(详细解析)1989年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案

¶2z ¶x¶y
.
解：
¶z ¶x
=
2
f
¢
+
gu
+
ygv
,
¶2z ¶x¶y
=
-2
f
¢¢ +
xguv
+
xygvv
+
gv
.
……2 分 …5 分
ò (2) 设曲线积分 xy 2dx + ya (x)dy 与路径无关，其中a (x) 具有连续的导数，且 0
ò a (0) =0.计算 (1,1) xy 2dx + ya (x)dy 的值. (0,0)
1989 年 • 第 2 页
郝海龙：考研数学复习大全·配套光盘·1989 年数学试题参考解答及评分标准
¥
å (4) 设函数 f (x) = x2 , 0 £ x < 1, S(x) = bn sin np x, , -¥ < x < +¥ ，其中
n =1
ò bn
=
2
1 0
f
(x) sin np xdx,(n
这时方程组为
ìïí4x1x1++x3x2=+12x3 ïî6x1 + x2 + 4x3
【答】 应填 p .
【解】 将曲线 L 的方程 y = - 1- x2 ，即 x2 + y2 = 1 ( y £ 0) 代入被积函数，得
ò ò (x2 + y2 )ds = 1× ds = p （曲线 L 的弧长）.
(4)
L
向量场 ur(x, y, z) =
L
xy2 ir +
ye
z

数学〔文史类〕第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的.〔1〕假设集合A={x|x2-x＜0},B={x|0＜x＜3},那么A∩B等于A.{x|0＜x＜1}B.{x|0＜x＜3}C.{x|1＜x＜3}D.￠〔2〕“a=1〞是“直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直〞的〔3〕设|a n|是等左数列，假设a2=3,a1=13,那么数列{a n}前8项的和为A.128B.80 C〔4〕函数f(x)=x3+sin x+1(x∈R)，假设f(a)=2,那么f(-a)的值是A.3B.0 C(5)某一批花生种子，假如每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是A.12125B.16125C.48125D.96125(6)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，那么AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为A.223B.23C.24D.13〔7〕函数y =cos x (x ∈R)的图象向左平移2π个单位后，得到函数y=g(x )的图象，那么g(x )的解析式为xxxx (8)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设a 2+c 2-b 3ac ,那么角B 的值是 A.6π B.3π C.6π或者56π D.3π或者23π (9)某班级要从4名男士、2名女生中选派4人参加某次社区效劳，假如要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为A.14B.24 C(10)假设实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩那么y x 的取值范围是 A.〔0，2〕 B.〔0，2〕 C.(2,+∞) D.[2，+∞)〔11〕假如函数y=f (x )的图象如右图，那么导函数y=f (x )的图象可能是〔12〕双曲线22221x ya b-=〔a＞0,b＞0〕的两个焦点为F1、F2，假设P为其上一点，且|PF1|=2|PE2|，那么双曲线离心率的取值范围为A.〔1，3〕B.〔1，3〕C.〔3，+∞〕D. [3，+∞]第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在答题卡的相应位置.〔13〕〔x+1x〕9展开式中x2的系数是.〔用数字答题〕〔14〕假设直线3x+4y+m=0与圆x2+y2-2x+4y+4=0没有公一共点，那么实数m的取值范围是 .〔15〕假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，3那么其外接球的外表积是.〔16〕设P是一个数集，且至少含有两个数，假设对任意a、b∈P，都有a+b、a-b、ab、a b∈P〔除数b≠0〕那么称P是一个数域，例如有理数集Q是数域，有以下命题：①数域必含有0，1两个数；②整数集是数域；③假设有理数集Q ⊆M ,那么数集M 必为数域;④数域必为无限集.其中正确的命题的序号是 .〔把你认为正确的命题的序号都填上〕三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〔17〕〔本小题满分是12分〕向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0.m n =(Ⅰ)求tan A 的值；(Ⅱ)求函数()cos 2tan sin (f x x A x x =+∈R )的值域.〔18〕〔本小题满分是12分〕111,,,543且他们是否破译出密码互不影响. (Ⅰ)求恰有二人破译出密码的概率；(Ⅱ)“密码被破译〞与“密码未被破译〞的概率哪个大？说明理由.〔19〕〔本小题满分是12分〕如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧棱P A ＝PD 2,底面ABCD 为直角梯形，其中BC ∥AD ,AB ⊥AD ,AD =2AB =2BC=2，O为AD 中点.(Ⅰ)求证:PO ⊥平面ABCD ；(Ⅱ)求异面直线PB 与CD 所成角的余弦值；(Ⅲ)求点A 到平面PCD 的间隔 .