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第四章 导数的应用第一节 中值定理一.费马定理1.定义1.极值设函数()x f 在点0x 的某邻域()0U x 内对一切()0x U x ∈有()()0f x f x ≤或（()()0f x f x ≥），则称()x f 在点0x 处取得极大值（或极小值）；并称0x 为()x f 的极大值点（或极小值点）.注意：极大值、极小值在今后统称为极值；极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设()x f 在点0x 的某邻域()0U x 内有定义，且在0x 处可导,若()0f x 为极值，则必有：()00f x '=.证明：不妨设()0f x 为极大值。
按极大值的定义，则0x ∃的某个邻域，使对一切此邻域内的x 有()()0f x f x ≤--------------（1） 所以，()()()0000lim 0;x x f x f x f x x x --→-'=≥-()()()0000l i m 0;x x f x f x f x x x ++→-'=≤---------（2）又因为()0f x '存在，所以应有()()00f x f x -+''=---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有()00f x '=.1．注意：使()00f x '=的点0x 可能为()x f 的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：20,0.y x x == 二．中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数()x f 满足：（1）()x f 在区间[]b a ,上连续； （2）()x f 在区间()b a ,内可导； （3）()()b f a f =.则，必至少存在一点()b a ,∈ξ，使()0f ξ'=注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明） 证明：由闭区间上连续函数的性质，()x f 在[]b a ,上有最大值M 及最小值m. （1） 若M=m ，则()M x f ≡，[]b a x ,∈∀.所以，()()0,,.f x x a b '≡∀∈任取()b a ,∈ξ，均满足()0f ξ'=；（2） 若m M ≠，则M 和m 中至少有一个不等于()()b f a f =，因此则M 和m中至少有一个在区间内部某点()b a ,∈ξ处取到.不妨设()ξf 为()x f 的最大值，从而也是极大值。
高等数学中的导数应用导语：高等数学是大学中数学专业的重要基础课程，其中导数是一个关键概念。
导数的应用广泛，涉及到各个领域，如物理学、经济学、工程学等。
本文将从几个方面介绍高等数学中导数的应用，包括极值问题、曲线的切线与法线、微分方程等。
一、极值问题极值问题是导数应用中的经典问题之一。
在实际问题中，我们常常需要求解一个函数的最大值或最小值。
通过求解导数为零的点，我们可以找到函数的极值点。
例如，考虑一个简单的问题：求解函数y=x^2在定义域[0,1]上的最大值。
我们可以通过求解导数dy/dx=2x=0得到极值点x=0。
进一步，我们可以通过求解二阶导数d^2y/dx^2=2来判断这个极值点是最大值还是最小值。
通过这种方法，我们可以解决更加复杂的实际问题，如优化问题、最优控制问题等。
二、曲线的切线与法线导数的另一个重要应用是求解曲线的切线与法线。
在几何学中，我们经常需要确定曲线在某一点的切线和法线。
通过求解导数，我们可以得到曲线在该点的切线斜率，进而确定切线的方程。
例如，考虑函数y=x^3，在点(1,1)处的切线。
我们可以通过求解导数dy/dx=3x^2得到斜率为3的切线。
进一步，我们可以利用切线的斜率和点(1,1)得到切线方程y-1=3(x-1)。
同样的方法也可以用于求解曲线的法线。
三、微分方程微分方程是导数应用的重要领域之一。
微分方程描述了变量之间的关系，通常涉及到导数。
通过求解微分方程，我们可以得到函数的解析解或数值解。
微分方程的应用广泛，如物理学中的运动学问题、生物学中的人口增长模型等。
例如，考虑一个简单的一阶线性微分方程dy/dx=kx，其中k为常数。
通过求解这个微分方程，我们可以得到函数y=kx^2/2+C，其中C为常数。
通过这种方法，我们可以解决更加复杂的微分方程问题，如二阶微分方程、偏微分方程等。
四、导数在实际问题中的应用导数在实际问题中的应用非常广泛。
例如，在物理学中，我们可以利用导数来描述物体的运动状态，如速度、加速度等。
(高等数学)第四章导数的应用第四章导数的应用第一节中值定理一.费马定理1.定义1.极值设函数«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内对一切«Skip Record If...»有«Skip Record If...»或（«Skip Record If...»），则称«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处取得极大值（或极小值）；并称«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的极大值点（或极小值点）.注意：极大值、极小值在今后统称为极值；极大值点、极小值点在今后统称为极值点；2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»的某邻域«Skip Record If...»内有定义，且在«Skip Record If...»处可导,若«Skip Record If...»为极值，则必有：«Skip Record If...».证明：不妨设«Skip Record If...»为极大值。
