Q作
QD⊥OC，垂足为D，将MQ＋ 2CQ用含参数的代数式表示出来，
再结合二次函数的性质求解问题.
解：（1） ∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）的对称轴是直线x＝1，点A的坐标为（－
1，0），∴ 由抛物线的对称性，可知点B的坐标为（3，0）.
（2） 由题意，可知抛物线对应的函数解析式为y＝a（x＋1）（x－
3）＝a（x2－2x－3）.∵ 抛物线y＝ax2＋bx＋3（a≠0）与y轴交于点
C，
∴ 易得C（0，3）.将C（0，3）代入y＝a（x2－2x－3），得－3a＝
3，解得a＝－1.∴ 抛物线对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3.如图

中考数学综合题专题【二次函数】专题解析1．（北京）已知二次函数 y ＝( t ＋1)x 2＋2( t ＋2)x ＋ 在 x ＝0 和 x ＝2 时的函数值相等． （1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数 y ＝kx ＋6 的图象与二次函数的图象都经过点 A （－3，m ），求 m 和 k 的值；（3）设二次函数的图象与 x 轴交于点 B ，C （点 B 在点 C 的左侧），将二次函数的图象在点 B ，C 间的部分（含点 B 和点 C ）向左平移 n （n ＞0）个单位后得到的图象记为 G ，同时将 （2）中得到的直线 y ＝kx ＋6 向上平移 n 个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象 G 有公共点时，n 的取值范围．解：（1）由题意得( t ＋1)·22＋2( t ＋2)·2＋ ＝ 解得 t ＝－∴二次函数的解析式为 y ＝－ x 2＋x ＋（2）∵A （－3，m ）在二次函数 y ＝－ x 2＋x ＋ 的图象上 ∴m ＝－ ×(－3)2＋(－3)＋ ＝－6 ∴点 A 的坐标为（－3，－6）∵点 A 在一次函数 y ＝kx ＋6 的图象上 ∴－6＝－3k ＋6，∴k ＝4（3）由题意，可得点 B ，C 的坐标分别为（－1，0），（3，0） 平移后，点 B ，C 的对应点分别为 B ′（－1－n ，0），C ′（3－n ，0） 将直线 y ＝4x ＋6 平移后得到直线 y ＝4x ＋6＋n图 1如图 1，当直线 y ＝4x ＋6＋n 经过点 B ′（－1－n ，0）时，图象 G （点 B ′ 除外）在该直线右侧由 0＝4(－1－n )＋6＋n ，得 n ＝如图 2，当直线 y ＝4x ＋6＋n 经过点 C ′（3－n ，0）时， 图象 G （点 C ′ 除外）在该直线左侧由 0＝4(3－n )＋6＋n ，得 n ＝6∴由图象可知，符合题意的 n 的取值范围是 ≤n ≤6 2．（北京模拟）已知抛物线 y ＝－x 2＋( m －2)x ＋3( m ＋1)． 图 2 （1）求证：无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有交点；（2）设抛物线与 y 轴交于点 C ，当抛物线与 x 轴有两个交点 A 、B （点 A 在点 B 的左侧）时， 如果∠CAB 或∠CBA 这两角中有一个角是钝角，求 m 的取值范围；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线的顶点，当△PAO 的面积与△ABC 的面积相等时，求该抛物线的解析式． （1）证明：∵△＝( m －2)2－4×(－1)×3( m ＋1)＝( m ＋4)2≥0 ∴无论 m 为任何实数，抛物线与 x 轴总有交点 （2）解：由题意，m ＋1＜0当 m ＝－4，图象与 x 轴只有一个交点∴m ＜－1 且 m ≠-4（3）解：令 y ＝－x 2＋( m －2)x ＋3( m ＋1)解得 x 1＝m ＋1，x 2＝－3可求得顶点 P （ ，）①当 A （m ＋1，0）、B （－3，0）时 ∵S △PAO ＝S △ABC ，∴( m ＋1)× ＝ (－m －4)×3( m ＋1) 解得 m ＝－16∴y ＝－x 2－18x －45②当 A （－3，0）、B （m ＋1，0）时同理得×3× ＝ ( m ＋4)×[－3( m ＋1)] 解得 m ＝－ ∴y ＝－x 2－ x －3．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系 xO y 中，二次函数 y ＝－ x 2＋bx ＋c 的图象经过点 A （－1，1）和点 B （2，2），该函数图象的对称轴与直线 OA 、OB 分别交于点 C 和点 D ． （1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴； （2）求证：∠ABO ＝∠CBO ；（3）如果点 P 在直线 AB 上，且△POB 与△BCD 相似，求点 P （1）解：由题意，得 解得∴二次函数的解析式为 y ＝－ x 2＋ x ＋2 对称轴为直线 x ＝1 （2）证明：易得直线 OA 的解析式为 y ＝－x ，从而 C 的坐标为（1，－∵由 A （－1，1），B （2，2），C （1，－1） 得 AB ＝BC ＝，OA ＝OC ＝∴∠ABO =∠CBO（3）解：由直线 OB 的表达式 y ＝x ，得点 D 的坐标为（1，1） 由 A （－1，1），B （2，2），得直线 AB 的解析式为 y ＝ x ＋ 从而直线 AB 与 x 轴的交点 E 的坐标为（－4，0） ∵△POB ∽△BCD 相似，∠ABO ＝∠CBO2yBPA 1 DH 1 F x C∴∠BOP ＝∠BDC 或∠BOP ＝∠BCD ①当∠BOP ＝∠BDC 时由∠BDC ＝135°，得∠BOP ＝135° 此时点 P 与点 E 重合∴点 P 的坐标为（－4，0） ②当∠BOP ＝∠BCD 时由△POB ∽△BCD ，得＝而 BO ＝2，BD ＝，BC ＝，∴BP ＝ 又∵BE ＝2，∴PE ＝作 PH ⊥x 轴，垂足为点 H ，BF ⊥x 轴，垂足为点 F 则 PH ∥BF ，∴＝ ＝．而 BF ＝2，EF ＝6，∴PH ＝ ，EH ＝ ，∴OH ＝ ∴点 P 的坐标为（，）综上所述，点 P 的坐标为（－4，0）或（，）4．（安徽）如图，排球运动员站在点 O 处练习发球，将球从 O 点正上方 2m 的 A 处发出， 把球看成点，其运行的高度 y （m ）与运行的水平距离 x （m ）满足关系式 y ＝a ( x －6)2＋h ．已知球网与 O 点的水平距离为 9m ，高度为 2.43m ，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m ．（1）当 h ＝2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量 x 的取值范围）； （2）当 h ＝2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由； （3）若球一定能越过球网，又不出边界，求 h 的取值范围．解：（1）当h＝2.6 时，y＝a( x－6)2＋2.6由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－∴y＝－( x－6)2＋2.6（2）当h＝2.6 时，由（1）知y＝－( x－6)2＋2.6由于当x＝9 时，y＝－(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网由－(x－6)2＋2.6＝0，x ＞0，得x＝6＋＞18或由x＝18 时，y＝－( 18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界（3）根据题设知y＝a( x－6)2＋h由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2 ① 由球能越过球网，得9a＋h ＞2.43 ② 由球不出边界，得144a＋h ≤0 ③解得h ≥ ，所以h 的取值范围是h ≥5．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c 时，相应的函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1 的任意实数a、b，总有y a＋y b ≥1．