数列不等式与函数不等式

不等式与数列
不等式与数列是数学中重要的概念，它们的推导和解决给我们的生活带来诸多
的便利。

不等式指的是当两个或更多个实数变量之间存在某种关系时，可以用一个不等
式来描述或表示它们之间存在的关系。

例如a>b或c≤d。

了解不等式使我们应付
复杂的实际问题更加占据上风，并且使现代社会取得惊人的进步。

而数列是指一系列的数据，是按照一定的规律排列的数的有序集合。

例如
1,2,3,4,5…他们之间存在着一定的关系，如此解决数列问题，就需要根据不同的
数学方法来解决。

例如等差，等比，错位等方式来进行推导，使用不同的几何方法来求解。

不仅如此，不等式与数列更可以应用于日常生活中来解决不同的实际问题。

比如，我们去购物，判断我们买的东西能不能够满足条件，就需要用到这些概念；或者判断两个房间的面积哪个大，哪个小，也可以用到这两个概念。

甚至当我们判断一个运动员的能力，又可以使用这两个概念，比如比赛的成绩，时间和距离等信息；当我们编写程序时，也是立靠不等式与数列来完成编程任务的。

不等式与数列就像我们身体里的神经，支柱给我们坚定的支撑，几乎每一个工程，每一个娱乐，都需要参考不等式与数列，他们是科学发展的内在力量，决定着“赢者为王”道理，只有以不等式与数列为根基，以智慧为武器，才能把事情做的更好、更正确。

数列不等式数列不等式是数学中最基础的概念之一，也是解决特定问题的基本技术之一。

它能够帮助人们了解数学直觉，构建可操作的数学模型，以及深入挖掘生活中的数学关系。

一般地，数列不等式表示一个或多个等号组成的不等式，通常是以两两等式相结合的形式出现，即：若X1≤X2≤X3≤ (X)则，X1+X2+X3+…+Xn≤n(X1+Xn)2数学研究者经常使用这类不等式来描述给定的数列的范围，以及这些数列的几何发展情况。

例如，某数列的前n项和可以用如下变量替代：Sn=X1+X2+X3+ (X)这些变量可作为连续的函数。

通过不等式的方式来描述这些函数，通常可以提出一定的结论，甚至可以形成一个系统的数学研究体系。

不等式可以用来描述给定的数列和函数，例如可以利用不等式提出如下结论：若给定函数f(x)满足f(x)≤a，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤na2此外，如果f(x)的导函数的值存在，不等式往往用来描述导函数的大小或值的确定性。

例如，若函数f(x)的导函数g(x)存在，可以提出如下结论：若g(x)≤g1，则f(x1)+f(x2)+…+f(xn)≤ng1n不等式用来描述函数的空间形状和时间发展也是如此。

比如，有一类函数叫做凸函数，它以特定的形式出现：f(x)≤f(x1)+f′(x1)(xx1)其中，f′(x1)是函数f(x)在x1点处的导函数。

上述不等式可用来表示函数f(x)的单调性和凸性。

此外，不等式可以用来解释随机事件的发生，特别是事件的概率关系。

例如，假设有A、B、C三次事件，看作A事件概率P(A)，B事件概率P(B)，C事件概率P(C)。

那么根据不等式的概念，可以推出： P(A∪B∪C)≤P(A)+P(B)+P(C)这个不等式说明，A、B和C三个事件同时发生的概率一定比分别发生的概率之和要小。

数列不等式在各个学科领域都有着重要的作用，尤其是经济学、金融学、管理学等社会科学。

它能够有效地提升模型的效率，模拟实际发生事件的过程，开发更为实用的决策策略。

高三数列不等式知识点总结数列不等式是数学中的重要概念，也是高中数学中的一个重要知识点。

在高三数学学习中，数列不等式常常作为数列章节的延伸和拓展，对于学生来说是一个较为复杂的内容。

下面将从不等式基本概念、解不等式的方法以及解决实际问题等几个方面对高三数列不等式进行总结。

一、不等式基本概念1. 不等式的定义：不等式是表示两个数之间的大小关系的数学式子，其形式通常为a < b、a ≤ b、a > b、a ≥ b等。

2. 不等式的性质：不等式具有传递性、对称性、加法性和乘法性等性质。

学生需要熟练掌握这些性质，以便在解不等式时能够合理运用。

二、解不等式的方法1. 穷举法：对于一些简单的不等式，可以通过列举出数值的方式来得到不等式的解集。

2. 图像法：对于一些简单的不等式，可以用数轴上的点来表示不等式中的数，通过观察数轴上的点的位置关系，判断不等式的解集。

3. 对称性法：当不等式中含有绝对值符号时，可以利用对称性来求解不等式。

4. 区间法：对于一些复杂的不等式，可以利用区间的概念，将数轴分为若干段，然后通过每个区间上符号的变化情况来求解不等式。

5. 函数法：通过对不等式进行等价变形，转化为函数的性质，然后利用函数的性质来解不等式。

三、解决实际问题1. 关于数列的不等式问题：在数列中常常会出现一些不等式问题，例如求数列的最大值、最小值、数列元素的范围等，这些问题都可以通过对数列不等式的分析和求解来得到答案。

