讲义3电磁感应

1 法拉第电磁感应定律

一、电磁感应定律

1.电磁感应定律tnE

2.推论

a.E=BLvsinα

b.2212LBLBLE

c. qR

【例1】 如图所示，U形导线框固定在水平面上，右端放有质量为m的金属棒ab，ab与导轨间的动摩擦因数为μ，它们围成的矩形边长分别为L1、L2，回路的总电阻为R。从t=0时刻起，在竖直向上方向加一个随时间均匀变化的匀强磁场B=kt，（k>0）那么在t为多大时，金属棒开始移动？

解：由tE= kL1L2可知，回路中感应电动势是恒定的，电流大小也是恒定的，但由于安培力F=BIL∝B=kt∝t，随时间的增大，安培力将随之增大。当安培力增大到等于最大静摩擦力时，ab将开始向左移动。这时有：2212211,LLkmgRtmgRLkLLkt

【例2】 如图所示，xoy坐标系y轴左侧和右侧分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场，磁感应强度均为B，一个围成四分之一圆形的导体环oab，其圆心在原点o，半径为R，开始时在第一象限。从t=0起绕o点以角速度ω逆时针匀速转动。试画出环内感应电动势E随时间t而变的函数图象（以顺时针电动势为正）。

解：开始的四分之一周期内，oa、ob中的感应电动势方向相同，大小应相加；第二个四分之一周期内穿过线圈的磁通量不变，因此感应电动势为零；第三个四分之一周期内感应电动势与第一个四分之一周期内大小相同而方向相反；第四个四分之一周期内感应电动势又为零。感应电动势的最大值为Em=BR2ω，周期为T=2π/ω，图象如右。

【例3】如图所示是一种测量通电螺线管中磁场的装置，把一个很小的测量线圈A放在待测处，线圈与测量电量的冲击电流计G串联，当用双刀双掷开关S使螺线管的电流反向时，测量线圈中就b a

L1

L2

t o Em y

o x ω

a b

2 产生感应电动势，从而引起电荷的迁移，由表G测出电量Q，就可以算出线圈所在处的磁感应强度B。已知测量线圈共有N匝，直径为d，它和表G串联电路的总电阻为R，则被测处的磁感强度B为多大？

解析：当双刀双掷开关S使螺线管的电流反向时，测量线圈中就产生感应电动势，根据法拉第电磁感应定律可得：

tdBNtNE2)2/(2由欧姆定律得：REtQI

由上述二式可得：2.2NdQRB

二、自感现象

自感现象是指当线圈自身电流发生变化时，在线圈中引起的电磁感应现象，当线圈中的电流增加时，自感电流的方向与原电流方向相反；当线圈中电流减小时，自感电流的方向与原电流的方向相同．自感电动势的大小与电流的变化率成正比．

自感系数L由线圈自身的性质决定，与线圈的长短、粗细、匝数、有无铁芯有关．

在判断电路性质时，一般分析方法是：当流过线圈L的电流突然增大瞬间，我们可以把L看成一个阻值很大的电阻；当流经L的电流突然减小的瞬间，我们可以把L看作一个电源，它提供一个跟原电流同向的电流．

【例4】如图所示的电路中，A1和A2是完全相同的灯泡，线圈L的电阻可以忽略不计，下列说法中正确的是（ ）

A．合上开关S接通电路时，A2先亮A1后亮，最后一样亮

B．合上开关S接通电路时，A1和A2始终一样亮

C．断开开关S切断电路时，A2立即熄灭，A1比原来更亮但过一会熄灭

D．断开开关S切断电路时，A1和A2都要过一会才熄灭

解析：S闭合接通电路时，A2支路中的电流立即达到最大，A2先亮；由于线圈的自感作用，A1支路电流增加的慢，A1后亮。A1中的电流稳定后，线圈的阻碍作用消失，A1与A2并联，亮度一样，故A正确，B不正确。S断开时，L和A1、A2组成串联的闭合回路，A1和A2亮度一样，由于L中产生自感电动势阻碍L中原电流的消失，使A1和A2过一会才熄灭，故D选项正确。所以答案为A、D

三、电路问题

1、确定电源：首先判断产生电磁感应现象的那一部分导体（电源），其次利用tnE或sinBLvE求感应电动势的大小，利用右手定则或楞次定律判断电流方向。

3 2、分析电路结构，画等效电路图

3、利用电路规律求解，主要有欧姆定律，串并联规律等

【例5】如图所示，平行导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中（方向向里），间距为L，左端电阻为R，其余电阻不计，导轨右端接一电容为C的电容器。现有一长2L的金属棒ab放在导轨上，ab以a为轴顺时针转过90°的过程中，通过R的电量为多少？

解析：（1）由ab棒以a为轴旋转到b端脱离导轨的过程中，产生的感应电动势一直增大，对C不断充电，同时又与R构成闭合回路。ab产生感应电动势的平均值

tSBtE ①S表示ab扫过的三角形的面积，即223321LLLS

②通过R的电量tREtIQ1 ③由以上三式解得RBLQ2321 ④在这一过程中电容器充电的总电量Q=CUm ⑤Um为ab棒在转动过程中产生的感应电动势的最大值。即

