初中数学《分式》单元教学设计以与思维导图

八年级数学思维导图第十一章三角形本章介绍了三角形的概念及其相关性质。

三角形由三条边和三个顶点组成，可以用边、顶点或内角表示。

三角形的三边满足两边之和大于第三边的条件，同时有高、中线、角平分线等与三角形相关的线段。

三角形的内角和定理表明，三角形三个内角的和等于180°。

外角是指三角形内角的补角，三角形外角的性质也在本章中介绍。

此外，本章还涉及到多边形的相关概念及其内角和外角和的计算公式。

第十二章全等三角形本章介绍了全等三角形的概念及其相关性质。

全等三角形的对应边和对应角分别相等，有SSS、SAS、ASA、AAS等多种全等三角形的判定方法。

此外，本章还介绍了利用全等三角形解决实际问题的方法。

第十三章轴对称本章介绍了轴对称的概念及其性质。

轴对称是指平面上的一条直线，将图形沿着这条直线对称后，两边完全重合。

轴对称具有对称性和可逆性，轴对称的图形可以分为对称图形和非对称图形。

第十四章整式的乘法与因式分解本章介绍了整式的乘法与因式分解的方法。

整式是指只包含有理数、变量和加减乘幂运算的代数式，整式的乘法可以利用分配律和结合律进行展开。

因式分解是将一个整式分解为多个整式的乘积的过程，可以使用提公因式法、配方法、分组分解法等多种方法。

第十五章分式本章介绍了分式的概念及其相关性质。

分式是指形如a/b的表达式，其中a和b都是整式，b不为0.分式的化简、约分、通分、加减乘除等运算方法都在本章中介绍。

第十六章二次根式本章介绍了二次根式的概念及其相关性质。

二次根式是指形如√a的表达式，其中a是非负实数。

最简二次根式是指被开方数不含分母，分母中不含二次根式，并且被开方数中不含开得尽方的因数或因式的二次根式。

本章介绍了二次根式的乘法、除法、加减和混合运算的方法，以及二次根式的性质。

分式方程适用年级八年级所需时间4课时主题单元学习概述分式方程（可化为一元一次方程）是在学习了等式基本性质和一元一次方程及分式等知识后进行学习，学生已有一定的学习经验和方法，在教学中采用探究讨论点拨的方法。

本节分二个专题：专题一，应用‘转换法’数学思想解分式方程；专题二，构建‘分式方程’数学模型解决实际问题。

主题单元规划思维导图主题单元学习目标（说明：依据新课程标准要求描述学生在本主题单元学习中所要达到的主要目标）知识与技能：1.经历从现实生活中抽象出数及简单数量关系的过程。

.探索给定事物中隐含的规律，会用方程表示简单的数量关系；2.知道分式方程的概念，明白‘转换法’这一基本数学思想；3.能熟练解简单的方式方程。

过程与方法：1.通过对现实生活中有关的数字信息作出合理的解释，用构建数学模型的方法描述并解决现实世界中的简单问；2.通过对分式方程的研究，初步学会与他人合作，体会在解决问题中研究性学习的基本过程。

情感态度与价值观：体验数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以借助数学方法来解决，并可以借助数学语言来表述和交流。

对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）1.能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型。

2.经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程。

3.会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）。

主题单元问题设计1.如何用数学模型描述解决日常生活中的实际问题？2. 2.解方程采取的策略和应用的数学思想有哪些？专题划分专题一：应用‘转换法’数学思想解分式方程。

（ 2 课时）专题二：构建‘分式方程’数学模型解决实际问题。

（2课时）专题一利用‘去分母’将分式方程转换成整式方程解方程解分式方程所需课时2课时专题学习目标（说明：描述学生在本专题学习中所要达到的学习目标，注意与主题单元的学习目标呼应）1.知道分式方程的概念；2.了解分式方程与整式方程的区别与联系；3.初步了解‘转换法’解分式方程的数学思想，明白运用的理论依据及运用此依据的前提和会产生的后果，为检验留下伏笔；4.熟练的解简单的方式方程。

分式的运算适用年八年级级所需时课内3课时间主题单元学习概述(说明：简述主题单元在课程中的地位和作用、单元的组成情况，单元的学习重点和难点、解释专题的划分和专题之间的关系，单元的主要的学习方式和预期的学习成果，字数300-500) 《分式》是继“整式”之后研究的另一类代数式，引入了一种新的代数式，就要研究它的运算，《分式的运算》一单元是在学习了分式的概念，基本性质，以及通分约分之后要研究的一部分内容。

