1备战2019年中考数学压轴题之二次函数
专题07二次函数背景下的三角形相似（全等）【方法综述】
三角形全等是三角形相似的特殊情况。三角形的全等和相似是综合题中的常见要素，解答时注意应用
全等三角形和相似的判定方法。另外，注意题目中“
”与全等表述、“”和相似表述的区别。全等和相
似的符号，标志着三角形全等（相似）的对应点的一、一对应关系。解答时，对于确定的对应边角可以直
接利用于解题。而全等、相似的语言表述，标志着对应点之间的组合关系，解答时，要进行对应边的分类
讨论。【典例示范】
类型一确定的全等三角形条件的判定应用
例1：
（陕西省渭南市大荔县中考数学三模试题）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两
点，其中点A
的坐标为，抛物线的顶点为P．
求b的值，并求出点P、B的坐标；
在x轴下方的抛物线上是否存在点
M，使
≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由．
【答案】
存在，
【解析】
抛物线
经过，
，解得：，
抛物线的表达式为．
，
2点P
的坐标为
令
得：
，解得
或，
的坐标为．
存在，点
如图：过点P
作轴，垂足为C，连接
AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连
接PM、BM．
，
，，
，
，，是等边三角形，
，．
，
，．
在
和
中，，
≌．
存在这样的点
M，使得
≌．
，，点N是PB的中点，
设直线AM
的解析式为，将点A和点N
的坐标代入得：
，解得：，
直线AM
的解析式为．
将
代入抛物线的解析式得：
，解得：
或
舍去，
3
当
时，，
点M
的坐标为
针对训练
1．（2018年九年级数学北师大版下册：第二章检测卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y
＝ax2
＋
bx
－8与x
轴交于A
，B
两点，与y
轴交于点C
，直线l
经过坐标原点O
，与抛物线的一个交点为D
，与抛物
线的对称轴交于点E
，连接CE
，已知点A
，D
的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)．
(1)求抛物线的解析式，并分别求出点B
和点E
的坐标；
(2)试探究抛物线上是否存在点F
，使△FOE
≌△FCE
.若存在，请直接写出点F
2019全国各地中考数学压轴大题函数综合
八、二次函数含参数分类讨论综合问题
1.（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
解：（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11；
2.（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x＝时，y＝﹣．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜．
解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x＝时，y＝﹣，
∴乙说点的不对；
（2）对称轴为x＝，
当x＝时，y＝﹣是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，
∴mn＝[﹣][﹣]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0≤﹣≤，0≤﹣≤，
∴0＜mn＜．
3.（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
1 中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一：面积问题
【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式练习】
1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
A x y
B
O x C
O y
A B
D
1
1
图2 2 2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
3．(2012铜仁)如图，已知：直线3xy交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线3xy上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑. 中考二次函数压轴题专题分类训练
题型一：面积问题
【例1】（2009湖南益阳）如图2，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B.
（1）求抛物线和直线AB的解析式；
（2）求△CAB的铅垂高CD及S△CAB ；
（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使S△PAB＝89S△CAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.
【变式练习】
1.（2009广东省深圳市）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为(－2，0)，连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
2.（2010绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．
（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．
3．(2012铜仁)如图，已知：直线3xy交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C（1，0）三点.
（1）求抛物线的解析式;
（2）若点D的坐标为（-1，0），在直线3xy上有一点P,使ΔABO与ΔADP相似，求出点P的坐标；