2. 关于应用问题的不等式问题：不等式在实际生活中有着广泛的应用。

例如金融领域中的利润和损失、生活中的成本问题等，都可以通过建立不等式模型来解决。

3. 关于优化问题的不等式问题：在一些最优化问题中，不等式常常作为约束条件来限制优化问题的解集，通过解不等式可以得到最优解。

综上所述，高三数列不等式作为数列章节的重要延伸内容，对于学生来说是一项重要且复杂的知识点。

学生需要充分了解不等式的基本概念、掌握解不等式的方法以及能够应用不等式解决实际问题。

通解法就是把数列、不等式、解析几何等最值问题通通转化为函数问题，然后根据函数的属性来求最值。

高中数学最值问题
【基础方法介绍】
1、求函数最值常见的方法主要有这7种：
配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，数形结合图象法。

2、求几类重要函数的最值方法；
3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法 (线性规划，曲函数的最值 )
【各类最值题型通解方法】
【函数求最值常用10法例题解析】
方法1：利用一次函数的单调性
方法2：利用二次函数的性质
方法3：利用二次方程的判别式
方法4：利用一些重要不等式求最值
方法5：利用三角函数的有界性求最值
方法6：利用参数换元求最值
方法7：利用图形对称性求最值
方法8：利用圆锥曲线的切线求最值
方法9：利用复数的性质求最值
方法10：利用数形结合方法求最值
【最值问题练习】。