本单元分为三个专题：专题一分式的乘除，专题二分式的加减，专题三整数指数幂。

它们都是分式运算的重要组成部分，其中整数指数幂将指数的讨论范围从正整数扩大到全体正整数，给运算带来便利。

本单元学习的重点是讨论分式的四则运算法则，并进行分式的四则混合运算；难点是分式的混合运算。

本单元主要的学习方式是类比的方法，引领学生经历从特殊到一般，从具体到抽象的过程。

分式的四则运算法则是对分数的四则运算法则的抽象，两者本质不同，教学中可以从回顾分数运算法则的角度，引申到分式的运算法则，让学生温故而知新，体现由数到式的数、从具体到抽象的过程。

整数指数幂的学习，指数的范围被扩大，使原来的性质得到更广泛的应用，并且可以用科学计数法表示比1小的数。

通过本单元的学习，学生可以熟练地掌握分式的四则运算法则并能进行简单的分式加、减、乘、除运算．将指数的范围从正整数扩大到全体整数，了解整数指数幂的运算性质；能用科学记数法表示小于1的正数．主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：1.历届并掌握分式的加、减、乘、除运算，会进行简单的分式的加、减、乘、除运算.2.会运用法则解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的代数化归能力.3.会用同底数幂的除法性质进行运算，理解整数指数幂与负整数指数幂的意义并熟练的运用其进行计算，会用科学记数法表示绝对值小于1的数.过程与方法：1.经历探索分式的乘、除运算法则的过程，体会因式分解在分式乘除运算中的作用，发挥有条理的思考与语言表达能力.2.经历探索分式的加减运算法则的过程，进一步运用类比的数学思想学习分式的加减法法则，理解其算理.3.在进一步体会幂的意义的过程中，发展学生的推理能力和表达能力，能熟练灵活的运用法则进行同底数幂的除法运算，培养学生的抽象思维能力.情感态度与价值观：1.渗透类比转化的的思想，培养学生的观察、类比、归纳能力和小组交流合作的情感，进一步体会数学的实际价值.2.在活动中培养学生乐于探究、合作学习的良好学习习惯，培养学生“用数学”的意识和能力.3.渗透公式正向运用与逆向运用的辩证统一的数学思维观点，通过由特殊到一般，再由一般到特殊的认识活动，对学生渗透辩证唯物主义观点，感受数学的应用价值，体会数学与社会生活的联系，提高数学素养.对应课标（说明：学科课程标准对本单元学习的要求）知识与技能：类比分数的学习，探究分式的四则运算法则，掌握四则运算法则，并能进行简单的加、减、乘、除混合运算，能解决一些与分式有关的简单的实际问题。

分式方程适用年级八年级所需时间课内共用3课时，每周3课时；课外共用1课时主题单元学习概述主题单元规划思维导图主题单元学习目标知识与技能：经历分式方程概念、分式方程的解放过程，会解渴化为一元一次方程的分式方程的解法，会检验根的合理性，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用。

过程与方法：经历“实际问题——分式方程模型——求解——检验解的合理性”的过程，发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想，培养学生的应用意识。

通过列分式方程解应用题，渗透方程思想。

情感态度与价值观：在获得培养学生乐于探究、合作学习的习惯，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体会数学的应用价值。

对应课标对于分式,只要求简单的加、减、乘、除运算,并通过例子明确要求;对于分式方程,只要求解可化一元一次方程的分式方程,并且并且方程中的分式不超过两个;可化为一元二次方程的分式方程没有列入《标准》之内,这就大大降低了难度。

主题单1）什么分式方程？（2）解分式方程基本思路是什么？与整式方程有何区别与联系？元问题设计（3）曾根是在怎样产生的？产生的原因？（4）分式方程解实际应用题的步骤是什么？（5）在归纳分式方程解实际应用题的步骤应该注意哪些问题？专题划分专题一：分式方程的概念及出现增根的原因（ 1课时）专题二：熟悉解分式方程的方法及增根的原因（1 课时）专题三：用分式方程解实际问题的步骤（ 1 课时）专题分式方程一所需1课时课时专题学习目标知识目标： 1了解分式方程的意义解分式方程的基本思路和方法。

