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高等数学题库第03章(导数的应用)

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. . .. .v .. .. 第三章 导数的应用

习题一 一．选择题

1．使函数322

)1()(xxxf适合罗尔定理条件的区间是（ ）

A．1,0 B. 1,1 C. 2,2 D. 54,53 2. 函数xexf

xsin)(

在,0上满足罗尔定理的( )

A.2 B. C. 4 D. 45 3.设0,

1)(abxxf,则在ba内使))(()()('abfafbf成立的点( )

A.只有一点 B.有两个点 C.不存在 D.是否存在,与ba,值有关

4.设



,21,210,3)(2xx

xxxf,

则在区间2,0内适合值的)02)(()0()2('fff( ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个 5.设)(xf在ba,上连续,在ba,内可导,若设(I):)()(bfaf；（II）：在ba,内至少有

一点，使得0)('f，则(I)与（II）之间的关系是（ ） A．(I)是（II）的充分而非必要条件 B. (I)是（II）的必要而非充分条件 C. (I)是（II）的充分必要条件 D. (I)是（II）的既非充分也非必要条件

6.)0()0(gf,当0x时,有)()(

''

xgxf,则当0x时,有( )

A.)()(xgxf B. )()(xgxf C. )()(xgxf D. )()(xgxf

7.函数xxy在区间,1e( )

A.不存在最小值 B. 最大值是ee1 C. 最大值是ee11 D. 最小值是ee11 二. 填空题 1.函数321)(xxf在1,1上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(xf不满足罗尔定

理的条件 . 2.函数4)(xxf在2,1上满足拉格朗日定理,则 . . . .. .v .. .. 3.xxx6)13ln(lim0 .

4.

axx

xlnlim .0a

5.在0x时,

22

1arctanarctanxx 恒成立.

6.据罗尔定理，xxfsinln在区间

656

，上满足0‘f的=

7.极限)0,0lim0baxbaxxx（ .

三．求下列极限 1.82lim322xxxx

2.39lim22xxx 3.xxxx

220121lim 0

4.435lim222xxx 5.11lim1nmxxx 6.203cos1limxxx 7.30sinlimxxxx 8.xxxxxtansinlim0 9.xxxxx20sintanlim 10.1lnlim1xxx

习题二 一．选择题 . . .. .v .. .. 1.设函数)(xf在区间ba,内可导,则在ba,0)(

'

xf是)(xf在ba,内单调增的

( ) A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件

2. 设函数xxxfln2)(

2

的单调增区间是( )

A.21,0 B. 0,21,21 C. ,21 D. 

21,

21

,0

3.若1x和2x都是函数x

bexay)(的极值点,则ba,的值为( )

A.2,1ba B. 1,2ba C. 1,2ba D. 1,2ba

4.若)(xf的二阶导数存在,且0)(

''

xf,则axafxfxF)()()(在ba,内是( )

A.单调增加的 B.单调减少的 C.有极大值 D.有极小值 5.设)0()(

23

adcxbxaxxf单调增加,下面各式成立的是( )

A.03,0

2acba B. 03,02acba C. 03,02

acba

D. 03,0

2

acba

6.下列命题中,正确的是( ) A.若)(xfy在0xx处有0)('xf,则)(xf在0xx处取极值 B. 极大值一定大于极

小值 C.若可导函数)(xf在0xx处取极大值,则必有0)(0'xf D. 最大值就是极大值 7.若函数bxaxxxf

23

)(在1x处有极小值-2,则必有( )

A. 1,4ba B. 7,4ba C. 3,0ba D. 1,1ba 8.设)(xf处处连续,在1xx处有0)(1'xf,在2xx处)(xf不可导,则( )

A. 1xx及2xx都一定不是极值点 B.只有1xx是极值点 C. 只有2xx是极值

点 D. 1xx及2xx都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数xxxxf6sin3)(3的单调区间是 .

2.函数xxxfln3arctan10)(的极大值点是 . 3.函数xxxxf933

1)(23在区间4,0上的最大值点x . . . .. .v .. .. 4.函数xexf

x

)(在,的最小值点x .

