直线与圆相交弦长问题

圆在y轴截的弦长1.引言1.1 概述圆在y轴截的弦长是指一条直线从圆的外部与圆相交，与y轴所构成的线段的长度。

这个概念在几何学中非常重要，与圆的半径和截距之间有着密切的关系。

本文将探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，以及弦长与圆的半径和截距之间的关系。

通过对这些内容的讲解和分析，我们可以更深入地理解和应用圆的相关概念，并加深对几何学的理解。

在接下来的章节中，我们将首先介绍圆在y轴截的弦长的定义和公式，从几何学角度详细解释其含义和计算方法。

然后，我们将研究弦长与圆的半径和截距之间的关系，通过数学推导和实例分析，展示它们之间的数学模型和规律。

最后，我们将总结得出两个重要的结论：弦长与圆的半径成正比，弦长与截距成反比。

通过阅读本文，读者将获得对圆在y轴截的弦长的全面认识和理解，对圆的相关概念和性质有更加深入的把握。

同时，我们也希望通过分析与探究，培养读者的逻辑思维和问题解决能力，为进一步研究和应用几何学打下坚实的基础。

1.2文章结构1.2 文章结构本文按照以下几个部分进行论述和分析：1. 引言：在引言部分，我们将简要介绍本文的研究对象——圆在y 轴截的弦长，并概述本文的目的和结构。

2. 正文：在正文部分，我们将详细探讨圆在y轴截的弦长的定义和公式，并分析弦长与圆的半径和截距之间的关系。

3. 结论：在结论部分，我们将总结本文的主要研究结果，并得出结论1：弦长与圆的半径呈正比关系；结论2：弦长与截距呈反比关系。

通过以上的文章结构，我们将从介绍、分析到总结全面而系统地展现圆在y轴截的弦长的特点和性质，为读者提供一个清晰、准确的了解。

同时，我们还将通过数学推导和图表展示等方式来支持我们的观点，以便读者更好地理解和接受。

在正文部分，我们将深入阐述弦长的计算公式和与圆的半径、截距的关联，以及这些关系对于实际问题的意义和应用。

最后，在结论部分我们将对我们的研究结果进行总结，并指出未来研究方向和可能的拓展。

通过这一结构，读者将能够逐步掌握关于圆在y轴截的弦长的相关知识，并发现其中的规律和趋势，对于更深入地理解数学中的圆和弦长概念将有所帮助。

二、直线与圆相交弦长问题一、知识储备性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2＜r ；性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0；性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦．(1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二：[练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．解析：三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B2＜r ； 性质2：由⎩⎪⎨⎪⎧ Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习[例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程．[解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)，∴|OC |＝|－1|2＝22.∵r ＝22， ∴|BC |＝8－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8，得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝(1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝12， ∴直线AB 的方程为y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m |2＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程．[解]法一：如图所示，由题设|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝|AC|2－|AO|2＝52－42＝3.设点C坐标为(a,0)，则|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由题意设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝25.∵圆截y轴线段长为8，∴圆过点A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.三、类题通法求直线与圆相交时弦长的两种方法(1)几何法：如图1，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有⎝⎛⎭⎪⎫|AB|22＋d2＝r2，即|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．。

【方法3】联立方程求交点，韦达定理求弦长（此 方法有普适性）
பைடு நூலகம்
直线与圆相交 例1 求直线l:3x+y-6=0被圆C:x2+y22y-4=0截得的弦长.
例2.已知过点(-1,-2)的直线l被圆x2+y2-2x2y+1=0截得的弦长为√2,则直线l的斜率为
问题：圆C:（x-a)2 ( y b)2 r 2 , P( x0 , y0 )为圆内一点， 过P点的弦与圆交于A，B，当CP与AB满足什么条件时 弦AB的长度最小。
直线与圆的位置相交时弦长问题
问题：已知直线Ax+Bx+C=0,与圆（x-a) ( y b) r
2 2
2
交于A，B两点，则弦AB的长度。 （圆心到直线距离用d表示）
求弦长的三种方法: 【方法1】先联立方程求交点，再用两点间的距离公式求弦 长
【方法2】利用弦心距、弦长一半、半径构成的直角三角形 解决
例3：已知直线l： 2mx y 8m 3 0和 圆C：x 2 y 2 6 x 12 y 20 0 (1)m R时，证明l与C总相交 （2）m取何值时，l被C截得的弦长最短，求此弦长
总结：圆的弦长的几种求法

弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。

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法二：直线 l 的方程为 y=k（x-4），即 kx-y-4k=0.
圆心 O 到直线 l 的距离 d= | 4k | ，圆 O 的半径 r=2 2 . k2 1
（1）当 d= | 4k | <2 2 ,即-1<k<1 时，直线 l 与圆 O 相交. k2 1
（2）当 d= | 4k | =2 2 ,即 k=±1 时，直线 l 与圆 O 相切. k2 1
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1.直线与圆有三种位置关系: (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 2.直线与圆的位置关系的判定方法: (1)代数法:直线与圆的方程联立消去 y(或 x)得到关于 x(或 y)的一元二次方程,此方程的判别式为 Δ,则
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探究要点一:直线与圆相交 1.直线与圆相交求交点坐标,只需联立两方程求解二元二次方程组即可. 2.直线与圆相交时弦长的求法 (1)求出交点坐标,利用两点间距离公式,求出弦长; (2)利用弦长公式求:
d=|x1-x2| 1 k 2 = (1 k 2 ) (x1 x2 )2 4x1x2
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变式训练 1-1：已知圆 O：x2+y2=8，过 P（4，0）的直线 l 的斜率 k 在什么范围内取值时，直线 l 与圆 O： （1）相交？（2）相切？（3）相离？
解：法一：设直线 l 的方程为 y=k（x-4），
y k(x 4)

关于解决直线与圆的位置关系问题的几种常用方法李志民1 直线与圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。

判断直线与圆的位置关系常见的有三种方法：判别式 相交1.1代数法： 相切Δ=b2-4ac 相离1.2 几何法:利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系:d＜r 相交,d=r 相切,d＞r相离(三)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．此法适用于动直线问题。

2 计算直线被圆截得的弦长的常用方法2.1 几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算。

2.2 代数方法一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是运用韦达定理及弦长公式|AB|= |x A-x B|=.]4))[(1(22BABAxxxxk-++说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法。

3 求过点P（x0,y0）的圆x2+y2=r2的切线方程3.1 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2上， 则以P为切点的圆的切线方程为：x0x+y0y=r23.2 若P（x0，y0）在圆x2+y2=r2外，则过P的切线方程可设为：y-y0=k（x-x0），利用待定系数 法求解。

说明：k为切线斜率，同时应考虑斜率不存在的情况.4 例题选讲：例1. 已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12。

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长。

(1)证明 由消去y得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，因为Δ＝(4k－2)2＋28(k2＋1)>0，所以不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点．(2)解 设直线与圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则直线l被圆C截得的弦长|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝28－4k＋11k21＋k2＝2 11－4k＋31＋k2，令t＝4k＋31＋k2，则tk2－4k＋(t－3)＝0，当t＝0时，k＝－34，当t≠0时，因为k∈R，所以Δ＝16－4t(t－3)≥0，解得－1≤t≤4，且t≠0，故t＝4k＋31＋k2的最大值为4，此时|AB|最小为27。

直线与圆所截弦长公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：直线与圆所截弦长公式是几何学中重要而基础的知识点。

