小初高学习九年级数学上册3.8弧长及扇形的面积圆的知识点小结素材新版浙教版

木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA'
=120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA'
的长.
∵等边三角形ABC的边长为10cm，
∴弧AA' 所在圆的半径为1 (cm).
180 3
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
20
3
cm .
B
A'
A
弧长公式
半径为R的圆中，圆心角为n°的弧长
l n 2 R n R
360
180
【注意】用弧长公式进行计算时，要注意公式中n的意义．n表示1°圆心角的倍数， 它是不带单位的.
谢 谢~
因此所要求的展直长度
L 2 700 1570 2970(mm).
(
讲授新课
练一练
1.若扇形的圆心角为90°，半径为6cm，则该扇形的弧长为_3_π____ cm.
2.已知一弧长为10πcm，此弧所对的圆心角为120°，则此弧所在圆 的半径为___1_5_cm．
当堂检测
2、一滑轮起重机装置（如图），滑轮的半径r=10cm，当重物上升15.7cm 时，滑轮的一条半径OA绕轴心O逆时针方向旋转多少度（假设绳索与滑轮 之间没有滑动， 取3.14）？
解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数 为n°.
n R 15.7, 解得 n≈90°
180
因此，滑轮旋转的角度约为90°.
A O·
当堂检测
3、如图，一个边长为10cm的等边三角形模板ABC在水平桌面上绕顶点C按顺 时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点A从开始到结束所经过的路程为多少.
解 由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形

180
9
R
O
弧长公式
l 若设⊙O半径为R， n°的圆心角所对的弧长为 ，
则
l
n R
180
A
B
n°
O
例1：
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，
求此圆弧的长度。
解：
l n R 60 50
180 180
=
50
3
(cm)
答：此圆弧的长度为 50 cm
3
例2制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长
二、听思路。
思路就是我们思考问题的步骤。例如老师在讲解一道数学题时，首先思考应该从什么地方下手，然后在思考用什么方法，通过什么样的过程来进行解 答。听课时关键应该弄清楚老师讲解问题的思路。
三、听问题。
对于自己预习中不懂的内容，上课时要重点把握。在听讲中要特别注意老师和课本中是怎么解释的。如果老师在讲课中一带而过，并没有详细解答， 大家要及时地把它们记下来，下课再向老师请教。
2、已知扇形的圆心角为120°，半径为2，
则这个扇形的面积，S扇=____．
3、已知扇形的圆心角为1500，弧长为 20 cm ，
则扇形的面积为_2_4__0___c_m__2．
颗粒归仓
1.弧长公式：
l nR 180
2.扇形面积公式：S 扇 形

nR 2 360

1 lR 2
注意： (1)两个公式的联系和区别；
度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L(单
位：mm结果取整数)
解：由弧长公式，可得弧AB 的长
L 100 900 500 1570（mm）
180
因此所要求的展直长度 L 27001570 2970 （mm） 答：管道的展直长度为2970mm．