如果存在，求出实数m 的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：设f(x )在0≤x≤1 的最小值为M，原问题等价于2M ≥1，即M ≥ 二次函数y＝x2－2mx＋1 的图象是一条开口向上的抛物线①当对称轴x＝m≤0 时，由图象可知，x＝0 时，y 最小＝1，此时1≥ 成立②当对称轴x＝m 在0＜m＜1 时，由图象可知x＝m 时，y 最小且y 最小＝1－m2此时有1－m2 ≥ ，即m2≤ ，故有0＜m≤③当对称轴x＝m 在m ≥1 时，由图象可知，x＝1 时，y 最小且y 最小＝2－2m此时有2－2m ≥ ，即m≤ ，与m ≥1 矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m 存在，且m 的取值范围是m≤6．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．（1）证明：不论 a 取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2 的顶点P 总在x 轴的下方；（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2 与y 轴交于点C，如果过点C 且平行于x 轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD 能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x 轴的交点之一为点A，则能使△ACD 的面积等于的抛物线有几条？请证明你的结论．解：（1）∵判别式△＝a2－4( a－2)＝( a－2)2＋4＞0∴抛物线与x 轴总有两个交点又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x 轴下方（或由二次函数解析式得：y＝( x＋)2－a2＋a－2∵抛物线顶点的纵坐标为－a2＋a－2＝－[ ( a－2)2＋1]＜0，当 a 取任何实数时总成立∴不论a 取何值，抛物线的顶点P 总在x 轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q(－，－a2＋a－2)，点C(0，a－2) 当a≠0 时，过点C 存在平行于x 轴的直线与抛物线相交于另一点D 此时CD＝|－a|，点Q 到CD 的距离为|(a－2)－(－a2＋a－2)＝a2 过Q 作QP⊥CD 于P要使△QCD 为等边三角形，则需OP＝CD，即a2＝|－a|由a≠0，解得a＝±2（或由CD＝CQ，或由CP＝CO 等求得a 的值）∴△QCD 可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋2x＋2－2 或y＝x2－2x－2－2（3）∵CD＝|－a|，点A 到CD 的距离为＝|a－2| 由S△ACD＝|a(a－2)|＝，解得a＝1±或a＝1±∴满足条件的抛物线有四条7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2 和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)( －2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t 是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线 E 上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t＝2 时，抛物线y＝t( x2－3x＋2)＋( 1－t)( －2x＋4)的顶点坐标为；（2）判断点A 是否在抛物线E 上；（3）求n 的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t 取任何不为零的实数，抛物线E 总过定点，坐标为．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2 是二次函数y＝x2－3x＋2 和一次函数y＝－2x＋4 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t 的值；如果不是，说明理由；【应用2 】以AB 为边作矩形ABCD ，使得其中一个顶点落在y 轴上，若抛物线E 经过A、B、C、D 其中的三点，求出所有符合条件的t 的值．解：[尝试]（1）（1，－2）（2）将x＝2 代入y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)( －2x＋4)，得y＝0，所以点A（2，0）在抛物线E 上（3）将x＝－1 代入n＝t( x2－3x＋2)＋( 1－t)( －2x＋4)＝6[发现]A（2，0），B（－1，6）[应用1]∵x＝－1 代入y＝－3x2＋5x＋2，计算得y＝－6≠6∴抛物线y＝－3x2＋5x＋2 不经过点B∴二次函数y＝－3x2＋5x＋2 不是二次函数y＝x2－3x＋2 和一次函数y＝－2x＋4 的一个“再生二次函数”[应用2]]如图，作矩形ABC1D1 和ABC2D2，过点B 作BK⊥y 轴于点K，过点B 作RM⊥x轴于点M易得AM＝3，BM＝6，BK＝1，△KBC1∽△MBA易知△KBC1≌△GAD1，得AG＝1，D1G＝，∴点D1（3，）易知△OAD2∽△GAD1，得＝由AG＝1，OA＝2，D1G＝，求得OD2＝1，∴点D2（0，－1）易知△TBC2≌△OD2A，得TC2＝AO＝2，BT＝OD2＝1，∴点C2（－3，5）∵抛物线E 总过定点A（2，0），B（－1，6）∴符合条件的三点只可能是A、B、C 或A、B、DM D O 1 A G x2当抛物线 E 经过 A 、B 、C 1 时，将 C 1（0，）代入 y ＝t ( x 2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)，求得 t 1 ＝－当抛物线 E 经过 A 、B 、D 1，A 、B 、C 2，A 、B 、D 2 时，可分别求得 t 2＝ ，t 3＝－ ，t 4＝ ∴满足条件的所有 t 的值为：－ ，，－ ，8．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系 xO y ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为 1 千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度 y （千米）与飞行的水平距离 x （千米）满足关系式 y ＝kx － (1＋k 2)x 2（k ＞0），其中 k 与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标． （1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 3.2 千米，试问它的横坐标 a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． 解：（1）令 y ＝0，得 kx － (1＋k 2)x 2＝0由实际意义和题设条件知 x ＞0，k ＞0∴x ＝ ＝ ≤ ＝10，当且仅当 k ＝1 时取等号 ∴炮的最大射程为 10 千米（2）∵a ＞0，炮弹可以击中目标∴存在 k ＞0，使 ka － (1＋k 2)a 2＝3.2 成立∴关于 k 的二次方程 a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0 有正根 ∴△＝(－20a )2－4a 2( a 2＋64)≥0，解得 a ≤6∴当它的横坐标 a 不超过 6 千米时，炮弹可以击中它9．（江苏模拟）已知一次函数 y 1＝kx ＋m 与二次函数 y 2＝2ax 2＋2bx ＋c （b 为整数）的图象交于 A （2－2，3－2）、B （2＋2，3＋2）两点，二次函数 y 2＝2ax 2＋2bx ＋c 和二次函数 y 3＝ ax 2＋bx ＋c －1 的最小值的差为 l ． （1）求 y 1、y 2、y 3 的解析式；（2）若 y 1 与 y 3 的图象交于 C 、D 两点，求 CD 的长；（3）P 是 y 轴上一点，过点 P 任意作一射线分别交 y 2、y 3 的图象于 M 、N ，过点 M 作直线 y ＝－1 的垂线，垂足为 G ，过点 N 作直线 y ＝－3 的垂线，垂足为 H ．是否存在这样的点 P ， 使 PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立，若存在，求出 P 点的坐标，并探究是否为定值；若不存在， 请说明理由．