数列与不等式

数列与不等式

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．在数列{an}中，a1=14，3an=3an+1+2，则使anan+2<0成立的n值是（ ）

A.21 B.22 C.23 D.24

2．已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n+2008，则满足5

A.9 B.8 C.7 D.6

3.（理）已知数列{an}的通项公式是!2007nann（其中n∈N*），那么数列{an}的最大项是

A.a2006 B. a2007 C. a2006或a2007 D. a2008

（文）已知数列{an}的通项公式是an=-n2+n（其中n∈N*）是一个单调递减数列，则常数的取值范围（ ）

A.(3，+∞) B.（-∞，3） C.3 , D. ,3

4．数列{an}的通项公式是关于x的不等式x2-x

A.n2 B.n(n+1) C.2)1(nn D.(n+1)(n+2)

5．若数列{an}、{bn}的通项公式分别是an=(-1)n+2007·a，nbnn2008)1(2，且an

A.（-2，1） B.23 ,2 C.1 ,2 D.（-2，23）

6．在等差数列{an}中，a10<0，a11>0且a11>|a10|，Sn是数列{an}的前n项和，则使Sn>0的n的最小值是（ ）

A.21 B.20 C.10 D.11

7．（理）已知首项为a、公比为q（0<|q|<1）的无穷等比数列{an}的各项和是S，其前n项和是Sn，且nlim(Sn-q2S)=q，则a的取值范围是（ ）

A.)21 ,( B.) ,21( C.)21 ,0()0 ,( D.21 ,0)0 ,(

（文）无穷数列1，31，31，31，51，51，51，51，51，…的前（ ）项和开始大于10（ ）

A.99 B.100 C.101 D.102

8．已知数列{an}的通项公式是an=-n2+12n-32，其前n项和是Sn，则对任意的n>m（其中n、m∈N*），Sn- Sm的最大值是（ ）

A.5 B.10 C.15 D.20

9．已知等差数列{an}的前n项和是Sn，且a1=2008，且存在自然数p≥10，使得Sp=ap，则当n>p时，Sn与an的大小关系是（ ）

A.an≥Sn B.an>Sn C.an≤Sn D.an< Sn

10．已知等差数列{an}的前n项和是nanSn22182，则使an<-2006成立的最小正整数n=（ ）

A.2009 B.2010 C.2011 D.2012

11．已知集合M={0，2}，无穷数列{an}满足an∈M，且p=100100332213333aaaa，则p一定不属于区间（ ）

A.1 ,0 B.1 ,0 C.32 ,31 D.32 ,31

12．已知某企业2006年的生产利润逐月增加，为了更好地发展企业，该企业也同时在改造建设. 其中一月份投入的建设资金恰好一月份的利润相等，且与每月增加的利润相同. 随着投入的建设资金的逐月增加，且每月增加投入的百分率相同，到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份的生产利润相同. 则该企业在2006年的总利润M与总投入资金N的大小关系是

A.M>N B.M

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上.

13．（理）在正项等比数列{an}中，a2a8=251，a1+a9的最小值是m，且3a=m，其中a∈(k，k+1)，则整数k= .

（文）在正项等比数列{an}中，a2a8=25，a1+a9的最小值是m= .

14．（理）一张厚度为0.1 mm的矩形纸片，每次将此纸片沿一组对边的中点连线对折，则经过 次这样的折叠后其厚度开始大于100 m（假设这样的折叠是可以实现的，参考数据：lg 2=0.3010）.

（文）一种机械设备的价格为200000元，假设维护费第一年为1000元，以后每年增加1000元，当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限，那么此设备的最佳更新年限为 .

