圆被直线截的弦长公式推导
（最新版）
目录
1.圆和直线的基本概念
2.弦的定义和性质
3.弦长公式的推导过程
4.结论
正文
一、圆和直线的基本概念
圆是一个平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。
直线是无限延伸的、无宽度的、由无数个点组成的平面几何图形。
二、弦的定义和性质
弦是圆上任意两点间的线段。
弦有两个端点，可以分为直径和非直径弦。
直径是连接圆上任意两点且通过圆心的弦，非直径弦则不穿过圆心。
弦的长度被称为弦长。
三、弦长公式的推导过程
为了推导弦长公式，我们需要先了解一个重要的几何定理：相交弦定理。
相交弦定理指出，如果两个弦相交于圆内，那么它们所截得的弦长相等。
现在，我们考虑一个圆被一条直线截得的情况。
设圆心为 O，直线与圆相交于点 A 和 B，弦 AB 为所求弦。
我们可以将弦 AB 分为两个部分：OA 和 OB。
根据相交弦定理，OA 和 OB 的长度相等。
根据圆的定义，OA 和 OB 的长度都等于圆的半径 r。
因此，弦 AB 的长度等于 OA 和 OB 的长度之和，即 AB = OA + OB = 2r。
所以，弦长
公式可以表示为：AB = 2r。
四、结论
通过相交弦定理的推导，我们得到了圆被直线截得的弦长公式：AB = 2r。
关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。
判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。
2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。
2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。
3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。
说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。
(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。
(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。
相关试题【1】弦长公式 两圆相交的公共弦方程弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点 相关试题【2】圆与直线相交的弦长公式设圆半径为r,圆心为（m,n),直线方程为ax+by+c=0弦心距为d,则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )则弦长的一半的平方为（r^2-d^2)/2相关试题【3】圆的弦长公式有哪些1、弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角2、弧长L,半径R弦长=2Rsin(L*180/πR)相关试题【4】两圆弦长公式两圆方程相减,得到公共弦的直线方程.然后随便用其中一个圆和直线求弦长.利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离,再用勾股定理求出弦长的一半.相关试题【5】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程 ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|相关试题【6】两圆相交求弦长圆A:x^2+y^2+Dx+Ey+F 与 圆B:x^2+y^2+D'x+E'y+F'相交,圆心距为L,求两圆相交的弦长.好像直接有个公式，我想要详细一点的把两圆方程相减,消去两个平方项,就可以得到公共弦的方程,然后求其中一个圆心到弦的距离,利用弦长公式就可以得到结果了.相关试题【7】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|圆的弦长公式是什么 怎么推倒出来的？，圆与直线相交求弦长的公式是什么？？代数法：（√k+1）*丨x1-x2丨 几何法：2√r-d d为圆心到弦所在直线的距离 直线截圆的弦长公式知道直线方程Ax+By+C=0和圆的方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2：先算圆心到直线的距离： d=|A*a＋B*b＋C|/根号下（A^2+B^2）再用勾股定理计算弦长： l=2*根号下(r^2-d^2)高中数学，直线与圆相交的弦长公式是什么？就是那个含k的弦长公式的推导！求证圆与直线相交的弦长公式2根号下r2-d2弦长一定是圆上的两个点的距离吗 20分不能是，一定是圆上的两个点的距离，特殊的弦长可以是圆的直径圆的等分弦长公式圆的n等分弦长L公式? 圆半径为R。
直线被圆截得的弦长公式
直线被圆截得的弦长公式是等于对应圆心角的一半大小的正弦值乘以半径再乘以二，弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥（严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切）得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。
考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题；弦的相关问题（弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等）；对称问题；最值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。