解：（1）将 A （2－2，3－2）、B （2＋2，3＋2）代入 y 1＝kx ＋m ，得解得： ∴y 1＝x ＋1将 A 、B 两点的坐标代入 y 2＝2ax 2＋2bx ＋c ，整理得：8a ＋2b ＝1易得 y 2＝2ax 2＋2bx ＋c 的最小值为 c － ，y 3＝ax 2＋bx ＋c －1 的最小值为 c －1－ 由题意，|c － －( c －1－ )|＝1，即|1－ |＝1 又 8a ＋2b ＝1，得|1－ |＝1 ∴1－ ＝1，解得 b ＝0或 1－ ＝－1，整理得 b 2＋2b －1＝0，此方程无整数解 ∴b ＝0，代入 8a ＋2b ＝1，得 a ＝ ∴y 2＝ x 2＋c 令 x ＋1＝ x 2＋c ，得 x 2－4x ＋4c －4＝0 ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4c －4 ∵( x 1－x 2 )2＝( x 1＋x 2 )2－4x 1x 2 ＝[2＋2－( 2－2)]2＝32 ∴42－4( 4c －4 )＝32，∴c ＝0 ∴y 2＝ x 2，y 3＝ x 2－1 （2）令 x ＋1＝ x 2－1，得 x 2－8x －16＝0 ∴x 3＋x 4＝8，x 3x 4＝－16 ∴( x 3－x 4 )2＝( x 3＋x 4 )2－4x 3x 4 ＝82－4×(－16)＝128∴| x 3－x 4|＝8 ∴| C D |＝×8 ＝16（3）设 P （0，t ），M （x ，y ）则 PM 2＝x 2＋( t －y )2＝x 2＋t 2－2t y ＋y 2 MG 2＝( y ＋1)2＝y 2＋2y ＋1 ∵y ＝ x 2，∴x 2＝4y∴PM 2＝4y ＋t 2－2t y ＋y 2＝y 2＋2y ＋1∴2y －2t y ＋t 2－1＝0，即 2y (1－t )＋( t 2－1)＝0 要使 2y (恒成立则 1－t ＝0 且 t 2－1＝0，∴t ＝1∴当点 P 的坐标为（0，1）时，PM ＝MG 恒成立此时 y 2NH 2＝( y ＋3)2＝y 2＋6y ＋9 ∵y ＝ x 2－1，∴x 2＝8y ＋8∴PN 2＝8y ＋8＋1－2y ＋y 2＝y 2＋6y ＋9 ∴PN 2＝NH 2，即 PN ＝NH故存在点 P （0，1），使 PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立设直线 y ＝－1、y ＝－3 分别与 y 轴交于 E 、F ，连接 PG 、PH ∵MG 、NH 分别是直线 y ＝－1、y ＝－3 的垂线 ∴MG ∥NH ，∴∠PMG ＝∠PNH∵PM ＝MG ，PN ＝NH ，∴∠MPG ＝∠MGP ，∠NPH ＝∠NHP ∴∠MPG ＝∠NPH ，∴P 、G 、H 三点在同一直线上 ∴＝ ＝ ，又 PE ＝1＋1＝2，PF ＝1＋3＝4 ∴＝ ＝ ，即为定值y ＝ x 22y ＝ x 2 － 13P MNO xy ＝－ 1 Ey ＝－ 3F H10．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与 x 轴交于 A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为 C ，且 AC ⊥BC ．（1）若 m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点 Q 在直线 y ＝kx ＋1 上移动，O 为原点，当 m ＝4 时，直线 y ＝kx ＋1 上只存在一个点 Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线 y ＝kx ＋1 的解析式．解：（1）设抛物线的解析式为 y ＝a ( x －m ＋2)( x －m －2)＝a ( x －m )2－4a∵AC ⊥BC ，由抛物线对称性知△ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB ＝( m ＋2) －( m －2)＝4∴C （m ，－2），∴－4a ＝－2，∴a ＝ ∴抛物线的解析式为 y ＝ ( x －m )2－2（2）当 m ＝4 时，B （6， 0）， 设直线 y ＝ k x ＋1 与 x 轴交于 H （t ，0），与 y 轴交于 E （0，1）并设 OB 中点为 G ，以 OB 为直径作⊙G当直线与⊙G 切于点 Q 时，只存在一个点 Q 使得∠OQB ＝90° 设 HO ＝t ，∵HQ 是⊙G 的切线，∴∠GQH ＝90°＝∠EOH7GB xGy2 又∠QHG ＝∠OHE ，∴△QHG ∽△OHE ∴＝而 QG ＝3，OE ＝1，∴QH ＝3OH ＝－3t 在 Rt △中，QH 2＋QG 2＝HG 2∴(－3t )2＋3 2＝(3－t )2，解得 t ＝0（舍去）或 t ＝－∴H （－ ，0），把 H （－ ，0）代入 y ＝kx ＋1，得－ k ＋1＝0，∴k ＝ ∴所求直线为 y ＝ x ＋111．（湖南娄底）已知二次函数 y ＝x 2－(m 2－2)x －2m 的图象与 x 轴交于点 A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与 y 轴交于点 C ，且满足＋ ＝ ． （1）求这个二次函数的解析式； （2）探究：在直线 y ＝x ＋3 上是否存在一点 P ，使四边形 PACB 为平行四边形？如果有，求出点 P 的坐标； 如果没有，请说明理由．解：（1）由已知得：x 1＋x 2＝m 2－2，x 1x 2＝－2m ∵ ＋ ＝ ，即 ＝ ，∴ ＝ 解得 m ＝1，或 m ＝－2 当 m ＝1 时，y ＝x 2＋x －2，得 A （－2，0），B （1，0） 当 m ＝－2 时，y ＝x 2－2x ＋4，与 x 轴无交点，舍去 ∴这个二次函数的解析式为 y ＝x 2＋x －2（2）由（1）得 A （－2，0），B （1，0），C （0，－2）假设存在一点 P ，使四边形 PACB 是平行四边形，则 PB ∥根据平移知识可得 P （－1，2）经验证 P （－1，2）在直线 y ＝x ＋3 上故在直线 y ＝x ＋3 上存在一点 P （－1，2），使四边形 12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于 x 的函数 y ＝(k －1)x 2（1）求 k 的取值范围；（2）若 x 1，x 2 是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足(k －1)x 12＋2kx 2＋k ＋2＝4x 1x 2．①求 k 的值；②当 k ≤x ≤k ＋2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值与最小值．解：（1）当 k ＝1 时，函数为一次函数 y ＝－2x ＋3，其图象与 x 轴有一个交点当 k ≠1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点 令 y ＝0，得(k －1)x 2－2kx ＋k ＋2＝0△＝(－2k )2－4(k －1)( k ＋2)≥0，解得 k ≤2，即 k ≤2 且 k ≠1 综上所述：k 的取值范围为 k ≤2（2）①∵x 1≠x 2，由（1）知 k ＜2 且 k ≠1 由题意得(k －1)x 12＋( k ＋2)＝2kx 1 （*）将（*）代入(k －1)x 1 ＋2kx 2＋( k ＋2)＝4x 1x 2 中得： 2k ( x 1＋x 2)＝4x 1x 2O8y63 － 3 0 3 6 x－ 3－ 6 1 xx ＝－－ 3又∵x 1＋x 2＝ ，x 1x 2＝∴2k · ＝4· ，解得：k 1＝－1，k 2＝2（不合题意，舍去） ∴所求 k 值为－1②∵k ＝－1，∴y ＝－2x 2＋2x ＋1＝－2( x － )2＋ 且－1≤x ≤1由图象知：当 x ＝－1 时，y 最小＝－3；当 x ＝ 时，y 最大＝∴y 的最大值为 3 ，最小值为－3213．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题： （1）解方程 x 2－2x －3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于 x 的方程 mx 2＋(m －3)x －3＝0（m 为常数，且 m ≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题： （3）已知关于 x 的函数 y ＝mx 2＋(m －3)x －3（m 为常数）．