〔20〕〔本小题满分是12分〕｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11,n n a a +〕〔n ∈N *〕在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)假设列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1.(21)〔本小题满分是12分〕函数32()2f x x mx nx =++-的图象过点〔-1，-6〕，且函数()()6g x f x x '=+的图象关于y 轴对称.(Ⅰ)求m 、n 的值及函数y =f (x )的单调区间；(Ⅱ)假设a ＞0，求函数y =f (x )在区间〔a -1,a +1〕内的极值.(22)〔本小题满分是14分〕 如图，椭圆2222:1x y C a b+=〔a ＞b ＞0〕的一个焦点为F (1,0)，且过点〔2，0〕.〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕假设AB 为垂直于x 轴的动弦，直线l :x =4与x 轴交于点N ，直线AF 与BN 交于点M .(ⅰ)求证：点M 恒在椭圆C 上；(ⅱ)求△AMN 面积的最大值.数学试题〔文史类〕参考答案一、选择题：本大题考察根本概念和根本运算.每一小题5分，满分是60分. 〔1〕A 〔2〕C (3)C (4)B (5)C (6)D〔7〕A 〔8〕A (9)A (10)D (11)A (12)B二、填空题：本大题考察根底知识和根本运算，每一小题4分，满分是16分. 〔13〕84 〔14〕(,0)(10,)-∞⋃+∞ 〔15〕9π 〔16〕①④三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分，解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤.〔17〕本小题主要考察平面向量的数量积计算、三角函数的根本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等根本知识，考察运算才能，满分是12分.解：〔Ⅰ〕由题意得m ·n =sin A -2cos A =0,因为cos A ≠0,所以tan A =2.〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知tan A =2得2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22f x x x x x x =+=-+=--+ 因为x ∈R,所以[]sin 1,1x ∈-. 当1sin 2x =时，f (x )有最大值32， 当sin x =-1时，f (x )有最小值-3，所以所求函数f (x )的值域是33,.2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦〔18〕本小题主要考察概率的根本知识与分类思想，考察运用数学知识分析问题、解决问题的才能.满分是12分.解：记“第i 个人破译出密码〞为事件A 1(i =1,2,3)，依题意有123111(),(),(),54.3P A P A P A ===且A 1，A 2，A 3互相HY. 〔Ⅰ〕设“恰好二人破译出密码〞为事件B ，那么有B ＝A 1·A 2·3A ·A 1·2A ·A 3+1A ·A 2·A 3且A 1·A 2·3A ，A 1·2A ·A 3，1A ·A 2·A 3 彼此互斥于是P (B )=P (A 1·A 2·3A )+P 〔A 1·2A ·A 3〕+P 〔1A ·A 2·A 3〕＝314154314351324151⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ＝203. 答：恰好二人破译出密码的概率为203. 〔Ⅱ〕设“密码被破译〞为事件C ，“密码未被破译〞为事件D .D ＝1A ·2A ·3A ，且1A ，2A ，3A 互相HY ，那么有P 〔D 〕＝P 〔1A 〕·P 〔2A 〕·P 〔3A 〕＝324354⨯⨯＝52. 而P 〔C 〕＝1-P 〔D 〕＝53，故P 〔C 〕＞P 〔D 〕. 答：密码被破译的概率比密码未被破译的概率大.〔19〕本小题主要考察直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的间隔 等根本知识，考察空间想象才能，逻辑思维才能和运算才能.满分是12分.解法一：〔Ⅰ〕证明：在△P AD 卡中P A ＝PD ，O 为AD 中点，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD.〔Ⅱ〕连结BO ，在直角梯形ABCD 中，BC ∥AD ,AD =2AB =2BC ，有OD ∥BC 且OD ＝BC ，所以四边形OBCD 是平行四边形，所以OB ∥DC.由〔Ⅰ〕知PO ⊥OB ，∠PBO 为锐角，所以∠PBO 是异面直线PB 与CD 所成的角.因为AD ＝2AB ＝2BC ＝2，在Rt △AOB 中，AB ＝1，AO ＝1，所以OB ＝2， 在Rt △POA 中，因为AP ＝2，AO ＝1，所以OP ＝1， 在Rt △PBO 中，PB ＝322=+OB OP ,cos ∠PBO =3632==PB OB , 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36. (Ⅲ)由〔Ⅱ〕得CD ＝OB ＝2，在Rt △POC 中，PC ＝222=+OP OC ， 所以PC ＝CD ＝DP ，S △PCD =43·2=23. 又S △=,121=•AB AD 设点A 到平面PCD 的间隔 h ，由V P-ACD =V A-PCD ，得31S △ACD ·OP ＝31S △PCD ·h ， 即31×1×1＝31×23×h ， 解得h ＝332. 解法二：〔Ⅰ〕同解法一，〔Ⅱ〕以O 为坐标原点，OP OD OC 、、的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O -xyz .