当一个直线与一个圆相交时，构成的弦是直线与圆的一个重要交点。

在几何学中，我们经常需要求解直线与圆所截弦的长度，这就需要运用直线与圆所截弦长公式。

下面我们将详细介绍直线与圆所截弦长公式的推导过程及其应用。

我们需要明确的是在几何学中，有一个重要的定理：当直线与圆相交时，直线与圆所截弦长的乘积等于两条弦分割的线段之积。

即设直线AB与圆O相交于点A、B，则有AO×OB=AO'×OB'。

A、B为直线AB与圆O的交点，O为圆心，而A'、B'则是弦AB分割的两段。

根据上述定理，可以推导出直线与圆所截弦长公式。

假设直线AB 与圆O相交于点A、B，圆心为O，弦AB分割为AO'和OB'两段。

设弦长为L，AO的长度为x，OB的长度为y，则有x+y=L。

根据定理可知，AO×OB=AO'×OB'，即x×y=(L-x)×(L-y)。

化简上式，可得到x×y=L²-Lx-Ly。

然后通过齐次二次方程的求解方法，可以得到x和y的值。

进而可以求得AO和OB的长度，即直线与圆所截弦的长度。

除了直线与圆所截弦长的求解，直线与圆的位置关系也是几何学中的一个重要问题。

当直线与圆相交时，有六种可能的位置关系：相交两点、内切、相切、外切、相离、内含。

每种情况下，弦的长度和位置都有不同的特点和计算方法。

在实际问题中，直线与圆所截弦长公式的应用是非常广泛的。

数学、物理、工程学等领域的问题中，经常需要计算直线与圆相交时弦长的长度。

在工程设计中，有时需要计算杆件与圆轴相交时的弦长，以便确定杆件的长度和位置；在地理学中，需要计算地球表面上两点之间的最短距离时，也可以利用直线与圆所截弦长公式。

直线与圆所截弦长公式是几何学中的一个重要知识点，涉及到直线与圆的交点、弦的长度、位置关系等内容。

直线与圆的综合一、直线与圆的位置关系应用1. 求圆的切线的方法（1）自一点引圆的切线的条数①若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线；②若点在圆上，则过此点只能作圆的一条切线，且此点是切点；③若此点在圆内，则过此点不能作圆的切线．（2）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．注意：过圆外一点的切线必有两条，无论用几何法还是代数法，当求得值是一个时，另一条切线的斜率一定不存在，可用数形结合法求出．经典例题1.过点与圆所引的切线方程为．2.过点的直线与圆相切，则直线在轴上的截距为（）．A. B. C. D.3.若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数的取值范围是．巩固练习1.过点且与圆相切的直线方程为．A. B.C.D.2.已知圆的半径为，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为（）．2.求圆的切线长求切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．经典例题A.B.C.D.1.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2） 2.已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为．求圆的方程．若点在直线上运动，过点作圆的两条切线、，切点分别为、点，求四边形面积的最小值．巩固练习A. B.C.D.1.点是直线上的动点，由点向圆作切线，则切线长可能为（）．A.B. C.D.2.由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（）．（1）（2）3.已知圆经过点，且圆心为．求圆的标准方程．过点作圆的切线，求该切线的方程及切线长．3. 直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：（1）几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．注意：计算圆的弦长时通常情况下采用几何法．（2）代数法①将方程组消元后，由一元二次方程中根与系数的关系可得关于或的关系式，则通常把叫做弦长公式．②直线的方程与圆的方程联立求出交点坐标，由两点间的距离公式求得．经典例题A. B.C.D.1.已知圆的方程为，过该圆内一点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）．2.若直线将圆的圆周分成长度之比为的两段弧，则实数的所有可能取值是 ．A.B. C.D.3.圆：被直线：截得的弦长的最小值为（）．4.直线经过点被圆截得的弦长为，求此弦所在直线方程．A. B.C.D.5.若圆与轴、轴均有公共点，则实数的取值范围是（）．A. B. C. D.6.若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线 的斜率的取值范围是（）．A. B.C.D.7.已知直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）．巩固练习A. B.C.D.1.已知圆关于轴对称，经过点且被轴分成两段弧长之比为.则圆的方程为（）．A.或B.或C.或D.2.直线被圆截得的弦长为，则直线的倾斜角为( )3.若过点的直线被圆截得的弦长最短，则直线的方程是 ，此时的弦长为．A.B.或C.或D.或4.过点的直线与圆相交于，两点，且，则直线的方程为（）．A.B.C.D.5.若圆上至少有三个不同点的直线的距离为，则的取值范围是（）．A.B.或 C.或D.6.已知直线的方程为，若直线与曲线相交，则直线斜率的取值范围为（）．4.知识总结（一）圆的切线方程的求法①求过圆上一点的圆的切线方程：先求切点与圆心的连线的斜率，则由垂直关系知切线的斜率，由点斜式方程可得切线方程．若，则切线方程为；若不存在，则切线方程为．②求过圆外一点的圆的切线方程几何法：设切线方程，即．由圆心到直线的距离等于半径，可得，切线方程即可求出．代数法：设切线方程，即，代入圆的方程，得到一个关于的一元二次方程，由求得，切线方程即可求出．（二）求圆的切线长过圆外一点作圆：的切线，其切线长的求法为：先利用两点间距离公式求点到圆心的距离为，再利用勾股定理求出切线长．（三）直线与圆相交的弦长问题设直线的方程，圆的方程为，求弦长有以下几种方法：几何法如图，结合弦心距、弦长的一半及半径构成的直角三角形利用勾股定理来计算．二、圆与圆的位置关系问题1. 圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有三种：（1）两圆相交，有两个公共点；（2）两圆相切，包括外切与内切，只有一个公共点；（3）两圆相离，包括外离与内含，没有公共点．圆与圆位置关系的判断方法一般采用几何法来判断，利用两圆的圆心距进行判断设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含经典例题1.若圆：与圆：相交，则的取值范围为．A.条B.条C.条D.条2.两圆与的公切线有（）．巩固练习A.外离 B.外切 C.内含D.内切1.已知圆的方程为，圆的方程为，那么这两个圆的位置关系不可能是（）．A.B. C. D.2.圆与圆的公切线的条数是（）.2. 两圆的公共弦（1）两圆相交时，公共弦所在的直线方程设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆方程联立，求出公共弦所在直线的方程，将所得直线方程与任一圆的方程再联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求公共弦长．②几何法：将两圆的方程联立，求出公共弦所在的直线的方程，由点到直线的距离公式求出弦心距，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．经典例题1.已知圆与圆相交于两点．（1）（2）求两圆的公共弦所在直线的方程．求两圆的公共弦长．A. B.C.D.2.两圆和相交于两点，，则线段的长为（）．巩固练习（1）（2）1.已知圆，圆．分别写出这两个圆的圆心坐标和半径的长，并求两个圆心的距离．求这两个圆的公共弦的长．A.B.C.D.2.两圆相交于两点和，且两圆圆心都在直线上，则的值是（）．3. 知识总结（一）两圆的位置关系设，则有：圆心距与半径的关系圆与圆的位置关系公切线条数与外离与外切与相交与内切与内含（二）两个圆的公共弦（1）公共弦所在直线设圆①圆②①-②得：③方程③表示过两圆交点的直线，即两圆公共弦所在的直线．（2）公共弦长代数法、几何法三、与圆有关的应用1. 求圆的轨迹方程的方法（1）直接法：直接由题目给出的条件列出方程；（2）定义法：根据圆的定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法（即相关点法）：找到所求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.经典例题1.在直角坐标系中，点在圆上移动，动点和定点连线的中点为，求中点的轨迹方程．A. B.C.D.2.已知点和圆：，过点的动直线与圆交于，，则弦的中点的轨迹方程（）． 3.已知定点，是圆上一动点，的平分线交于点，求的轨迹方程．巩固练习1.已知直角坐标系中，，动点满足，则点的轨迹方程是 ；轨迹为．2.已知为圆上一动点，定点，求线段中点的轨迹方程．2. 与圆有关的最值问题（1）距离型最值问题：形如形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题；（2）过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦；（3）直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.经典例题（1）（2）1.已知，，动点满足，设动点的轨迹为．求动点的轨迹方程．点在轨迹上，求最小值．2.已知直线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为．（1）（2）3.在平面直角坐标系中，，动点满足．求点的轨迹方程．设为圆：上的动点，求的最小值．A.B.C.D.4.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，点满足．当，，三点不共线时，面积的最大值为（）．A.最大值是，最小值是 B.最大值是，最小值是C.最大值是，最小值是D.最大值是，最小值是5.如图所示，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴非负半轴上，点在第一象限，且，，那么，两点间距离的（）．巩固练习A.B. C.D.1.直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）．2.已知实数，满足，则的取值范围是．3.已知半径为的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为 ．A.B.C.D.4.若点在圆上运动，，则的最小值为（ ）．3. 与圆有关的对称问题（1）圆的轴对称性圆关于直径所在的直线对称．（2）圆关于点对称①求已知圆关于某点的对称的圆的方程，只需要确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点．（3）圆关于直线对称①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程；②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线．经典例题A. B.C. D.1.圆关于直线对称的圆的方程为（）．A. B.C.D.2.已知圆上两点，关于直线对称，则圆的半径为（）．A. B.C.D.3.已知圆：关于直线对称的圆为圆：，则直线的方程为（）．A.B. C. D.4.若圆：关于直线对称，则由点向圆所作的切线长的最小值是（）．5.在平面直角坐标系中，若圆：（）上存在点，且点关于直线的对称点在圆：上，则的取值范围是．6.点，分别为圆与圆上的动点，点在直线上运动，则的最小值为．巩固练习A. B.C.D.1.已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则直线的方程为（）．A. B. C.D.不存在2.圆：上有两个点和关于直线对称，则（）．3.圆关于直线对称，则的值是（ ）．A. B. C. D.4.已知圆：关于直线：对称，则原点到直线的距离为（）．A. B. C. D.4. 知识总结（1）求圆的轨迹方程的方法直接法、定义法、几何法、代入法（2）与圆有关的最值问题①斜率型最值问题②截距型最值问题③距离型最值问题④过圆内一点的最长弦为过此点的直径，最短弦为垂直于此点的圆心连线的弦、⑤直线与圆不相交，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的最小距离为，最大距离为.（3）与圆有关的对称问题圆的轴对称性、圆关于点对称、圆关于直线对称思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！出门测1.从直线上的点向定圆作切线，则切线长的最小值为（）．A. B. C. D.2.从圆外一点向圆引两条切线，切点分别为，，则（）．A. B. C. D.3.若圆与圆相交于，两点，且两圆在点处的切线互相垂直，则线段的长度是（）．A. B. C. D.。

