常微分方程组(边值)

第十章解常微分方程組-邊界值問題(Boundary Value Problems for ODE)本章探討的邊界值問題模型如下:x''(t) = f(t, x(t), x'(t))x(a) = α , x(b) = β .考慮當函數f(t, x(t), x'(t))是線性(或非線性)時, 求解之方法:1. Discretization Method( finite difference approximations)2. Shooting Method在本章中包含Matlab 的m-file1. finitedf.m2.shoot.m3. shootnl.m將須要的m-file之檔案夾加入搜尋路徑中path('d:\numerical', path)註: 如果你有安裝Matlab Notebook 要執行下列input cells (綠色指令敘述)之前必須先執行上面的cell –[path (…) ]藍色的內容是Matlab [output cells]1. finitedf.m –利用finite difference approximationsx'(t) ~ (x(t+h) - x(t-h) ) / (2 h) ;x''(t) ~ (x(t+h) - 2 (t) + x(t-h) )/ h2 ;來估算邊界值問題x''(t) = f(t, x(t), x'(t))= u(t) t + v(t) x(t) + w(t) x'(t)x(a) = α , x(b) = β. 的數值解 .下列的m-file(finitedf.m)已經把例題中的u(t), v(t), w(t)定義了, 使用者套用此函數時, 記得更正為自己需要的.type finitedf.mfunction rs= finitedf(x0,xn, ta,tb,n)%to solve x''(t) = f(t, x(t), x'(t))=u(t) t + v(t) x(t) + w(t) x'(t)%by finite difference approximations, x0 and xn are the boundary values %t is in[ta,tb].ut = inline('exp(t) - 3*sin(t)', 't') ;vt = -1 ;wt = 1 ;h=(tb - ta)/n ;a=zeros(1,n); b=a; c=a; d=a;for i=1:n-1t = ta + i*h ;a(i) = -( 1+ h * wt/2) ;d(i) = 2 + h^2 * vt;c(i) = -( 1- h * wt/2) ;b(i) = -h^2* ut(t) ;end ;b(1) = b(1) - a(1)* x0 ;b(n-1) = b(n-1) - c(n-1)* xn ;for i=1:n-1a(i) = a(i+1) ;end ;y = trigauss(a, d, c,b,n-1) ;rs = y ;例題 1: 解邊界值問題x''(t) = e t - 3 sin(t) + x'(t) - x(t) ,x(1) = 1.09737491 , x(2) = 8.63749661ta = 1 ; tb = 2; n = 99;h = (tb- ta)/n ; error = zeros(1,n) ;x0 = 1.09737491 ; xn = 8.63749661 ;y = finitedf(x0, xn, ta, tb, n);for i = 1 : n-1t = ta + i * h ;error(i) = exp(t)- 3*cos(t)- y(i) ;end ;format longfprintf('\t t \t x(t) \t error\n') disp([1 x0 0])for i = 9 :9:n-1t = ta + i * h ;disp([t y(i) error(i)])end ;disp([2 xn 0])t x(t) error1.00000000000000 1.09737491000000 01.09090909090909 1.59194209918682 -0.000000365918851.181818181818182.12256804212776 -0.000000694314561.272727272727272.68955333563720 -0.000000963621881.36363636363636 3.29334396781902 -0.000001156328151.45454545454545 3.93457004989182 -0.000001259030391.54545454545455 4.61408706401417 -0.000001263391911.63636363636364 5.33301967061334 -0.000001167139561.72727272727273 6.09280813414278 -0.000000975096821.81818181818182 6.89525744460769 -0.000000700247811.90909090909091 7.74258923378422 -0.000000364826842.00000000000000 8.63749661000000 02. shoot.m –利用shooting method 來估算邊界值問題此方法是將邊界值問題轉為初值問題:x''(t) = f(t, x(t), x'(t)) = u(t) t + v(t) x(t) + w(t) x'(t)x(a) = α , x'(a) = z.其解x(t)在b的數值x(b)可視為z的函數φ(z) .希望好的z值能使得φ(z) =β.當φ(z)是線性時, 考慮函數g(t)=λx1(t) + (1-λ) x2(t) ,其中x1(t)與x2(t)分別是x'(a) = z1與.x'(a) = z2初值問題的解.解此初值問題可利用前面的函數rk4sys.mtype shoot.mfunction rs= shoot(x0,xn, ta,tb,n)%to solve x''(t) = f(t,x(t),x'(t))=u(t) t+ v(t) x(t)+ w(t) x'(t) %by finite difference approximations, x0 and xn are the%boundary values, t is in[ta,tb].ut = inline('exp(t) - 3*sin(t)', 't') ;vt = -1 ;wt = 1 ;h=(tb - ta)/n ; m=5 ;x=[1 x0 0 x0 1]';xt=zeros(m,n);xtnew=zeros(1,n) ;xt=rk4sysnew(x,ta,tb,n) ;xb1=xt(2,n) ;xb2=xt(4,n) ;p = (xn-xb2) / (xb1-xb2) ;q = 1-p ;xtnew=p*xt(2,1:n) +q*xt(4,1:n) ;%return the approximation solutionrs = xtnew ;type fxsys.mfunction fx=fxsys(t,X)%compute values of function F(t,X)%F(t,X) is defined by user%In this example, variable X includes t which is%the first component X(1)fx=zeros(length(X),1);fx(1) = 1 ;fx(2) = X(3);fx(3) = exp(X(1)) - 3*sin(X(1)) + X(3) -X(2);fx(4) = X(5) ;fx(5) = exp(X(1)) - 3*sin(X(1)) + X(5) -X(4); ;例題 2:利用shooting