函数 不等式 数列 极限 数学归纳法一 能力培养1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨问题1数列{n a }满足112a =,212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100nn a -的最小值; (III)设函数()f n 是1100nn a -与n 的最大者,求()f n 的最小值.问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件:1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,⋅⋅⋅),21a a ≠,1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,⋅⋅⋅),其中a 为常数,k 为非零常数.(I)令1n n n b a a +=-(n N *∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞.问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅成公差小于零的等差数列.(I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN的夹角,求tan θ.三 习题探讨 选择题1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S nT n =+,则n na b = A,23 B,2131n n -- C,2131n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是A,1(0,2+B,1(2C,1[1,2D,11(22- 4在等差数列{}n a 中,1125a =,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22221x y a b+=(0a b >>)上三个点,F 为焦点,若,,AF BF CF 成等差数列,则有A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213211x x x =+ D,2213x x x =⋅ 6在ABC ∆中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = .8223323232323236666n nn n S ++++=+++⋅⋅⋅+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前2m 项之和2m S = .11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <,②96S S <,③7a 是各项中最大的一项,④7S 一定是n S 中的最大项,其中正确的是 . 解答题12已知23123()nn f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+,且123,,n a a a a ⋅⋅⋅组成等差数列(n 为正偶数). 又2(1)f n =,(1)f n -=,(I)求数列的通项n a ;(II)试比较1()2f 与3的大小,并说明理由.13已知函数2()31f x x bx =++是偶函数,()5g x x c =+是奇函数,正数数列{}n a 满足11a =,211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=.(I)若{}n a 前n 项的和为n S ,求lim n n S →∞;(II)若12()()n n n b f a g a +=-,求n b 中的项的最大值和最小值.14. 已知等比数列{}n x 的各项不为1的正数,数列{}n y 满足log 2n n x y a ⋅=(0a >且1a ≠),设417y =,711y =.(I)求数列{}n y 的前多少项和最大,最大值是多少? (II)设2n yn b =,123n n S b b b b =+++⋅⋅⋅+,求25lim2nn S →∞的值.(III)试判断,是否存在自然数M,使当n M >时1n x >恒成立,若存在求出相应的M;若不存 在,请说明理由.15设函数()f x 的定义域为全体实数,对于任意不相等的实数1x ,2x ,都有12()()f x f x -12x x <-,且存在0x ,使得00()f x x =,数列{}n a 中,10a x <,1()2()n n n f a a a n N +=-∈,求证:对于任意的自然数n ,有: (I)0n a x <; (II)1n n a x +<.参考答案:问题1解:(I)212n n a a a n a ++⋅⋅⋅+=,得n S =2n n a当2n ≥时,1n n n a S S -=-=2n n a 21(1)n n a ---,有221(1)(1)n n n a n a --=-,即111n n a n a n --=+. 于是3241123112313451n n n a a a a a n a a a a a n --=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=2(1)n n +.又112a =,得n a =1(1)n n +. 由于1a 也适合该式,故n a =1(1)n n +.(II)1100nn a -=299n n -=2(49.5)2450.25n -- 所以当49n =或50时,1100nn a -有最小值2450-. (III)因()f n 是1100nn a -与n 的最大者,有(1100)()1100(100)nn n f n n n a ≤≤⎧⎪=⎨-<⎪⎩,有min ()f n =(1)f =1.问题2(I)证明:由1210b a a =-≠,得2322121()()()0b a a f a f a k a a =-=-=-≠. 由数学归纳法可证10n n n b a a +=-≠(n N *∈). 而,当2n ≥时,1111111()()()n n n n n n n n n n n n n n b a a f a f a k a a k b a a a a a a +---------====--- 因此,数列{}n b 是一个公比为k 的等比数列. (II)解:由(I)知,11121()()n n n b kb k a a n N --*==-∈当1k ≠时,112211()(2)1n n k b b b a a n k--++⋅⋅⋅+=-≥-当1k =时,12n b b b ++⋅⋅⋅+=21(1)()n a a --(2n ≥)而12213211()()()(2)n n n n b b b a a a a a a a a n -++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-≥,有当1k ≠时,1n a a -= 1211()(2)1n k a a n k---≥-;当1k =时,1n a a -=21(1)()n a a --(2)n ≥.以上两式对1n =时也成立,于是当1k ≠时,11211()1n n k a a a a k --=+--= 11(())1n k a f a a k--=+--当1k =时,121(1)()n a a n a a =+--=(1)(())a n f a a +--.(III)解:当1k <时,11()lim lim[(())]11n n n n k f a aa a f a a a k k-→∞→∞--=+-=+--. 问题3解:(I)设点P(,x y ),由M (1,0)-,N (1,0)得(1,)PM MP x y =-=--- ,(1,)PN NP x y =-=-- ,(2,0)MN NM =-=有2(1)MP MN x ⋅=+ ,221PM PN x y ⋅=+- ,2(1)NM NP x ⋅=- .于是MP MN ⋅ ,PM PN ⋅ ,NM NP ⋅成公差小于零的等差数列等价于 2211[2(1)2(1)]22(1)2(1)0x y x x x x ⎧+-=++-⎪⎨⎪--+<⎩,即2230x y x ⎧+=⎨>⎩ 所以点P 的轨迹是以原点为圆心为半径的右半圆C.(II)设P(00,x y ),则由点P 在半圆C 上知,22001PM PN x y ⋅=+-又PM PN ⋅=,得cos PM PN PM PNθ⋅==⋅又001x <≤,12≤<,有1cos 12θ<≤, 03πθ≤<,sin θ==由此得0tan y θ==. 习题解答:1由1(21)0n n a a n k +-=++>,n N *∈恒成立,有30k +>,得3k >-,选D.21211212112112121(21)22(21)21223(21)131(21)2n n n n n n n n n n a a n a a a a S n n b b b b T n n n ------+-+--======+-+--,选B. 3设三边长分别为2,,a aq aq ,且0,0a q >>①当1q ≥时,由2a aq aq +>,得112q ≤<②当01q <<时,由2aq aq a +>,得112q <<,于是得1122q +<<,选D. 4由10191a a d =+>,且9181a a d =+≤,而21lim ()2n nn da S t n →∞+==, 又1125a =,于是737550t <≤,选D. 5由椭圆第2定义得222132()()22()a a a AF CF x x BF x c c c+=+++==+,选A.6由条件得31444tan ,9tan 3A B =-+=,有tan 2A =,tan 3B =. 得tan tan[()]tan()1C A B A B π=-+=-+=,于是ABC ∆为锐角三角形,选B. 7由12345636a a a a a a +++++=,12345180n n n n n n a a a a a a -----+++++=有12165()()()216n n n a a a a a a --++++⋅⋅⋅++=,即16()n a a +=216,得1n a a +=36,又13242na a n +⨯=,解得18n =. 822111111()()333222n n n S =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+,得11332lim 1121132n n S →∞=+=--.9由条件知,公比q 满足01q <<,且11115a q =-,当01q <<时,11015a <<; 当10q -<<时,1121515a <<.于是1a 的取值范围是112(0,)(,)151515. 10当n 为奇数时,相邻两项为n a 与2n a +,由51n a n =+得25(2)1(51)n n a a n n +-=++-+ =10,且16a =.所以{}n a 中的奇数项构成以16a =为首项,公差10d =的等差数列.当n 为偶数时,相邻两项为n a 与2n a +,由n a = 22n ,得2222222n n n na a ++==,且22a = 所以{}n a 中的偶数项构成以22a =为首项,公比2q =的等比数列. 由此得212(1)2(12)610522212m m mm m S m m m +--=+⨯+=++--.11由6778,S S S S <>,得780,0a a ><,有0d <;96S S <;7S 是n S 中的最大值,选①②④. 12解:(I)由12(1)n f a a a =++⋅⋅⋅+=2n ,再依题意有1a +n a =2n ,即12(1)2a n d n +-=① 又121(1)n n f a a a a n --=-+-⋅⋅⋅-+=,(n 为正偶数)得2d =,代入①有21n a n =-. (II)2311111()3()5()(21)()22222n f n =+++⋅⋅⋅+-,2341111111()()3()5()(21)()222222n f n +=+++⋅⋅⋅+- 得2311111111(1)()2()2()2()(21)()2222222n n f n +-=+++⋅⋅⋅+--于是2111()12()(21)3222n f n n-=+---⋅<.13解: (I)可得2()31f x x =+,()5g x x =,由已知211()()1n n n n n f a a g a a a +++-+=,得11(32)()0n n n n a a a a ++-⋅+=,而10n n a a ++≠,有123n n a a +=,于是1lim 3213n n S →∞==-.(II)215832()()6()1854n n n n b f a g a a +=-=-+, 由12()3n n a -=知n b 的最大值为1143b =,最小值为4374243b =.14解: (I)22log log n n a n x y x a==,设11n n x x q -=有1122log 2log 2log log n n n a n a n a x y y x x q a++-==-=,又{}n y 成等差数列.742log 74a y y q d -==-,得2d =-,17(71)(2)23,y y =--⨯-=252n y n =-. 当0n y ≥时,即23(1)(2)0n +-⨯-≥,得252n ≤.于是前12项和最大,其最大值为144.(II)25222ny n n b -==,2312b =,得21124n n b b -+==,23112()4n n b -= 232522lim 1314n n S →∞==-,于是251lim 23n n S →∞=(III)由(I)知当12n >时,0n y <恒成立,由2log n a n y x =,得2n y n x a =.(i)当01a <<且12n >时,有2n y n x a =01a >=,(ii)当1a >且12n >时,1n x <,故当01a <<时,在12M =使n M >时,1n x >恒成立;当1a >时不存在自然数M,使当n M >时1n x >.15证明:用数学归纳法 (I)当1n =时,10a a <命题成立.假设当n k =(k N *∈)时,0k a a <成立,那么当1n k =+时,由1212()()f x f x x x -<-,得00()()k k f x f a x a -<-,又00()f x x =,有00()k k x f a x a -<-, 而0k a x <,得00()k k x f a x a -<-,于是000()k k k a x x f a x a -<-<-,即0()2()k k k ka f a x f a a +<⎧⎨>⎩,又1()2k k k f a a a +=-, 有10(2)2k k k a a a x ++-<,即10k a x +<,于是当1n k =+时,命题也成立. 综上所述,对任意的k N *∈,0n a a <.(II)由1212()()f x f x x x -<-,得00()()n n f x f a x a -<-, 又00()f x x =,得00()n n x f a x a -<-,又0n a a <,得00()n n x f a x a -<-,即000()n n n a x x f a x a -<-<-, 有()n n f a a >,而1()2n n n f a a a +=-,得12n n n a a a +->, 故1n n a a +>.。