相关试题【1】弦长公式 两圆相交的公共弦方程弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点 相关试题【2】圆与直线相交的弦长公式设圆半径为r,圆心为（m,n),直线方程为ax+by+c=0弦心距为d,则d^2=(ma+nb+c)^2/(a^2+b^2 )则弦长的一半的平方为（r^2-d^2)/2相关试题【3】圆的弦长公式有哪些1、弦长=2RsinaR是半径,a是圆心角2、弧长L,半径R弦长=2Rsin(L*180/πR)相关试题【4】两圆弦长公式两圆方程相减,得到公共弦的直线方程.然后随便用其中一个圆和直线求弦长.利用点到直线的距离求出圆心到直线的距离,再用勾股定理求出弦长的一半.相关试题【5】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程 ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|相关试题【6】两圆相交求弦长圆A:x^2+y^2+Dx+Ey+F 与 圆B:x^2+y^2+D'x+E'y+F'相交,圆心距为L,求两圆相交的弦长.好像直接有个公式，我想要详细一点的把两圆方程相减,消去两个平方项,就可以得到公共弦的方程,然后求其中一个圆心到弦的距离,利用弦长公式就可以得到结果了.相关试题【7】直线和圆相交时,如何用几何法求弦长,如何用代数法求弦长,弦长公式、直线和圆相交时,用几何法求弦长,(1)求出圆心到直线的距离d,半径r半弦长=√(r^2-d^2) 弦长=2√(r^2-d^2)代数法求弦长,联立直线和圆的方程,解方程组,消去y得到关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0x1,x2为方程两根,k为直线斜率弦长公式=√(k^2+1)*|x2-x1|圆的弦长公式是什么 怎么推倒出来的？，圆与直线相交求弦长的公式是什么？？代数法：（√k+1）*丨x1-x2丨 几何法：2√r-d d为圆心到弦所在直线的距离 直线截圆的弦长公式知道直线方程Ax+By+C=0和圆的方程(x－a)^2+(y－b)^2=r^2：先算圆心到直线的距离： d=|A*a＋B*b＋C|/根号下（A^2+B^2）再用勾股定理计算弦长： l=2*根号下(r^2-d^2)高中数学，直线与圆相交的弦长公式是什么？就是那个含k的弦长公式的推导！求证圆与直线相交的弦长公式2根号下r2-d2弦长一定是圆上的两个点的距离吗 20分不能是，一定是圆上的两个点的距离，特殊的弦长可以是圆的直径圆的等分弦长公式圆的n等分弦长L公式? 圆半径为R。