method解邊界值問題x''(t) = e t - 3 sin(t) + x'(t) - x(t) ,x(1) = 1.09737491 , x(2) = 8.63749661ta = 1 ; tb = 2; n = 99;h = (tb- ta)/n ; error = zeros(1,n) ;x0 = 1.09737491 ; xn = 8.63749661 ;y = shoot(x0, xn, ta, tb, n);for i = 1 : n-1t = ta + i * h ;error(i) = exp(t)- 3*cos(t)- y(i) ;end ;format longfprintf('\t t \t x(t) \t error\n') disp([1 x0 0])for i = 9 :9:n-1t = ta + i * h ;disp([t y(i) error(i)])end ; disp([2 xn 0])t x(t) error1.00000000000000 1.09737491000000 01.09090909090909 1.59194173254025 0.000000000727731.181818181818182.12256734722770 0.000000000585511.272727272727272.68955237158771 0.000000000427611.36363636363636 3.29334281123716 0.000000000253711.45454545454545 3.93456879079791 0.000000000063531.54545454545455 4.61408580076543 -0.000000000143171.63636363636364 5.33301850384033 -0.000000000366551.72727272727273 6.09280715965267 -0.000000000606711.81818181818182 6.89525674522358 -0.000000000863701.90909090909091 7.74258887009486 -0.000000001137472.00000000000000 8.63749661000000 03. shootnl.m –利用shooting method 來估算非線性的邊界值問題x''(t) = f(t, x(t), x'(t)) , x(a)= α , x(b)=β同樣地, 將邊界值問題轉為初值問題:x(a) = α , x'(a) = z.其解x(t)在b的數值x(b)可視為z的函數φ(z) .希望好的z值能使得φ(z) =β , 採用secant method .type shootnl.mfunction rs= shootnl(x0,xn, ta,tb,n)%to solve nonlinear x''(t) = f(t,x(t),x'(t)) boundary-Value problem%by Shooting method, x0 and xn are the boundary values,%t is in[ta, tb].%%x''(t)= -x'(t)^2 -x(t) + ln(t), t is in [1,2], x(1)=0, x(2) = ln2 .%exact solution x(t) = ln(t) .% x1(t)=t, x1'(t)=1, x2(t)= x(t), x2'(t)= x3(t)% x3'(t)= x2''(t)= -x3(t)^2 - x2(t) +ln(t)h=(tb - ta)/n ; m=3 ;%for some zz=[0.5 1] ; pz=[0 0] ; %initialepi=10^(-10) ;for j=1: 2x=[1 x0 z(j)]' ; %initialsxt=zeros(m,n) ;xt=rk4sysnew(x,ta,tb,n) ;pz(j)=xn -xt(2,n) ;if pz(j)< epirs = xt(2, 1:n) ;return %end ;end ;%compute the next z by secant methoditer= 15; tol = 10^-5 ; err=0.0 ;i =3 ;while(i <= iter & err < tol)slp= (z(i-1)-z(i-2))/(pz(i-1)-pz(i-2)) ;nextz = z(i-1)- slp*pz(i-1);err = abs(nextz - pz(i-1)) ;z=[z nextz] ;x=[1 x0 nextz]' ; %initialsxt=zeros(m,n) ;xt=rk4sysnew(x,ta,tb,n);pz(i)=xn -xt(2,n) ;if (err < tol | pz(i)<epi )rs = xt(2, 1:n ) ;returnend ;i= i+1 ;endif i>iterprintf(' Secant method fails in Shooting method \n' ) endrs = xt(2, 1:n); %returnstype fxsys.mfunction fx=fxsys(t,X)%compute values of function F(t,X)%F(t,X) is defined by user%In this example, variable X includes t which is%the first component X(1)fx=zeros(length(X),1);fx(1) = 1 ;fx(2) = X(3);fx(3) = -X(3).^2 - X(2) +log(X(1)) ;例題 3:利用shooting method 來估算非線性的邊界值問題x''(t) = -x'(t)2 - x(t) + ln(t) 1≤ t ≤ 2x(1) = 0 , x(2) = ln2 .ta = 1 ; tb = 2; n = 10;h = (tb- ta)/n ; error = zeros(1,n) ;x0 = 0.0 ; xn = log(2) ;y = shootnl(x0, xn, ta, tb, n);for i = 1 : n-1t = ta + i * h ;error(i) = log(t)- y(i) ;end ;format longfprintf('\t t \t x(t) \t error\n') fprintf('\t 1 \t 0 \t 0\n') for i = 1 :n-1t = ta + i * h ;disp([t y(i) error(i)])end ; disp([2 xn 0])t x(t) error1 0 01.10000000000000 0.09531000323697 0.000000176567361.20000000000000 0.18232131442583 0.000000242368121.30000000000000 0.26236400845782 0.000000256009671.40000000000000 0.33647199127437 0.000000245346841.50000000000000 0.40546488415551 0.000000223952651.60000000000000 0.47000343073393 0.000000198511811.70000000000000 0.53062807876778 0.000000172294391.80000000000000 0.58778651805356 0.000000146848561.90000000000000 0.64185376332331 0.000000122849092.00000000000000 0.69314718055995 0。