①求证：不论 m 为何值，此函数的图象恒过 x 轴、y 轴上的两个定点（设 x 轴上的定点为 A ，y 轴上的定点为 C ）；②若 m ≠0 时，设此函数的图象与 x 轴的另一个交点为 B ，当△ABC 为锐角三角形时， 求 m 的取值范围；当△ABC 为钝角三角形时，观察图象，直接写出 m 的取值范围．请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.． 解：（1）由 x 2－2x －3＝0，得( x ＋1)( x －3)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3（2）方法一：由 mx 2＋(m －3)x －3＝0 得( x ＋1)( mx －3)＝0∵m ≠0，∴x 1＝－1，x 2＝ 方法 2：由公式法：x 1,2＝ ＝ ＝ ∴x 1＝－1，x 2＝y （3）① 1° 当 m ＝0 时，函数 y ＝mx 2＋(m －3)x －3 为 y ＝－3x －3 3 令 y ＝0，得 x ＝－1，令 x ＝0，得 y ＝－3AB∴直线 y ＝－3x －3 过定点 A （－1，0），C （0，－3） 2° 当 m ≠0 时，函数 y ＝mx 2＋(m －3)x －3 为 y ＝( x ＋1)( mx －3) ∴抛物线 y ＝( x ＋1)( mx －3)恒过两定点 A （－1，0），C （0，－3）和 B （，0）－1 0 3 6x－3Cy②当m＞0 时，由①可知抛物线开口向上，且过点A（－1，0），C（0，－3）和B（3，－06）观察图象可知，当△ABC 为直角三角形时，有△AOC∽△COB∴＝，∴|OC|2＝|OA|·|OB|9B A B－1 0 3 6 9x－3C－6∴32＝1×|OB|，∴OB＝9，即B（9，0）∴当0＜＜9，即m＞时，△ABC 为锐角三角形观察图象可知，当0＜m＜时，B 点在（9，0）的右侧，∠ACB＞90º当m＜0 且m≠－3 时，点 B 在x 轴的负半轴上，B 与A 不重合∴△ABC 中∠ABC＞90º 或∠BAC＞90º，∴△ABC 为钝角三角形∴当0＜m＜或m＜0 且m≠－3 时，△ABC 为钝角三角形14 ．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx 2 ＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是 2 ，与x 轴交于A （x1 ，0 ）、B （x2 ，0 ），x1 ＜0 ＜x2 ，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan∠CAO －tan∠CBO＝1．（1）求证：n＋4m＝0；（2）求m、n 的值；（3）当p＞0 且二次函数图象与直线y＝x＋3 仅有一个交点时，求二次函数的最大值．解：（1）将2 代入顶点横坐标得：－＝2，∴n＋4m＝0（2）∵已知二次函数图象与x 轴交于A（x1，0）、B（x2，0），且由（1）知n＝－4m∴x1＋x2＝－＝－＝4，x1x2＝∵x1＜0＜x2，∴在Rt△ACO 中，tan∠CAO＝＝在Rt△CBO 中，tan∠CBO＝＝∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，∴－＝1∵x1＜0＜x2，∴OC＝| p|≠0∴＋＝－＝－，即＝－∴＝－，∴p＝－4m|p|①当p＞0 时，m＝－，此时n＝1②当p＜0 时，m＝，此时n＝－1（3）当p＞0 时，二次函数的表达式为：y＝－x2＋x＋p∵二次函数图象与直线y＝x＋3 仅有一个交点，∴方程组仅有一个解∴一元二次方程x＋3＝－x2＋x＋p 即－x2＋p－3＝0 有两个相等根∴△＝02－4×(－)×( p－3)＝0，解得：p＝3此时二次函数的表达式为：y＝－x2＋x＋3＝－( x－2)2＋4∵a＝－＜0，∴y 有最大值415．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝2x 和函数y2＝－x＋6，不论x 取何值，y0 都取y1 与y2 二者之中的较小值．（1）求y0 关于x 的函数关系式；（2）现有二次函数y＝x2－8x＋c，若函数y0 和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y0 和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．解：（1）y0＝（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1 分）（2）∵对于函数y0，y0 随x 的增大而减小，∴y0＝－x＋6（x≥2）又∵函数y＝x2－8x＋c 的对称轴为直线x＝4，且a＝1＞0∴当x＜4 时，y 随x 的增大而减小∴2＜x＜4（3）①若函数y＝x2－8x＋c 与y0＝－x＋6 只有一个交点，且交点在2＜x＜4 范围内则x2－8x＋c＝－x＋6，即x2－7x＋( c－6)＝0∴△＝(－7)2－4( c－6)＝73－4c＝0，得c＝此时x1＝x2＝，符合2＜x＜4∴c＝②若函数y＝x2－8x＋c 与y0＝－x＋6 有两个交点，其中一个在2＜x＜4 范围内，另一个在2 ＜x＜4 范围外则△＝73－4c＞0，得c＜方法一：∵对于函数y0，当x＝2 时，y0＝4；当x＝4 时y0＝2又∵当2＜x＜4 时，y 随x 的增大而减小若y＝x2－8x＋c 与y0＝－x＋6 在2＜x＜4 内有一个交点则当x＝2 时y＞y0；当x＝4 时y＜y0即当x＝2 时y≥4；当x＝4 时y≤2也即解得16＜c＜18又c＜，∴16＜c＜18综上所述，c 的取值范围是：c＝或16＜c＜18方法二：由函数y＝x2－8x＋c 与y0＝－x＋6 的一个交点在2＜x＜4 范围内，另一个交点在2 ＜x＜4 范围外可得：或解第一个不等式组，可得即无解解第二个不等式组，可得即16＜c＜18又c＜，∴16＜c＜1816．（甘肃兰州）若x1、x2 是关于x 的一元二次方程y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2 和系数a、b、c 有如下关系：x1＋x2＝－，x1·x2＝．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a≠0 ）的图象与x 轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B 两个交点间的距离为：AB＝| x1－x2|＝＝＝＝．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax 2 ＋bx ＋c （a ＞0 ）的图象与x 轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求b2－4ac 的值；（2）当△ABC 为等边三角形时，求b2－4ac 的值；（3）当a＝c＝1，且∠ACB＝90°时，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB＝60°？解：（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过 C 作CD⊥AB 于D，则AB＝2CD∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b 2－4ac ＞0，则|b 2－4ac |＝b 2－4ac∵a＞0，∴AB＝＝又∵CD＝＝，∴ ＝2×∴＝，∴b2－4ac＝∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4（2）当△ABC 为等边三角形时由（1）可知CD＝AB，∴ ＝×∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12（3）∵∠ACB＝90°，∴b2－4ac＝4∵a＝c＝1，∴b2－4＝4，∴b＝±2∵向左或向右平移时∠ACB 的度数不变yDA B x∴只需将抛物线y＝x2±2x＋1 向上或向下平移使∠ACB＝60°，然后向左或向右平移C任意个单位即可设向上或向下平移后的抛物线解析式为y＝x2±2x＋1＋m∵平移后ACB＝60°，∴b2－4ac＝12即( ±2)2－4( 1＋m )＝12，∴m＝－2∴抛物线y＝x2＋bx＋1 向下平移2 个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB 的度数由90°变为60°。