圆的弦长的计算公式圆的弦长公式知识梳理⼀、直线与圆的位置关系 1．⼏何判定法：设r 为圆的半径，d 为圆⼼到直线的距离： (1)d >r ?圆与直线相离； (2)d ＝r ?圆与直线相切； (3)d由?=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax 消元，得到⼀元⼆次⽅程的判别式Δ，则 (1)Δ>0?直线与圆相交； (2)Δ＝0?直线与圆相切； (3)Δ<0?直线与圆相离．⼆、圆的切线问题 1.切线⽅程（1）圆()()222x a y b r -+-=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为()()()()200x a x a y b y b r --+--=（2）圆220x y Dx Ey F ++++=上⼀点()00,P x y 处的切线⽅程为0000022x x y y x x y y D E F ++++++=g g 2.切线长公式过圆外⼀点()00,P x y 引圆的切线，设点为T ,则切线长MT =MT =三、弦长问题 1.⼏何法直线l 与圆C 交于,A B 两点，圆⼼C 到直线l 的距离为d ，则圆的半径r ，d 与弦长AB 的⼀半构成直⾓三⾓形的三边，即2222AB d r ??+=，故求出2AB 后再求AB ． 2.代数法——弦长公式设圆()()222x a y b r -+-=，直线l ：y kx b =+，则l 被圆截得的弦长L =或L =典型例题例1：已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0.(1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；(2)若直线l 与圆C 交于A 、B 两点，当|AB |＝17时，求m 的值．解析：本题主要考查直线与圆的相交及弦长问题．(1)问可考虑直线过定点，通过定点在圆内证明，(2)问可利⽤弦长公式求解．答案：(1)解法⼀：由?x 2＋y －12＝5mx －y ＋1－m ＝0，消去y 整理，得(m 2＋1)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0.∵Δ＝(－2m 2)2－4(m 2＋1)(m 2－5)＝16m 2＋20>0，对⼀切m ∈R 成⽴，∴直线l 与圆C 总有两个不同交点．解法⼆：由已知l ：y －1＝m (x －1)，故直线恒过定点P (1,1)．∵12＋(1－1)2<5，∴P (1,1)在圆C 内．∴直线l 与圆C 总有两个不同的交点．(2)解法⼀：圆半径r ＝5，圆⼼(0,1)到直线l 的距离为d ，d ＝r 2－?|AB |22＝32.由点到直线的距离公式，得|－m |m 2＋－12＝32，解得m ＝± 3.解法⼆：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， |AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1 ∴m ＝± 3.练习1：直线l 经过点P (5,5)，且和圆C ：x 2＋y 2＝25相交，截得的弦长为45，求l 的⽅程．答案：解法⼀：设直线l 的⽅程为y －5＝k (x －5)且与圆C 相交于A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，y －5＝k x －5x 2＋y 2＝25消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0.∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0. 解得k >0.x 1＋x 2＝－10k 1－k k 2＋1，x 1x 2＝25k k －2k 2＋1. 由斜率公式，得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)．∴|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋k 2)100k 2(1－k )2(k 2＋1)2－4·25k (k －2)k 2＋1＝4 5.两边平⽅，整理得：2k 2－5k ＋2＝0.解得：k ＝12，或k ＝2.故直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －5＝0.解法⼆：如图所⽰，|OH |是圆⼼到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的⼀半，在Rt △AHO 中，|OA |＝5，|AH |＝12|AB |＝12×45＝25，∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝ 5. ∴|51－k |k 2＋1＝ 5.解得：k ＝12或k ＝2. ∴直线l 的⽅程为：x －2y ＋5＝0，或2x －y －练习2：求直线:360l x y +-=被圆22:240C x y y +--=解得的弦长答案：解法⼀：圆22:240C x y y +--=可化为()2215x y +-=∴圆⼼()0,1C ,半径5r =点C 到直线l 的距离为22301610231d ?+-==+ ∴()222210105222ABr d ??=-=-= ? ???∴10AB = 解法⼆：联⽴直线l 与圆C 的⽅程22360240x y x y y +-=??+--=? 消去y 得：2320x x -+=设两交点,A B 的坐标分别为()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理有12123,2x x x x +==g ∴弦长()2 21334210AB =+--?=g 例2：已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0.求两圆的公共弦所在的直线⽅程及公共弦长．解析：因两圆的交点坐标同时满⾜两个圆⽅程，联⽴⽅程组，消去x 2项、y 2项，即得两圆的两个交点所在的直线⽅程．利⽤勾股定理可求出两圆公共弦长．答案：设两圆交点为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标是⽅程组x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的解①②①－②得 3x －4y ＋6＝0.∵A 、B 两点坐标都满⾜此⽅程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线⽅程．易知圆C 1的圆⼼(－1,3)，半径r ＝3. ⼜C 1到直线AB 的距离为 d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋42＝95. ∴|AB |＝2r 2－d 2＝232－? ????952＝245.即两圆的公共弦长为245.课后练习1．已知圆C 和y 轴相切，圆⼼在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的⽅程．答案：由题意可设圆⼼坐标为(a ，a 3)，圆的半径R ＝|a |，由题意得(|a －a3|2)2＋(7)2＝a 2，∴a 2＝9，a ＝±3.故所求圆的⽅程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.2．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得弦长是( )A.6B.522C ．1 D.2答案 A。