3.8 弧长及扇形的面积一、选择题（共10小题；共50分）1. 一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是( )A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 180∘2. 如图，ABCD是平行四边形，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，AD=OA=1，则图中阴影部分的面积为( )A. √34B. √34+π6C. √32−π6D. √33. 一个圆锥的左视图是一个正三角形，则这个圆锥的侧面展开图的圆心角等于( )A. 60∘B. 90∘C. 120∘D. 180∘4. 若扇形的面积为3π，圆心角为60∘，则该扇形的半径为( )A. 3B. 9C. 2√3D. 3√25. 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AB=8，BC=12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( )A. 64π−12√7B. 16π−32C.16π−24√7D. 16π−12√76. 若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是( )A. 90∘B. 120∘C. 150∘D. 180∘7. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CDB=30∘，CD=2√3，则S阴影=( )A. πB. 2πC. 23√3 D. 23π8. 如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90∘，以AB为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为( )A. 14π B. π−12C. 12D. 14π+129. 如图，水平地面上有一面积为30π cm2的灰色扇形OAB，其中OA的长度为 6 cm，且OA与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图（甲）的扇形向右滚动至点A再一次接触地面，如图（乙）所示，则O点移动了( ) cm．A. 11π+√3B. 10π+2√3C. 12πD. 11π10. 如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F．当点E从点B出发顺时针运动到点D时，点F 所经过的路径长为( )A. √32π B. √33π C. √34π D. √36π二、填空题（共10小题；共50分）11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=1，将Rt△ABC绕A点逆时针旋转30∘后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是．12. 如图所示，三角板ABC中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，BC=6，三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点Aʹ落在AB边上时即停止转动，则点B转过的路径长为．13. 某班同学在圣诞节前要为圣诞晚会制作一个圆锥形圣诞纸帽，已知圆锥的母线长为30 cm，底面圆直径为20 cm，则这个纸帽的表面积为．14. 如图所示，从半径为9 cm的圆形纸片上剪去13圆周的扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为cm．15. 如图所示，AB为半圆O的直径，C是半圆上一点，且∠COA=60∘，设扇形OAC，△COB，弓形BmC的面积分别为S1，S2，S3，则它们之间的关系是．16. 如图，将一个三角形纸板ABC的顶点A放在⊙O上，AB经过圆心，∠A=25∘，半径OA=2，则在⊙O上被遮挡住的DE的长为．（结果保留π）17. 已知扇形的面积为12π，半径等于6，则它的圆心角等于．18. 圆锥的底面半径是 2 cm，母线长 6 cm，则这个圆锥侧面展开图的扇形圆心角度数为度．19. 如图，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=√3，∠ACB=90∘，∠A=30∘．若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为（结果用含π的式子表示）．20. 某厂接到为雅安地震灾区赶制无底帐篷的任务，帐篷表面由防水隔热的环保面料制成，样式如图所示，则赶制这样的帐篷3000顶，大约需要用防水隔热的环保面料（拼接处面料不计）m2．（π取3.1，√5≈2.2）三、解答题（共5小题；共65分）21. 如图，在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=90∘，把Rt△ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S1，把Rt△ABC绕直线AB旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S2．求S1:S2的值．22. 如图①，半径为R，圆心角为n∘的扇形面积是S扇形=nπR2360．由弧长l=nπR180，得S扇形=nπR2360=1 2⋅nπR180⋅R=12lR．通过观察，我们发现S扇形=12lR类似于S三角形=12×底×高．类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．Ⅰ设扇环的面积为S扇环，AB的长为l1，CD的长为l2，线段AD的长为ℎ（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形=12×(上底+下底)×高，用含l1，l2，ℎ的代数式表示S扇环，并证明．Ⅱ用一段长为40 m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长ℎ为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少?23. 小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径OB=3 cm，高OC=4 cm，求这个圆锥形漏斗的侧面积．24. 如图所示，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120∘，AB长为30 cm，贴纸部分中BD的长为20 cm，求贴纸部分的面积．25. 如图，有一块圆形铁皮，BC是⊙O的直径，AB=AC，在此圆形铁皮中剪下一个扇形（阴影部分）．Ⅰ当⊙O的半径为2时，求这个扇形（阴影部分）的面积（结果保留π）．Ⅱ当⊙O的半径为R(R>0)时，在剩下的三块余料中，能否从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥?请说明理由．答案第一部分1. B2. A3. D4. D5. D6. D7. D8. C9. D 10. B第二部分11. π612. 2π13. 300π cm214. 3√515. S2<S1<S316. 59π17. 120∘18. 12019. 4π+√3π20. 203670第三部分21. 在Rt△ABC中，AB=3，AC=4，∠A=90∘，∴BC=√AB2+AC2=√32+42=5．∴绕AC旋转一周圆锥的表面积S1=π×32+π×3×5=24π；绕AB旋转一周圆锥的表面积S2=π×42+π×4×5=36π．∴S1:S2=24π:36π=2:3．22. （1）S扇环=12(l1+l2)ℎ．证明如下：S扇环=S扇形OAB−S扇形ODC=nπR2360−nπr2360=nπ360(R2−r2)=12⋅nπ180(R+r)(R−r)=12(nπR180+nπr180)⋅ℎ=12(l1+l2)ℎ.（2）由l1+l2+2ℎ=40，得l1+l2=40−2ℎ．∴S扇环=12(l1+l2)ℎ=12(40−2ℎ)⋅ℎ=−ℎ2+20ℎ=−(ℎ−10)2+100(0<ℎ<20).∴当ℎ=10时，S扇环有最大值为100．∴当线段AD的长为10 m时，花园的面积最大，最大面积为100 m2．23. 根据题意，由勾股定理可知BC2=BO2+CO2．∴BC=5 cm．∴圆锥形漏斗的侧面积=π⋅OB⋅BC=15π cm2．24. 设AB=R，AD=r，∴S贴纸=13πR2−13πr2=13π(R2−r2)=13π(302−102)=8003π(cm2).答：贴纸部分的面积为8003π cm2．25. （1）∵BC是⊙O的直径，AB=AC，∴∠BAC=90∘，AB=AC，AF⊥BC．当⊙O的半径为2时，AC=AB=2√2，∴S阴影=90π⋅8360=2π．（2）不能．理由如下：当⊙O的半径为R(R>0)时，AC=AB=√2R．阴影部分扇形的弧长为√22Rπ，EF=2R−√2R．以EF为直径作圆，是剩余材料③中所作的最大的圆，其圆周长为(2−√2)Rπ．∵√22Rπ>(2−√2)Rπ，∴不能从第③块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥．初中数学试卷。

如果圆的半径为R，则圆的面积为 R ， R 2 l°的圆心角对应的扇形面积为 ， 360
2
n°的圆心角对应的扇形面积为
R
2
nR n 360 360
2
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的 扇形面积的计算公式为
S扇形
n n R S圆 360 360
2
n ＝ πR 弧 180 n S扇形 ＝ πR2 360
l
1 nR R 2 180
1 lR 2
在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n°、 半径R有关系，因此l 和S之间也有一定的关系，你能猜 得出吗?
练一练：填空 半径R
6 6 9
圆心角n
60 120 120
弧长l
2π 4π 6π
扇形面积s
6π 12π 27π
选一选
1. 扇形面积大小（
扇形的圆心角是（
C
）
(A)300
(B)360
(C)450
(D)600
如图，有一把折扇和一把团扇。已知折扇的 骨柄与团扇的直径一样长，折扇扇面的宽度是
骨柄长的一半，折扇张开的角度为120 °，问
哪一把扇子扇面的面积大？
a
a
例、如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径 为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm,求截面 中有水部分弓形的面积.
BA为半径作圆弧，交CB的延长线于点E，连结DE，求
图中阴影部分的面积。
E
如图,扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的 ⌒上, 正方形OCDE的顶点C，E，D分别在OA，OB，AB 过点A作AF⊥ED，交ED的延长线于点F，求图中阴
影部分的面积.
在半径为R 的圆中,n°的圆心角所对的弧长 的计算公式为