5.函数xxexf)(在,的最大值点x .

6.极限xxx3tantanlim2 .

7.极限xxxxxsintanlim20 . 三．求下列极限

1. xxexx220sin21limxxexx220sin21lim

2.xxxxexx21ln13sinlim20 3. 11lim951xxx 4. xxx4sin51lnlim0 5. 20coslnlimxxx 6. xxx8sin12tanlim8 7. xxxx30sinarcsinlim 8. xxxxln1coslim221 9. xeexxx2sin2lim20 10. xxx5sinln4sinlnlim0 11. xxxexxe22lim

习题三 一．选择题 . . .. .v .. .. 1.设)(xf在点0xx邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'xfxf,0)(0'''xf,则有结论

( ) A. )(

0xf是极大值 B. )(0xf是极小值 C. ))((0,0xfx是拐点 D. )(xf在0xx处

无极值也无对应的拐点 2.设函数

1,21,ln)(2xxxxxx

xf,则该函数在1x处( )

A. 有最小值 B. 最大值有 C.有对应的拐点 D. 无对应的拐点 3.若点3,1是曲线23bxaxy的拐点,则ba,的值为( )

A.23,29ba B. 9,6ba C. 29,23ba D. 23,2

9ba

4.曲线12x

xxy( )

A.没有渐近线(水平和垂直) B.有水平渐近线0y C.有垂直渐近线1x D. 有水平渐近线1y 5.设3'

)(xxf,其中)(x在,连续,可导0)('x,则)(xfy在

,( )

A.单调增 B.单调减 C.上凹 D. 下凹 6.曲线)0(

23

adcxbxaxy,最多拐点个数是( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 7.关于曲线112x

xy的拐点,下述论断正确的是( )

A.有3个拐点,且在一条直线上 B. 有3个拐点,但不在一条直线上 C. 只有2个拐点 D. 只有1个拐点

8.曲线11x

xy的渐近线方程是( )

A.1,1yx B. 1,1yx C. 1,1yx D. 1,1yx 二. 填空题 1.曲线xxey2的下凹区间是 .

2.曲线1ln22xxy的拐点坐标是 .

3.曲线1ln2xy的下凹区间是 .

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第三章 导数及其应用--最新人教版高考数学考点题型大全

第三章 导数及其应用--最新人教版高考数学考点题型大全


的值为零.
9、常用结论
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．
（2）熟记以下结论：① ( 1 ) x
1 x2
；② (ln |
x |)
1 x
；
③[
1 ] f (x)
f f
( x) 2 ( x)
(
f
(
x)
0)
；④
[af
(
x)
bg
(
x)]
af
(
x)
bg
(
x)
．
(3)常见被积函数的原函数
x x0 处的导数）
2、导函数
3、函数 y f (x) 在 x x0 处的导数的几何意义 y f (x) 在 x x0 处的导数的几何意义是 y f (x) 在 x x0 处切线的斜率。
说明：利用导数解决切线方程问题： 总结切线问题：找切点 求导数 得斜率
（1）曲 线 y f (x) 在 P(x0 , f (x0 )) 点 处 的 切 线 方 程 。 利 用 导 数 的 几 何 意 义 先 求 出
y' f ' (x0 ) ，再利用点斜式写出切线方程 y f (x0 ) f ' (x0 )(x x0 )
（2）曲线 y f (x) ，C 过 P(a, b) 点处的切线方程。设切点 (x0 , f (x0 )) 利用导数的几何意
义列出 y '
f '(x0 )
f
(x0 ) b x0 a
刻 t a 到 t b 所经过的路程 S
b
V (t)dt s.
a
(2)变力做功，一物体在变力 F (x) 的作用下，沿着与 F (x) 相同的方向从 x a 移动到 x b
高中数学第三章导数及其应用3