常见的几个函数不等式及其应用武汉市教育科学研究院孔峰在近几年的高考中，无论是国家考试中心的数学命题，还是一些独立命题省市的数学命题，有一些函数不等式在命题中出现的频率很高，它们在函数的性质的应用中和函数不等式的证明中发挥着很重要的作用，下面分别介绍这些函数不等式.一、函数不等式的介绍（1）)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx①证明：令x x x f -+=)1ln()(，则xx x x f +-=-+='1111)(.当01<<-x 时，0)(>'x f ；当0>x 时，0)(<'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极大值，故0)0()(=≤f x f ，所以)1()1ln(->≤+x x x .令x x x x g +-+=1)1ln()(，则22)1()1()1(11)(x xx x x x x g +=+-+-+='.当01<<-x 时，0)(<'x f ；当0>x 时，0)(>'x f .所以)(x f 在0=x 时取得极小值，故0)0()(=≥g x g ，)1)(1ln(1->+≤+∴x x xx .综上可知，)1()1ln(1->≤+≤+x x x xx.变式：)0(1ln >-≤x x x ，②)0(11ln >≥+x x x .③（2）)1)(1(21ln ≥-≤x x x x ④)10)(1(21ln ≤<-≥x xx x ⑤证明：令)1(21ln )(x x x x f --=，则02)1(11(211)(22≤--=+-='x x xx x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递减.所以，当1≥x 时，0)1()(=≤f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≥f x f .所以，不等式④，⑤成立.变式：)0(1)1ln(≥+≤+x x xx ⑥（3）)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x ⑦)10(1)1(2ln ≤<+-≤x x x x ⑧证明：令1)1(2ln )(+--=x x x x f ，则0)1()1()(22≥+-='x x x x f .所以函数)(x f 在),0(+∞单调递增.当1≥x 时，0)1()(=≥f x f ；当10≤<x 时，0)1()(=≤f x f .所以，不等式⑦，⑧成立.（4）)10(211)1ln(112ln 1≤<<-+≤-x x x ⑨证明：令x x x f 1)1ln(1)(-+=，则221)1(ln )1(1)(x x x x f +++-='，而)1(ln ]1)1][ln(1)1[ln()1(ln 1)1(ln )(222222x x x x x x x x x x x x x x f ++-++++=++-+='，由⑥式)0(1)1ln(≥+≤+x x xx 知，0)(<'x f ，所以)(x f 在10≤<x 上为减函数，12ln 1)1()(-=≥f x f .由⑦式)1(1)1(2ln ≥+-≥x x x x 知211)1ln(1<-+x x .综上可知，不等式⑨成立.（5）)0(1)211()1ln(≥++≤+x x x x x ⑩证明：令1)211()1ln()(++-+=x x x x x f ，则0)1(2)(22≤+-='x x x f .故0)0()(=≤f x f .所以，不等式⑩成立.变式：)0)(111(2111ln(>++≤+x x x x ⑪利用上述类似构造函数方法，还可以得到以下一些重要不等式：（6）贝努尼不等式：当1->x 时，)0,1(1)1(<≥+≥+αααα或x x ，⑫)10(1)1(<<+≤+αααx x ⑬（7）)0(21)1ln(2≥-≥+x x x x ⑭二、常见的函数不等的作用利用上述介绍的函数不等式，无论是去研究函数性质，还是去证明函数不等式或证明数列不等式都会带来许多便利.下面分别联系近几年高考的命题进行说明。

