第五章 汽轮机零件的强度校核-第二节 汽轮机叶片静强度计算

第二节 汽轮机叶片静强度计算叶片是汽轮机的主要零件之一，它将高速汽流的动能转换成机械功。

为了确保叶片安全工作，以及分析其损坏原因，必须掌握叶片静强度计算和动强度校核方法。

本节只讨论叶片静强度计算，重点介绍叶片的离心应力和蒸汽弯曲应力的计算，以及讨论围带、拉筋等对叶片弯曲应力和离心应力的影内。

一、单个叶片叶型部分的应力计算汽轮机叶片由叶顶、叶型(叶片型线，或称叶身)和叶根三部分组成，叶片是在高温、高转速和高速汽流绕流或湿蒸汽区的条件下工作的。

作用在叶型部分的力主要有两类：其一是与叶型自身质量和围带、拉筋质量有关的离心力；其二是高速汽流通过叶型通道时产生的蒸汽作用力，以及围带、拉筋发生弯曲变形时对叶片的作用力等。

前者是叶型内部的离心应力；后者是弯曲应力。

当叶片离心力的作用点不通过计算截面的形心时，离心力除了引起拉伸应力外，还要产生离心力偏心导致的弯曲应力。

叶片分为等截面和变截面叶片两类。

两者的结构和受力不同，因而其离心力和弯曲应力的计算方法也有区别。

（一） 离心应力计算汽轮机叶片在高速旋转时产生很大的离心力，由离心力引起的应力称为叶片的离心应力。

由于离心力沿叶高是变化的，所以离心应力沿叶高各个截面上也是不相等的。

尽管离心力在叶型根部截面最大，但高心应力的大小要视叶型截面的变化规律而定。

1．等截面叶片的离心应力计算等截面叶片如图5.2.1所示，其叶型截面面积沿叶高不变。

由于叶型根部截面承受整个叶型部分的离心力，所以根部截面的离心力c F 最大：2ωρm c A l R F = （5.2.1）式中 ρ——叶片材料密度；A ——叶型截面积； l ——叶型高度；mR ——级的平均半径；ω——叶轮的旋转角速度。

等截面叶片根部截面积的离心应力最大用m ax .c σ表示，即2m ax ./ωρσm c c lR A F == （5.2.2） 由上式可得到几点有益的启示： 1） 等截面叶片的离心应力与其截面面积大小无关，也就是说对于等截面叶片不能用增加截面面积的方法来降低离心应力，因为随着截面积的增加其离心应力也成比例增加，根部截面的最大离心应力保持不变。

2）当等截面叶片的材料和级的尺寸一定时要想降低叶片的离心应力只有采用变截面叶片。

3) 采用低密度、高强度的叶片树料可提高末级叶片的高度，增大极限功率。

如钦基合金的33=4.510kg m ρ⨯．为一般不锈钢材密度的一半，可大大减小离心应力。

我国研制的超硬铝合金材料比LC4，其33=2.810kg m ρ⨯，约为一般1Cr13、2Cr13叶片材料密度的35％，面其屈服极限0.2σ＝550MPa ．使用LC4材料可使末级叶高明显增加。

2．变截面叶片的离心应力计算对于径高比θ＜8～12的级，常把其叶片设计成变截面扭叶片。

采用变截面是为了降低叶型截面上的离心应力，变截面叶片的最大离心应力比等截面叶片的小50％左右；采用扭叶片是为了满足气动特性要求，提高级的流动效率。

变截面扭叶片的叶型截面积沿叶高是变化的，其变化关系一般难于用简单函数式表达，因此，工程中计算变截面扭叶片的离心应力时，一般不用解析法求解，而常把叶片分成若干段，用数值积分法近似地求解，并能得到较满意的结果。

一般将叶片沿叶高等分成5～10段，没每段长度为x ∆，共有n 段，(n+1)个截面。

令i 表示截面号，j 表示分段号，如图5.2.2所示。

若求j 截面的离心应力，则首先求出作用在i 截面上第j 段的离心力2cj j mj F R A x ρω∆=∆式中，1()2j r R R j x =+-∆ 是第j 段平均半径；11()2m j j j A A A +=+是j 段平均面积；x∆是每段高度。

第i 截面上的离心力ci F 为该截面以上各段离心力之和，即21()2nnci cj r m j ijF F R j x A x ρω⎡⎤=∆=+-∆∆⎢⎥⎣⎦∑∑（5.2.3）该截面上离心力为 211()2nci ci r m j jiiF R j x A x A A σρω⎡⎤==+-∆∆⎢⎥⎣⎦∑（5.2.4）应该指出：叶片分段数越多，计算结果越精确。

变截面扭叶片的离心力和截面面积都随叶高变化，尽管叶型根部截面上的离心力最大，但最大离心应力不一定在该截面上，而取决于截面积沿叶高的变化规律。

只有算得各截面离心应力后，才能确定最大离心应力截面的位置。

值得注意的是，按式(5．2．4)计算所得的离心拉应力在叶型截面上是均匀分布的。

实际上，变截面的扭曲长叶片在离心力的作用下，叶型截面有扭转恢复现象，即叶片原有的扭转变形有变直的趋势，扭转角变小，这时叶片进出口处的径向纤维受到压缩，引起一定的压应力；同时，在叶片截面内。

因扭转恢复现象而产生切应力。

由于上述两方面的影响，叶片截面上的离心拉应力不再是均匀分布的，叶型截面中心区的离心拉应力要大于进出口边的拉应力值。

（二）蒸汽弯曲应力计算1．等截面叶片弯曲应力计算图5．2．3(a)是等截面叶片的示意图。

蒸汽对叶片的作用力可用轮周向和轴向两个分力u F 和z F 来表示，如图5．2．3(b)所示。

对于等截面叶片，蒸汽参数按一元流动计算，图 5.2.3也就是忽略蒸汽对叶片作用力沿叶高的变化，按级的平均直径处的汽流参数进行计算，并认为蒸汽作用力集中在平均直径处。