高中数学第三章导数及其应用3

h R
导数
在实际生活中的应用(一)
回顾与反思 1、审好题、选好自变量、建立目 标函数(注意定义域）
2、用导数解决单调最值问题
3、根据实际意义作答
解决实际问题的方法步骤
1、读---读清题意，设出变量，建立目 标函数； 2、注---关注并标注出目标函数的定义 域； 3、解---利用导数知识解决最值问题
4、答---回归实际问题，给出答案
圆柱形饮料罐的容积一定，如何如何设 计才能使所用的材料最省？
在数学的天地里，重要的
不是我们知道什么，而是我们 怎么知道。
------毕达哥拉斯
材料：边长为30cm的正方形卡纸一张
制作要求： 1、做成一个无盖的长方体盒子 2、盒子的容积最大；
边长为30cm的正方形纸片的四角 切去边长相等的正方形，再把它的边 沿虚线折起（如下图），做成一个无 盖的方底盒子，使得盒子容积最大？
高等数学 第3章

高等数学 第3章

f (x) 2 33 x
显然 x 0 时，f (x) 不存在；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) 3 x2 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加（如图3-1所示）。
图3-1
我们将导数为零的点，称为函数的驻点。将连续不可导点 称为函数的尖点。
比较可得 f (x) 在 x 1 和 x 3 处，取得最大值 3 9 ，在 x 0 和 x 2
处，取得最小值0。
如果连续函数 f (x) 在一个开区间（a ，b）内有惟一的一个 极值时，那么这个极大（或极小）值就是函数 f (x)在该区间 内最大（或最小）值（如图3-3，3-4所示）。
图3-3
（3）当 x x0 与 x x0 时，f (x) 的符号保持不变，那么函数f (x) 在 x0 处没有极值。
于是，若函数 f (x) 在所讨论的区间内连续，除个别点外处处 可导，则可以按下列步骤来求 f (x)在该区间内的极值点和相应的 极值：
（1）写出函数的定义域； （2）求导数 f (x) ，并找出定义域内的全部驻点和尖点； （3）考察 f (x) 的符号在每个驻点或尖点的左、右邻域的情形， 以确定该点是否为极值点。为方便起见，可列表进行讨论； （4）求出各极值点的函数值，得函数 f (x) 的全部极值。
f
(
x)
1
2
x x
2
显然 x 0 时，f (0) 0 ；当 x 0 时，f (x) 0；当 x 0 时，f (x) 0 。所以 f (x) ln(1 x2 ) 在 ( ，0] 上单调减少；在 [0 ， )上单调增加。
例2 讨论函数 f (x) 3 x2 单调性。 解 f (x) 3 x2 的定义域为 ( ， )，
高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课前引导素材新人教B版选修

高中数学第三章导数及其应用3.3导数的应用3.3.2利用导数研究函数的极值课前引导素材新人教B版选修

3.3.2 利用导数研究函数极值
课前导引
问题导入
函数f (x )=x +
x
1，判断f (1)是否为函数f (x )一个极值，假设是极值，是极大值还是极小值？ 思路分析：当0<x <1时，f (x )-f (1)=x +x 1-2>2-2=0. ∴f (x )>f (1);
当1<x <2时，f (x )-f (1)=x +
x 1-2>2-2=0. ∴f (x )>f (1);
∴f (1)是函数f (x )=x +x
1一个极值. 又∵当x ∈(0,1)或x ∈(1,2)时，f (x )>f (1),
∴f (1)是f (x )一个极小值.
知识预览
f (x )在x 0附近所有点，都有__________.那么称f (x 0)是f (x )一个极大值；如果对x 0附近所有点，都有__________,就说f (x 0)是f (x )一个__________.
答案：f -(x 0)>0,f +(x 0)<0 f -(x 0)<0,f +(x 0)>0 极小值
2.f (x )在x 0处导数为0是f (x )在x 0处取得极值__________. 答案：必要条件
f (x )在x 0处可导时，判断f (x 0)为极值方法是______________________________. 答案：看f -(x 0)·f +(x 0)是否小于0
x 0为f (x )极值点，那么__________，导数为零点__________为极值点. 答案：f ′(x 0)=0 不一定。