两点边值问题方程两点边值问题是一种求解微分方程的方法，它涉及到两个边界条件。

假设我们有一个一阶常微分方程dy/dx = f(x,y)，我们需要找到满足两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = beta 的解。

两点边值问题的解法通常包括以下步骤：1. 定义一个初始猜测值y0(x)。

2. 使用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解微分方程，得到新的解y1(x)。

3. 检查新的解是否满足边界条件。

如果满足，则找到了解；否则，返回步骤2，使用新的解作为初始猜测值继续求解。

下面是一个使用Python实现两点边值问题的示例代码：```pythonimport numpy as npfrom scipy.integrate import odeint# 定义微分方程dy/dx = f(x,y)def f(x, y):return x * y - 1# 定义两个边界条件y(a) = alpha 和y(b) = betaa, b, alpha, beta = 0, 1, 1, 0# 定义初始猜测值y0(x)y0 = np.array([0.5, 0.5])# 使用数值方法求解微分方程def solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0, tol=1e-6, max_iter=100): for i in range(max_iter):y = odeint(f, y0, [a, b])if np.allclose(y[:1], alpha) and np.allclose(y[-1], beta):return y[1:-1]y0 = y[1:-1]raise ValueError("Solution not found within the specified tolerance and maximum iterations.")# 求解两点边值问题solution = solve_two_point_boundary_value_problem(f, a, b, alpha, beta, y0)print("Solution:", solution)```在这个示例中，我们使用`odeint`函数求解微分方程，并使用`np.allclose`检查新的解是否满足边界条件。

