v1.0 可编辑可修改
直线与双曲线的相交弦问题
直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y =
-+-
②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-⋅+= ③221121222
111(1)[()4]AB y y y y y y k
k
=+-=+⋅+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长
例1、 过双曲线1322
=-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6
π
的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2∆的面积（2F 为双曲线的右焦点）。
1、求直线1y x =+被双曲线2
2
14
y x -=截得的弦长；
2、过双曲线1449162
2=-y x 的右焦点作倾斜角为
3
π
的弦AB ，求弦长AB ；
3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22
154
x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程；
4、过双曲线12
2
=-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3
π
的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB
（2）△AB F 1∆的周长（2F 为双曲线的右焦点）
二、已知弦长求双曲线方程
5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程．
6、已知倾斜角为4
π的直线l 被双曲线6042
2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．
例2、 已知双曲线方程为332
2
=-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程．
解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322
=-y x .
问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．
7、已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为21
3
的双曲线经过点(6,6)P （Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）动直线l 经过12A PA ∆的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段MN 。试证明你的结论。
题型三：
9、设双曲线()01:2
22>=-a y a
x C 与直线1:=+y x l 相交于不同的点A 、B.
⑴求双曲线C 的离心率e 的取值范围； ⑵设直线l 与y 轴的交点为P ，且PB PA 12
5
=
，求a 的值。 解：(1)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2
a
2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2
＝0 ① 由题设条件知，
⎩⎪⎨⎪⎧
1－a 2
≠04a 4
＋8a 21－a
2
>0
，解得02
a ＝
1
a
2＋1， ∵0
6
2
且e≠ 2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵PA
→
＝
5
12
PB
→
，∴(x1，y1－1)＝
5
12
(x2，y2－1)．∴x1＝
5
12
x2，∵x1、x2是方程①的两根，且1－a2≠0，∴
17
12
x2＝－
2a2
1－a2
，
5
12
x22＝－
2a2
1－a2
，
消去x2得，－
2a2
1－a2
＝
289
60
，∵a>0，∴a＝
17
13
.
10. 已知双曲线的焦点为()0,
1
c
F-，()0,
2
c
F，过
2
F且斜率为
5
3
的直线交双曲线于P、Q两点，若OQ
OP⊥ (其中O为原点），4
=
PQ，求双曲线方程。
11. 双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为12
l l
，，经过右焦点F垂直于
1
l的直线分
别交
12
l l
，于A B
，两点．已知OA AB OB
、、成等差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．
解：（Ⅰ）设OA m d
=-，AB m
=，OB m d
=+由勾股定理可得：222
()()
m d m m d
-+=+
得：
1
4
d m
=，tan
b
AOF
a
∠=，
4
tan tan2
3
AB
AOB AOF
OA
∠=∠==
由倍角公式∴
2
24
3
1
b
a
b
a
=
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
，解得
1
2
b
a
=,则离心率
5
e=．
（Ⅱ）过F直线方程为()
a
y x c
b
=--,与双曲线方程
22
22
1
x y
a b
-=联立，将2
a b
=，5
c b
=代入，
化简有2
2
1585
210
4
x x
b
-+=
22
2
121212
411()4
a a
x x x x x
b b
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎡⎤
=+-=++-
⎢⎥
⎪ ⎪⎣⎦
⎝⎭⎝⎭
⎢⎥
⎣⎦
将数值代入，有
2
2
32528
454
155
b b
⎡⎤
⎛⎫
⎢⎥
=-
⎪
⎪
⎢⎥
⎝⎭
⎣⎦
解得3
b=故所求的双曲线方程为
22
1
369
x y
-=。