如何求解二次函数最值不在顶点处的问题如何求解二次函数最值不在顶点处的问题有一类二次函数的最值问题，它的自变量x 的取值范围为全体实数中的“某一段”，欲解x 的这段范围内的函数最值问题，应视情况而定：当x 的“某一段”范围分布在对称轴的两侧时，函数最值就是二次函数的最值；当x 的“某一段”范围分布在对称轴的左侧或右侧时，要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值，常常在“端点”处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值．例1 当－2≤x ≤1时，二次函数y =－(x －m )2 + m 2 + 1有最大值4，则实数m 的值为( )(A) －74 (B)(C) 2 或－74分析 这里，二次函数中自变量x 的范围不是一切实数，而是实数范围中的“某一段”．x 的“某一段”有可能在对称轴x = m 的左侧，也有可能在直线x = m 的右侧，也有可能在直线x = m 的两侧．此三种情况均可画出对应的“草图”以增强问题分析的直观性． 解 抛物线开口向上，对称轴为直线x = m ．① x 的“某一段”分布在对称轴的右侧即m <－2，如图1，函数值y 随x 的增大而减小，所以当x =－2时函数值最大，即 －(－2－m )2 + m 2 + 1=4．解得m =－74，这与m <－2相矛盾，故此种情形不存在． ② x 的“某一段”分布在对称轴的两侧即－2≤m ≤1，如图2，当x = m 时函数值最大，即为二次函数的最大值，即 m 2 + 1=4．解得m =，但m 舍去．③ x 的“某一段”分布在对称轴的左侧即m >1，如图3，函数值y 随x 的增大而增大，所以当x = 1时函数值最大，即－(1－m )2 + m 2 + 1=4，解得m =2．综上，m 的值为2．故选C ．评注 情况①③的对称轴都没有在指定的x 的取值范围内，所以两种情况下的最值求解，依据的是二次函数对称轴一侧的增减性，而不是利用的最值公式；情况②的对称轴在指定的x 的范围内，最值为二次函数在全体实数范围内的最值．例2 已知二次函数y = x 2 + bx + c (b ，c 为常数)．(1) 当b =2，c =－3时，求二次函数的最小值；(2) 当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3) 当c =b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．分析 第(1) 问求二次函数在全体实数范围内的最值，利用的是最值公式．第(2) 问根据已知条件，可得关于x 的方程x 2 + bx + 4=0，利用判别式=0，得b =±4． 第(3) 问抛物线开口方向向上，与y 轴的交点 (0，c 2) 在y 轴的正半轴上，据此画出“草图”．抛物线与x 轴的交点有可能都落在x 轴的正半轴上，也有可能都落在x 轴的负半轴上；又因函数的最小值是指定自变量x 范围内的最小值，应从自变量x 的指定范围与对称轴x =－2b 的位置关系的三种情况出发逐一分析． 解 (1) y 最小=241(3)241××−−×=－4．(2) 由题意，得x 2 + bx + 4=0，方程有两个相等的实数根，故△=b 2－4×1×4=0，解得b =±4．所以二次函数的解析式为y = x 2 + 4x + 5，或y = x 2－4x + 5．(3) y =x 2 + bx + b 2，对称轴x =－2b 与x 指定范围的位置关系有三种情况： (i) 当b ≤x ≤b +3分布在对称轴x =－2b 的右侧时，则 －2b <b ，得b >0． 对称轴右侧的函数值y 随x 值的增大而增大，当x =b 时函数值最小，即b 2+b 2+b 2=21，解得b=但b=b(ii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的左侧时，有 －2b>b + 3，得b <－2．对称轴左侧的函数值y 随x 值的增大而减小，当x =b +3时函数值最小，即 (b + 3)2 + b (b + 3) + b 2=21，解得b =－4，b =1．但b=1舍去，所以b =－4．(iii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的两侧时，有 6<－2b <b +3，得－2<b <0． 此时，抛物线顶点纵坐标的值即为最小值，即2244b b −=21整理，得b 2=28，解得b =±但b=±综上，得y = x 2 x + 7，或y = x 2－4x +16．总之，求二次函数的最值，必须根据其自变量的取值范围进行分析和讨论．。

中考数学专题复习二次函数综合（三）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________评卷人得分一、解答题1．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3a（a≠0）经过点A(﹣1，0)．（1）求抛物线的顶点坐标；（用含a的式子表示）（2）已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．2．已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a≠0)与x轴交于点A(x1，0)，点B(x2，0)，(点A在点B 的左侧)，抛物线的对称轴为直线x=-1．(1)若点A的坐标为(-3，0)，求抛物线的表达式及点B的坐标；(2)C是第三象限的点，且点C的横坐标为-2，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求a的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy 中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y ＝ax 与抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣1（a ≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W ．（1）求抛物线顶点坐标（用含a 的式子表示）；（2）当a ＝12时，写出区域W 内的所有整点坐标；（3）若区域W 内有3个整点，求a 的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数3y ax =-+的图象与y 轴交于点A ，与抛物线()2230y ax ax a a =--≠的对称轴交于点B ，将点A 向右平移5个单位得到点C ，连接AB ，AC 得到的折线段记为图形G ．（1）求出抛物线的对称轴和点C 坐标；（2）∠当1a =-时，直接写出抛物线223y ax ax a =--与图形G 的公共点个数．∠如果抛物线223y ax ax a =--与图形G 有且只有一个公共点，求出a 的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线241(0)y ax ax a =-+>．（1）抛物线的对称轴为_______；（2）若当15x ≤≤时，y 的最小值是1-，求当15x ≤≤时，y 的最大值；（3）已知直线3y x =-+与抛物线241(0)y ax ax a =-+>存在两个交点，设左侧的交点为点()11,P x y ，当121x -≤<-时，求a 的取值范围．6．在平面直角坐标系xOy 中，存在抛物线2y x 2x m 1=+++以及两点()()A m m 1B m m 3++，和，．(1)求该抛物线的顶点坐标；(用含m 的代数式表示)(2)若该抛物线经过点()A m m 1+，，求此抛物线的表达式；(3)若该抛物线与线段AB 有公共点，结合图象，求m 的取值范围．7．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y 轴交于点B．（1）用含a的代数式表示b；（2）若∠BAO＝45°，求a的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求m的值；（2）若一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，求k的值；（3）将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx+5（k≠0）向上平移n个G有公共点时，请结合图象直接写出n的取值范围．单位，当平移后的直线与图象9．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象经过点A （0，﹣4）和B （﹣2，2）．