高数导数的应用习题及答案

高考数学导数及其应用多选题(讲义及答案)附解析一、导数及其应用多选题1．已知函数()sin sin f x ax a x =-，[]0,2x π∈，其中ln 1a a ->，则下列说法中正确的是（ ）A ．若()f x 只有一个零点，则10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．若()f x 只有一个零点，则()0f x ≥恒成立C ．若()f x 只有两个零点，则31,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．若()f x 有且只有一个极值点0x ，则()01312a a f x π+--<⋅恒成立【答案】ABD 【分析】利用()00f =以及零点存在定理推导出当1a >时，函数()f x 在[]0,2π上至少有两个零点，结合图象可知当01a <<时，函数()f x 在()0,2π上有且只有一个极值点，利用导数分析函数()f x 在()0,2π上的单调性，可判断A 选项的正误；利用A 选项中的结论可判断B 选项的正误；取12a =，解方程()0f x =可判断C 选项的正误；分析出当()f x 在()0,2π上只有一个极值点时，01a <<，分13a =、103a <<、113a <<三种情况讨论，结合sin x x <可判断D 选项的正误. 【详解】构造函数()ln 1g x x x =--，其中0x >，则()111x g x x x-'=-=. 当01x <<时，()0g x '<，函数()g x 单调递减； 当1x >时，()0g x '>，此时，函数()g x 单调递增. 所以，()()min 10g x g ==.ln 1a a ->，0a ∴>且1a ≠.()sin sin f x ax a x =-，则()00f =.当1a >时，sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，3333sin sin sin 02222a a f a a ππππ⎛⎫=-=+> ⎪⎝⎭，由零点存在定理可知，函数()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭内至少有一个零点， 所以，当1a >时，函数()f x 在区间[]0,2π上至少有两个零点， 所以，当函数()f x 在区间[]0,2π上只有一个零点时，01a <<.对于A 选项，当01a <<时，()()cos cos cos cos f x a ax a x a ax x '=-=-.01a <<，则022a ππ<<，022a ππ<<， cos 022a f a ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()()()2cos2cos2cos210f a a a a ππππ'=-=-<， 由零点存在定理可知，函数()f x 在区间,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上至少有一个极值点， 令()0f x '=，可得cos cos ax x =，当()0,2x π∈时，02ax x π<<<，由()cos cos cos 2ax x x π==-，可得2ax x π=-，解得21x a π=+， 所以，函数()f x 在区间()0,2π上有且只有一个极值点21x a π=+. 作出函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间[]0,2π上的图象如下图所示：由图象可知，函数1cos y ax =与函数2cos y x =在区间()0,2π上的图象有且只有一个交点，记该交点的横坐标为0x ，当00x x <<时，cos cos ax x >，此时()0f x '>； 当02x x π<<时，cos cos ax x <，此时()0f x '<.所以，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减. 所以，()()()0max 00f x f x f =>=，又()2sin 2f a ππ=.若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点，则()2sin 20f a ππ=>.01a <<，则022a ππ<<，所以，02a ππ<<，解得102a <<，A 选项正确；对于B 选项，若函数()f x 在区间[]0,2π上有且只有一个零点时，由A 选项可知，函数()f x 在区间()00,x 上单调递增，在区间()0,2x π上单调递减.()00f =，()2sin 20f a ππ=>，所以，对任意的[]0,2x π∈，()0f x ≥，B 选项正确；对于C 选项，取12a =，则()1sin sin sin sin cos sin 1cos 2222222x x x x x x f x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，02x π≤≤，则02x π≤≤，令()0f x =，可得sin 02x =或cos 12x=，可得02x =或2xπ=， 解得0x =或2x π=. 所以，当12a =时，函数()f x 有两个零点，C 选项错误； 对于D 选项，当1a >时，若02x π<<，则02ax a π<<，且22a ππ>，当()0,2x π∈时，令()0f x '=，可得出()()cos cos cos 2ax x k x k Z π==±∈，至少可得出2ax x π=-或2ax x π=+，即函数()f x 在区间()0,2π上至少有两个极值点，不合乎题意，所以，01a <<. 下面证明：当02x π<<时，sin x x <，构造函数()sin h x x x =-，其中02x π<<，则()1cos 0h x x '=->，所以，函数()sin h x x x =-在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，所以，()()00h x h >=，即sin x x <.分以下三种情况来证明()01312a a f x π+--<⋅恒成立.()()000cos cos 0f x a ax x '=-=，可得00cos cos ax x =，0002ax x π<<<，由00cos cos ax x =可得出002ax x π=-，所以，021x a π=+. 