18—1 常微分方程数值解法2§1 引言§2 Euler 方法§3 Runge －Kutta 方法§4 单步法的收敛性与稳定性§5 线性多步法§6 方程组与高阶方程的情况§7 边值问题的数值解法3§1 引言微分方程：关于一个未知函数的方程，方程中含有未知函数的（偏）导数，以及自变量等，其中关于未知函数导数的最高次数称为微分方程的阶数.例如：0)()(')()(''=++−x c y x b y x a x y4实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来近似求解.微分方程的应用情况5对于一个常微分方程：'(,) ,[,]dy y f x y x a b dx==∈为了使解存在，一般要对函数f 施加限制条件，例如要求f 对y 满足Lipschitz 条件：1212(,)(,)f x y f x y L y y −≤−6同时，一个有解的微分方程通常会有无穷多个解例如cos() sin(),dyx y x a a R dx=⇒=+∀∈为了使解唯一，需要加入一个限定条件. 通常会在端点出给出，如下面的初值问题：(,),[,]()dyf x y x a b dx y a y ⎧=∈⎪⎨⎪=⎩7常微分方程的解是一个函数，但是，只有极少数特殊的方程才能求解出来，绝大多数是不可解的.并且计算机没有办法对函数进行运算. 一般考虑其近似解法，一种是近似解析法，如逼近法、级数解法等，另一种是本章介绍的数值解法.8§2 Euler 方法92－1 Euler 公式对常微分方程初值问题：⎩⎨⎧==00')(),(y x y y x f y 数值求解的关键在于消除其中的导数项——称为离散化. 利用差商近似逼近微分是离散化的一个基本途径.10现在假设求解节点为),,1,0(m i ih a x i "=+=，其中ma b h −=为步长，这些节点相应的函数值为)(,),(1m x y x y ". 在点n x 处，已知))(,()('n n n x y x f x y =用n x 的向前差商nn n n x x x y x y −−++11)()(近似代替)('n x y ，如§1，则得到所谓的Euler 公式1(,)n n n n y y hf x y +=+——单步、显式格式11Euler 公式的局部截断误差：假设)(n n x y y =情况下，11)(++−n n y x y 称为局部截断误差.'''2311''23()()()()()2()(,()(()))2n n n n n n n n n y x y x y y x hy x h O h y x h y x f x y x h O h ++−=+++−−=+故有)(2)(''211n n n x y h y x y ≈−++. 122－2 后退的Euler 公式同样对常微分方程初值问题，在1+n x 点，已知))(,()(111'+++=n n n x y x f x y ，如果用向后差商hx y x y n n )()(1−+代替)(1'+n x y ，则得到后退的Euler 公式：111(,)n n n n y y hf x y +++=+——单步、隐式格式13相对于以上可以直接计算1+n y 的Euler 公式（显式），上式是隐式公式. 一般来讲，显式容易计算，而隐式具有更好的稳定性.求解上述公式，通常使用迭代法：对于给定的初值)0(1+n y，计算(1)()111(,)(0,1,)k k n n n n y y f x y k ++++=+="， 如果)(1lim k n k y +∞→收敛，则其极限必满足上述后退Euler 公式.14局部截断误差：假设)(n n x y y =，则),()(111++++=n n n n y x hf x y y .由于)]()[,())(,(),(1111111+++++++−+=n n n y n n n n x y y x f x y x f y x f η且''''2111(,())()()()()n n n n n f x y x y x y x hy x O h +++==++15则有'2''31111(,)[()]()()()()n y n n n n n n y hf x y y x y x hy x h y x O h η++++=−++++将此式减去式2'''31()()()()()2n n n n h y x y x hy x y x O h +=+++ 可得，2''311111()(,)[()]()()2n n y n n n n h y x y hf x y x y y x O h η+++++−=−−+16考虑到21111(,)()1(,)y n y n hf x O h hf x ηη++=++−，则有22''3''11()()()()22n n n n h h y x y y x O h y x ++−=−+≈−172－3 梯形公式由于上述两个公式的局部截断误差绝对值相等，符号相反，故求其算术平均得到梯形公式：111[(,)(,)]2n n n n n n hy y f x y f x y +++=++——单步、隐式格式18梯形法同样是隐式公式，可用下列迭代公式求解：(0)1(1)()111(,)[(,)(,)]2n n n n k k n n n n n n y y hf x y h y y f x y f x y +++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩局部截断误差：类似于后退Euler ，可计算出)(12)('''311n n n x y h y x y −≈−++192－4 改进的Euler 公式上述用迭代法求解梯形公式虽然提高了精度，但计算量也很大. 