2了解出现曾根的原因3掌握验证根的方法。

能力目标：培养自主学习能力、观察能力，渗透化归、类比及归纳的思想。

情感目标：培养学生积极探究、乐于探究、仔细观察、善于归纳的良好学习习惯。

专题问题设计（1）什么是分式方程？（2）分式方程与整式方程什么区别和联系？（3）增根？如何确定根的合理性？所需教学环境和教学资源信息化资源：多媒体课件所需教学环境和教学资源多媒体课件常规资源：教材，学案，练习本学习活动设计学习活动设计活动1、问题导入（多媒体展示）问题1、有两块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种。

因式分解学习难点：让学生识别多项式的公因式。

准确找出公因式，并能正确进行分解因式。

教学方法：独立思考与合作交流单元与主题的关系：本单元是解决主题的一种方法三、运用公式法学习重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式使学生会用完全平方公式分解因式，让学生掌握多步骤、多方法分解因式方法。

学习难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力，让学生学会观察多项式的特点，恰当地安排步骤，恰当地选用不同方法分解因式。

教学方法：练习法，课堂讨论启发法。

单元与主题的关系：本单元是解决主题的另一种方法，并且综合运用各种方法来解决主题。

主题单元规划思维导图第1课时活动一：算一算活动内容：计算：（1）学生回答：你是用什么方法计算的？这个式子的各项有相同的因数吗？活动目的：引入这一步的目的旨在让学生通过乘法分配律的逆运算（因数分解）这一特殊算法，使学生通过类比的思想方法很自然地过渡到正确理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握扫清障碍．活动二：想一想活动内容：多项式ab+ac中，各项有相同的因式吗？多项式x2+4x 呢？多项式mb2+nb–b呢？结论：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．活动目的：在学生能顺利地寻找数的简便运算中的公因数之后，再深一步引导学生采用类比的方法由寻找相同的因数过渡到在多项式中寻找相同的因式．活动三：议一议活动内容：多项式2x2y+6x3y2中各项的公因式是什么？结论：（1）各项系数是整数，系数的最大公约数是公因式的系数；（2）各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分；（3）公因式的系数与公因式字母部分的积是这个多项式的公因式．通过观察，推导分解因式与整式乘法的关系，让学生感受事物间的因果联系.专题问题设计1. 平方差公式的特点。

2. 完全平方公式的特点。

3. 运用整体法，及两种公式综合运用解题。

所需教学环境和教学资源电子白板学习活动设计第1课时活动一：练一练活动内容：填空：（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ．根据上面式子填空：（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ．活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．活动二：想一想活动内容：观察上述第二组式子的左边有什么共同特征？把它们写成乘积形式以后又有什么共同特征？结论：a2–b2=（a+b）（a–b）活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，通过自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征．注意事项：学生对平方差公式的正确使用掌握的比较快，但用语言叙述第二组式子的左右两边的共同特征有一定的困难，必须在老师的指导下才能完成．活动三：做一做活动内容：把下列各式因式分解：（1）25–16x2 （2）9a2–活动目的：培养学生对平方差公式的应用能力．注意事项:学生对含有分数的平方差公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动四：议一议活动内容：的完全平方公式．注意事项：由于有了七年级的整式乘法的学习基础，同时对照口诀，大多数学生能顺利识别完全平方式，但少部分同学由于对完全平方公式的特征的理解模糊，不能很好地掌握完全平方公式，这需要老师更加耐心地引导和启发．活动三：试一试活动内容：把下列各式因式分解：（1）x2–4x+4 （2）9a2+6ab+b2（3）m2–（4）活动目的：(1)培养学生对平方差公式的应用能力；（2）让学生理解在完全平方公式中的a与b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式．注意事项：学生对第（3）小题含有分数的完全平方公式应用起来有一定的困难，有的学生由于受解方程的影响，习惯首先去分母，再因式分解，这是很多学生经常犯的一个错误．活动四：想一想活动内容：将下列各式因式分解：（1）3ax2+6axy+3ay2 （2）–x2–4y2+4xy活动目的：使学生清楚地了解提公因式法（包括提取负号）是分解因式首先考虑的方法，再考虑用完全平方公式分解因式．注意事项：在综合应用提公因式法和公式法分解因式时,一般按以下两步完成：（1）有公因式，先提公因式；（2）再用公式法进行因式分解. 活动五：反馈练习活动内容：1、判断正误：（1）x2+y2=（x+y）2 ( )（2）x2–y2= (x–y)2 ( )（3）x2–2xy–y2= (x–y)2 ( )（4）–x2–2xy–y2=–（x+y）2 ( )2、下列多项式中，哪些是完全平方式？请把是完全平方式的多项式分解因式：（1）x2–x+ （2）9a2b2–3ab+1（3）（4）3、把下列各式因式分解：（1）m2–12mn+36n2 （2）16a4+24a2b2+9b4（3）–2xy–x2–y2 （4）4–12（x–y）+9（x–y)2活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的特征是否清楚，对完全平方公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．注意事项：当完全平方公式中的a与b表示两个或两个以上字母时，学生运用起来有一定的困难，此时，教师应结合完全平方公式的特征给学生以有效的学法指导．活动六：学生反思。

