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高考数学(简单版)-8圆锥曲线向量点乘-简单难度-习题

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第1页（共9 页） 圆锥曲线向量点乘

一、选择题（共12小题；共60分）

1. 已知菱形 的边长为 ， ，则

A. B. C. D.

2. 已知椭圆

及点 ，过 与椭圆相切的直线交 轴的负半轴于点 ， 为椭圆的右焦点，则

A. B. C. D. 3. 过抛物线焦点 的直线与抛物线交于 ， 两点，若 ， 在抛物线准线上的射影为 ， ，则

A. B. C. D.

4. 已知直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 ，若 ，则

的值为

A. B. C.

D.

5. 已知双曲线 与直线 只有一个公共点，则 值为

A. B.

C. D. 或

6. 直线 与椭圆

恒有两个不同的交点，则实数 的取值范围是

A. B. C. D. 7. 过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点，若 ，则 的中点 到 轴的距离等于

A. B. C. D.

8. 已知双曲线

的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的 倍，则其渐近线方程为

A. B. C. D.

9. 已知抛物线 ， 为其上一点，点 ，点 满足 ， ，则

的最小值为

A. B. C. D. 10. 过抛物线 的焦点 作直线 ， 与抛物线交于 ， ， ， 四点，且 ，则

的最大值等于

A. B. C. D. 11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 是 上一点，直线 与曲线 相交于 ，

两点，若 ，则

A.

B.

C. D.

第2页（共9 页） 12. 已知双曲线

的焦点 ， ，渐近线为 ， ，过点 且与 平行的直线交 于 ，若 ，则 的值为

A. B. C. D.

二、填空题（共5小题；共25分）

13. 倾斜角为 的直线 经过抛物线 的焦点 ，且 与抛物线交于 ， 两点，则

的值为 ．

14. 如图，在 中，若 ，

， ，则 的值为 ．

15. 在直角坐标系 中，直线 过抛物线 的焦点 ，且与该抛物线相交于 ， 两点，其中点 在 轴上方．若直线 的倾斜角为 ，则 ． 16. 已知三角形 是单位圆的内接三角形， ，过点 作 的垂线交单位圆于点 ，则 ． 17. 已知直线 交抛物线 于 ， 两点．若该抛物线上存在点 ，使得 为直角，则 的取值范围为 ．

三、解答题（共5小题；共65分）

18. 在平面直角坐标系 中，点 ， ， ．

（1）求 ；

（2）设实数 满足 ，求 的值．

19. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，圆 被直线 截得的线段长为 ．

（1）求抛物线 和圆 的方程；

（2）设直线 与 轴的交点为 ，过点 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，求证：直线

的斜率与直线 的斜率的和为定值．

20. 已知椭圆

的离心率为

，其左、右焦点分别为 ， ，点 是坐标平面内一点，且

，

，其中 为坐标原点．

（1）求椭圆 的方程；

（2）过点

，且斜率为 的直线 交椭圆于 ， 两点，在 轴上是否存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过这个定点?若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第3页（共9 页） 21. 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ，直线 与抛物线相交于不同的 ， 两点．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）如果直线 过抛物线的焦点，求 的值；