那么A 〔0，-1，0〕，B 〔1，-1，0〕，C 〔1，0，0〕，D 〔0，1，0〕，P 〔0，0，1〕. 所以CD ＝〔-1，1，0〕，PB ＝〔t ，-1，-1〕， ∞〈PB 、CD 〉362311-•--＝＝CDPB ， 所以异面直线PB 与CD 所成的角的余弦值为36， 〔Ⅲ〕设平面PCD 的法向量为n ＝〔x 0,y 0,x 0〕， 由〔Ⅱ〕知CP =〔-1，0，1〕，CD ＝〔-1，1，0〕，那么 n ·CP ＝0，所以 -x 0+ x 0=0,n ·CD ＝0， -x 0+ y 0=0，即x 0=y 0=x 0,取x 0=1，得平面的一个法向量为n =(1,1,1).又AC =(1,1,0).从而点A 到平面PCD 的间隔 d .33232== 〔20〕本小题主要考察等差数列、等比数列等根本知识，考察转化与化归思想，考察推理与运算才能.满分是12分.解法一：〔Ⅰ〕由得a n +1=a n +1、即a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列.故a n =1+(a -1)×1=n.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕知：a n =n 从而b n +1-b n =2n .b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+···+〔b 2-b 1〕+b 1=2n -1+2n -2+···+2+1 ＝2121--n=2n -1. 因为b n ·b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n -1-1)2=(22n +2-2n +2-2n +1)-(22n +2-2-2n +1-1)=-5·2n +4·2n=-2n ＜0,所以b n ·b n +2＜b 21+n ,解法二：〔Ⅰ〕同解法一.〔Ⅱ〕因为b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n=2n +1·b n -1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n 〔b n +1-2n +1〕=2n 〔b n +2n -2n +1〕=2n 〔b n -2n 〕=…=2n 〔b 1-2〕=-2n 〈0，所以b n -b n +2<b 2n +1〔21〕本小题主要考察函数的奇偶性、单调性、极值、导数、不等式等根底知识，考察运用导数研究函数性质的方法，以及分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考察分析问题和解决问题的才能.满分是12分.解：〔1〕由函数f (x )图象过点〔－1，－6〕，得m -n =-3, ……①由f (x )=x 3+mx 2+nx -2，得f ′〔x 〕=3x 2+2mx +n ,那么g (x )=f ′(x )+6x =3x 2+(2m +6)x +n ;而g (x )图象关于y 轴对称，所以－3262⨯+m ＝0，所以m =-3, 代入①得n =0.于是f ′(x )＝3x 2-6x =3x (x -2).由f ′(x )>得x>2或者x <0,故f (x )的单调递增区间是〔－∞，0〕，〔2，＋∞〕；由f ′(x )<0得0<x <2,故f (x )的单调递减区间是〔0，2〕.(Ⅱ)由〔Ⅰ〕得f ′(x )＝3x (x -2),令f ′(x )＝0得x =0或者x=2.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：由此可得：当0<a <1时，f (x )在〔a -1,a +1〕内有极大值f (O )=-2,无极小值；当a =1时，f (x )在〔a -1,a +1〕内无极值；当1<a <3时，f (x )在〔a -1,a +1〕内有极小值f (2)＝－6，无极大值；当a ≥3时，f (x )在〔a -1,a +1〕内无极值.综上得：当0<a <1时，f (x )有极大值－2，无极小值，当1<a <3时，f (x )有极小值－6，无极大值；当a=1或者a ≥3时，f (x )无极值.(22)本小题主要考察直线与椭圆的位置关系、轨迹方程、不等式等根本知识，考察运算才能和综合解题才能，满分是14分,解法一：〔Ⅰ〕由题设a =2,c =1,从而b 2=a 2-c 2=3,所以椭圆C 前方程为13422=+y x . (Ⅱ)(i)由题意得F (1,0),N (4,0).设A (m,n ),那么B (m ,-n )(n ≠0),3422n m +=1. ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0，n (x -4)-(m -4)y =0.设M (x 0,y 0),那么有 n (x 0-1)-(m -1)y 0=0, ……②n (x 0-4)+(m -4)y 0=0, ……③由②，③得x 0=523,52850-=--m n y m m . )52(4936)85()52(412)85()52(3)52(4)85()52(3)52(4)85(34222222222222222020--+-=-+-=-+--=-+--=+m m m m n m m n m m m n m m y x 由于所以点M 恒在椭圆G 上.(ⅱ)设AM 的方程为x =xy +1,代入3422y x +＝1得〔3t 2+4〕y 2+6ty -9=0. 设A (x 1,y 1),M 〔x 2，y 2〕，那么有：y 1+y 2=.439,4362212+-=+-t y y x x |y 1-y 2|=.4333·344)(2221221++=-+t t y y y y 令3t 2+4=λ(λ≥4),那么|y 1-y 2|＝，＋）－－（＝＋）－（＝－　412113411341·3432λλλλλ 因为λ≥4，0<时，，＝，即＝所以当04411,41≤1=t λλλ |y 1-y 2|有最大值3，此时AM 过点F .