实际上常采用的方法是，用Euler 公式求得初始值（预测），然后迭代法仅施行一次（校正）——改进的Euler 公式：1111(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y f x y hy y f x y f x y ++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩20估计上式中第二式当1+n y 为准确值时的局部截断误差：''11113(3)()()(()[()()])2()12n n n n n n n hy x y y x y x y x y x hy x ++++−=−++≈−212－5 Euler 两步公式如果用中心差商hx y x y n n 2)()(11−+−代替)('n x y ，则得Euler 两步公式112(,)n n n n y y hf x y +−=+——两步、显式格式22假设1−n y 及n y 均为准确值，利用Taylor 展式容易计算Euler 两步公式的局部截断误差为：11113(3)()()(()2(,()))()3n n n n n n n y x y y x y x hf x y x h y x +++−−=−+≈23此式与梯形公式相结合，得到如下的预测－校正公式：111112(,)[(,)(,)]2n n n n n n n n n n y y hf x y hy y f x y f x y −++++⎧=+⎪⎨=++⎪⎩假设第一式中的1−n y 及n y ，以及第二式中的n y 及1+n y 均是准确值，则有，2441)()(1111−≈−−++++n n n n y x y y x y 从而可得以下的事后估计式，111111114()()51()()5n n n n n n n n y x y y y y x y y y ++++++++⎧−≈−−⎪⎪⎨⎪−≈−⎪⎩25可以期望，以上式估计的误差作为计算结果的补偿，可以提高计算精度.以n p 及n c 分别表示第n 步的预测值和校正值，则有以下的“预测－改进－校正－改进”方案（其中在1+n p 与1+n c 尚未计算出来的前提下，以n n c p −代替11++−n n c p ：26预测：'112n n n hy y p +=−+预测的改进：)(5411n n n n c p p m −−=++计算：),(11'1+++=n n n m x f m校正：)(2'1'1++++=n n n n m y hy c校正的改进：)(511111++++−+=n n n n c p c y计算：),(11'1+++=n n n y x f y27例 用Euler 方法求解初值问题2'[0,0.6](0)1y y xy x y ⎧=−−∈⎨=⎩取0.2h =，要求保留六位小数. 解：Euler 迭代格式为2210.2()0.80.2k k k k k k k k y y y x y y x y +=+−−=−因此2821000(0.2)0.80.20.8y y y x y ≈=−= 22111(0.4)0.80.20.6144y y y x y ≈=−=23222(0.6)0.80.20.461321y y y x y ≈=−=29例 用改进的Euler 方法求解初值问题2'sin 0[0,0.6](0)1y y y x x y ⎧++=∈⎨=⎩取0.2h =，求(0.2),(0.4)y y 的近似值，要求保留六位小数.解：改进的Euler 格式为212211110.2(sin )0.2(sin sin )2k k k k k k k k k k k k k y y y y x y y y y x y y x +++++⎧=+−−⎪⎨=+−−−−⎪⎩30即，222110.820.08sin 0.1(0.80.2sin )sin k k k k k k k k y y y x y y x x ++=−−−则有1(0.2)0.807285y y ≈=，2(0.4)0.636650y y ≈=31§3 Runge －Kutta 方法Def.1如果一种方法的局部截断误差为)(1+p h O ，则称该方法具有p 阶精度. 323－2 Runge —Kutta 方法的基本思想上述的Taylor 级数法虽然可得到较高精度的近似公式，但计算导数比较麻烦. 