小学数学集合、函数、不等式、数列、复数口诀大全1.集合与函数内容子交并补集，还有幂指对函数。

性质奇偶与增减，观察图象最明显。

复合函数式出现，性质乘法法则辨，若要详细证明它，还须将那定义抓。

指数与对数函数，两者互为反函数。

底数非1的正数，1两边增减变故。

函数定义域好求。

分母不能等于0，偶次方根须非负，零和负数无对数；正切函数角不直，余切函数角不平；其余函数实数集，多种情况求交集。

两个互为反函数，单调性质都相同；图象互为轴对称，Y=X是对称轴；求解非常有规律，反解换元定义域；反函数的定义域，原来函数的值域。

幂函数性质易记，指数化既约分数；函数性质看指数，奇母奇子奇函数，奇母偶子偶函数，偶母非奇偶函数；图象第一象限内，函数增减看正负。

2.三角函数三角函数是函数，象限符号坐标注。

函数图象单位圆，周期奇偶增减现。

同角关系很重要，化简证明都需要。

正六边形顶点处，从上到下弦切割；中心记上数字1，连结顶点三角形；向下三角平方和，倒数关系是对角，变成税角好查表，化简证明少不了。

二的一半整数倍，奇数化余偶不变，将其后者视锐角，符号原来函数判。

两角和的余弦值，化为单角好求信，余弦积减正弦积，换角变形众公式。

和差化积须同名，互余角度变名称。

计算证明角先行，注意结构函数名，保持基本量不变，繁难向着简易变。

逆反原则作指导，升幂降次和差积。

条件等式的证明，方程思想指路明。

万能公式不一般，化为有理式居先。

公式顺用和逆用，变形运用加巧用；1加余弦想余弦，1减余弦想正弦，幂升一次角减半，升幂降次它为范；三角函数反函数，实质就是求角度，先求三角函数值，再判角取值范围；利用直角三角形，形象直观好换名，简单三角的方程，化为最简求解集3.不等式解不等式的途径，利用函数的性质。

对指无理不等式，化为有理不等式。

高次向着低次代，步步转化要等价。

数形之间互转化，帮助解答作用大。

证不等式的方法，实数性质威力大。

求差与0比大小，作商和1争高下。

直接困难分析好，思路清晰综合法。

数列、函数与不等式及其试题设计三、不等式证明 方法总结：不等式的性质及常用的证明方法主要有：比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法、数学归纳法等八种方法．要明确这虹各种方法证明不等式的步骤及应用范围．若能够较灵活的运用常规方法（即通性通法）、运用数形结合、函数等基本数学思想，就能够证明不等式的有关问题．1、比较法：作差比较：0A B A B -≤⇔≤；作商比较：()10A A B B B ≤⇔≤>或()10AB B≥<．作差比较的步骤：①作差：对要比较大小的两个数（或式）作差．②变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和． ③判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小． 2、综合法：由因导果．3、分析法：执果索因．基本步骤：要证……只需证……，只需证…… ①“分析法”证题的理论依据：寻找结论成立的充分条件或者是充要条件．②“分析法”证题是一个非常好的方法，但是书写不是太方便，所以我们可以利用分析法寻找证题的途径，然后用“综合法”进行表达．4、反证法：正难则反．5、放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的． 放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：a n >； ②将分子或分母放大（或缩小）；③利用基本不等式，如：2lg 3lg 5log 3lg 5()lg 42+⋅<=(1)2n n ++；④利用常用结论：=<；21111(1)1k k k k k<=---；21111(1)1k k k k k >=-++（程度大）；22111111()(1)(1)2111k k k k k k <==--+-+-；（程度小） 6、换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元．如：已知222x y a +=，可设cos ,sin x a y a θθ==； 已知221x y +≤，可设cos ,sin x r y r θθ==（01r ≤≤）； 已知22221x y a b +=，可设cos ,sin x a y b θθ==；已知22221x y a b -=，可设,tan cos a x y b θθ==；7、构造法：通过构造函数、方程、数列、向量、不等式或图形来证明不等式； 8、数学归纳法法：数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中专门研究．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．证明不等式不但用到不等式的性质，不等式证明的技能、技巧，还要注意到横向结合内容的方方面面．如与数列的结合，与“二次曲线”的结合，与“三角函数”的结合，与“一元二次方程，一元二次不等式、二次函数”这“三个二次”间的互相联系、互相渗透和互相制约，这些也是近年命题的重点．在不等式证明中还要注意数学方法，如比较法（包括比差和比商）、分析法、综合法、反证法、数学归纳法等，还要注意一些数学技巧，如数形结合、放缩、分类讨论等．比较法是证明不等式最常用最基本的方法．分析法是数学解题的两个重要策略原则的具体运用，两个重要策略原则是：正难则反原则，即若从正面考虑问题比较难入手时，则可考虑从相反方向去探索解决问题的方法，即我们常说的逆向思维，由结论向条件追溯；简单化原则，即寻求解题思路与途径，常把较复杂的问题转化为较简单的问题，在证明较复杂的不等式时，可以考虑将这个不等式不断地进行变换转化，得到一个较易证明的不等式．凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的命题适宜用反证法．换元法（主要指三角代换法）多用于条件不等式的证明，此法若运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化成简单的三角问题．含有两上字母的不等式，若可化成一边为零，而另一边是关于某字母的二次式时，这时可考虑判别式法，并注意根的取值范围和题目的限制条件．有些不等式若恰当地运用放缩法可以很快得证，放缩时要看准目标，做到有的放矢，注意放缩适度． 总之，不等式证明方法多种多样，试题灵活多变，要解答好该类试题，关键是要做到“熟能生巧”、“以不变应万变”。