△AMN 的面积S △AMN=.292323y ·212121有最大值y y y y y FN -=-=- 解法二：〔Ⅰ〕问解法一：〔Ⅱ〕〔ⅰ〕由题意得F (1,0),N (4,0). 设A (m ,n ),那么B (m ,-n )(n ≠0), .13422=+n m ……① AF 与BN 的方程分别为：n (x -1)-(m -1)y =0, ……②n (x -4)-(m -4)y =0, ……③由②，③得：当≠523,528525-=--=x y n x x m 时，. ……④ 由④代入①，得3422y x +=1〔y ≠0〕.当x=52时，由②，③得：3(1)023(4)0,2n m yn m y⎧--=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩解得0,0,ny=⎧⎨=⎩与a≠0矛盾.所以点M的轨迹方程为221(0),43x xy+=≠即点M恒在锥圆C上.〔Ⅱ〕同解法一.励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．47．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．412．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．2009年全国统一高考数学试卷（文科）（全国卷Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）sin585°的值为（）A．B．C．D．【考点】GE：诱导公式．【分析】由sin（α+2kπ）=sinα、sin（α+π）=﹣sinα及特殊角三角函数值解之．【解答】解：sin585°=sin（585°﹣360°）=sin225°=sin（45°+180°）=﹣sin45°=﹣，故选：A．【点评】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值．2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合∁U（A∩B）中的元素共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，A∩B={4，7，9}∴∁U（A∩B）={3，5，8}故选A．也可用摩根律：∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）故选：A．【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．3．（5分）不等式＜1的解集为（）A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}D．{x|x＜0}【考点】7E：其他不等式的解法．【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可两边平方去绝对值．【解答】解：∵＜1，∴|x+1|＜|x﹣1|，∴x2+2x+1＜x2﹣2x+1．∴x＜0．∴不等式的解集为{x|x＜0}．故选：D．【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．4．（5分）已知tana=4，cotβ=，则tan（a+β）=（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】由已知中cotβ=，由同角三角函数的基本关系公式，我们求出β角的正切值，然后代入两角和的正切公式，即可得到答案．【解答】解：∵tana=4，cotβ=，∴tanβ=3∴tan（a+β）===﹣故选：B．【点评】本题考查的知识点是两角和与差的正切函数，其中根据已知中β角的余切值，根据同角三角函数的基本关系公式，求出β角的正切值是解答本题的关键．5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率为（）A．B．2C．D．【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】11：计算题．【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b 的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．【解答】解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得ax2﹣bx+a=0，因渐近线与抛物线相切，所以b2﹣4a2=0，即，故选：C．【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离心率，基础题．6．（5分）已知函数f（x）的反函数为g（x）=1+2lgx（x＞0），则f（1）+g（1）=（）A．0B．1C．2D．4【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】将x=1代入即可求得g（1），欲求f（1），只须求当g（x）=1时x的值即可．从而解决问题．【解答】解：由题令1+2lgx=1得x=1，即f（1）=1，又g（1）=1，所以f（1）+g（1）=2，故选：C．【点评】本小题考查反函数，题目虽然简单，却考查了对基础知识的灵活掌握情况，也考查了运用知识的能力．7．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（）A．150种B．180种C．300种D．345种【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．【专题】5O：排列组合．【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类型．