设通过级的流量为G ，则蒸汽作用在每个叶片上的周向和轴向作用力1u F 与1z F 分别为 111221000(cos cos )t u u u b b b G G h P F c c z euz euz eηαα∆=+== N （5.2.5）1112212(s i n s i n )()z b b G F c c p p t l z eαα=-+- N （5.2.6） 式中 t h ∆——级的理想比焓降，/J kgb z ——全级的动叶片数目；u P ——级的轮周功率，kw 。

应该指出：对于压力级、按最大流量工况来计算1u F 和1z F ；对于调节级，按第一调节汽门全开和第二调节汽门未开的工况进行计算，这时调节级的理想比焓降最大，部分进汽度最小，每个受力叶片上的蒸汽流量和比焓降都最大，蒸汽作用力最大，这是调节级叶片的危险工况。

既然认为蒸汽参数沿叶高是均匀分布的，那么单位叶高上蒸汽的轮周向和轴向作用力都是均匀分布裁荷，分别为1/u u q F l =，1/z z q F l =。

单位叶高上蒸汽作用力的合力/q l F l ==，F =是蒸汽作用在叶片上的合力。

把叶片作悬臂梁，蒸汽作用在距根部x(见图5．2．3)处的截面上的弯矩为2()()/2M x q l x =- (5．2．7) 弯矩()M x 沿叶高的变化如图5．2．3(c)所示。

根部截面0x =，弯矩0M 最大，即2022ql Fl M ==(5．2．8)设等截面直叶片的型线如图5．2．3(b)所示。

该截面的最小和最大主惯性轴分别为1—1轴和2—2轴，可近似认为l —1与叶弦平行。

合力F 与2—2轴的夹角为ϕ，由材料力学知，这是斜弯曲问题，计算时常把斜弯曲分解成两个平面弯曲，分别算得两个平面弯曲的应力，然后叠加，就可得到根部截面的斜弯曲应力。

为此必须将合力F 分解到最小和最大主惯性轴上，得1cos F F ϕ= (5．2．9) 2sin F F ϕ= (5．2．10) 则根部截面上以1—1轴和2—2轴为中性轴的弯矩分别为1111cos 22M F l F l ϕ==(5．2．11)2211sin 22M F l F l ϕ==(5．2．12)令叶型根部截面最小和最大的主惯性矩为m in I 、m ax I ，则弯矩1M 与2M 在根部截面点i ,o 和b 上的最大弯曲应力分别为11221212m in m axm in 1m ax 1o o o M e M e M MI I W W σσσ=+=+=+ (5．2．13)11241212m in m axm in 1m ax 2i i i M e M e M MI I W W σσσ=+=+=+(5．2．14)131m inm in 2b M e M I W σ=-=-(5．2．15)式中，m in 1W 和m in 2W 是点i 、o 和b 对轴1—1的抗弯截面模量；m ax 1W 和m ax 2W 是点o 和点i 对轴2—2的抗弯截面模量。

由此可知，如图5．2．3(b)所示叶片，出口处点o 的蒸汽弯曲应力最大，所以从强度角度来看，叶片出口边不能太薄，一般不薄于1～1.5mm 。

应该指出：对于等截面叶片，合力F 与2—2轴的夹角ϕ很小，可近似取0ϕ≈，则1F F ≈，20F ≈，112M F l≈，20M ≈。

按这些数值计算的弯曲应力是偏大的，即计算结果偏于安全。

2．扭叶片弯曲应力计算当级的径高比θ＜8～12时，为了提高级效率和减小叶片的离心力，常把叶片设计成变截面扭叶片。

这时，蒸汽参数和截面面积沿叶高都要变化，单位叶高的蒸汽作用力和各截面的主惯性矩或抗弯截面模量沿叶高也都是变化的，弯曲应力最大值不一定在叶型根部截面上，故对扭叶片来说，必须计算出蒸汽弯曲应力沿叶高的变化规律，然后对最大弯曲应力的截面进行强度校核。

一般扭叶片的蒸汽参数和抗弯截面模量沿叶高的变化规律很难用数学式子来表达，因此，沿叶高各截面的弯曲应力也不能用分析法求解。

在工程中，常采用近似方法计算。

首先将叶片等分成若干段，一般取10～15段，每段叶高为x ∆，设段号为j ＝1，2，…， n ，截面号为i ＝1，2， …，n+1(参看图5．2．2)。

然后用流线曲率法求出气动参数1p 、1c 、1a 、2p 、2c 、2a 等沿叶高的变化规律，求出叶片上任一小段的G ∆，则j 段上蒸汽轮周向和轴向作用力分别为1122(cos cos )j uj b G F c c z e αα∆=+（5.2.16）112212(sin sin )()j zj bj b G F c c p p t x z eαα∆=-+-∆（5.2.17）式中，b j t 是第j 段的节距。

那么就可分别求出每个截面上的轮周向、轴向作用力弯矩及合成弯矩：(0.5)nui uji j M j i x F ==-+∆∆∑ (5．2．18)(0.5)nzi zji jM j i x F ==-+∆∆∑ (5．2．19)i M =(5．2．20)将各截面合成弯矩i M 分别投影到计算截面的最小和最大主惯性轴上，根据该截面的m in I 、m ax I 以及1e 、2e 、3e 、4e 计算出各截面亡的进出口点i 、o 和叶背点b 的弯曲应力(计算方法与等截面叶片计算弯曲应力的方法相同)，然后以最大弯曲应力所在截面的弯曲与材料许用弯曲应力进行强度校核。