（3）如果 ，直线 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．

22. 已知双曲线

的离心率

，直线 过 、 两点，原点 到直线 的距离是

．

（1）求双曲线的方程；

（2）过点 作直线 交双曲线于 、 两点，若 ，求直线 的方程．

第4页（共9 页） 答案

第一部分

1. A

2. B 【解析】由题意知，切线的斜率存在，设切线方程为 ，

与椭圆方程联立

得 ，

即 ，

由 ，得

，

从而

交 轴于

，又 ，易知 ，

故 ．

优解 由椭圆的性质可知，过 且与椭圆相切的、斜率为正的直线方程为 ，即切线的斜率为

，

所以

，

又

，则 ，

因而 ．

3. C

4. B 【解析】由抛物线 和直线 联立，得到 ，解得

，

，

又

，

，

所以

，解得 ．

5. D

6. C

7. A 【解析】结合题意，由于过抛物线 焦点的直线交抛物线于 两点，且 ，则由抛物线的定义可知， 的中点 到准线的距离为 ，那么 中点 轴的距离等于 ．

8. C 【解析】双曲线的右焦点到左顶点的距离等于 ，右焦点到渐近线

的距离为

， ， ， ，

所以 ，

，

所以所求渐近线方程为 ．

9. C

10. D

【解析】如图所示， 第5页（共9 页）

由抛物线 可得焦点 ．

设直线 的方程为： ，

因为 ，可得直线 的方程为

．

设 ， ， ， ．

联立

化为 ，

得 ， ．

同理可得

， ．

所以

同理可得

．

所以

当且仅当 时取等号．

所以 的最大值等于 ．

11. B 【解析】设 ，

因为 ，则

，

所以

，代入抛物线 ，可得

，

不妨设

，

则直线 的方程为 ，代入抛物线 ，可得 ，

所以 的横坐标为 ，

所以

． 第6页（共9 页） 12. D 【解析】设 ， ， ， ，过点 与 平行的直线

，联立 与 的方程得 的坐标为

，因为 ，即

，即

， ．

第二部分

13.

14.

【解析】方法一：由余弦定理得，

，

所以 ，所以

，

所以

．

方法二：如图，以 所在直线为 轴、线段 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系 ，

由方法一知 ， ，

， ，

所以

， ，

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8圆锥曲线向量点乘-中等难度-讲义

8圆锥曲线向量点乘-中等难度-讲义

圆锥曲线向量点乘

知识讲解

一、相关向量知识点

1.三点共线：

①；

②存在实数，使；

③若存在实数，且，使．

2.给出，等于已知，即是直角；

给出，等于已知是钝角，

给出，等于已知是锐角．

3.给出，等于已知是的平分线．

4.在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）．

5.如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行转化，还是选择向量的代数形式进行转化．

二、垂直与角度

1.垂直

以AB为直径的圆过原点O121200OAOBxxyy

2212121212()()()yykxmkxmkxxkmxxm 21222221kmbxxkab

故222222222121212122222222(1)(1)0(1)()11mkmkbbxxyykxxkmxxmmkkabab ABC，，//ABACABAC，1OCOAOB0MAMBMAMBAMB0MAMBAMB0MAMBAMBMAMBMPMAMBMPAMBABC△OAOBOBOCOCOAOABC△BAOyx两边同时乘以2221kab，整体处理得

222222222221(1)(1)()0mkmkkmbbab

消去高次项222kmb得2222210mmkba

即找了,,,abmk的关系式.

推广：以AB为直径的圆过焦点1F

22211121212120()()0(1)()()0FAFBxcxcyykxxkmcxxmc可以看得出，同样可以采用整体法处理.

2.角度问题

成锐角或钝角

原点O在以AB为直径的圆内121200OAOBxxyy

易得2222210mmkba

原点O在以AB为直径的圆外121200OAOBxxyy

高考数学专题42 圆锥曲线中的向量问题(原卷版)

高考数学专题42 圆锥曲线中的向量问题(原卷版)

专题42 圆锥曲线中的向量问题

一、题型选讲

题型一 、有向量关系求圆锥曲线的离心率

例1、〔2021届浙江省高中开展共同体高三上期末〕椭圆222210xyabab的内接ABC的顶点B为短轴的一个端点，右焦点F，线段AB中点为K，且2CFFK，那么椭圆离心率的取值范围是___________.

例2、〔2021届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试〕双曲线2222:10xyCabab的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C于A、B两点，假设4AFFB，那么C的离心率为______.

例3、〔2021届全国100所名校最新高考模拟示范卷〕椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的右焦点为𝐹(𝑐,0)，直线𝑥−2√2𝑦=0与𝐶相交于𝐴、𝐵两点.假设𝐴𝐹⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅𝐵𝐹⃑⃑⃑⃑⃑ =0，那么椭圆𝐶的离心率为______.

题型二、求向量数量积的范围

例4、【2021年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，椭圆22:143xyE的左、右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF2⊥F1F2，直线AF1与椭圆E相交于另一点B．

〔1〕求12AFF△的周长；

〔2〕在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求OPQP的最小值；

〔3〕设点M在椭圆E上，记OAB△与MAB△的面积分别为S1，S2，假设213SS，求点M的坐标．

例5、(2021苏州暑假测试〕如图，椭圆O：x24＋y2＝1的右焦点为F，点B，C分别是椭圆O的上、下顶点，点P是直线l：y＝－2上的一个动点(与y轴的交点除外)，直线PC交椭圆于另一个点M.