弦长公式在相交两圆中的运用-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1弦长公式在相交两圆中的运用重庆市永川区第六中学校 潘祥万（402182）问题：求两圆04026,010102222=-+++=--+y x y x y x y x 的公共弦的长。

（高二数学（上），人教版，P 88 24题）对于此题，我们很多时候都是把这两个方程联立组成方程组，求出其交点坐标，再根据两点间的距离公式求解，这是一种常规解法。

下面，我想就相交两圆公共弦长公式的推导及运用谈点个人看法。

一、弦长公式的推导在初中，我们就知道两圆相交时弦长的求法。

对于高中数学中的相交两圆弦长如何求，大部分学生感到不知所措，甚至解题的方向也把握不准，基于此，我在教学中，我在引领学生回忆初中知识的同时，让学生把所学的知识在头脑中重组、建构，形成一定的网络，更好地为教学服务。

推导：对于圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （其中0422>-+F E D ）和圆的标准方程：222)()(R b y a x =-+-。

这是我们应该熟悉的两个方程，要求学生必须能够互化。

如果两圆222)()(r b y a x =-+-和222)()(R b y a x ='-+'-相交，求公共弦长。

在这里必须引导学生对问题进行分析，看它圆心在弦的同旁，还是两旁。

（一）、两圆心在公共弦的两旁时，公共弦长AB 的求法如图1：设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为R r ,,圆心距(O O ')为d ,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中有222222,AC O A C O OC AO AC -'='-=,又O O '=OC+C O '=d ,∴C O '=d -OC,∴222222)(,AC R OC d OC r AC -=--=,∴22222)(AC R AC r d -=--,其中22)()(b b a a d -'+-'=图1化简得:AB=2AC=[][]d r R d d r R 2222)()(---+ )(r R ≥ ① (二)、两圆心在公共弦的同旁时，公共弦长AB 的求法如右图，设相交两圆的圆心分别为O ),(b a ,),(b a O ''',半径分别为)(,r R R r ≥,圆心距(O O ')为d （22)()(b b a a d -'+-'=）,则在Rt △ACO 与Rt △AC O '中，同理得： [][]d r d R R r d AB 2222)()(---+= ② 说明：内切、外切时上两式也成立，只不过AB=0。

直线与圆的位置关系知识点总结在平面几何中，直线与圆的位置关系是一个重要且基础的知识点。

理解和掌握它们之间的关系，对于解决许多几何问题具有关键作用。

接下来，咱们就详细聊聊直线与圆的位置关系。

一、直线与圆的位置关系的定义直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离。

当直线与圆有两个公共点时，我们称直线与圆相交。

想象一下，就好像直线穿过了圆，与圆有两个交点。

当直线与圆只有一个公共点时，称直线与圆相切。

这时候，直线就像是轻轻触碰了一下圆，只有那一个瞬间的接触点。

当直线与圆没有公共点时，就是直线与圆相离。

直线和圆仿佛处在两个完全不同的世界，没有任何交集。

二、判断直线与圆位置关系的方法1、几何法通过比较圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判断。