不等式的妙用发表时间：2011-01-28T10:34:07.687Z 来源：《少年智力开发报》2010年第11期供稿作者：刘志军[导读] 本题通过不等式恒成立这一条件，联想到函数的最小值，这是解本题的关键。

四川省邻水中学刘志军近年的高考试题已把不等式的妙用渗透到函数、三角、数列、解析几何、立体几何等内容，充分体现不等式应用的工具作用。

一、不等式与函数（方程）不等式和函数密不可分的，如一元二次不等式的解法就是借助相应的二次函数的图象和一元二次方程的根来求解的，其实一个不等式的解集的端点往往就是相应方程的根。

点评：利用函数思想，变换主元利用直线型函数特点求解。

点评：本题通过不等式恒成立这一条件，联想到函数的最小值，这是解本题的关键。

例3. 若关于x的方程有实数解，求实数a的取值范围。

分析：考查不等式的解法及均值不等式的应用，因为，所以可以利用换元思想将方程转化为一元二次方程。

点评：法1的思路是换元后转化为一元二次方程根的分布问题，法2是换元后采用了分离参数法，在求参数范围时，分离参数法是非常重要的，它实际上将求参数的范围转化为求一个代数式的范围，再利用函数求值域的方法或均值不等式来求解。

二、不等式与函数最值点评：通过将参变量分离到式子的两边从而将问题转化为求函数的最小值，这种参变量分离的方法是求参数范围的一种常用方法，此题还可通过令将问题转化为二次方程根的分布问题，但解法不如此解法简洁。

三、数列与不等式的综合问题数列中的不等式关系的证明与判断：如数列的最大（小）项，前几项和的最值、公差、公比，次数的取值范围等都与解不等式或者证明不等式有密切关系。

本题利用了作差法来比较大小，它是一种常用的方法之一。

四、不等式的实际应用解答不等式的实际应用问题，需要阅读理解材料，弄清问题背景，建立合理的数学模型，将实际问题转化为数学问题，运用不等式的知识，手段讨论不等关系。

例6：产品进入市场，满足的销售规律是价格越高，销售量越少，某产品的价格每吨P万元，销售量为q吨，则P与q满足的关系q=30-p，（1）若该产品在某地市场被一个公司垄断，试说明该公司为获得的最大收入，不会一味追求价格的提高，并求出收入最大时该产品的价格。

不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。

不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。

在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。

本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。

一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。

若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。

不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。

例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。

对于 $n=1$，该不等式显然成立。

假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。

根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。

数列不等式证明大题解题技巧
1. 把数列的不等式转化为数学归纳法或数列递推公式证明：通过利用归纳假设或递推公式，将数列的不等式转化为一系列数学运算的等式或不等式，从而证明原始的数列不等式。