这里介绍不用计算导数的方法.))(,()()()('1h x y h x f h x y hx y x y n n n n n θθθ++=+=−+——平均斜率.33如果粗略地以),(n n y x f 作为平均斜率，则得Euler 公式；如果以221K K +作为平均斜率，其中),(1n n y x f K =，),(112hK y x f K n n +=+，则得改进的Euler 公式.343－3 二阶的Runge －Kutta 方法对点n x 和)10(≤<+=+p ph x x n p n ，用这两点斜率的线性组合近似代替平均斜率，则得计算公式：11122121()(,)(,)n n n n n p n y y h K K K f x y K f x y phK λλ++⎧=++⎪=⎨⎪=+⎩35现确定系数p ,,21λλ，使得公式具有二阶精度. 因为，取n y 为()n y x ，则'1(,)(,())'()n n n n n nK f x y f x y x y x y === 再把2K 在),(n n y x 处展开，有36'21(,)(,)n p n n n n K f x y phK f x ph y phy +=+=++代入可得，'2''31122()()n n n n y y hy ph y O h λλλ+=++++'2(,)(,)(,)()n n x n n y n n n f x y f x y ph f x y phy O h =+⋅+⋅+'2(')(,)()n x y n n y ph f f y x y O h =+⋅+⋅+'''2()n n y ph y O h =+⋅+37相比较二阶Taylor 展开''2'12n n n n y h hy y y ++=+，有，⎪⎩⎪⎨⎧==+211221p λλλ满足此条件的公式称为二阶Runge －Kutta 公式.38可以验证改进的Euler 公式属于二阶Runge －Kutta 公式. 下列变形的Euler 公式也是二阶Runge －Kutta 公式：12121(,)(,)22n n n n n n y y hK K f x y h h K f x y K +⎧⎪=+⎪=⎨⎪⎪=++⎩393－4 三阶Runge －Kutta 公式同二阶Runge －Kutta 公式，考虑三点,,(01)n n p n q x x x p q ++≤≤≤试图用它们的斜率321,,K K K 的线性组合近似代替平均斜率，即有如下形式的公式：1112233121312()(,)(,)(,())n n n n n n n n y y h K K K K f x y K f x ph y phK K f x qh y qh rK sK λλλ+=+++⎧⎪=⎪⎨=++⎪⎪=+++⎩40把32,K K 在),(n n y x 处展开，通过与)(1+n x y 在n x 的直接Taylor 展式比较，可确定系数s r q p ,,,,,,321λλλ，满足下式，从而使得上述公式具有三阶精度，41特别地，2,1,1,21,32,61231=−======s r q p λλλ是其一特例.123232223311213161p q p q pqs r s λλλλλλλλ++=⎧⎪⎪+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎪+=⎪⎩423－5 四阶Runge －Kutta 公式相同的方法，可以导出下列经典的四阶Runge －Kutta 公式：112341213243(22)6(,)(,)22(,)22(,)n n n n n n n n n n h y y K K K K K f x y h h K f x y K h h K f x y K K f x h y hK +⎧=++++⎪⎪=⎪⎪⎪=++⎨⎪⎪=++⎪⎪=++⎪⎩43例 用经典四阶Runge —Kutta 方法求解初值问题'83[0,0.4](0)1y y x y =−⎧∈⎨=⎩，取0.2h =，求(0.4)y 的近似值，要求保留六位小数.解：四阶Runge —Kutta 格式为44112341211123122241330.2(22)6(,)830.2(,)83(0.1) 5.6 2.120.2(,)83(0.1) 6.32 2.372(,0.2)83(0.2) 4.208 1.578k k k k k k k k k k k kk k k k ky y K K K K K f x y y K f x y K y K yK f x y K y K y K f x y K y K y ++++⎧=++++⎪⎪==−⎪⎪⎪=+=−+=−⎨⎪⎪=+=−+=−⎪⎪⎪=+=−+=−⎩则10.5494 1.2016k k y y +=+，45故12(0.2) 2.3004,(0.4) 2.4654y y y y ≈=≈=.