【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C51•C31•C62=225种选法；（2）乙组中选出一名女生有C52•C61•C21=120种选法．故共有345种选法．故选：D．【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，最关键做到不重不漏，先分类，后分步！8．（5分）设非零向量、、满足，则=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，∵两个向量的模长相等∴、可构成菱形的两条相邻边，∵∴、为起点处的对角线长等于菱形的边长，∴两个向量的夹角是120°，故选：B．【点评】本小题考查向量的几何运算、考查数形结合的思想，基础题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体．9．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】首先找到异面直线AB与CC1所成的角（如∠A1AB）；而欲求其余弦值可考虑余弦定理，则只要表示出A1B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．【解答】解：设BC的中点为D，连接A1D、AD、A1B，易知θ=∠A1AB即为异面直线AB与CC1所成的角；并设三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A1D|=，|A1B|=，由余弦定理，得cosθ==．故选：D．【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．10．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（，0）中心对称，那么|φ|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【专题】11：计算题．【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．11．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）A．1B．2C．D．4【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD 则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．【解答】解：如图分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，又∵当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．故选：C．【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．12．（5分）已知椭圆C：+y2=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF 交C于点B，若=3，则||=（）A．B．2C．D．3【考点】K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．由题意，故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±即BM=，故AN=1，∴．故选：A．【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）（x﹣y）10的展开式中，x7y3的系数与x3y7的系数之和等于﹣240．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，各项的通项公式为：T r=C n r a n﹣r b r．然后根据题目已知求解即可．+1【解答】解：因为（x﹣y）10的展开式中含x7y3的项为C103x10﹣3y3（﹣1）3=﹣C103x7y3，含x3y7的项为C107x10﹣7y7（﹣1）7=﹣C107x3y7．由C103=C107=120知，x7y3与x3y7的系数之和为﹣240．故答案为﹣240．【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，对于公式：（a+b）n=C n0a n b0+C n1a n ﹣1b1+C n2a n﹣2b2++C n r a n﹣r b r++C n n a0b n，属于重点考点，同学们需要理解记忆．14．（5分）设等差数列{a n}的前n的和为S n，若S9=72，则a2+a4+a9=24．【考点】83：等差数列的性质．【分析】先由S9=72用性质求得a5，而3（a1+4d）=3a5，从而求得答案．【解答】解：∵∴a5=8又∵a2+a4+a9=3（a1+4d）=3a5=24故答案是24【点评】本题主要考查等差数列的性质及项与项间的内在联系．15．（5分）已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面得到圆M．若圆M的面积为3π，则球O的表面积等于16π．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】由题意求出圆M的半径，设出球的半径，二者与OM构成直角三角形，求出球的半径，然后可求球的表面积．【解答】解：∵圆M的面积为3π，∴圆M的半径r=，设球的半径为R，由图可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S=4πR2=16π．球故答案为：16π【点评】本题是基础题，考查球的体积、表面积的计算，理解并能够应用小圆的半径、球的半径、以及球心与圆心的连线的关系，是本题的突破口，解题重点所在，仔细体会．16．