2019年春七年级数学下册第4章因式分解4.2提取公因式法练习浙教版
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1 第4章 因式分解
4．2 提取公因式法
知识点1 多项式的公因式
一般地，一个多项式中每一项都含有的相同的因式，叫做这个多项式各项的公因式．
1．多项式－6m3n－3m2n2＋12m2n3的公因式为( )
A．3mn B．－3m2n
C．3mn2 D．－3m2n2
知识点2 提取公因式法分解因式
如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行因式分解．这种分解因式的方法，叫做提取公因式法．
[注意] 当多项式的某项恰为公因式时，提公因式后，另一个因式中不要漏掉“＋1”或“－1”．
2．把下列各式分解因式：
(1)x2－5x；
(2)2x2y2－4y3z；
(3)－5a2＋25a；
(4)14x2y－21xy2＋7xy.
知识点3 添括号法则
括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变号；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号．
3．添括号：1－2a＝＋(________)；－a2＋2ab－b2＝－(____________)．
探究 一 用提取公因式法处理较复杂的因式分解题
教材例2变式题分解因式：
(1)x2(y－2)－x(2－y)；
(2)2(a－3)2－a＋3.
2
[归纳总结] 提取公因式法分解因式的关键是确定多项式中各项的公因式，尤其需要注意的是公因式可以是数，也可以是单项式和多项式．
探究 二 提取公因式法的简单应用
教材补充题523－521能被120整除吗？
[反思] 分解因式：－6ab2＋9a2b－3b.
解：－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)①＝－(3b·2ab－3b·3a2＋3b)②＝－3b(2ab－3a2)．③
(1)找错：从第________步开始出现错误；
(2)纠错：
3
一、选择题
1．2015·武汉把a2－2a分解因式，正确的是( )
A．a(a－2) B．a(a＋2)
C．a(a2－2) D．a(2－a)
2．在把多项式5xy2－25x2y提取公因式时，被提取的公因式为( )
A．5 B．5x
C．5xy D．25xy
3．下列多项式中，能用提取公因式法进行因式分解的是( )
A．x2－y B．x2＋2x
C．x2＋y2 D．x2－xy＋y2
4．下列各式用提公因式因式分解正确的是( )
A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a)
B．3x2y－3xy＋6y＝3y(x2－x＋2)
C．4x4－2x3y＝x3(4x－2y)
D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a－2b－3c)
5．若m－n＝－1，则(m－n)2－2m＋2n的值是( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
6.()－82018＋(－8)2017能被下列数整除的是( )
A．3 B．5
C．7 D．9
二、填空题
7．2016·丽水分解因式：am－3a＝____________．
8．在括号前面添上“＋”或“－”号或在括号内填空．
(1)－a＋b＝________(a－b)；
(2)－m2－2m＋5＝－(______________)；
(3)(x－y)3＝________(y－x)3.
9．因式分解：m(x－y)＋n(x－y)＝________．
10．已知x＋y＝6，xy＝－3，则x2y＋xy2＝________．
11．计算22016＋(－2)2017的结果为________．
12．已知(2x－21)(3x－7)－(3x－7)(x－13)可分解因式为(3x＋a)(x＋b)，其中a，b均为整数，则a＋3b＝____________．
三、解答题
13．用提取公因式法将下列各式分解因式：
(1)6xyz－3xz2；
(2)x4y－x3z；
4
(3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)．
14.边长分别为a，b的长方形，它的周长为14，面积为10，求a2b＋ab2的值．
15.已知2x＋y＝6，x－3y＝1，求7y(x－3y)2－2(3y－x)3的值．
16．试说明：对于任意自然数n，2n＋4－2n都能被5整除．
17．如图4－2－1，长方形的长为a，宽为b，试说明：长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．
图4－2－1
18．三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，请判断三角形ABC的形状，并说明理由．
阅读下列因式分解的过程，解答下列问题：
1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝(1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. 5 (1)上述分解因式的方法是________，共应用了________次．
(2)若分解1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)2017，则需要应用上述方法________次，结果是________．
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋1)n(n为正整数)．
详解详析
6 教材的地位
和作用 本节所学的提取公因式法是因式分解最基本、最常用的方法，是因式分解的基础，也为以后学习因式分解的其他方法及利用因式分解解整式方程(如一元二次方程)打下坚实的基础，从而也提高了学生的运算能力
教
学
目
标 知识与技能 1.在具体情境中认识公因式；
2.通过对具体问题的分析及逆用分配律，使学生理解提取公因式法，并能熟练地运用提取公因式法分解因式
过程与方法 1.树立学生“化零为整”“化归”的数学思想，使学生能完整地、辩证地看问题；
2.树立学生全面分析问题、认识问题的思想，提高学生分析问题及逆向思维的能力
情感、态度
与价值观 在数学活动中通过观察、对比、交流和讨论，发掘知识，使学生体验到学习的乐趣和数学的探索性
教学重点难点 重点 用提取公因式法进行因式分解，理解添括号法则
难点 添括号法则及换元思想在因式分解中的应用
易错点 提取公因式时，易漏项或符号改变时出错，求“公因式”和“因式分解”的填空题易错
【预习效果检测】
1．[解析] B 因为首项系数为负，各项系数的最大公约数是3，字母m的最低次幂是2，字母n的最低次幂是1，所以公因式是－3m2n.