第一部分《数与式》知识点2a a π⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩定义：有理数和无理数统称实数.有理数：整数与分数分类无理数：常见类型(开方开不尽的数、与有关的数、无限不循环小数）法则：加、减、乘、除、乘方、开方实数实数运算运算定律：交换律、结合律、分配律数轴（比较大小）、相反数、倒数（负倒数）科学记数法相关概念:有效数字、平方根与算术平方根、立方根、非负式子（，单项式：系数与次数分类多项式整式数与式()01;;(),();();1;m m n m n m n m n m n mn m m m m p m p a a a a a a a a a a ab a b a a b b a +--⎧⎨⎩⎛⎫⋅=÷====== ⎪ ⎪⎝⎭⨯⨯⨯⎛⎫ ⎪÷÷⎝⎭：次数与项数加减法则：加减法、去括号（添括号）法则、合并同类项幂的运算:单项式单项式；单项式多项式；多项式多项式乘法运算:单项式单项式；多项式单项式混合运算：先乘方开方，再乘除，最后算加减；同级运算自左至右顺序计算；括号优先22222()()()2;(a b a b a b a b a ab b a a m a a m b b m b b m ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎧+-=-⎪⎨⎪±=±+⎩⎩⎧⎪⎨⎪⎩⨯÷⎛⎫== ⎪⨯÷⎝⎭平方差公式：乘法公式完全平方公式：分式的定义：分母中含可变字母分式分式有意义的条件：分母不为零分式值为零的条件：分子为零，分母不为零分式分式的性质：通分与约分的根据）通分、约分，加、减、乘、除分式的运算先化简再求值（整式与分式化简求值20).0.(0)(0)a a a a a a ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎩⎡≥⎤⎧=⎨⎢⎥-≤⎩⎣⎦⎧⎪⎨⎪⎩的通分、符号变化）整体代换求值≥叫二次根式二次根式的意义即被开方数大于等于最简二次根式（分解质因数法化简）二次根式二次根式的相关概念同类二次根式及合并同类二次根式分母有理化（“单项式与多项式”型）加减法：先化最简，再合并同类二次二次根式的运算222222()()2()()()()a b a b a b a ab b a b x a b x ab x a x b ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩⎧⎪⎧-=+-⎪⎪⎨±+=±⎨⎩⎪+++=++⎪⎩根式定义：（与整式乘法过程相反，分解要彻底）提取公因式法：（注意系数与相同字母，要提彻底）平方差公式：分解因式公式法方法完全平方公式：十字相乘法：分组分解法：（对称分组与不对称分组）⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩第二部分《方程与不等式》知识点2⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩定义与解：一元一次方程解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.应用：确定类型、找出关键量、数量关系定义与解：解法：代入消元法、加减消元法二元一次方程（组）简单的三元一次方程组：方程简单的二元二次方程组：定义与判别式(△=b -4ac)一元二次方程解法：直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法.定义与根（增根）：分式方程解法：去分母化为整方程与不等式 1.2.3.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩式方程，解整式方程，验根.1.行程问题：2.工程（效）问题：3.增长率问题：（增长率与负增长率）4.数字问题：（数位变化）类型5.图形问题：（周长与面积（等积变换））6.销售问题：（利润与利率）方程的应用7.储蓄问题：（利息、本息和、利息税）8.分配与方案问题：线段图示法：常用方法列表法：直观模型法：1.2.3.4.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎩⎩⎪⎪⎪⎪⎩一般不等式解法一元一次不等式条件不等式解法解法：（借助数轴）不等式与不等式不等式（组）不等式与方程一元一次不等式组应用不等式与函数最佳方案问题5.最后一个分配问题第三部分《函数与图象》知识点O x x ⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎩①各象限内点的特点：x轴：纵坐标y=0；②坐标轴上点的特点y轴：横坐标x=0.