按极大值的定义，则«Skip Record If...»的某个邻域，使对一切此邻域内的«Skip Record If...»有«Skip Record If...»--------------（1）所以，«Skip Record If...»«Skip Record If...»--------（2）又因为«Skip Record If...»存在，所以应有«Skip Record If...»---------（3）故，由（2）式及（3）式，必有«Skip Record If...».1．注意：使«Skip Record If...»的点«Skip Record If...»可能为«Skip Record If...»的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：«Skip Record If...»二．中值定理1.定理2.罗尔中值定理：若值设函数«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；（2）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导；（3）«Skip Record If...».则，必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»注意:罗尔定理的几何意义是说，在每点处都有非垂直切线的一段曲线上，若两端点处的高度相同，则在曲线上至少存在一条水平切线.（作图说明）证明：由闭区间上连续函数的性质，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上有最大值M及最小值m.（1）若M=m，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...».所以，«Skip Record If...»任取«Skip Record If...»，均满足«Skip Record If...»；（2）若«Skip Record If...»，则M和m中至少有一个不等于«Skip Record If...»，因此则M和m中至少有一个在区间内部某点«Skip Record If...»处取到.不妨设«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的最大值，从而也是极大值。
又因 «Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导，则由费马定理知，«Skip Record If...».注意：罗尔定理中的三条件如缺少其中任何一条，则结论可能不再成立.反例1.«Skip Record If...»（不满足条件（1））；反例2.«Skip Record If...»，（不满足条件（2））；反例3.«Skip Record If...».2.定理3．拉格朗日中值定理：若值设函数«Skip Record If...»满足：（1）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续；（2）«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内可导；则，必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»注意：（1）拉氏定理中，如仍有«Skip Record If...»,则结论将变为：必至少存在一点«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».可见罗尔定理是拉氏定理的特殊情形；（3）拉氏定理的几何意义：在«Skip Record If...»上曲线«Skip Record If...»上至少存在一点«Skip Record If...»，使该点处的切线平行于弦AB.证明：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足罗尔定理的三个条件.所以，由罗尔定理知，«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».即，«Skip Record If...»..--------（*）注意：（1）注意到（*）式当«Skip Record If...»时仍然成立；（2）为方便应用，（*）式也常改写为«Skip Record If...»-----（**）（**）式称为拉格朗日中值公式；（3）罗尔定理及拉氏定理仅指明«Skip Record If...»，具体«SkipRecord If...»的位置是什么，定理本身并未明确指出.但在大多数问题中知道这一点已经足够了。
因此我们才称上述两定理为中值定理，这个“中”其实是“内部”的意思，并非“正中间”.中值定理是利用导数的局部性态来研究函数整体性态的重要工具；（4）为了强调中值«Skip Record If...»的位置特征，可记«Skip Record If...»；（5）故拉氏定理又可写为«Skip Record If...»----（4）（6）由拉氏定理，«Skip Record If...»上式称为有限增量公式.例1.验证：«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足拉氏定理的条件，并求出定理结论中的点«Skip Record If...».解：（一）1.由«Skip Record If...»，知«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处连续，从而在«Skip Record If...»上连续；2.按左、右导数的定义不难求出«Skip Record If...»从而«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»因此，«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足拉氏定理的条件. （二）由拉氏定理的结论：«Skip Record If...»，使«Skip Record If...».不难算得：«Skip Record If...»或«Skip Record If...»。
注意：中值定理中结论只保证中间值«Skip Record If...»的存在性，至于«Skip Record If...»是否唯一，不唯一时有几个，如何求«Skip Record If...»？定理本身并未指出.例2．设«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，在«Skip Record If...»内可导，且«Skip Record If...»证明：«Skip Record If...»使«Skip Record If...»证明：（分析寻找合适的辅助函数应用罗尔中值定理，采用倒推的方法分析.命题只须证«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，或者«Skip Record If...».故令«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