则()000sin sin 2sin ax x x π=-=-. ①当13a =时，032x π=，则()1sin sin 33x f x x =-，31342sin sin 223233f ππππ⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，即()01312a a f x π+--<⋅成立；②当103a <<时，023,212x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， 则()()()0000002sin sin sin sin 1sin 1sin1f x ax a x x a x a x a a π=-=--=-+=-++ ()()()()22221sin 1sin 21sin 121111a a a a a a a a a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=+<+⋅= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 1312a a π+--=⋅；③当113a <<时，023,12x a πππ⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭， ()()()()0000000sin sin sin sin 1sin 1sin f x ax a x x a x a x a x =-=--=-+=+-()()()()()()()01121sin 1sin 1sin 1111a a a x a a a a a a πππππ--⎛⎫=+-=+-=+<+⋅ ⎪+++⎝⎭()13112a a a ππ+--=-=.综上所述，当函数()f x 只有一个极值点0x 时，()01312a a f x π+--<恒成立. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与x 轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由()0f x =分离变量得出()a g x =，将问题等价转化为直线y a =与函数()y g x =的图象的交点问题.2．若函数()f x 满足对于任意1x ，2(0,1)x ∈，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“中点凸函数”．则下列函数中为“中点凸函数”的是（ ）A ．2()2f x x x =-B ．()tan f x x =C ．()sin cos f x x x =-D ．()e ln x f x x =-【答案】ABD 【分析】用计算()()121222f x f x x x f ++⎛⎫-⎪⎝⎭的正负值来解，运算量大，比较复杂.我们可分析“中点凸函数”的几何特征，结合图像作答.由已知“中点凸函数”的定义，可得“中点凸函数”的图象形状可能为：【详解】由“中点凸函数”定义知：定义域内12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值，∴下凸函数：任意连接函数图象上不同的两点所得直线一定在图象上方或与图象重合. 设()()11,Ax f x ，()()22,B x f x 为曲线()f x 在(0,1)上任意两点A 、B 、C 、D 选项对应的函数图象分别如下图示： ①2()2f x x x =-符合题意 ②()tan f x x =符合题意③()sin cos 2sin 4f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭放大局部图像可见，在,14段，并不满足12,x x 对应函数值的平均值大于或等于122x x +处的函数值.不合题意④()e ln x f x x =-'1()e x f x x =-，''21()e 0x f x x+=>根据导函数作出图像如下符合题意. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，学生可利用数形结合求解，需要较强的推理与运算能力.3．（多选）已知函数()ln ()f x ax x a =-∈R ，则下列说法正确的是（ ） A ．若0a ≤，则函数()f x 没有极值 B ．若0a >，则函数()f x 有极值C ．若函数()f x 有且只有两个零点，则实数a 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．若函数()f x 有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是1(,0]e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭【答案】ABD 【分析】先对()f x 进行求导，再对a 进行分类讨论，根据极值的定义以及零点的定义即可判断. 【详解】解：由题意得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且11()ax f x a x x'-=-=， 当0a ≤时，()0f x '<恒成立，此时()f x 单调递减，没有极值， 又当x 趋近于0时，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于-∞， ∴()f x 有且只有一个零点，当0a >时，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减，在1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>，()f x 单调递增， ∴当1x a=时，()f x 取得极小值，同时也是最小值， ∴min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭， 当x 趋近于0时，ln x 趋近于-∞，()f x 趋近于+∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于+∞， 当1ln 0a +=，即1a e=时，()f x 有且只有一个零点； 当1ln 0a +<，即10a e<<时，()f x 有且仅有两个零点， 综上可知ABD 正确，C 错误． 故选：ABD ． 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()·0f a f b ＜，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．