③平行于轴，y轴的线段长度的求法（大坐标减小坐标）直角坐标系④不共线的几点围成的多边形的面积求法（割补法）关于轴对称(x相同，y相反）⑤对称点的坐标关于y轴对称(x相反，y相同）关于原点对称(x，y都相反）正比例函数：y=kx(k≠0)（一点求解析式）函数表达式一次函数函数11221212112212.,.1.k k b b k k ⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩==- 一、三象限角平分线：y=x 二、四象限角平分线:y=-x 一次函数：y=kx+b(k≠0)（两点求解析式）增减性：y=kx与y=kx+b增减性一样，k＞0时，x增大y增大；k＜0,x增大y减小平移性：y=kx+b可由y=kx上下平移而来；若y=k x+b 与y=k x+b 平行，则≠垂直性： 若y=k x+b 与y=k x+b 垂直，则求交点：00(0)(00y y x x x k y k x k k k ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩=⎧⎨⎩（联立函数表达式解方程组）正负性：观察图像＞与＜时，的取值范围（图像在轴上方或下方时，的取值范围）表达式：≠一点求解析式）①区域性：＞时，图像在一、三象限；＜时，图像在二、四象限.k＞0在每个象限内，y随x的增大而减小；②增减性反比例函数性质k＜0在每个象限内，y随x的增大而减小.③恒值性：（图形面积与值有关）④对称性：既是221212,(0),(),(0),()(),(0)y ax bx c a y a x k h a y a x x x x a x x x ⎧⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎧++≠⎪-+≠⎨⎪--≠⎩轴对称图形，又是中心对称图形.求交点：（联立函数表达式解方程组求交点坐标，还可由图像比较函数的大小）①一般式：=其中表达式②顶点式：=其中（k,h)为抛物线顶点坐标；③交点式：=其中，、是函数图象与轴交点的横坐标；性质二次函数2220042444242a a b a a x y x y a x y x y b ac b a a b ac b b ac b a a a ⎧⎨⎩---最小值最大值①开口方向与大小：a＞0向上，a＜0向下；越大，开口越小；越小，开口越小.②对称性：对称轴直线x=-＞，在对称轴左侧，增大减小；在对称轴右侧，增大增大；③增减性＜，在对称轴左侧，增大增大；在对称轴右侧，增大减小；④顶点坐标：（-,）⑤最值：当a＞0时,x=-，y =；a＜0时，x=-，y =22.44c a x y a c b b ac a b a b c ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩-++-+示意图：画示意图五要素（开口方向、顶点、对称轴、与、交点坐标）与：开口方向确定a的符号，抛物线与y轴交点纵坐标确定c的值；的符号：b的符号由a与对称轴位置有关：左同右异.符号判断Δ=：Δ＞0与x轴有两个交点；Δ＝0与x轴有两个交点；Δ＜0与x轴无交点：当x=1时，y=a+b+c的值.：当x=-1时，y=a-b+c的值...⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩①求函数表达式：②求交点坐标：函数应用③求围成的图形的面积(巧设坐标）：④比较函数的大小第四部分《图形与几何》知识要点0160160⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪==⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩”’”直线：两点确定一条直线线射线：线段：两点之间线段最短，（点到直线的距离，平行线间的距离）角的分类:锐角、直角、钝角、平角、周角.角的度量与比较：， ；角余角与补角的性质：同角的余角（补角）相等，等角的余角（补角）相等，角的位置关系：同位角、内错角、同旁内角、对顶角、邻补角对顶角：对顶角相等.相交线几何初步垂线：定义，垂直的判定，垂线段最短.平行⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线线性质：两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补；同位角相等或内错角相等或同旁内角互补，两直线平行判定：平行于同一条直线的两条直线平行平面内，垂直于同一条直线的两直线平行000000000R 130cos30,tan30223cos45,tan 4512210cos60,tan3022R .t ααααααα⎧⎪⎪⎪⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨===⎨⎪⎪⎪⎪⎪===⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎩的对边的邻边的对边定义：在tABC中，sin ===斜边斜边的邻边sin 三角函数特殊三角函数值sin45；sin6应用：要构造△，才能使用三角函数1C S 20.⎧⎨⎩⎧⎪⎨⨯⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩按边分类：不等边三角形、等腰三角形、等边三角形分类按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；边面积与周长：=a+b=c，=底高.三角形的内角和等于18度，外角和等于360度；角三角形的一个外角等于不相邻的两内角之和；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角中线：一条中线平分三角形的面积一般三角形角线段三角形.