注：由准确解382()33xy x e −=−可得(0.2) 2.300792,(0.4) 2.465871y y ==46§5 线性多步法基本思想：在计算1+i y 之前，已计算出一系列的近似值i y y ,,1"，如果充分利用这些已知信息，可以期望会获得更高精度的)(1+i x y 的近似值1+i y .基本方法：基于数值积分与基于Taylor 展开的构造方法.475－1 基于数值积分的构造方法对方程),('y x f y =两边从i x 到1+i x 积分，则得∫++=+1),()()(1i ix x i i dxy x f x y x y 设)(x P r 是f (x , y )的插值多项式，由此可得以下的一般形式的计算公式：∫++=+1)(1i ix x r i i dxx P y y 48例 取线性插值))(,())(,()(11111+++++−−+−−=i i i i ii i i i i r x y x f x x x x x y x f x x x x x P ，则得到梯形法：)],(),([2111+++++=i i i i i i y x f y x f hy y495－2 Adams 显式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(11r i r i i i i i f x f x f x −−−−"构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式（注意到：j i j i j f f −Δ=∇）j i jrj j i r f j t th x P −=Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑0)1()(其中!)1()1(j j s s s j s +−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛". 50可得10rj i i rj i jj y y h f αΔ+−==+∑——Adams 显式公式其中1(1)j j t dt j α−⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠∫，它可写成：∑=−++=rj ji rj i i f h y y 01β515－3 Adams 隐式公式在区间],[1+i i x x 上利用r ＋1个数据点),(,),,(),,(1111+−+−++r i r i i i i i f x f x f x "构造插值多项式)(x P r ，由牛顿后插公式101)1()(+−=+Δ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=+∑j i jrj ji r f j t th x P 可得*11rj i i rj i j j y y h f α+−+==+Δ∑——Adams 隐式公式52其中01(1)jj t dt j −−⎛⎞α=−⎜⎟⎝⎠∫，它又可写成： *11ri i rj i j j y y h f β+−+==+∑535－4 Adams 预测－校正公式以r ＝3时的Adams 显式与隐式公式为例. 此时，显式公式为)9375955(243211−−−+−+−+=i i i i i i f f f f hy y 利用Taylor 展式，容易计算局部截断误差为)(720251)5(5i x y h . 54)5199(242111−−+++−++=i i i i i i f f f f hy y 同样利用Taylor 展开可得，其局部截断误差为5(5)19()720i h y x −. 隐式公式为55⎪⎩⎪⎨⎧+−++=−+−+=−−+++−−−+)519),(9(24)9375955(24211113211i i i i i i i i i i i i i f f f y x f hy y f f f f h y y 注 利用2－5节的相同作法同样可以构造更精确的计算过程.可构造利用显式预测，隐式校正的计算公式：56§6 方程组与高阶方程的情形6－1 一阶方程组常微分方程初值问题为⎩⎨⎧==00)(),('y x y y x f y 此时T m y y y ),,(1"=，Tm f f f ),,(1"=. 此时上述的一切方法均可使用，只是注意y 与f 此时为向量.576－2 化高阶方程为一阶方程组解下列的m 阶方程()(1)'(1)(1)000000(,,',,)(),'(),,()m m m m y f x y y y y x y y x y yx y −−−⎧=⎨===⎩""令)1(21,,',−===m m y y y y y y "，则有58'12'23'1'12(,,,,)m m m m y y y y y yy f x y y y −⎧=⎪=⎪⎪⎨⎪=⎪⎪=⎩#"初始条件为：)1(00'002001)(,,)(,)(−===m m y x y y x y y x y "。

