(江苏专版)2019版高考数学一轮复习第五章平面向量学案文

第五章 平面向量

第一节 向量的概念及线性运算 本节主要包括2个知识点：

1.向量的有关概念；

2.向量的线性运算.

突破点(一) 向量的有关概念

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

名称 定义 备注

向量

既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±a|a|

平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共线向量 0与任一向量平行或共线

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量 长度相等且方向相反的向量 0的相反向量为0

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

向量的有关概念

[典例] (1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使a|a|＝b|b|成立的充分条件的序号为________．

①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|.

(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|²a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.假命题的个数是________．

[解析] (1)因为向量a|a|的方向与向量a相同，向量b|b|的方向与向量b相同，且a|a|＝b|b|，所以向量a与向量b方向相同，故可排除①②④.当a＝2b时，a|a|＝2b|2b|＝b|b|，故a＝2b是a|a|＝b|b|成立的充分条件．

(2)向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

[答案] (1)③ (2)3

[易错提醒]

(1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；

(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；

(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1．给出下列命题：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB―→＝DC―→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c；

④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.

其中正确命题的序号是________．

解析：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB―→＝DC―→，∴|AB―→|＝|DC―→|且AB―→∥DC―→.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB―→∥DC―→且|AB―→|＝|DC―→|，因此，AB―→＝DC―→.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.

答案：②③

2．给出下列命题：

①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；

②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；

③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；

④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．

其中错误的命题的个数为________．

解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．错误的命题有3个．

答案：3 3．如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则图中与OC―→相等的向量有________．

答案：AB―→，ED―→，FO―→

4．如图，△ABC和△A′B′C′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC的边长为a，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则

(1)与向量GH―→相等的向量有________；

(2)与向量GH―→共线，且模相等的向量有________；

(3)与向量EA―→共线，且模相等的向量有________．

解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．

向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．

答案：(1) LB′―→，HC―→ (2) EC′―→，LE―→，LB′―→，GB―→，HC―→

(3) EF―→，FB―→，HA′―→，HK―→，KB′―→

突破点(二) 向量的线性运算

基础联通 抓主干知识的“源”与“流”

1．向量的线性运算

向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律

加法 求两个向量和的运算

交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法

求a与b的相反向量－b的和的运算

a－b＝a＋(－b)

数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|，

当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)

＝(λ μ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb

2.向量共线定理

向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”

向量的线性运算

[例1] (1)在△ABC中，AB―→＝c，AC―→＝b.若点D满足BD―→＝2DC―→，则AD―→＝________.(用b，c表示)

(2)在△ABC中，N是AC边上一点且AN―→＝12NC―→，P是BN上一点，若AP―→＝mAB―→＋29AC―→，则实数m的值是________．

[解析] (1)由题可知BC―→＝AC―→－AB―→＝b－c，∵BD―→＝2DC―→，∴BD―→＝23BC―→＝23(b－c)，则AD―→＝AB―→＋BD―→＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.

(2)如图，因为AN―→＝12NC―→，所以AN―→＝13AC―→，所以AP―→＝mAB―→＋29AC―→＝mAB―→＋23AN―→.因为B，P，N三点共线，所以m＋23＝1，则m＝13.

[答案] (1)23b＋13c (2)13

[方法技巧]

1．向量的线性运算技巧

(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．

(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．

2．利用向量的线性运算求参数的一般思路

(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置． (2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．

(3)比较，观察可知所求．

向量共线定理的应用

[例2] 设两个非零向量a和b不共线．

(1)若AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．

(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

[解] (1)证明：因为AB―→＝a＋b，BC―→＝2a＋8b，CD―→＝3(a－b)，

所以BD―→＝BC―→＋CD―→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB―→，所以AB―→，BD―→共线．

又AB―→与BD―→有公共点B，所以A，B，D三点共线．

(2)因为ka＋b与a＋kb共线，

所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，

即 k＝λ，1＝λk，解得k＝±1.

即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．

[方法技巧]

向量共线定理的三个应用

(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．

(2)证明三点共线：若存在实数λ，使AB―→＝λAC―→，AB―→与AC―→有公共点A，则A，B，C三点共线．

(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．

[提醒] 证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．

能力练通 抓应用体验的“得”与“失”

1.[考点一]如图所示，下列结论正确的是________．(填序号)

①PQ―→＝32a＋32b；②PT―→＝32a－b；③PS―→＝32a－12b；④PR―→＝32a＋b.

解析：根据向量的加法法则，得PQ―→＝32a＋32b，故①正确；根据向量的减法法则，得PT―→＝32a－32b，故②错误；PS―→＝PQ―→＋QS―→＝32a＋32b－2b＝32a－12b，故③正确；PR―→＝PQ―→＋QR―→＝32a＋32b－b＝32a＋12b，故④错误．

答案：①③

2.[考点二]已知a，b是不共线的向量，AB―→＝λa＋b，AC―→＝a＋μb，λ，μ∈R，则A，B，C三点共线的充要条件为λμ＝________.

解析：∵A，B，C三点共线，∴AB―→∥AC―→，设AB―→＝mAC―→(m≠0)，则λa＋b＝m(a＋μb)，∴ λ＝m，1＝mμ， ∴λμ＝1.

答案：1

3.[考点一]在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记AB―→，BC―→分别为a，b，则AH―→＝________.(用a，b表示)

解析：如图，过点F作BC的平行线交DE于G，

则G是DE的中点，且GF―→＝12EC―→＝14BC―→，∴GF―→＝14AD―→，则△AHD∽△FHG，从而HF―→＝14AH―→，∴AH―→＝45AF―→，AF―→＝AD―→＋DF―→＝b＋12a，∴AH―→＝45b＋12a＝25a＋45b.

答案：25a＋45b

4.[考点二]已知a，b是两个不共线的非零向量，且a与b起点相同．若a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一直线上，则t＝________.

解析：∵a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，且a与b起点相同．∴a－tb与a－13(a＋b)共线，即a－tb与23a－13b共线，∴存在实数λ，使a－tb＝λ23a－13b，∴ 1＝23λ，t＝13λ，解得λ＝32，t＝12，若a，tb，13(a＋b)三向量的终点在同一条直线上，则t＝12.