⎧⎪⎨⎪⎩性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；平分线判定：到角两边的距离相等的点在角的平分线上内心：三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等.高：高的作法及高的位置（可以在三角形的内部、边上、外部）中位线：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；中垂线判定：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.外心：三角形三边垂直平分线的交点.60.6060⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎧⎨⎩，到三个顶点的距离相等等腰三角形的两腰相等、两底角相等，具有三线合一性质，是轴对称图形性质等边三角形的三边上均有三线合一，三边相等，三角形等都为度有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形有两角相等的三角形是等腰三角形；判定有一个角为度的等腰三角形是等边三角形；有两个角是度的三角02220.30C 90.⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎪⎨⎪=⎩形是等边三角形一个角是直角或两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；性质直角三角形中，的锐角所对的直角边等于斜边的一半；勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方.直角三角形证一个角是直角或两个角互余；判定有一边上的中线等于这边的一半的三角形是直角三角形；勾股定理的逆定理：若a +b =c ，则∠.ASA SAS AAS SSS HL ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎧⎪⎨⎪⎨⎩⎪⎪⎪⎩⎩全等三角形的对应边相等，对应角相等，周长、面积也相等；性质全等三角形全等三角形对应线段（角平分线、中线、高、中位线等）相等判定：，，，，.00.⋅⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩多边形：多边形的内角和为（n-2）180，外角和为360定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.直角梯形性质：两腰相等、对角线相等，同一底上的两角相等.梯形特殊梯形两腰相等的梯形是等腰梯形；等腰梯形判定对角线相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两角相等的梯形是等腰梯形；两组对边分别平性质：平行四边形的平行四边形四边形...⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎩行且相等两组对角分别相等两条对角线互相平分两组对边分别平行一组对边平行且相等判定：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.两组对角分别相等对角线互相平分共性：具有平行四边形的所有性质性质个性：对角线相等，四个角都是直角矩形先证平行四边形，再证有一个直角；判定先证平行四边形，再证对角线相等；三个角是直角的四边形是矩形....1S=2⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎪→→⎧⎨⎨⎪→→⎩⎩+共性：具有平行四边形的所有性质性质个性：对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角，四条边相等菱形先证平行四边形，再证对角线互相垂直；判定先证平行四边形，再证一组邻边相等；四条边都相等的四边形是菱形性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质正方形证平行四边形矩形正方形判定证平行四边形菱形正方形梯形：（上底下底面积求法S=S S S ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⨯⨯⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎨=⨯⎪⎪⎪⎪⨯⎪⎪⎪=⨯⎩⎩）高=中位线高平行四边形：底高矩形：长宽菱形：=底高=对角线乘积的一半正方形：边长边长=对角线乘积的一半⎧⎪⎨⎪⎩⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩点在圆外：d＞r 点与圆的三种位置关系点在圆上：d＝r 点在圆内：d＜r 弓形计算：（弦、弦心距、半径、拱高）之间的关系圆的轴对称性定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分线所对的弧在同圆或等圆中，两条弧、两条弦、两个圆心角、两个圆周角、五组量的关系：两条弦心距中有一组量相等，则其余的各组两也分别圆的中心对称性圆009090A B CD P PA PA PC PD ..⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪=⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩ 相等.同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半；圆周角与圆心角半圆（或直径）所对的圆周角是；的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆.相交线定理：圆中两弦、相交于点，则圆中两条平行弦所夹的弧相等相离：d＞r 直线和圆的三种位置关系相切：d＝r(距离法）相交：d＜r 性质：圆的切线垂直圆的切线直线和圆的位置关系2PA PB PO A PB PA PC PD .⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎩⎧⎪⎨⎪⎩ 于过切点的直径（或半径）判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.弦切角：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角切线长定理：如图，=，平分∠切割线定理：如图，外心与内心：相离：外离（d＞R+r），内含（d＜R-r）圆和圆的位置关系相切：外切（d=R+r），内切（d=R-r）相交：R-r＜d＜R+r）圆的有关计算22n n 2360180n 1S 36021S 2(2S l r r r l r r l rl r l r rl πππππππ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪==⎪⎪⎪⎪⎪==⋅⋅⎪⎪⎨⎪⎪⎪=⋅⋅=⎪⎪⎪⎪⎪=+⎪⎩⎩弧长弧长侧全弧长公式：扇形面积公式：圆锥的侧面积：为底面圆的半径，为母线）圆锥的全面积：.O P A B C D第五部分《图形的变化》知识点⎧⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩①轴对称指两个图形之间的关系，它们全等②对应点的连线段被对称轴垂直平分轴对称（折叠）③对应线段所在的直线相交于对称轴上一点（或平行）轴对称④图形折叠后常用勾股定理求线段长①指一个图形轴对称图形②轴对称图形被对称轴分成的两部分全等①平移前后两个图形全等②平移前后对应点的连线段相等且平行（或共线）平 移③平移前后的对应角相等，对应线段相等且平行（或图形的变化⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎧⎨⎩共线）④平移的两个要素：平移方向、平移距离①旋转前后的两个图形全等②旋转前后对应点与旋转中心的连线段相等，且它们的夹角等于旋转角旋 转③旋转前后对应角相等，对应线段相等④旋转的三要素：旋转中心、旋转方向、旋转角①大小、比例要适中视图的画法②实线、虚线要画清平行投影：平行光线下的投影，物体平行影子平行或共线视图与投影中心投影：点光源射出的光线下的投影，影子不平投影2.........0)...AB C AC BC AC BC AC BC AB a c ad bc b d a c a b c d b d b d a c m a b m k k b d n b d n b d n ⎧⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧=⇔=⎪⎪±±⎪=⇒=⎨⎪+++⎪====⇒=+++⎪+++⎩ 行视点、视线、盲区投影的计算：画好图形，相似三角形性质的应用基本性质：比例的性质合比性质：等比性质：，（条件≠黄金分割：线段被点分成、两线段（＞），满足=， 相似形C AB ⎧⎨⎩⎧⎪⎨⎪⎩ 则点为的一个黄金分割点性质：相似多边形的对应边成比例、对应角相等相似多边形判定：全部的对应边成比例、对应角相等①对应角相等、对应边成比例性质②对应线段（中线、高、角平分线、周长）的比等于相似比③面积的比等于相似比的平方①有两个角相等的两个三角形相似相似图形②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似相似三角形判定③三边对应成比例的两个三角形相似④有一条直角边与0222Rt ABC C 90CD AB AC AD AB BC BD AB CD AD BD ⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪=⋅⎪⎪⎪⎪⋅⋅⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎧⎨斜边对应成比例的两个直角三角形相似射影定理：在△中，∠，⊥，则=， =，=（如图）①位似图形是一种特殊的相似图形，具有相似图形的一切性质位似图形②位似图形对应点所确定的直线过位似中心③通过位似可以将图形放大或缩小⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩C AD B第六部分《统计与概率》知识要点21(x x n →⎧⎨⎩→⎧⎪→⎨⎪→⎩⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎩=-普查：总体与个体（研究对象中心词）两查抽样调查：样本与容量（无单位的数量）折线图（发展趋势与波动性横纵轴坐标单位长度要统一）三图条形图（纵坐标起点为零高度之比等于频数或频率之比）扇形图（知道各量的百分比可用加权平均数求平均值）算术平均数平均数参照平均数加权平均数三数众数(可能不止一个）中位数（排序、定位）方差：s 