2. 利用数列的性质进行变形：通过对数列进行一系列变形，利用数列的性质，等式性质或不等式性质，将原始的数列不等式转化为更容易证明的形式。

3. 利用基本不等式或数学不等式进行转化：通过利用已知的基本不等式或数学不等式，对不等式进行转化或放缩，从而证明原始的数列不等式。

4. 利用函数性质进行推理：如果数列具有某种特定的性质，可以将数列不等式化为函数不等式，然后根据函数性质进行推理和证明。

5. 利用数列的特殊性质进行归纳：如果数列具有某种特殊的性质，可以通过归纳法证明数列的不等式。

总之，数列不等式的证明需要将数列不等式转化为一些更易于证明的形式，利用数列的特性、基本不等式、数学不等式、函数性质等进行推理和证明。

熟练掌握这些解题技巧，并结合具体题目的特点进行灵活应用，可以帮助解决数列不等式的证明大题。

初中数学教案：不等式与数列的应用不等式与数列的应用一、引言近年来，初中数学教学注重培养学生的实际运用能力。

在数学学科中，不等式与数列是两个重要的概念和工具。

本教案主要围绕不等式与数列的应用展开，旨在帮助初中生加深对这两个概念的理解，并培养他们解决实际问题的能力。

通过合理设置教学内容和活动形式，全面提升学生数学思维能力和应用能力。

二、不等式的应用1. 理论知识不等式是在代数方程基础上发展起来的一种重要的数学概念。

掌握不同类型不等式及其性质对于解决实际问题至关重要。

2. 实例演练为了帮助同学们更好地理解不等式，我们可以通过一些实例进行演示。

示例1：小明参加一个游戏，在拿到红包之前，需要先回答一个题目。

假设题目是：x+2>5，请问小明需要多少金额才能得到红包？示例2：某产品在促销期间有折扣优惠，现原价为550元，折后价格大于450元，那么折扣通常不低于多少？3. 实际问题解析不等式在解决实际问题时得到广泛应用。

我们可以通过一些典型问题来展示如何运用不等式进行实际问题的求解。

例题1：某水果店的橙子每公斤售价15元以下才会购买，某次买橙子共花费了72元，请问至少购买了多少公斤？例题2：小明父亲给他下发零花钱，规定每星期不能超过100元。

已知小明上个月拿到零花钱总额为380元，请问小明最多拿到了零花钱多少个星期？三、数列的应用1. 理论知识数列是有序数项按照一定规律排列而成的有限或无限序列。

理解数列的概念及其性质对于推导和应用非常重要。

2. 实例演练掌握数列后，学生可以通过观察规律、寻找特点等方式增强对数列的理解，并且能够灵活地应用数列进行问题求解。

示例1：请写出前5项分别为1,3,5,7,9的等差数列。

示例2：已知某等差数列的公差为3，第一项是5，求前10项和。

3. 实际问题解析数列在解决实际问题时同样有其独特的应用价值。

通过一些典型问题，我们可以引导学生将数列与实际情景相联系，提高他们的综合运用能力。

数列与函数、不等式问题经典回顾开篇语数列与函数、不等式等知识的综合问题历来是高考的重点之一，考试大纲对这一部分的考试要求是，能综合运用数列、函数、方程和不等式灵活地解决这些知识相互之间的交汇问题．在本讲中，我们将选配相关的综合问题进行求解训练，以帮助同学们提高推理论证能力和运算求解能力．开心自测题一：已知函数()2x f x =,等差数列{}n a 的公差为2．若246810()4f a a a a a ++++=, 则212310log [()()()()]f a f a f a f a ⋅⋅⋅⋅=L ．题二：已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）令b n =211n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ．金题精讲题一：等比数列{}n a 中，12a =，8a =4，函数()128()()()f x x x a x a x a =---L ，则()0f '=（ ）．A ．62 B. 92 C. 122 D. 152题二：设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+．（Ⅰ）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式．题三：已知点（1，31）是函数,0()(>=a a x f x 且1≠a ）的图象上一点，等比数列}{n a 的前n 项和为c n f -)(，数列}{n b )0(>n b 的首项为c ，且前n 项和n S 满足n S －1-n S =n S 2n ≥）．（Ⅰ）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}11+n n b b 前n 项和为n T ，问n T >20091000的最小正整数n 是多少?名师寄语数列综合问题一向是高考的重点，两类数列与函数、方程、不等式的交汇问题历来是高考的热点，并且选择题、填空题、解答题三种题型都有可能涉及．这类试题一般较为灵活，尤其是解答题，往往具有一定的难度．因此在第二轮复习中，我们应当加大数列与函数、方程、不等式等知识综合问题的复习力度，争取在这一类问题的求解中取得满意的成绩．数列与函数、不等式问题经典回顾讲义参考答案开心自测题一：62123102log [()()()()]log 26f a f a f a f a -⋅⋅⋅⋅==-L ．题二：（Ⅰ）321)=2+1n a n n =+-（；2(1)3222n n n S n n n -=+⨯=+；（Ⅱ）n T =4(+1)n n ． 金题精讲题一：C ．题二：（Ⅰ）略；（Ⅱ）2(31)2n n a n -=-⋅题三：（Ⅰ）12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ *()n N ∈．21n b n =-(*n N ∈)；（Ⅱ）112．。

高一数列和不等式知识点数列和不等式是高一数学学习中重要的知识点，对于理解和解决实际问题有着重要的应用价值。

下面将分别介绍数列和不等式的基本概念、性质及其应用。

一、数列的概念和性质数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。

通常用{a1, a2,a3, ... , an}表示，其中ai称为数列的第i个项。

数列中的规律可以通过等差数列和等比数列来体现。

1. 等差数列等差数列是指数列中任意两项之差都相等的数列。

设首项为a1，公差为d，则等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。

等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列等比数列是指数列中任意两项之比都相等的数列。

设首项为a1，公比为r，则等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)。

等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (r^n - 1))/(r - 1)，当|r|<1时成立。