（1）求c 的值，并用含a 的式子表示b ；（2）当﹣2＜x ＜0时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求a 的取值范围； （3）直线AB 上有一点C （m ，5），将点C 向右平移4个单位长度，得到点D ，若抛物线与线段CD 只有一个公共点，求a 的取值范围． 10．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222y x mx m m =-+-+的顶点为A（1）求抛物线的顶点坐标（用m 表示）；（2）若点A 在第一象限，且2OA =，求抛物线的解析式；（3）已知点(1,2)B m m --，(2,2)C ，若抛物线与线段BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围11．在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝x 2﹣2mx +1图象与y 轴的交点为A ，将点A 向右平移4个单位长度得到点B ．（1）直接写出点A 与点B 的坐标；（2）求出抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）若函数y ＝x 2﹣2mx +1的图象与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交y 轴于点P ．（1）过点P 作与x 轴平行的直线，交抛物线于点Q ，PQ ＝4，求b a的值； （2）横纵坐标都是整数的点叫做整点．在（1）的条件下，记抛物线与x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为W ．若区域W 内恰有4个整点，结合函数图象，求a 的取值范围．13．已知二次函数y ＝ax 2﹣2ax ．（1）二次函数图象的对称轴是直线x ＝ ；（2）当0≤x ≤3时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a ＜0，对于二次函数图象上的两点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），当t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．14．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ．（1）求点A 的坐标（用含a 的式子表示）；（2）求抛物线的对称轴；（3）已知点(2,2),(0,)M a N a ---．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．参考答案：1．（1）(1,4)a -；（2）43a <-或1a =-． 【解析】【分析】（1）根据抛物线23(0)y ax bx a a =+-≠经过点(1,0)A -可得a 和b 的关系，然后将抛物线解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；（2）先根据点坐标平移的变化规律可得点C 的坐标，画出当0a >和0a <时抛物线的图象，然后结合图象即可得到a 的取值范围．【详解】（1）∠点(1,0)A -在抛物线23(0)y ax bx a a =+-≠上∠30a b a --=，解得2b a =-∠2223(1)4y ax ax a a x a =--=--∠抛物线的顶点坐标为(1,4)a -；（2）∠223(3)(1)(32)2y ax x a a x x x a a x --=-=-=+-∠抛物线与x 轴的另一个交点坐标为点(3,0)，与y 轴交于点(0,3)a -∠将点(3,4)B 向左平移3个单位长度∴点C 的坐标为(33,4)C -，即(0,4)C由题意，分以下两种情况：∠如图，当0a >时由抛物线与x 、y 轴的交点可知，抛物线与线段BC 无公共点∠当0a <时若抛物线的顶点在线段BC 上，则顶点坐标为(1,4)∠44a -=解得1a =-若抛物线的顶点不在线段BC 上，要使抛物线与线段BC 恰有一个公共点，则抛物线与y 轴的交点位于点C 的上方即34a ->解得43a <-综上，a的取值范围是4 3a<-或1a=-．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质等知识点，较难的是题（2），正确分两种情况，并学会利用函数图象是解题关键．2．（1）21322y x x=--+，（1，0）；（2）-1＜x2＜0；（3）a＜-2．【解析】【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为12bxa=-=-，求出b=2a，将点A的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；（2）根据题意可得点C在第三象限，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，继而进行分析即可求解；（3）根据题意可得满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，即可求解．【详解】解：（1）抛物线的对称轴为12bxa=-=-，解得：b=2a，故y=ax2+bx+a+2=a（x+1）2+2，将点A的坐标代入上式并解得：12a=-，故抛物线的表达式为：2221)2113(22y x x x=-++=--+；令y=0，即21322x x--+=，解得：x=-3或1，故点B的坐标为：（1，0）.（2）由（1）知：2(1)2y a x=++，点C在第三象限，即点C在点A的下方，即点A在点C和函数对称轴之间，故-2＜x1＜-1，而121(1)2x x+=-，即x2=-2-x1，故-1＜x2＜0.（3）∠抛物线的顶点为（-1，2），∠点D（-1，0），∠∠DOP=45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，∠抛物线与x轴的交点在原点的左侧，如下图，∠满足条件的P在x轴的上方有2个，在x轴的下方也有2个，则抛物线与y轴的交点在x轴的下方，当x=0时，2220y ax bx a a=+++=+＜，解得：a＜-2，故a的取值范围为：a＜-2．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、函数作图，解题的关键是通过画出抛物线的位置，确定点的位置关系，进而分析求解即可．3．（1）（1，﹣a﹣1）；（2）（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1【解析】【分析】（1）将抛物线化成顶点式表达式即可求解；（2）概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象，通过观察图象即可求解；（3）分a＞0、a＜0两种情况，结合（2）的结论，逐次探究即可求解．【详解】解：（1）y＝ax2﹣2ax﹣1＝a（x﹣1）2﹣a﹣1，故顶点的坐标为：（1，﹣a﹣1）；（2）a＝12时，概略画出直线y＝12x和抛物线y＝12x2﹣x﹣1的图象如下：从图中看，W区域整点为如图所示4个黑点的位置，其坐标为：（1，0）、（2，0）、（3，1）、（1，﹣1）；（3）∠当a＞0时，由（2）知，当a＝12时，区域W内的所有整点数有4个；参考（2）可得：当a＞12时，区域W内的所有整点数多于3个；当13<a12<时，区域W内的所有整点数有4个；同理当a＝13时，区域W内的所有整点数有3个；当0＜a＜13时，区域W内的所有整点数多于3个；∠当a＜0时，当﹣1≤a＜0时，区域W内的所有整点数为0个；当a＜﹣32时，区域W内的所有整点数多于3个；∠区域W内有3个整点时，a的取值范围为：﹣32≤a＜﹣1，综上，区域W内有3个整点，a的取值范围为：a＝13或﹣32≤a＜﹣1．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质等，这种探究性题目，通常按照题设的顺序逐次求解，一般较为容易得出正确的结论．4．（1）对称轴1x =，C （5，3）；（2）∠3个；∠1a <-或14a ≥或34a =- 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝2b a-求解即可解决问题，再利用平移的性质求出点C 的坐标即可．（2）∠画出图形即可解决问题．