统计与概率三差222122)()()(n x x x x n n n ⎧⎡⎤+-++-⎪⎣⎦⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎧⎧⎨⎪⎨⎩⎪⎩ 一组数据整体被扩大倍，平均数扩大倍，方差扩大倍）；（一组数据整体被增加m，平均数增加m，方差不变）标准差：方差的算术平方根s 极差：最大数与最小数之差（方差与标准差均衡量数据的波动性，方差越小波动越小）必然事件：（概率为1）确定事件事件不可能事件：（概率为0）不确定事件：（概率在0与1之间）频率：（两率⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩试验值，多次试验后频率会接近理论概率）比例法（数量之比、面积之比等）概率：求法列表法（返回与不返回的两步实验求概率）树状图（返回与不返回的两步或两步以上的试验求概率）初中数学常考知识点I、代数部分:一、数与式：1、实数：1）实数的有关概念；常考点：倒数、相反数、绝对值(选择第1题)2）科学记数法表示一个数(选择题第二题)3）实数的运算法则：混合运算（计算题）4）实数非负性应用：代数式求值（选择、填空）2、代数式：代数式化简求值（解答题）3、整式：1）整式的概念和简单运算、化简求值（解答题）2）利用提公因式法、公式法进行因式分解（选择填空必考题）4、分式：化简求值、计算（解答题）、分式求取值范围（一般为填空题）（易错点：分母不为0）5、二次根式：求取值范围、化简运算（填空、解答题）二、方程与不等式：1、解分式方程（易错点：注意验根）、一元二次方程（常考解答题）2、解不等式、解集的数轴表示、解不等式组解集（常考解答题）3、解方程组、列方程（组）解应用题（若为分式方程仍勿忘检验）（必考解答题）4、一元二次方程根的判别式三、函数及其图像1、平面直角坐标系与函数1）函数自变量取值范围，并会求函数值；2）坐标系内点的特征；3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析（选择8题）2、一次函数（解答题）1）理解正比例函数、一次函数的意义、会画图像2）理解一次函数的性质3）会求解析式、与坐标轴交点、求与其他函数交点4）解决实际问题3、反比例函数（解答题）1）反比例函数的图像、意义、性质（两支，中心对称性、分类讨论）2）求解析式，与其他函数的交点、解决有关问题（如取值范围、面积问题）4、二次函数（必考解答题）1）图像、性质（开口、对称性、顶点坐标、对称轴、与坐标轴交点等）2）解析式的求解、与一元二次方程综合（根与交点、判别式）3）解决实际问题4）与其他函数综合应用、求交点5）与特殊几何图形综合、动点问题（解答题）II、空间与图形一、图形的认识1、立体图形、视图和展开图（选择题）1）几何体的三视图，几何体原型相互推倒2）几何体的展开图，立体模型相互推倒2、线段、射线、直线（解答题）1）垂直平分线、线段中点性质及应用2）结合图形判断、证明线段之间的等量、和差、大小关系3）线段长度的求解4）两点间线段最短（解决路径最短问题）3、角与角分线（解答题）1）角与角之间的数量关系2）角分线的性质与判定（辅助线添加）4、相交线与平行线1）余角、补角2）垂直平分线性质应用3）平分线性质与判定5、三角形1）三角形内角和、外角、三边关系（选择题）2）三角形角分线、高线、中线、中位线性质应用（辅助线）3）三角形全等性质、判定、融入四边形证明（必考解答题）4）三角形运动、折叠、旋转、平移（全等变换）、拼接（探究问题）6、等腰三角形与直角三角形1）等腰三角形的性质与判定、直角三角形的性质、勾股定理及逆定理2）等腰三角形、直角三角形与四边形或圆的综合3）锐角三角函数、特殊角三角函数、解直角三角形（解答题）4）等腰、直角、等腰直角三角形与函数综合形成的代几综合题（压轴题必考）7、多边形：内角和公式、外角和定理（选择题）8、四边形（解答题）1）平行四边形的性质、判定、结合相似、全等证明2）特殊的平行四边形：性质、判定、以及与轴对称、旋转、平移和函数等结合应用（动点问题、面积问题及相关函数解析式问题）3）梯形：一般梯形及等腰、直角梯形的性质、与平行四边形知识结合，四边形计算题，辅助线的添加等9、圆（必考解答题）1）圆的有关概念、性质2）圆周角、圆心角之间的相互联系3）掌握并会利用垂径定理、弧长公式、扇形面积公式，圆锥侧面面积、全面积公式解决问题4）圆中的位置关系：要会判断：点与圆、直线与圆、圆与圆（重点是圆与圆位置关系）5）重点：圆的证明计算题（圆的相关性质与几何图形综合）二、图形与变换1、轴对称：会判断轴对称图形、能用轴对称的知识解决简单问题2、平移：会运用平移的性质、会画出平移后的图形、能用平移的知识解决简单问题3、旋转：理解旋转的性质（全等变换），会应用旋转的性质解决问题（全等证明），会判断中心对称图形4、相似：会用比例的基本性质解题、利用三角形相似的性质证明角相等、应用相似比求解线段长度（解答题）III、统计与概率一、相关概念的理解与应用：平均数、中位数、众数、方差等（选择题）二、能利用各种统计图解决实际问题（必考，解答题）三、会用列举法（包括图表、树状图法）计算简单事件发生的概率（解答题，填空题）。