若 d ＜ r，则直线与圆相交。

比如，圆的半径是 5，圆心到某条直线的距离是 3，因为 3 ＜ 5，所以直线与圆相交。

若 d ＝ r，则直线与圆相切。

比如半径为 6 的圆，圆心到某直线距离恰好为 6，那这条直线就与圆相切。

若 d ＞ r，则直线与圆相离。

比如圆半径 4，圆心到某直线距离 7，因为 7 ＞ 4，所以直线与圆相离。

2、代数法将直线方程与圆的方程联立，消去其中一个变量（比如 y），得到一个关于另一个变量（比如 x）的一元二次方程。

通过判断这个一元二次方程的根的判别式Δ 的值来确定位置关系。

若Δ ＞ 0，则直线与圆相交，意味着有两个不同的交点。

若Δ ＝ 0，则直线与圆相切，只有一个交点。

若Δ ＜ 0，则直线与圆相离，没有交点。

三、直线与圆相交1、弦长公式当直线与圆相交时，所形成的线段称为弦。

弦长的计算可以通过勾股定理来推导。

设直线方程为 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0，圆的方程为（x a)²＋（y b)²＝ r²，直线与圆的交点为 P(x₁, y₁)，Q(x₂, y₂)。

首先求出圆心（a, b) 到直线的距离 d ＝｜Aa ＋ Bb ＋ C| ／√（A²＋ B²) 。

直线与圆相交求弦长
【典型例题】
1、直线m经过点P (5，5)且和圆C：x2 + y2 = 25 相交，截得弦长l为 4 5 , 求m的方程.
解：设圆心到直线m的距离为 d，由于圆的半径
r
=
5，弦长的一半
l 2

2
5,
所以由勾股定理，得：d

2
52 2 5
5,
所以设直线方程为y – 5 = k (x – 5) 即
故a 5或a 5,所以直线AB方程是
2 x 5 y 25 0 或 2 x 5 y 25 0 ;
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
(2)连接MB，MQ，设 P(x,y),Q(a,0),由点M， P，Q在一直线上，得 2 y 2,(A)
a x
由 |M B|2|M P||M Q|,即 x2(y2)2 a241,(B ) 把（A）及（B）消去a，并注意到y<2 ，可得
x2(y7)21(y2). 4 16
2 k 1k2 1k2 1 0(1k2)11k21k22, 即k2＝3，故k＝± 3 . 答案：A
直线与圆相交求弦长
【变形训练】
2、如图，已知⊙M：x2+(y－2)2＝1，
Q是x轴上的动点，QA，QB分别切
⊙M于A，B两点，(1)如果| A B | 4 2
求直线MQ的方程；
的方程为
y + 3 = k (x + 3)， 即k x – y + 3k –3 = 0.
根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l的
距离 2 3k 3 因此 2 3k 3
d
.
5,
k2 1
k2 1

直线与圆的位置关系（复习）复习要求1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.[难点正本疑点清源]1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________题型一直线与圆的位置关系例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y ＋1)2＝12.(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________．题型二圆的切线问题例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x －1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4. （a>0）若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；方法与技巧1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1k ，由点斜式方程可求切线方程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则⎝⎛⎭⎫l 22＝r 2－d 2. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点,两点间距离公式。

直线与圆的位置关系与性质知识点总结直线与圆是几何中常见的两种基本图形，它们的位置关系与性质对于解决几何问题非常重要。

在这篇文章中，我们将总结直线与圆的常见位置关系，并讨论它们的性质。

一、直线与圆的位置关系1. 直线与圆的相交关系当直线与圆有交点时，我们可以得出以下几种情况：- 直线与圆相交于两点：直线穿过圆的中心，此时直径是直线的特例。

- 直线与圆相交于一个点：直线与圆相切，切点称为切点。

- 直线位于圆的内部，没有交点。

- 直线位于圆的外部，也没有交点。

2. 直线与圆的位置关系特例- 切线：直线与圆相切的情况，称为切线。

与圆相切的直线垂直于半径，切点在直线上的法线与从切点到圆心的半径垂直。

- 弦：直线穿过圆，但不过圆心的情况，称为弦。

通过圆心的弦称为直径，且直径是弦中最长的一条线段。

二、直线与圆的性质1. 切线定理定理一：若一条直线与圆相切于切点A，则以切点A为顶点的两条锐角与此直线所夹的圆弧相等。

定理二：若从圆外一点作直线与圆相切于切点A，则此直线与以此点为端点的弦相交处的两个锐角是一对互补角。

2. 弦长定理定理三：若两条弦相交于切点A，则两条弦分割的圆周上的弧长乘积相等。

3. 直径定理定理四：直径是穿过圆心的弦，正好是弦分割的两条弧的半径之和。

4. 割线定理定理五：若两条割线相交于切点A，则此割线与此切点所在的直线上的弦分割的互补角是一对互补角。

三、直线与圆的应用1. 问题一：判断直线是否与圆相交或相切当我们需要解决直线与圆的位置关系问题时，可以利用以下方法：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程并求解交点。