∠分两种情形：a ＜0或a ＞0分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∠抛物线()2230y ax ax a a =--≠， ∠对称轴212a x a-=-=． ∠直线3y ax =-+与y 轴交于点A ， ∠ A （0，3）．∠将点A 向右平移5个单位得到点C ，∠ C （5，3）．（2）∠如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G 的交点有3个．∠由（1）得，抛物线的顶点为()14a -，． 当0a <时，由∠得，1a =-时，抛物线过点A ，B ，∠ 当1a <-时，抛物线与图形G 有且只有一个公共点．当抛物线顶点在AC 上时， 如图，也满足条件，∠43a -=，34a =-． 当0a >时，如图，抛物线经过点C 时，满足条件，∠251033a a a --=，14a =． 综上所述，当13144a a a <-=-或≥或时，抛物线与图形G 有且只有一个公共点． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．（1）2x =；（2）当5x =时，72y =，即y 的最大值是72；（3）1335a ≤< 【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式即可得结论；（2）根据抛物线的对称轴为x=2，可得顶点在1≤x≤5范围内，和y 的最小值是-1，得顶点坐标为（2，-1），把顶点（2，-1）代入y=ax 2-4ax+1，可得a 的值，进而可得y 的最大值； （3）当x=-2时，P （-2，5），把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax+1，当x 1=-1时，P （-1，4），把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax+1，分别求出a 的值，再根据函数的性质即可得a 的取值范围．【详解】（1）抛物线的对称轴为：4222b a x a a-=-=-=， 故答案为：x=2； （2）解：∠抛物线的对称轴为x=2，∠顶点在1≤x≤5范围内，∠y 的最小值是-1，∠顶点坐标为（2，-1）．∠a ＞0，开口向上，∠当x ＞2时，y 随x 的增大而增大，即x=5时，y 有最大值，∠把顶点（2，-1）代入y=ax 2-4ax+1，∠4a-8a+1=-1，解得12a =∠21212y x x =-+ ∠当x=5时，72y = 即y 的最大值是72； （3）当x=-2时，P （-2，5），把P （-2，5）代入y=ax 2-4ax+1，∠4a+8a+1=5，解得a=13， 当x 1=-1时，P （-1，4），把P （-1，4）代入y=ax 2-4ax+1，∠a+4a+1=4，解得a=35， ∠13≤a ＜35． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质、一次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．6．（1）(1,)m -；（2）：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-；（3）013m ≤≤-+或132m --≤≤-.【解析】【分析】（1）根据题意将抛物线的一般解析式化为顶点式即可得出抛物线的顶点坐标； （2）根据题意将()A m m 1+，代入求出m 的值即可求得该抛物线的表达式；（3）根据题意分m≥0，m ＜0两种情形，分别构建不等式解决问题即可．【详解】解：（1）∠抛物线解析式为：22y x 2x m 1(1)x m =+++=++，∠顶点坐标为：(1,)m -.（2）∠抛物线经过点()A m m 1+，，∠21(1)m m m +=++，解得0,2m =-，所以该抛物线的表达式为：2y (1)x =+或2y (1)2x =+-.（3）当m≥0时，如图1中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∠220m m +≥且2220m m +-≤，解得013m ≤≤-+．当m ＜0时，如图2中，观察图象可知：21213m m m m m +≤+++≤+，∠m 2+2m≥0且m 2+2m-2≤0，解得132m --≤≤-，综上所述，满足条件的m 的值为：013m ≤≤-+或132m --≤≤-．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式，解决本题的关键是结合图象进行分析解答．7．（1）b ＝4a ；（2）12a =；（3）102a <或a ＝1． 【解析】【分析】（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y ＝ax 2+4ax +b （a ＞0）的顶点A 在x 轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a 和b 的关系；（2）根据抛物线解析式，可以得到点B 的坐标为（0，4a ），然后∠BAO ＝45°，可知4a ＝2，从而可以求得a 的值；（3）根据函数图象，可以写出a 的取值范围．【详解】解：（1）∠y ＝ax 2+4ax +b ＝a （x +2）2+（b ﹣4a ），∠该抛物线顶点A 的坐标为（﹣2，b ﹣4a ），∠顶点A 在x 轴上，∠b ﹣4a ＝0，即b ＝4a ；（2）∠b ＝4a ，∠抛物线为y ＝ax 2+4ax +4a （a ＞0），∠抛物线顶点为A （﹣2，0），与y 轴的交点B （0，4a ）在y 轴的正半轴，∠BAO ＝45°， ∠OB ＝OA ＝2，∠4a ＝2，∠12a =； （3）102a <或a ＝1． 理由：∠点A （﹣2，0），点B （0，4a ），设直线AB 的函数解析式为y ＝mx +n ，204m n n a -+=⎧⎨=⎩，得24m a n a =⎧⎨=⎩， 即直线AB 的解析式为y ＝2ax +4a ，∠抛物线解析式为y ＝ax 2+4ax +4a （a ＞0），抛物线在点A ，B 之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，∠441242a a a a a -+≥⎧⎨-+⎩或241440a a a a a -+⎧⎨-+>⎩， 解得，a ＝1或0＜a ≤12，即a 的取值范围是0＜a ≤12或a ＝1．【点睛】二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质、解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．8．（1）m＝1；（2）k＝5；（3）2≤n≤5．【解析】【分析】（1）把点C的坐标代入抛物线的解析式即可求出m；（2）求出点A的坐标，利用待定系数法解决问题即可；（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），求出点C或B直线y＝5x+5+n上时n的值，即可解决问题．【详解】（1）∠抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与y轴交于点C（0，﹣3），∠m﹣4＝﹣3，∠m＝1．（2）∠抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得到x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∠抛物线y＝x2﹣2mx+m﹣4与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），∠A（﹣1，0），B（3，0），∠一次函数y＝kx+5（k≠0）的图象经过点A，∠﹣k+5＝0，∠k＝5．（3）如图，设平移后的直线的解析式为y＝5x+5+n，点C平移后的坐标为（﹣n，﹣3），点B平移后的坐标为（3﹣n，0），当点C落在直线y＝5x+5+n上时，﹣3＝﹣5n+5+n，解得n＝2，当点B落在直线y＝5x+5+n上时，0＝5（3﹣n）+5+n解得n＝5，观察图像可知，满足条件的n的取值范围为2≤n≤5．【点睛】本题属于二次函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，平移等知识，掌握待定系数法和数形结合思想是解题的关键．9．（1）b＝2a﹣3；（2）32-≤a＜0或0＜a≤32；（3）0＜a＜4或3332=--a．