(1) 当直线PM经过椭圆的右焦点F时，求△FBM的面积；

(2) ①记直线BM，BP的斜率分别为k1，k2，求证：k1•k2为定值；

②求PB→·PM→的取值范围．

例6、(2021苏州暑假测试〕如图，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F，上顶点为 A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－2的直线l与AF平行且与圆C2相切．

高考数学圆锥曲线复习策略.docx

高考数学圆锥曲线复习策略.docx

高考数学圆锥曲线复习策略

一.圆锥曲线高考大纲

文科

（1） 掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程和简单的几何性质（范围、对称性、顶点、

离心率）

（2） 了解双曲线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称性、 顶点、离心率、渐近线）

（3） 了解抛物线的的定义、儿何图形、标准方程，知道其简单的儿何性质（范围、对称

性、顶点、离心率）

（4） 理解数形结合的思想。

（5） 了解圆锥曲线的简单应用。

理科.（1） 了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的

作用.

（2） 掌握椭圆、抛物线的定义、儿何图形、标准方程及简单儿何性质.（范围、对称性、

顶点、离心率）

（3） 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质（范围、对称性、

顶点、离心率、渐近线）.

（4） 了解圆锥曲线的简单应用.

（5） 理解数形结合的思想. 锥曲线知识网络 '对称轴兀轴 住占 八、、八、、

标准方程y2=2Px\顶点 离心率 准线

（卩>0）

二.试题趋势

近年來圆锥1111线在高考中比较稳定，解答题往往以屮档题或以押轴题形式出现，主要考察学 生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新 课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2011年高考对本讲的考察，主要考察热点有:

（1） 圆锥Illi线的定义及标准方程；

（2） 与圆锥曲线有关的轨迹问题；

（3） 与圆锥曲线有关的最值、定值问题；

（4） 与平面向量、导数等知识相结合的交汇试题

（1）圆锥曲线的定义及标准方程;

1. （2010北京文理）（13）已知双曲线二—1的离心率为2,焦点与椭圆—= 1的

a2 b2 25 9

焦点相同，那么双Illi线的焦点坐标为 _______ ；渐近线方程为 ________ o 定义：:

椭圆l + IF2PI=2a

(2a >1 F.F2 I) 标准方程召+令

圆锥曲线综合大题(考题猜想,易错必刷32题15种题型)(原卷版)2024-2025学年高二数学上学期

圆锥曲线综合大题(考题猜想,易错必刷32题15种题型)(原卷版)2024-2025学年高二数学上学期

圆锥曲线综合大题

（易错必刷32题15种题型专项训练）

题型大集合

➢韦达定理基础型

➢直线横截式应用

➢直线双变量型应用

➢面积最值型

➢面积比值范围型

➢动直线过定点

➢圆过定点

➢圆锥切线

➢定直线➢向量型定比分点

➢斜率型：和定

➢斜率型：积定

➢斜率型：商定

➢求轨迹

➢新定义型第19题

题型大通关

一．韦达定理基础型 （共2题）

1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知椭圆C

：22

221xy

ab+=（0ab>>）

，

13

1,

2Pæö

-

ç÷

èø

，

23

1,

2Pæö

ç÷

èø，



30,3P-

，

41,1P

四点中恰有三点在椭圆C上．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，点

P为直线4x=上任意一点，求证：直线PM，

PF，PN

的斜率成等差数列．2．（23-24高二下·上海·

期中）如图，由部分椭圆22

221(0,0)xy

aby

ab+=>>£

和部分双曲线22

221(0)xy

y

ab-=³，

组成的曲线C称为“盆开线”．曲线C与x

轴有(2,0),(2,0)AB-

两个交点，

且椭圆与双曲线的离心率之积为7

4．

(1)设过点(1,0)的直线l与C相切于点(4,3)M

，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线l的方程；

(2)过

A的直线m

与C相交于点,,PAQ

三点，求证：PBAQBAÐ=Ð

．

二． 直线横截式应用（共2题）

3．（23-24高二上·广西南宁·

期中）已知椭圆22

22:1(0)xy

Cab

ab+=>>

的离心率为3

2

，且过点3

(1,)

2.

(1)求椭圆C的方程：

(2)过点

1,0M

的直线l与椭圆C交于点

A、

B

，设点1

(,0)

2N

，若ABNV

的面积为3

10，求直线l的斜率k

.4．（23-24高二下·云南玉溪·期中）在直角坐标平面内，已知点

122,0,2,0AA-

，动点𝑃(𝑥,𝑦).设

1PA､

2PA

的

斜率分别为

12kk､

，且

123

4kk×=-

.设动点𝑃(𝑥,𝑦)的轨迹为曲线C.