数学思想分式问题中的体现

数学思想分式问题中的体现

数学思想是数学的精髓，是联系数学各类知识的纽带，是数学知识的重要组成部分．我们在学习数学知识的同时，要注意领悟和掌握蕴含其中的数学思想．

一、转化思想

转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛．将所研究和解决的新知识转化为已经学过的旧知识来处理的数学思想叫转化思想．它是研究和解决数学问题的核心思想．可以说没有它就无法获得新知识，数学也就停滞不前了．化复杂为简单，化陌生为熟悉，化抽象为具体……，就是这种思想的具体应用，事实上，许多问题一经转化就可迎刃而解．

本章中处处体现了这一数学思想：如将同底数幂的除法转化为乘法；多项式除以单项式转化为单项式除以单项式；将分式方程“转化”为整式方程等．

例1.计算21424mm的值．

分析：异分母的分式相加减时，通过通分转化成同分母的分式再进行加减．

解：原式142(2)(2)mmm24(2)(2)(2)(2)mmmmm

24(2)(2)mmm21(2)(2)2mmmm．

例2. 已知实数zyx,,满足：0xyz，04201332zyxzyx，求zxyzxyzyx222的值.

解析：将z看作“常数”解关于yx,的二元一次方程组，用z分别表示yx,，这样就能实现将三元，转化为一元，最后消元的目的。再代入待求分式就可以获解。

由已知条件得：zyxzyx421332 21解这个关于yx,的二元一次方程组得：zyzx32

于是：zxyzxyzyx222=5125122363222222222zzzzzzzz.

二、方程思想

所谓方程思想是指求解数学问题时，从题中的已知量和未知量之间的关系入手，运用数学符号和数学语言将等量关系转化为方程（或方程组），再通过解方程（组）使问题获得解决．如本章中的列分式方程解实际问题．

又如：已知223(2)2(2)xABxxx，求A和B的值．

分析：可以对等式右边先进行通分，再做分式的加法，这时右边分式的公分母与左边分式的分母相同，那么右式的分子(2)AxB一定与左式的分子相等，从而可列出关于AB，的方程组，求得A和B的值．

解：223(2)2(2)xABxxx22(2)2(2)(2)AxBAxABxx．

所以123.AAB，解得11AB，．

三、类比的思想

分式一章的知识一般都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识.从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧，无一不体现类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程学习.

例3.化简：22444aaa.

分析：解决此类问题，可以类比分数的约分，这样只要先要对分子与分母分别分解因式，再约去公因式.

解：22444aaa＝2222aaa＝22aa.

四、分类讨论思想

根据问题的特点和要求，按照一定的标准，将所需研究和解决的问题分为几种情况或几个部分，然后再逐一研究和解决的数学思想叫做分类讨论思想．应用分类讨论思想解决问题必须遵循两条原则：（1）分类标准必须统一；（2）既不重复也不遗漏．

例4．若,0zyx0xyz，求yxzxzyzyx的值。（自编题）

解析：由已知条件得知zyx,,这三个数的符号只可能有如下几种可能：

（1）当zyx,,中是两正一负时，不妨记0,0,0zyx； 则原式=1111zzyyxx

（2）当zyx,,中是两负一正时，不妨记0,0,0zyx；

则原式=1111zzyyxx.

五、整体思想

在解分式题中，适当运用整体思想，会使问题巧妙解决。分式化简求值中经常运用整体代换法 ——整体代换是指在解决某些问题时，把一些组合式子视作一个“整体”，并把这个“整体”直接代入另一个式子，从而可避免局部运算的麻烦和困难。有些问题，从表面上看需要局部求出各有关量，但实质上若从整体上把握这些量之间的关系，则思路更为明朗，解法更为巧妙。

例 5.已知实数yx,满足：211yx，求yxyxyxyx3438的值.

解析1：如果还按照上述消元的思想来解，要用字母y来表示x，运算就比较大。对待求分式运用分式的基本性质可得：yxyxyxyx3438=41138)11(yxyx，

这样我们就可以直接利用已知条件求值。故原式=41138)11(yxyx=54682

解析2：由已知211yx知道：0,0yx，

于是对在等式两边同时乘以xy处分母得：xyyx2，再整体代入待求分式即易获解。

原式=xyxyxyxy4682=5210xyxy

六、参数思想

例 6．已知432zyx，求zxyzxyzyx2222的值. 解析：由条件可得：2zx，43zy，再整体代入待求分式可以求值，当运算量较大。如果设参数，则可以减少计算量。

设kzyx432，0k。则kzkykx4,3,2。

所以zxyzxyzyx2222=1228126432222222222kkkkkkkk.

例7．已知3:2:yx，求yxyxyxyx7665432的值。

解析：由条件可设：kykx3,2，

则yxyxyxyx7665432=99203381882112181012662kkkkkkkk.

七、建模思想

著名数学家徐利治先生在《数学方法论选讲》一书中指出：数学模型是针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构．

数学模型的广义解释是：凡一切数学概念，数学理论体系，各种数学公式、各种方程以及由公式系列构成的算法系统等等都可称为数学模型，数学建模的过程可用右面框图来说明．

例7.a克糖水中含b克糖（a>b>0），则糖的质量与糖水的质量比是多少？若再添加c克糖（假定添加的糖全部溶解），则糖的质量与糖水的质量比是多少？生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜，请根据所列式子及这个生活常识，猜想出一个不等式，并运用所学知识加以证明．

解析：糖的质量与糖水比ba，当添加c克糖后，糖的质量与糖水的质量比是bcac，生活常识告诉我们糖水更甜，那就是添加糖后，糖水中糖的含量增加了，即bcbaca.

利用数学知识证明如下:

,0 ()()()()()0 :()()abcacbcacabbcabacbbcaacbbcacbbaacaacaacaca即又即

点评：生活中处处存在着数学问题，只要你留意，总会有收获的.利用这个不等式，实际问题

原问题

得解 数学模型

（如方程、不等式）

数学模型的解答 近似、概括抽象

数学化

检验

回答实际问题 用数学理论

解决数学问题 请你比较下面三个数的大小. 200120022003,,200220032004.

例8.甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们两个人谁能先完成任务呢？

解析：设乙每小时生产x个零件，则甲每小时生产（x+8）个零件.

则乙生产144个这种零件需144x小时，甲生产168个这种零件需1688x小时.

∴168144168144(8)168144(8)8(8)(8)(8)xxxxxxxxxxxx

1681441152241152(8)(8)xxxxxxx 24(48)(8)xxx

∵x>0,∴x(x+8)>0，∴当x>48时，乙先完成任务；当x=48时，两人同时完成任务；当x<48时，甲先完成任务.

点评：①利用求差来比较两个数的大小，是比较大小的一种常用方法.

②求差的结果无法直接与0比较大小时，则必须讨论各种可能出现的情况.