概率论 二重积分的计算(二)

o
x
结束
x k o( ) x4 x1 x(u, v k ) x(u, v) v (u , v) 同理得 y2 y1 y h o( ) u (u , v) y k o( ) y4 y1 v (u , v) 当h, k 充分小时,曲边四边形 M1M2M3M4 近似于平行四 边形, 故其面积近似为 x2 x1 y2 y1 M 1M 2 M 1M 4 x4 x1 y4 y1
2 c
D
1 x2
a
2
y2 2 d xd b
y
D : r 1 , 0 2 ( x, y ) a cos a r sin J abr b sin b r cos ( r , )
V 2 c
D
1 r a b r d r d
(3)在变换下确定u,v的范围
D
;
(4)代入变换替换公式，化为关于u,v的二重积分;
(5)用§2求二重积分化为累次积分的方法求出其值。
题型一：引入变量替换后，化为累次积分； P242习题3
题型二：作适当的变量替换，计算二重积分。
P242习题4
d x d y , 其中D 是 x 轴 y 轴和直线 e y 所围成的闭域. x y 2 解: 令 u y x , v y x , 则 D o x vu vu ( D D ) x ,y v v2 2 2 1 D ( x, y ) 1 1 2 2 u v uv J 1 1 (u , v) 2 2 2 o u
§4 二重积分的变量交换
教学内容： 1.二重积分的换元法; 2.二重积分的极坐标变换; 教学重点： 二重积分的变量变换: 1.线性变换;

(1) y r ( )
(2) y r ( )
D
D
o
x
ox
答: (1) 0 ; (2)
2
2
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例6. 计算
其中D : x2 y2 a2.
解:
在极坐标系下 D
:
0ra
0 2
,
故
原式 D
y) y

x
D
1(

x)
2
(
y)
o a x bx
为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 y
D2
X-型域或Y-型域 , 则
D1
D D1 D2 D3
D3
o
x
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例1. 计算 I xyd , 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 D
,
rk
sin k
)rk
rk
k
即 D f (x, y) d D f (r cos , r sin )r d r d
rd d
d
dr r
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设
D
:
1

( )

r

2
(
),
则
D r 2 ( )
f (r cos , r sin )r d r d
D r 2 ( )


r 1( )
o
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(3) 计算步骤及注意事项 • 画出积分域
域边界应尽量多为坐标线 • 选择坐标系

（3）由积分表达式写出相应的二次积分

2015年4月29日星期三
d
c
dy
2 ( y)
1 ( y )
f ( x, y)dx
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15
例5 求两个底圆半径为R 的直交圆柱面所围的体积.
解: 设两个直圆柱方程为 利用对称性, 考虑第一卦限部分, 其曲顶柱体的顶为 z R 2 x 2

x2 e 0
dx

2
①
事实上, 当D 为 R2 时,
利用例7的结果, 得

故①式成立 .
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被圆柱面 x 2 y 2 2 a x 例8 求球体 所截得的(含在柱面内的)立体的体积.
解: 设 D : 0 r 2 a cos , 0 由对称性可知
a
对于曲边梯形 1 ( x0 ) y 2 ( x0 )
0 z f ( x0 , y) 其面积为
S
2 ( x0 )
1 ( x0 )
f ( x0 , y)dy
2
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2015年4月29日星期三
一、利用直角坐标计算二重积分
为便于分析，设曲顶柱体的顶 z f ( x, y) 0 （1）若曲顶柱体的底为 z 1 ( x) y 2 ( x) D ( x, y ) y a xb 区域称为X-型区域。特点： 穿 D 过D内部并且平行于y轴的直线与D o a bx 的边界最多有两个交点. 由二重积分的几何意义，二重积分的值 等于该曲顶柱体的体积.因此我们可以用这个关系考 虑二重积分的计算.
原式
D

重积分应用与计算重积分是微积分中一项重要的概念，它广泛应用于各个科学领域，特别是物理学、工程学和经济学等。

重积分的计算方法包括二重积分和三重积分，通过对多元函数进行积分，可以解决许多实际问题。

本文将介绍重积分的应用，并重点讨论其计算方法。

一、重积分的应用1. 质量和质心重积分可以用于计算物体的质量和质心。

对于一个二维物体，其质量可以通过计算其面积的重积分来得到。

例如，一个有界闭区域D的质量可以表示为：m = ∬D ρ(x,y) dA其中，ρ(x,y)表示单位面积上的密度函数。

质心的坐标可以由下式给出：(x_c, y_c) = (∬D xρ(x,y) dA, ∬D yρ(x,y) dA)类似地，对于一个三维物体，质量和质心的计算也可以通过重积分来实现。

2. 总量和平均值重积分可以用于计算一个区域内某个量的总量和平均值。

例如，在物理学中，可以通过对速度场进行重积分来计算液体或气体的总质量流量。

在经济学中，可以通过对产量或消费量的重积分来计算总产量或总消费量。

对于一个二维区域D，某个量f(x,y)的总量可以表示为：Q = ∬D f(x,y) dA平均值可以表示为：f_avg = (1/area(D)) * ∬D f(x,y) dA其中，area(D)表示D的面积。

3. 概率和期望值在概率论中，重积分可以用于计算概率和期望值。

对于一个二维区域D上的离散随机变量，其概率函数可以表示为p(x,y)，概率p(x,y)在区域D上的积分即为该随机变量落在D内的概率。

期望值可以表示为：E[f(x,y)] = ∬D f(x,y) * p(x,y) dA其中，f(x,y)是随机变量的函数。

二、重积分的计算方法1. 二重积分二重积分用于计算平面二维区域上的积分。

常用的计算方法包括直角坐标系下的面积法和极坐标系下的极坐标法。

面积法：设D为平面上的有界闭区域，f(x,y)为定义在D上的连续函数。

则D上f的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dA = ∫[a,b]∫[c,d] f(x,y) dx dy其中，[a,b]和[c,d]分别为D在x轴和y轴上的投影区间。