22)221(2BLLLBUm ⑥联立⑤⑥得：CBLQ222

（2）当ab棒脱离导轨后（对R放电，通过R的电量为 Q2，所以整个过程中通过 R的总电量为： Q=Q1＋Q2=)223(2CRBL

【例6】（2001年上海卷）半径为a的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B=0.2T，磁场方向垂直纸面向里，半径为b的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a=0.4m，b=0.6m，金属环上分别接有灯L1、L2，两灯的电阻均为R =2Ω，一金属棒MN与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计

（1）若棒以v0=5m/s的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO′ 的瞬时（如图所示）MN中的电动势和流过灯L1的电流。

（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′ 以OO′ 为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为ΔB/Δt=4T/s，求L1的功率。

解析：（1）棒滑过圆环直径OO′ 的瞬时，MN中的电动势

E1=B2a v=0.2×0.8×5=0.8V ①

等效电路如图（1）所示，流过灯L1的电流 图（1）

4 I1=E1/R=0.8/2=0.4A ②

（2）撤去中间的金属棒MN，将右面的半圆环OL2O′ 以OO′ 为轴向上翻转90º，半圆环OL1O′中产生感应电动势，相当于电源，灯L2为外电路，等效电路如图（2）所示，感应电动势

E2=ΔФ/Δt=0.5×πa2×ΔB/Δt=0.32V ③L1的功率

P1=(E2/2)2/R=1.28×102W

四、图象问题

1、定性或定量地表示出所研究问题的函数关系（斜率、面积）2、在图象中E、I、B等物理量的方向是通过正负值来反映3、画图象时要注意横、纵坐标的单位长度定义或表达

【例7】匀强磁场磁感应强度 B=0.2 T，磁场宽度L=3rn，一正方形金属框边长ab=l=1m，每边电阻r=0.2Ω，金属框以v=10m/s的速度匀速穿过磁场区，其平面始终保持与磁感线方向垂直，如图所示，求：（1）画出金属框穿过磁场区的过程中，金属框内感应电流的I-t图线（2）画出ab两端电压的U-t图线

解析：线框进人磁场区时E1=B l v=2 V，rEI411=2.5 A 方向沿逆时针，如图（1）实线abcd所示，感电流持续的时间t1=vl=0.1 s线框在磁场中运动时：E2=0，I2=0无电流的持续时间：t2=vlL=0.2 s，线框穿出磁场区时：E3= B l v=2 V，rEI433=2.5 A 此电流的方向为顺时针，如图（1）虚线abcd所示，规定电流方向逆时针为正，得I-t图线如图（2）所示

（2）线框进人磁场区ab两端电压U1=I1 r=2.5×0.2=0.5V

线框在磁场中运动时；b两端电压等于感应电动势U2=B l v=2V

线框出磁场时ab两端电压：U3=E - I2 r=1.5V

由此得U-t图线如图（3）所示

点评：将线框的运动过程分为三个阶段，第一阶段ab为外电路，第二阶段ab相当于开路时的电源，第三阶段ab是接上外电路的电源

五、动力学问题 图（1）

图图（3） 图（2）

5 这类问题覆盖面广，题型也多种多样；但解决这类问题的关键在于通过运动状态的分析来寻找过程中的临界状态，如速度、加速度取最大值或最小值的条件等，基本思路是：

【例8】如图所示，AB、CD是两根足够长的固定平行金属导轨，两导轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角为θ，在整个导轨平面内都有垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B，在导轨的 AC端连接一个阻值为 R的电阻，一根质量为m、垂直于导轨放置的金属棒ab，从静止开始沿导轨下滑，求此过程中ab棒的最大速度。已知ab与导轨间的动摩擦因数为μ，导轨和金属棒的电阻都不计。

22cossinLBRmgvm

注意：（1）电磁感应中的动态分析，是处理电磁感应问题的关键，要学会从动态分析的过程中来选择是从动力学方面，还是从能量、动量方面来解决问题。

（2）在分析运动导体的受力时，常画出平面示意图和物体受力图。

【例9】如图所示，竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.5 T，并且以tB=0.1 T/s在变化，水平轨道电阻不计，且不计摩擦阻力，宽0.5 m的导轨上放一电阻R0=0.1 Ω的导体棒，并用水平线通过定滑轮吊着质量M=0.2 kg的重物，轨道左端连接的电阻R=0.4 Ω，图中的l=0.8 m，求至少经过多长时间才能吊起重物.错解分析：（1）不善于逆向思维，采取执果索因的有效途径探寻解题思路；（2）实际运算过程忽视了B的变化，将B代入F安=BIlab，导致错解.

解题方法与技巧：

由法拉第电磁感应定律可求出回路感应电动势：E=tBSt ①

由闭合电路欧姆定律可求出回路中电流 I=RRE0 ② 由于安培力方向向左，应用左手定则可判断出电流方向为顺时针方向（由上往下看）.再根据楞次定律可知磁场增加，在t时磁感应强度为： B′ =（B＋tB·t） ③

此时安培力为 F安=B′Ilab ④ 由受力分析可知 F安=mg ⑤

由①②③④⑤式并代入数据：t=495 s F=BIL

界状态 v与a方向关系 运动状态的分析 a变化情况 F=ma 合外力 运动导体所受的安培力 感应电流 确定电源（E，r） rREI