- 使用定理：利用判断圆内点的方法，或使用切线定理判断直线与圆是否相切。

2. 问题二：求解直线与圆的交点坐标当直线与圆相交于两点时，我们可以利用以下方法求解交点坐标：- 使用坐标系和方程：设定坐标系，写出直线和圆的方程，联立方程并求解交点坐标。

3. 问题三：判断两条直线是否为切线或相交于切点当我们需要判断两条直线是否为切线或相交于切点时，可以利用以下方法：- 使用切线定理：若两条直线与圆相切于同一切点，则可判断它们为切线或相交于切点。

圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）知识梳理浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.2． 圆的标准方程① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()0222>=-+-r r b y a x ，其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为222r y x =+；② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3． 圆的一般方程①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D ；② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项③ 二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是0≠=C A 且0=B ；二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D4． 圆的参数方程圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧==r y r x 为参数）；② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 圆方程之间的互化022=++++F Ey Dx y x ()0422>-+F E D配方⇔44222222F E D E x D x -+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+即圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E ，D ，半径F E D r 42122-+=⇔利用()()222sin cos r r r =+θθ得θθθ(sin cos ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x 为参数） 6． 确定圆方程的条件圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。

题型一：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最值．例1：.圆x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0过点(－1,0)的最大弦长为m ，最小弦长为n ，则m －n 等于 解析 圆的方程x 2＋y 2－4x ＋6y －12＝0化为标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝25.所以圆心为(2，－3)，半径长为5.因为(－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以点(－1,0)在已知圆的内部，则最大弦长即为圆的直径，即m ＝10.当(－1,0)为弦的中点时，此时弦长最小.弦心距d ＝(2＋1)2＋(－3－0)2＝32，所以最小弦长为2r 2－d 2＝225－18＝27，所以m －n ＝10－27.变式训练1：1y kx =+与圆C ()2214x y +-=相交于,A B 两点，则AB 的最小值是多少？ 解：直线1y kx =+过定点()1,0M ，当MC AB ⊥时，AB取最小值，由 2222l d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知，222d R l -=，2==MC d ，故22222=-=d R l变式训练2：已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R).(1)求证不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时的l 的方程.(1)证明 因为l 的方程为(x ＋y －4)＋m (2x ＋y －7)＝0(m ∈R )，所以⎩⎨⎧ 2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝1，即l 恒过定点A (3,1).因为圆心为C (1,2)，|AC |＝5<5(半径)，所以点A 在圆C 内，从而直线l 与圆C 恒交于两点.(2)解 由题意可知弦长最小时，l ⊥AC .因为k AC ＝－12，所以l 的斜率为2. 又l 过点A (3,1)，所以l 的方程为2x －y －5＝0. 方法总结：过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最大值为圆的直径，最小值为垂直于直径的弦.题型二：圆外一点与圆上任一点间距离的最值直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最值．例2：求点A ）（0,2到圆C 122=+y x 的距离的最大值和最小值？解：==AC d 2，故距离的最大值为3=+r d ，最小值为1=-r d变式训练1：圆122=+y x 上的点到直线2x y -=的距离的最大值？解:圆心到直线的距离为222==d ， 则圆上的点到直线2x y -=的最大值为12+=+r d 则圆上的点到直线2x y -=的最小值为1-2-=r d方法总结：圆外一点与圆上任一点间距离的最大值为r d +，最小值为r d -直线与圆相离，圆上的点到直线的距离的最大值为r d +，最小值为r d -题型三：切线问题例3 由直线y ＝x ＋2上的点P 向圆C ：(x －4)2＋(y ＋2)2＝1引切线PT (T 为切点)，当PT 最小的时候P 的坐标？解析 根据切线段长、圆的半径和圆心到点P 的距离的关系，可知PT ＝PC 2－1，故PT 最小时，即PC 最小，此时PC 垂直于直线y ＝x ＋2，则直线PC 的方程为y ＋2＝－(x －4)，即y ＝－x ＋2，联立方程⎩⎨⎧y ＝x ＋2，y ＝－x ＋2，解得点P 的坐标为(0,2)． 变式训练1：点P 是直线2x ＋y ＋10＝0上的动点，P A ，PB 与圆x 2＋y 2＝4分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________．解析：如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA △AP ，所以S 四边形P AOB ＝2×12|OA |·|P A | ＝2|OP |2－|OA |2＝2|OP |2－4.为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2x ＋y ＋10＝0的距离：|OP |min ＝1022＋12＝2 5.故所求最小值为2252－4＝8.题型五：两圆相离，两圆上点的距离的最值。