（5分）若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是①或⑤（写出所有正确答案的序号）【考点】I2：直线的倾斜角；N1：平行截割定理．【专题】11：计算题；15：综合题；16：压轴题．【分析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．【解答】解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤【点评】本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公比是正数的等比数列{b n}的前n项和为T n，已知a1=1，b1=3，a3+b3=17，T3﹣S3=12，求{a n}，{b n}的通项公式．【考点】8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11：计算题．【分析】设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，由此能得到{a n}，{b n}的通项公式．【解答】解：设{a n}的公差为d，数列{b n}的公比为q＞0，由题得，解得q=2，d=2∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3•2n﹣1．【点评】本小题考查等差数列与等比数列的通项公式、前n项和，基础题．18．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcosC=3cosAsinC，求b．【考点】HR：余弦定理．【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcosC=3cosAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcosC=3cosAsinC，则由正弦定理及余弦定理有：，化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．解得b=4或b=0（舍）；法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccosA．又a2﹣c2=2b，b≠0．所以b=2ccosA+2①又sinAcosC=3cosAsinC，∴sinAcosC+cosAsinC=4cosAsinCsin（A+C）=4cosAsinC，即sinB=4cosAsinC由正弦定理得，故b=4ccosA②由①，②解得b=4．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．19．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°（I）证明：M是侧棱SC的中点；（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】11：计算题；14：证明题．【分析】（Ⅰ）法一：要证明M是侧棱SC的中点，作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，解RT△MNE即可得x的值，进而得到M为侧棱SC的中点；法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，并求出S点的坐标、C点的坐标和M点的坐标，然后根据中点公式进行判断；法三：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，构造空间向量，然后数乘向量的方法来证明．（Ⅱ）我们可以以D为坐标原点，分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，我们可以利用向量法求二面角S﹣AM﹣B的大小．【解答】证明：（Ⅰ）作MN∥SD交CD于N，作NE⊥AB交AB于E，连ME、NB，则MN⊥面ABCD，ME⊥AB，设MN=x，则NC=EB=x，在RT△MEB中，∵∠MBE=60°∴．在RT△MNE中由ME2=NE2+MN2∴3x2=x2+2解得x=1，从而∴M为侧棱SC的中点M．（Ⅰ）证法二：分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则．设M（0，a，b）（a＞0，b＞0），则，，由题得，即解之个方程组得a=1，b=1即M（0，1，1）所以M是侧棱SC的中点．（I）证法三：设，则又故，即，解得λ=1，所以M是侧棱SC的中点．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，又，，设分别是平面SAM、MAB的法向量，则且，即且分别令得z1=1，y1=1，y2=0，z2=2，即，∴二面角S﹣AM﹣B的大小．【点评】空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；20．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．（Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；（Ⅱ）求甲获得这次比赛胜利的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】12：应用题．【分析】根据题意，记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5），（1）“再赛2局结束这次比赛”包含“甲连胜3、4局”与“乙连胜3、4局”两个互斥的事件，而每局比赛之间是相互独立的，进而计算可得答案，（2）若“甲获得这次比赛胜利”，即甲在后3局中，甲胜2局，包括3种情况，根据概率的计算方法，计算可得答案．【解答】解：记“第i局甲获胜”为事件A i（i=3，4，5），“第j局甲获胜”为事件B i（j=3，4，5）．