4．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，其导函数()f x '满足()1f x x'<，且()11f =，则下列结论正确的是（ ） A ．()2f e >B ．10f e ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．()1,x e ∀∈，()2f x <D ．1,1x e ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭， ()120x f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭- 【答案】BCD 【分析】令()()ln F x f x x =-，求导得：'1()()0F x f x x'=-<，可得函数的单调性，再结合(1)1f =，可得(1)1F =，对选项进行一一判断，即可得答案；【详解】令()()ln F x f x x =-，∴'1()()0F x f x x'=-<， ()F x ∴在(0,)+∞单调递减， (1)1f =，(1)(1)1F f ∴==，对A ，()(1)()11()2F e F f e f e <⇒-<⇒<，故A 错误； 以B ，111(1)()110eF F f f e e ⎛⎫⎛⎫>⇒+>⇒> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 对C ，(1,)()(1)()ln 1x e F x F f x x ∈∴<⇒-<，()1ln f x x ∴<+，(1.),ln (0,1)x e x ∈∈， 1ln (1,2)x ∴+∈，()2f x ∴<，故C 正确；对D ，111,1,,()x x F x F e x x ⎛⎫⎛⎫∈>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()1ln ln f x x f x x ⎛⎫⇒->+ ⎪⎝⎭ 1()2ln f x f x x ⎛⎫⇒-> ⎪⎝⎭，1,1,ln (1,0)x x e ⎛⎫∈∴∈- ⎪⎝⎭，1()2f x f x ⎛⎫∴->- ⎪⎝⎭1()20f x f x ⎛⎫⇒-+> ⎪⎝⎭，故D 正确； 故选：BCD. 【点睛】根据条件构造函数，再利用导数的工具性研究函数的性质，是求解此类抽象函数问题的关键.5．对于函数2ln ()xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．ff f <<D ．若()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，则2e k >【答案】ACD 【分析】求得函数的导数312ln ()-'=xf x x，根据导数的符号，求得函数的单调区间和极值，可判定A 正确；根据函数的单调性和()10f =，且x >()0f x >，可判定B 不正确；由函数的单调性，得到f f >，再结合作差比较，得到f f >，可判定C 正确；分离参数得到()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，令()2ln 1x g x x +=，利用导数求得函数()g x 的单调性与最值，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数2ln ()x f x x=，可得312ln ()(0)xf x x x -'=>，令()0f x '=，即312ln 0xx-=，解得x =当0x <<()0f x '>，函数()f x 在上单调递增；当x >()0f x '<，函数()f x 在)+∞上单调递减，所以当x =()f x 取得极大值，极大值为12f e=，所以A 正确； 由当1x =时，()10f =，因为()f x 在上单调递增，所以函数()f x 在上只有一个零点，当x >()0f x >，所以函数在)+∞上没有零点，综上可得函数在(0,)+∞只有一个零点，所以B 不正确；由函数()f x 在)+∞上单调递减，可得f f >，由于ln 2ln ,42f f ππ====，则2ln ln 2ln ln 22444f f ππππππ-=-=-，因为22ππ>，所以0f f ->，即f f >，所以ff f <<，所以C 正确；由()21f x k x<-在()0,∞+上恒成立，即()221ln 1x k f x x x +>+=在()0,∞+上恒成立，设()2ln 1x g x x +=，则()32ln 1x g x x --'=， 令()0g x '=，即32ln 10x x --=，解得x =所以当0x <<()0g x '>，函数()g x在上单调递增；当x >()0g x '<，函数()g x在)+∞上单调递减，所以当x =()g x取得最大值，最大值为22e eg e =-=， 所以2ek >，所以D 正确. 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．6．已知函数()21,0log ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列是关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数的判断，其中正确的是（ ） A ．当0k >时，有3个零点 B ．当0k <时，有2个零点 C ．当0k >时，有4个零点 D ．当0k <时，有1个零点【答案】CD 【分析】令y ＝0得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论． 【详解】令()10y f f x =+=⎡⎤⎣⎦，得()1f f x =-⎡⎤⎣⎦，设f （x ）＝t ，则方程()1f f x =-⎡⎤⎣⎦等价为f （t ）＝﹣1，①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解，由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．【点睛】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．7．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<< B ．