用某种离散化数值步骤求出常微分方程边值问题在离散点上的近似解的方法。

各种实际问题导出不同类型的边值问题。

较简单的有二阶常微分方程两点边值问题：求函数y=y(x)，x∈【α,b】，使它满足微分方程和边值条件式中ƒ、g1、g2为已知函数；α与b为两个给定的端点。

较一般地有一阶常微分方程组两点边值问题:求N个函数使其满足微分方程组和边值条件式中诸ƒn、g i是已知函数;r为给定的自然数。

有些问题因求解区间是无穷区间而被称作奇异边值问题，相应的边界条件变为对解在无穷远处渐近行为的限制,例如,要求y(x)在区间【0，)上平方可积或要求当x趋于无穷时，y(x)趋于某极限值。

还有些实际问题因要求解满足多个点上的条件而被称作多点边值问题。

近年来，对反映边界层现象的奇异摄动边值问题提出了一些新的数值解法。

此外，关于存在多个解的分歧现象数值解问题也引起人们的注意。

打靶法主要思路是:适当选择和调整初值条件,(选什么)求解一系列初值问题，使之逼近给定的边界条件。

如果将描述的曲线视作弹道，那么求解过程即不断调整试射条件使之达到预定的靶子,所以称作打靶法或试射法,此类方法的关键是设计选取初值的步骤。

对非线性边值问题可通过下列步骤求数值解：①计算初值问题的数值解y1。

若g(y1(b),y姈(b))=B,近似地满足，则y1即为所求；否则进行②。

②计算初值问题的数值解y2,若g(y2(b),y娦(b))=B近似地满足，则y2即为所求；否则令m＝3进行③。

③将g(y(b),y┡(b))视为y(α)的函数,用线性逆插值法调整初值，即计算然后进行④。

④计算初值问题的数值解y m并进行判定：若b点边值条件近似地满足,则y m即为所求;否则令m+1崊m转向③继续计算直到满意为止。

特别地，若微分方程是线性的，则打靶法变成线性组合法，即根据常微分方程理论适当选取初值可得到一组线性独立解，利用它们的线性组合导出边值问题的解。

例如线性方程边值问题的数值解可通过两个初值问题数值解来实现。

常微分方程的边值问题
常微分方程的边值问题（也称为常微分方程的定边值问题）是求解一个微分方程在一个给定的时间段上的特定解的问题，其中方程的解需要满足一些给定的边界条件。

这些边界条件通常指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值，或者其他一些特定的时刻或位置上的值。

例如，一个常见的常微分方程的边值问题是求解一个二阶常微分方程：
y''(t) = f(t, y(t))
其中，y(t) 是未知函数，f(t, y) 是一个已知的函数。

这个问题需要在给定的时间段 [a, b] 上求解，并且需要满足以下的边界条件：
y(a) = y_a
y(b) = y_b
这里，y_a 和 y_b 是给定的数值。

这些边界条件指定了方程在时间间隔的起点和终点处的值。

常微分方程的边值问题在物理学、工程学、经济学等领域中都有广泛的应用。

解决常微分方程的边值问题需要使用数值解法或者解析解法，其中数值解法通常更为实用，因为它可以通过计算机程序来求解。