二、不等式的概念和性质不等式是含有不等关系的数学式子。

常见的不等关系有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）等。

不等式的解称为不等式的解集，是使不等式成立的所有实数的集合。

1. 不等式的解集表示不等式的解集用集合的形式来表示，例如解集A={x | x > 1}表示满足x > 1的所有实数x的集合。

2. 不等式的性质- 加减性：不等式两边同时加（减）同一个数，不等号方向不变；- 乘除性：不等式两边同时乘（除）同一个正数，不等号方向不变；若乘（除）同一个负数，不等号方向改变；- 同底指数幂的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则a^n<b^n，若0<a<b<1，则a^n>b^n；- 平方根的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则√a<√b；- 倒数的大小比较：对于正数a和b，若0<a<b，则1/b<1/a。

数列与不等式数列和不等式是数学中的两个重要概念，它们在不同的数学领域中都有广泛的应用。

数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列，而不等式则描述了两个数或者多个数之间的大小关系。

本文将介绍数列和不等式的基本定义和性质，并探讨它们在数学中的应用。

一、数列的定义和性质数列就是按照一定规律排列的一系列数字的集合。

一般来说，数列可以表示为$a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots$，其中$a_n$表示数列的第$n$个数。

常见的数列有等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

如果数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 + (n-1)d$。

等差数列的性质包括：1. 通项公式：$a_n = a_1 + (n-1)d$2. 前$n$项和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$3. 任意三项的中项：$a_n = \frac{a_k + a_m}{2}$，其中$k,m,n$为正整数且$k<m<n$。

等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

如果数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则数列的通项公式可以表示为$a_n = a_1 \cdotr^{(n-1)}$。

等比数列的性质包括：1. 通项公式：$a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$2. 前$n$项和公式（当$r \neq 1$）：$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$3. 任意三项的中项：$a_n^2 = a_k \cdot a_m$，其中$k,m,n$为正整数且$k<m<n$。

二、不等式的定义和性质不等式是描述数之间大小关系的数学表达式。

一般来说，不等式可以表示为$x>y$、$x \geq y$、$x<y$、$x \leq y$、$x \neq y$等形式，其中$x$和$y$为实数。

数列、函数与不等式及其试题设计二、数列与函数回顾：已知数列{}n a 中，11a =，分别求满足下列递推关系时的2a 、3a 、4a 、5a ，并求n a ， （1）162n n n a a a ++=+； （2）1311n n n a a a +-=+； （3）1762n n n a a a +-=+思考：若12a =、13a =、13a =-时，情况又是怎样的呢？从中你有何发现？ 例题：已知数列{}n a 满足：13a =，1232n n n a a a +-=-，（1）求2a ，3a ，4a ； （2）求数列{}n a 的通项公式．探究：若数列{}n a 满足：1a m =，1232n n n a a a +-=-，则求{}n a 的通项公式．你的结论：数列与函数综合练习1．已知函数()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意实数a 和b ，满足()()()fa b f af b =+． （1）求()0f 及()1f 的值；（2）若()22f =，求()2n f -的解析式． 2．已知数列{}n a 中，156a =，二次方程2110n n a x a x --+=（*n N ∈，且2n ≥）的两根为α、β，且满足331ααββ-+=． （1）求证：12n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求数列{}n a 的前n 项和． 3．数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知112a =，()21n n S n a n n =--，1,2,n =⋅⋅⋅（Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）设()1n n n S f x xn +=，()n n b f p '=()p R ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

4．已知12a =，点()1,n n a a +在函数()22f x x x =+的图象上，其中n =1，2，3，… （1）证明数列(){}lg 1n a +是等比数列；（2）设()()()12111n n T a a a =+++ ，求n T 及数列{}n a 的通项； （3）记112n nn b a a =++，求{}n b 数列的前项和n S ，并证明2131n n S T +=-．5*．已知函数()f x x=（0x ≠），由正数组成的数列{}n a 中，11a =，()11n n f a a +=（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，对任意正整数n ，()22311n n nn a nb a -+⋅=都成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，试比较n S 与12的大小；（3）在点列243n n n A n na a ⎛ -⎝⎭（*n N ∈）中，是否存在三个不同的点k A 、l A 、m A ，使点k A 、l A 、m A 在同一条直线上？若存在，则写出一组在一条直线上的三个点的坐标；若不存在，则说明理由． 6*．设()11,A x y 、()22,B x y 是函数()21log 21xf x x =+-的图像上任意两点，且()12O M O A O B =+，已知点M 的横坐标为12．（1）求证：点M 的纵坐标为定值； （2）若121n n S f f f n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，其中*n N ∈，且2n ≥，求n S ； （3）已知()()()()12131211n n n n a n S S +⎧=⎪⎪=⎨⎪≥++⎪⎩，其中*n N ∈，n T 为数列{}n a 的前n 项和．若()11n n T S λ+<+对一切*n N ∈都成立，试求λ的取值范围．。