【解析】【分析】（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c，即可求解；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≤﹣2；当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≥0，即可求解；（3）∠当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，即可求解；∠当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点，即可求解．【详解】解：（1）把点A（0，﹣4）和B（﹣2，2）分别代入y＝ax2+bx+c中，得c＝﹣4，4a﹣2b+c＝2．∠b＝2a﹣3；（2）当a＜0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≤﹣2，解得32-≤a＜0．当a＞0时，依题意抛物线的对称轴需满足232aa--≥0，解得0＜a≤32．∠a的取值范围是32-≤a＜0或0＜a≤32；（3）设直线AB的表达式为：y＝mx+n，则422nm n=-⎧⎨=-+⎩，解得：34mn=-⎧⎨=-⎩，故直线AB表达式为y＝﹣3x﹣4，把C（m，5）代入得m＝﹣3．∠C（﹣3，5），由平移得D（1，5）．∠当a＞0时，若抛物线与线段CD只有一个公共点（如图1），y＝ax2+bx+c＝ax2+（2a﹣3）﹣4，当x＝1时，y＝3a﹣7，则抛物线上的点（1，3a﹣7）在D点的下方，∠a+2a﹣3﹣4＜5．解得a＜4．∠0＜a＜4；∠当a＜0时，若抛物线的顶点在线段CD上，则抛物线与线段只有一个公共点（如图2），∠2454ac b a-=． 即24(4)(23)54a a a⨯---=． 解得3332a =-+（舍去）或3332=--a ． 综上，a 的取值范围是0＜a ＜4或3332=--a ． 【点睛】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，解题的关键是通过画图确定抛物线图象与直线之间的位置关系，进而求解． 10．（1）(,)m m ；（2）22y x x =-+或写为：2(1)1y x =--+；（3）2m ≤，或3m ≥.【解析】【分析】（1）化抛物线为顶点式，即可写出顶点坐标；（2）求出点AO ，列方程求解即可；（3）考虑点C 在抛物线上时m 的值，再结合图形，分情况进行讨论．【详解】（1）∠2222()y x mx m m x m m =-+-+=--+，∠抛物线的顶点A 坐标为(,)m m .（2）点A 在第一象限，∠2OA m =，∠2OA =∠1m =抛物线的表达式为22y x x=-+，或写为：2(1)1y x=--+（3）把22C（，）代入222y x mx m m=-+-+，得22224m m m=-+-+，解得2m=或3，结合图象可得：当2m≤时，抛物线与线段BC有公共点，当23m＜＜时，抛物线与线段BC无公共点，当3m≥时，抛物线与线段BC有公共点；综上，当2m≤或3m≥时，抛物线与线段BC有公共点．【点睛】本题考查了二次函数的综合，解决本题的关键是掌握二次函数的图象和性质．11．（1）A（0，1），B（4，1）；（2）x＝m；（3）m≤0或m＞2．【解析】【分析】（1）计算自变量为0的函数值得到A点坐标，然后利用点平移的规律确定B点坐标；（2）利用抛物线的对称轴方程求解；（3）当对称轴为y轴时，满足条件，此时m＝0；当m＜0时满足条件；若m＞0时，利用当x＝4，y＜1时抛物线与线段AB恰有一个公共点，然后求出此时m的范围．【详解】解：（1）当x＝0时，y＝x2﹣2mx+1＝1，则A点坐标为（0，1），把A（0，1）右平移4个单位长度得到点B，则B点坐标为（4，1），（2）抛物线的对称轴为直线x＝-22m-＝m；（3）当m＝0时，抛物线解析式为y＝x2+1，此抛物线与线段AB恰有一个公共点；当m ＜0时，抛物线与线段AB 恰有一个公共点；当m ＞0时，当x＝4，y ＜1，即16﹣8m +1＜1，解得m ＞2，所以m 的范围为m ≤0或m ＞2．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是结合图像求解.12．（1）-4或4；（2）14＜a≤13或﹣1≤a ＜﹣34． 【解析】【分析】 （1）根据题意先求出点Q 坐标，代入解析式进行计算即可求解；（2）根据题意分两种情况讨论，利用特殊点进行分析计算即可求解．【详解】解：（1）∠抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1交y 轴于点P ，∠点P （0，﹣1），∠PQ ＝4，PQ∠x 轴，∠点Q （4，﹣1），（﹣4，﹣1）当点Q 为（4，﹣1），∠﹣1＝16a+4b ﹣1，∠4=-b a， 当点Q （﹣4，﹣1）∠﹣1＝16a ﹣4b ﹣1，∠ba＝4；（2）当a＞0时，当抛物线过点（2，﹣2）时，a＝14，当抛物线过点（1，﹣2）时，a＝13，∠14＜a≤13；当a＜0时，当抛物线过点（2，2）时，a＝﹣34，当抛物线过点（2，3）时，a＝﹣1，∠﹣1≤a＜﹣34，综上所述：14＜a≤13或﹣1≤a＜﹣34．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，理解整点定义，并熟练掌握与运用是解答本题的关键．13．（1）1；（2）y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）﹣1≤t ≤2【解析】【分析】（1）由对称轴是直线x ＝2b a-，可求解； （2）分a ＞0或a ＜0两种情况讨论，求出y 的最大值和最小值，即可求解；（3）利用函数图象的性质可求解．【详解】解：（1）由题意可得：对称轴是直线x ＝22a a--＝1， 故答案为：1；（2）当a ＞0时，∠对称轴为x ＝1，当x ＝1时，y 有最小值为﹣a ，当x ＝3时，y 有最大值为3a ，∠3a ﹣（﹣a ）＝4．∠a ＝1，∠二次函数的表达式为：y ＝x 2﹣2x ；当a ＜0时，同理可得y 有最大值为﹣a ； y 有最小值为3a ，∠﹣a ﹣3a ＝4，∠a ＝﹣1，∠二次函数的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ；综上所述，二次函数的表达式为y ＝x 2﹣2x 或y ＝﹣x 2+2x ；（3）∠a ＜0，对称轴为x ＝1，∠x ≤1时，y 随x 的增大而增大，x ＞1时，y 随x 的增大而减小，x ＝﹣1和x ＝3时的函数值相等，∠t ≤x 1≤t +1，x 2≥3时，均满足y 1≥y 2，∠t ≥﹣1，t +1≤3，∠﹣1≤t ≤2．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识点的综合应用，能利用分类思想解决问题是本题的关键．14．（1）(01)A a +，；（2）32x =；（3）a 的取值范围是14a - 【解析】【分析】 （1）与y 轴的交点横坐标为0，然后计算0x =时的函数值即可求出坐标；（2）根据抛物线的对称轴为2b x a=-求解即可； （3）由N 点和A 点的坐标，可知点A 在点N 的上方，令抛物线上的点()2,c C y -，可得111c y a =+，分a ＞0，a ＜0两种情形分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）∠抛物线231y ax ax a =-++与y 轴交于点A ，令0x =，得1y a =+．(0,1)A a ∴+．（2）由抛物线231y ax ax a =-++可知3322a x a -=-=． ∠抛物线的对称轴为直线32x =． （3）对于任意的实数a ，都有1a a +>． 可知点A 总在点N 的上方．令抛物线上的点()2,c C y -．111c y a ∴=+．∠如图1，当0a >时， 2c y a >--．∠点C 在点M 的上方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN 没有公共点．∠当0a <时（i）如图2，当抛物线经过点M时，2cy a=--．14a∴=-．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点M．（ii）当14a-<<时，可知抛物线与线段MN没有公共点．（∠）如图3，当14a<-，时，2cy a<--．∠点C在点M的下方．结合函数图象，可知抛物线与线段MN恰有一个公共点．综上所述，a的取值范围是14a-．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意利用不等式解决问题，属于二次函数综合题，题目较难．。