（Ⅰ）设“再赛2局结束这次比赛”为事件A，则A=A3•A4+B3•B4，由于各局比赛结果相互独立，故P（A）=P（A3•A4+B3•B4）=P（A3•A4）+P（B3•B4）=P（A3）P（A4）+P（B3）P （B4）=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52．（Ⅱ）记“甲获得这次比赛胜利”为事件H，因前两局中，甲、乙各胜1局，故甲获得这次比赛胜利当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而B=A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5，由于各局比赛结果相互独立，故P（H）=P（A3•A4+B3•A4•A5+A3•B4•A5）=P（A3•A4）+P（B3•A4•A5）+P（A3•B4•A5）=P（A3）P（A4）+P（B3）P（A4）P（A5）+P（A3）P（B4）P（A5）=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6=0.648【点评】本小题考查互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率，解题之前，要分析明确事件间的关系，一般先按互斥事件分情况，再由相互独立事件的概率公式，进行计算．21．（12分）已知函数f（x）=x4﹣3x2+6．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设点P在曲线y=f（x）上，若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点，求l的方程．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】16：压轴题．【分析】（1）利用导数求解函数的单调性的方法步骤进行求解．（2）根据已知，只需求出f（x）在点P处的导数，即斜率，就可以求出切线方程．【解答】解：（Ⅰ）令f′（x）＞0得或；令f′（x）＜0得或因此，f（x）在区间和为增函数；在区间和为减函数．（Ⅱ）设点P（x0，f（x0）），由l过原点知，l的方程为y=f′（x0）x，因此f（x0）=f′（x0）x0，即x04﹣3x02+6﹣x0（4x03﹣6x0）=0，整理得（x02+1）（x02﹣2）=0，解得或．所以的方程为y=2x或y=﹣2x【点评】本题比较简单，是一道综合题，主要考查函数的单调性、利用导数的几何意义求切线方程等函数基础知识，应熟练掌握．22．（12分）如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点．（Ⅰ）求r的取值范围；（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．【考点】IR：两点间的距离公式；JF：圆方程的综合应用；K8：抛物线的性质．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（1）先联立抛物线与圆的方程消去y，得到x的二次方程，根据抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是此方程有两个不相等的正根，可求出r的范围．（2）先设出四点A，B，C，D的坐标再由（1）中的x二次方程得到两根之和、两根之积，表示出面积并求出其的平方值，最后根据三次均值不等式确定得到最大值时的点P的坐标．【解答】解：（Ⅰ）将抛物线E：y2=x代入圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）的方程，消去y2，整理得x2﹣7x+16﹣r2=0（1）抛物线E：y2=x与圆M：（x﹣4）2+y2=r2（r＞0）相交于A、B、C、D四个点的充要条件是：方程（1）有两个不相等的正根∴即．解这个方程组得，．（II）设四个交点的坐标分别为、、、．则直线AC、BD的方程分别为y﹣=•（x﹣x1），y+=（x﹣x1），解得点P的坐标为（，0），则由（I）根据韦达定理有x1+x2=7，x1x2=16﹣r2，则∴令，则S2=（7+2t）2（7﹣2t）下面求S2的最大值．由三次均值有：当且仅当7+2t=14﹣4t，即时取最大值．经检验此时满足题意．故所求的点P的坐标为．【点评】本题主要考查抛物线和圆的综合问题．圆锥曲线是高考必考题，要强化复习．。

集合 CU ( A B) 中共有 3 个元素，故选 A．
考点：集合的运算．
3．D
【分析】分类讨论解绝对值不等式与分式不等式即可.
【详解】
x x
1 1
1， 1
x x
1 1
1，
x
1 x
x 1
1
0
且
x
1 x
x 1
1
0
，
2x x 1
0
且
x
2 -1
<
0
，解得：
x
0
，
故不等式的解集是x x 0 ，
故选：D．
中各选出 2 名同学，则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有
A．150 种
B．180 种
C．300 种
D．345 种
8．设非零向量 a ， b
， c 满足
a
b
c
，ab
c ，则向量 a ， b 的夹角为（
）
A．150
B．120
C． 60
D． 30
9．已知三棱柱 ABC - A1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，若 A1在底面 ABC 上的射影为 BC
（2）乙组中选出一名女生有 C52C61C21 120 种选法．故共有 345 种选法 考点：排列组合
8．B
【分析】根据向量加法的几何意义确定正确选项.
【详解】设 AB a, AD b, AC c ，
a b c 表示 AB AD AC ，所以四边形 ABCD 是平行四边形，
故答案为： 240 .
【点睛】本题考查利用二项式定理求项的系数和，考查计算能力，属于基础题.
14．24 【分析】根据等差数列的性质与前 n 项和公式计算．