15．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且a2，b2，c2成等差数列，则sinB的最大值是 . 数列与不等式均是高中数学中的重要内容，所以在高考中占有重要的地位. 高考对这两部分的考查比较全面，在近年来的全国各地高考试题中，常常综合在一起考查这两部分知识，尤其是在解答题中较为明显. 在高考试题中，数列与不等式这部分知识所占分值大约是20分. 解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题有较好的区分度. 有关数列的综合题，经常把数列知识与不等式的知识综合起来，其中还蕴含着丰富的数学思想，通常要用到放缩法以及函数思想（求函数的最值等）. 这就要求考生能够灵活地运用相关数列的性质与不等式的方法去解决相关问题. 估计2008年全国各地的高考试题中仍会出现数列与不等式的综合问题，因此考生在复习过程中应当注意掌握数列与不等式中的常见方法，并注意积累一些特殊的方法，从而做到灵活处理相关的问题. 专题测试 16．（理）设正数数列{an}的前n项之和是bn，数列{bn}前n项之积是cn，且bn+cn=1，则数列na1中最接近108的项是第

项.

（文）在等比数列{an}中，a1=101，公比q=22，其前n项之和是Sn，x=S10(S20+S30)，y=220210SS，则x，y的大小关系是 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知数列{an}是递增等差数列，前n项和为Sn，a1=2，且a1，a2，a4成等比数列.

（1）求{an}的通项公式；

（2）令nnnST2，

①当n为何正整数时，Tn>Tn+1？

②若对一切正整数n，总有Tn≤m，求m的取值范围.

18．（本小题满分12分）（理）已知数列{an}是首项为q、公比为q的等比数列（其中q>0且q≠1），设nnnaab2log（其中n∈N*）.

（1）当q=2时，求数列{bn}的前n项和为Sn；

（2）在（1）的条件下，求nnnnaSlim的值；

（3）当20082007q时，在数列{bn}中，是否存在最小的自然数n，使得对任意的m>n（m∈N*），都有bm>bn？证明你的结论. （文）数列{an}的通项公式是an =nnnnnnCC3C2C321（其中n∈N*），前n项和为Sn.

（1）化简数列{an}的通项公式an；

（2）求证：.111121nSSS

19．（本小题满分12分）医学上为了确定某种传染病在传播过程病毒细胞的生长规律及其预防方法，通常将这种病毒细胞m个注入一只小白鼠的体内进行试验.

在试验过程中，将病毒细胞的数量（个）与时间（h）的关系记录如下表：

时间（h） 1 2 3 4 5 6 7 …

病毒细胞总数（个） m 2m 4m 8m 16m 32m 64m …

已知该种病毒细胞在小白鼠体内的数量超过m×106个时，小白鼠将死亡，但有一种药物对杀死此种病毒有一定的效果，在最初使用此药物的几天内，每次用药可杀死其体内该病毒细胞的98%.

（1）为了使小白鼠在试验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？

（2）第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？（答案精确到小时，参考数据：lg 2=0.301 0）

20．（本小题满分12分）

已知函数f (x)=x+1，点),1(1nnaan(n∈N*)在y = f -1(x)上，且a1=a2=1.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）设)!1(!3!221naaaSnn，若Sn>m恒成立，求常数m的取值范围.

21．（本小题满分12分）已知数列{an}满足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1(n≥2).

（1）求数列{an}的通项公式an；

（2）求使不等式321mamann成立的所有正整数m、n的值.

22．（本小题满分12分）已知点P1、P2、P3、…、Pn、…顺次为曲线xy=3（x>0）上的点（如图所示），点Q1、Q2、Q3、…、Qn、…顺次为x轴上的点，且△OP1Q1、△OP2Q2、△Qn-1PnQn、…均为等边三角形. 记点Qn(cn，0)，Pn(an，bn) (其中n∈N*).

（1）求数列{cn}(n∈N*)的通项公式；

（2）（理）求数列{an}(n∈N* )的通项公式及nnncalim的值；

（文）求数列{an}(n∈N* )的通项公式.

（3）（理）求证：22411121223222212nnaaaaaa(其中n∈N* ).

（文）求证：216161644241nccc(其中n∈N* ).