§4.2 换底公式【学习目标】 1、掌握对数的换底公式，并能解决有关的化简、求值、证明问题。
2、培养观察分析、抽象概括能力、归纳总结能力、逻辑推理能力。
【学习重点】：对数运算的性质与换底公式的应用【学习难点】：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值预习案Ⅰ、相关知识用常用对数表示：2log 152lg15:log 15,15lg 2lg15lg 2t t t t ==∴=∴=分析设则2这样就可以使用科学计算器计算㏒键算出㏒215=2lg 15lg ≈3.9068906. 同理也可以使用科学计算器计算ln 键算出㏒215=2ln 15ln ≈3.9068906. 由此我们有理由猜想㏒b N=bN a a log log ( a,b>0,a,b ≠1,N>0). ⒈ 换底公式：aN N m m a log log log = ( N>0；a > 0 且a ≠ 1 ；m>0且m ≠1) 证：设 log a N = x , 则 a x = N两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aN N m m a log log log = 两个较为常用的推论：1︒ 1log log =⋅a b b a2︒ b mn b a n a m log log =（ a , b > 0且均不为1） ()n n a a :logb =log b 特例 请用换底公式证明上面两个推论：Ⅱ、预习自测⑴ 9log 27 ⑵ 827log 9.log 322．计算25100lg 20log +的结果是（ ）A ．5B ．10C ．2D ．43．若3log log 5b aa ⋅=，则b 等于（ ）A ．3aB ．5aC ．53D ．35探究案Ⅰ、知识探究1．设a 、b 、c 都是正数，且346a b c ==，那么（）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+ D ．212c a b =+2．计算：（1）2549235log log g lo ⋅⋅=（2）1164g 2791log ()4lo +=3．已知35log ,54b a ==，求1225log 的值. 1．计算训练案1. ⑴ 21log log 9log 7log 414923=⋅⋅x 则x= ⑵ 若n m ==3lg ,2lg ，则=6log 52. 已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求 log 36 45 （用 a , b 表示）3. 已知3632==n m ，则=+n m 114. 求值：12log 221033)2(lg 20log 5lg -++⋅。
对数换底公式的补充教材中要求证明换底公式，同学们虽然会证此题，但对其理解不深，应用不力，故下面加以补充．一、换底公式及证明换底公式：log log log a b a N N b=． 证明：设log b N ＝x ，那么x b ＝N ．两边均取以a 为底的对数，得log log x a a b N =，∴log log a a x b N =．∴log log a a N x b =．即log log log a b a N N b=． 二、应用1．乘积型通常换成以10为底的常用对数，再通过约分及逆用换底公式，即可解决． 例1 计算827log 9log 32•．解：换为常用对数，得827log 9log 32•＝lg 9lg 322lg 35lg 22510lg8lg 273lg 23lg 3339•=•=⨯=． 例2 求证：log log log log a b c a b c d d ••=．证明：由换底公式，得lg lg lg log log log log lg lg lg a b c a b c d b c d d a b c••=••=． 2．知值求值型 这类问题通常要选择适当的底数，结合方程思想加以解决．例3 12log 27＝a ，求6log 16的值．分析：此题可选择以3为底进展解题．解：12log 27＝333log 273log 1212log 2a ==+，解得33log 22a a-=． 故6log 16＝333334log 164log 24(3)23log 61log 2312aa a a a a -⨯-===-+++． 3．综合型例4 设A ＝532123log 19log 19log 19++，B ＝2512log log ππ+，试比拟A 与B 的大小． 解：A 换成以19为底，B 换成为π为底，那么有A ＝log 195＋2log 193＋3 log 192＝log 19360＜2，B ＝2log 2log 5log 10log 2πππππ+=>=．故A ＜B ．。
§4.2换底公式一．教学目标：1．知识与技能①通过实例推导换底公式，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能.②运用对数运算性质解决有关问题.③培养学生分析、综合解决问题的能力.培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度.2. 过程与方法①让学生经历并推理出对数的换底公式.②让学生归纳整理本节所学的知识.3. 情感、态度、和价值观让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性.二．教学重点、难点重点：对数运算的性质与换底公式的应用难点：灵活运用对数的换底公式和运算性质化简求值。
三．学法和教学用具学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪四．教学过程复习引入：对数的运算法则如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 有：)()()(3R)M(n nlog M log 2N log M log N M log 1N log M log (MN)log a n a a a a a a a ∈=-=+=新授内容：已知对数log 864，log 264，log 28，log 464，log 48. 问题1：对数log 864的值与对数log 264和log 28的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 264＝6，log 28＝3, log 864＝log 264log 28. 问题2：对数log 864的值与对数log 464和log 48的值有什么关系？ 提示：log 864＝2，log 464＝3, log 48＝32， log 864＝log 464log 48. 问题3：经过问题1,2你能得出什么结论？ 提示：log a b ＝log M b log M a (a ，M >0，a ，M ≠1，b >0)．1.对数换底公式：aN N m m a log log log = ( a > 0 ,a ≠ 1 ，m > 0 ,m ≠ 1,N>0) 证明：设 a log N = x , 则 x a = N 两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log = ∴ aN N m m a log log log = 2.两个常用的推论:①1log log =⋅a b b a ， 1log log log =⋅⋅a c b c b a ② b mn b a n a m log log =（ a, b > 0且均不为1） 证：①1lg lg lg lg log log =⋅=⋅ba ab a b b a ②b m n a m b n a b b a m n na m log lg lg lg lg log === 例题分析例1、计算：（1）㏒927； （2）㏒89㏒2732 注：由例1可以猜想并证明 b n m nb a m a log log = 处理优化设计题目练习：p86 2，3，4。