2．[解析] 在用提取公因式法分解因式时，关键是确定公因式，然后用多项式除以这个公因式，所得的商即为另一个因式．
解：(1)x2－5x＝x(x－5)．
(2)2x2y2－4y3z＝2y2(x2－2yz)．
(3)－5a2＋25a＝－5a(a－5)．
(4)14x2y－21xy2＋7xy＝7xy(2x－3y＋1)．
3．1－2a a2－2ab＋b2
【重难互动探究】
例1 [解析] (1)显然只需将2－y变形后，即可提取公因式x(y－2)．(2)首先把2(a－3)2－a＋3变为2(a－3)2－(a－3)，再将a－3看成整体提取公因式即可．
解：(1)原式＝x2(y－2)＋x(y－2)
＝x(y－2)(x＋1)．
(2)原式＝2(a－3)2－(a－3)
＝(a－3)(2a－7)．
例2 解：∵原式＝520×(53－5)＝520×120，
∴523－521能被120整除．
【课堂总结反思】
[反思] (1)③
(2)－6ab2＋9a2b－3b＝－(6ab2－9a2b＋3b)＝－(3b·2ab－3b·3a2＋3b)＝－3b(2ab－3a2＋1)． 7 【作业高效训练】
[课堂达标]
1．A 2.C 3.B
4．[解析] B A选项括号内的多项式的项数漏掉了一项．C选项括号内的多项式中仍有公因式．D选项提取负号后括号里有一项没有改变符号．
5．A
6．[解析] C 原式＝82018－82017＝82017×(8－1)＝82017×7.故能被7整除．
7．[答案] a(m－3)
8．[答案] (1)－ (2)m2＋2m－5 (3)－
9．[答案] (x－y)(m＋n)
10．[答案] －18
11．[答案] －22016
[解析] 22016＋(－2)2017＝22016－2×22016＝22016×(1－2)＝－22016.
12．[答案] －31
13．[解析] (1)(2)题直接提取公因式分解因式即可，(3)题要进行适当地变形后再运用提取公因式法分解因式．
解：(1)6xyz－3xz2＝3xz(2y－z)．
(2)x4y－x3z＝x3(xy－z)．
(3)x(m－x)(m－y)－m(x－m)(y－m)
＝x(m－x)(m－y)－m(m－x)(m－y)
＝(m－x)(m－y)(x－m)＝－(m－x)2(m－y)．
14．[解析] 先可得ab和a＋b的值，然后将a2b＋ab2分解因式即可得到答案．
解：由题意得ab＝10，a＋b＝7，
所以a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝10×7＝70.
15．[解析] 先提取公因式分解因式，然后代入求值．
解：原式＝7y(x－3y)2＋2(x－3y)3
＝(x－3y)2[7y＋2(x－3y)]
＝(x－3y)2(2x＋y)
＝12×6
＝6.
16．解：∵2n＋4－2n＝2n(24－1)＝2n×15＝2n×3×5，
∴2n＋4－2n一定能被5整除．
17．解：S阴影＝12a1b＋12a2b＋12a3b＋12a4b
＝12b(a1＋a2＋a3＋a4)
＝12ab＝12S长方形．
即长方形中带有阴影的三角形的面积之和等于该长方形面积的一半．
18．解：三角形ABC是等腰三角形．理由：∵a＋2ab＝c＋2bc，
∴(a－c)＋2b(a－c)＝0，∴(a－c)(1＋2b)＝0.
故a＝c或1＋2b＝0，显然b≠－12，故a＝c.
∴三角形ABC为等腰三角形．
