6.3常微分方程

参考答案与提示

1 参考答案与提示

第6章 常微分方程

6.3 高阶线性微分方程

6.3.1 高阶线性微分方程解的结构

6.3.2 常系数线性微分方程

1、(1) 1)1()1(221xCxCy (2) xxeCeCy3231

(3) xeCCy421 (4) 12xyCCxe（）

(5) )23sin23cos(2121xCxCeyx

2、(1) xCxCCysincos321

(2) xexCCy)(,1212时当

xxeCeCy)1(2)1(1222,1时当

)1sin1cos(,122212xCxCeyx时当

3、(1) y)(23cbxaxxex

(2) y]2sin)(2cos)[(4xdcxxbaxxex

(3) y)sincos(xbxaex

(4) yxedxxbaxCexsin)(cos)(

4、(1) )1(41)(221xexCCyx (2) 222121()2xxyCCxexe

(3) )cos(sin2121xxeCCyx

5、(1) )sin(xxeyx (2) xxycos813cos241

6.3.3 欧拉方程

1、 xxCxCy212231

2、 )sin(ln21)]ln3sin()ln3cos([21xxxCxCxy

6.4 总习题

1、 (1) C (2) D

2、(1) 052yyy (2)]sin)(cos)[(xedxxbaxx

3、(1)

43161)(2221xxeexCCy

(2) xxCxCeyx2cos263)23sin23cos(2121

212sin131x

《常微分方程》复习资料 中南财经政法大学 统数学院信科1101 陈弄祺

- 1 -《常微分方程》复习资料

1．（变量分离方程）形如()()dy

fxy

dx

（1.1）的方程，称为变量分离方程，这里(),()fxy

分别是,xy

的连续函数．

解法：（1）分离变量，当()0y

时，将（1.1）写成()

()dy

fxdx

y

，这样变量就“分离”了；

（2）两边积分得()

()dy

fxdxc

y

（1.2），由（1.2）所确定的函数(,)yxc

就为（1.1）的解．

注：若存在

0y

，使

0()0y

，则

0yy

也是（1.1）的解，可能它不包含在方程（1.2）的通解中，必须予以补上．

2．（齐次方程）形如()dyy

g

dxx

的方程称为齐次方程，这里是u

的连续函数． ()gu

解法：（1）作变量代换（引入新变量）y

u

x，方程化为()duguu

dxx



，（这里由于dydu

xu

dxdx

）；

（2）解以上的分离变量方程；

（3）变量还原．

3．（一阶线性微分方程与常数变异法）一阶线性微分方程()()()0dy

axbxycx

dx

在的区间上可写成()0ax

()()dy

PxyQx

dx

（3.1），这里假设在考虑的区间上是(),()PxQxx

的连续函数．若，则（3.1）变为()0Qx

()dy

Pxy

dx

（3.2），（3.2）称为一阶齐次线性方程．若()0Qx

，则（3.1）称为一阶非齐次线性方程．

解法：（1）解对应的齐次方程()dy

Pxy

dx

，得对应齐次方程解()px

ycedx



，为任意常数； c

（2）常数变异法求解（将常数变为cx

的待定函数，使它为（3.1）的解）：令为（3.1）的

解，则()cx()

()pxdx

ycxe

()()()

()()p

pxdxpxdydcx

ecxxe

dxdxdx

，代入（3.1）得()()

()pxdxdc

dxx

Qxe



)，积分得； ()pxdx

c

()()cxQxe

习题6.3

1. 试求出下列方程的所有奇点,并讨论相应的驻定解的稳定性态

(1))32(4/1)1(yxydtdyyxxdtdx

解: 由0)32(4/10)1(yxyyxx得奇点(0,0),(0,2),(1,0),(1/2,1/2)

对于奇点(0,0), A=2/1001 由AE=0得1=1>0,2=1/2>0

所以不稳定

对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2, 则A=2/12/301 得1=-1, 2=-1/2

所以渐进稳定

同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定

对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定

(2)

yxxyyxdtdyxyyxdtdx2245665469

解: 由045660546922yxxyyxxyyx 得奇点(0,0),(1,2),(2,1)

对于奇点(0,0)可知不稳定

对于奇点(1,2)可知不稳定

对于奇点(2,1)可知渐进稳定

(3)

0),(2xyxdtdyydtdx

解:由0,0)(02xyxy得奇点(0,0),(-1/,0)

对于奇点(0,0) 驻定解不稳定

对于奇点(-1/,0) 得驻定解不稳定

(4)

)3/22)((322xyxxyyxydtdyxydtdx

解: 由0)3/22)((0322xyxxyyxyxy得奇点(0,0),(1,1)

对于奇点(0,0)得驻定解不稳定

对于奇点(1,1)得驻定渐进稳定

2. 研究下列纺车零解的稳定性

(1) 0652233xdtdxxxdtddtd

解:a0=1>0,a1=5>0,a2=6>0

奇点-常微分方程

§6.3 奇点

本节考虑平面自治系统

),(),(..yxQyyxPx

(6.18)

以下总假定函数),(),,(yxQyxP在区域

HyHxD,:,

)(H

上连续并满足初值解的存在与唯一性定理的条件.

6.3.1 相平面、相轨线与相图

我们把xOy平面称为(6.18)的相平面,而把(6.18)的解)(),(tyytxx在xOy平面上的轨迹称为(6.18)的轨线或相轨线.轨线族在相平面上的图像称为(6.18)的相图.

易于看出,解)(),(tyytxx在相平面上的轨线,正是这个解在),,(yxt三维空间中的积分曲线在相平面上的投影.我们以后会看到,用轨线来研究(6.18)的通解常要比用积分曲线方便得多.

下面通过一个例子来说明方程组的积分曲线和轨线的关系.

例 1

xdtdyydtdx

很明显,方程组有特解.sin,costytx它在),,(yxt三维空

间中的积分曲线是一条螺旋线(如图5-3(a)),它经过点)0,1,0(. 当t增加时,螺旋线向上方盘旋.上述解在xOy平面上的轨线是圆,122yx它恰为上述积分曲线在xOy平面上的投影. 当t增加时,轨线的方向如图5-3(b)所示.

另外,易知对于任意常数,函数)sin(),cos(tytx也是方程组的解.他的积分曲线是经过点(0,1,)的螺旋线.但是,它们与解tytxsin,cos有同一条轨线.122yx

(a)

(b)

图 5-3

同时,我们可以看出, )sin(),cos(tytx的积分曲线可以由tytxsin,cos的积分曲线沿t轴向下平移距离而得到.由于的任意性,可知轨线122yx对应着无穷多