3412a b ==2a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<； B 选项，3412a b ==log 12a =4log 12b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=；C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.8．若方程()2110x m x -+-=和()120x m ex -+-=的根分别为()1212,x x x x <和3x ，()434x x x <，则下列判断正确的是（ ）A ．3201x x <<<B ．1310x x -<<C ．(),1m ∈-∞-D ．11x ⎫∈-⎪⎪⎝⎭【答案】ABD 【分析】根据题意将问题转化为，1x ，2x 和3x ，4x 分别是y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标，再用导数研究函数11y x x =--和12x xy e-=-的单调性与取值情况，作出函数图象，数形结合即可解决问题. 【详解】解：由题，1x ，2x 和3x ，4x 分别是11m x x =--和12x xm e-=-的两个根， 即y m =与11y x x =--和12x xy e-=-交点的横坐标. 对于函数11y x x =--，定义域为{}0x x ≠，21'10y x=+>，所以函数在(),0-∞和()0,∞+上单调递增，且1x =时，1y =-；对于函数12x xy e -=-，11'x xy e--=，所以函数在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞单调递减，且当,2x y →+∞→-，0x =时，2y =-，1x =时，1y =-；故作出函数11 y xx=--，12xxye-=-的图像如图所示，注意到：当()0,1x∈时，11122xxx xx e---<-<-，由图可知，3201x x<<<，()2,1m∈--，从而()11112,1xx--∈--，解得115,1x⎛⎫--∈-⎪⎪⎝⎭，所以选项AD正确，选项C错误，又121310x x x x-=<<.故选：ABD.【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查化归转化思想与数形结合思想，是中档题.。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，则（）A．0B．1C．2D．【答案】C【解析】,.【考点】导数公式的应用.2.已知函数，则＝____________。

【答案】0；【解析】，所以；【考点】三角函数求导公式；3.函数的定义域为开区间，其导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内极小值点的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】A【解析】在极小值点处满足：,由图可知在右边第二个零点处满足条件，故A.【考点】极值点定义.4.已知．.（1）求函数在区间上的最小值；（2）对一切实数，恒成立，求实数的取值范围；(3) 证明对一切，恒成立．【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.【解析】（1）对于研究非常规的初等函数的最值问题，往往都需要求函数的导数.根据函数导数的正负判断函数的单调性，利用单调性求函数在某个区间上的最值；（2）恒成立问题，一般都需要将常数和变量分离开来（分离常数法）转化为最值问题处理；（3）证明不等式恒成立问题，往往将不等式转化为函数来证明恒成立问题.但有些时候这样转化后不等会乃然很难实现证明，还需对不等式经行恒等变形以达到化简不等式的目的，然后再证.试题解析：⑴，当，，单调递减，当，，单调递增． 1分（由于的取值范围不同导致所处的区间函数单调性不同，故对经行分类讨论.）①，t无解； 2分②，即时， 3分③，即时，在上单调递增，；所以 5分由题可知:,则.因对于,恒成立，故,设，则.单调递增，单调递减.所以，即.问题等价于证明(为了利用第（1）小问结论，并考虑到作差做函数证明不方便，下证的最值与最值的关系.)由（1）可知在的最小值是,当且仅当时取到.设,则,易得,当且仅当时取到.从而对于一切,都有恒成立.【考点】（1）含参量函数最值的讨论；（2）含参恒成立问题，参数取值范围；（3）利用倒数证明不等式.5.已知是的导函数，，且函数的图象过点．（1）求函数的表达式；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】（1）;（2）函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【解析】⑴注意到是常数,所以从而可求得;又因为函数的图象过点，所以点的坐标满足函数解析式,从而可求出m的值，进而求得的解析式．（2）由⑴可得的解析式及其定义域,进而就可应用导数求其单调区间和极值．试题解析：⑴，，函数的图象过点，，解得：函数的表达式为：（2）函数的定义域为，当时，；当时，函数的单调减区间为，单调增区间为极小值是，无极大值．【考点】1．函数的导数;2．函数的单调区间;3．函数的极值．6.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（）A．B．-1C．4D．2【答案】A【解析】对求导，知，令可得，解得.【考点】求导.7.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.8.函数在x=4处的导数= .【答案】.【解析】∵，∴，∴.【考点】复合函数的导数.9.函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，单调递增区间有,，可得.【考点】由导数求函数的单调性.10.已知函数在上是单调递减函数,方程无实根，若“或”为真，“且”为假，求的取值范围。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.设f′(x) 是f（x）的导函数，f′(x)的图象如下图,则f（x）的图象只可能是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由的图象可知：在区间(a,b)内恒成立，故知在区间(a,b)内f（x）是增函数，又由的图象可知：当x从a增大到b的过程中，的值选增大然后减小，由导数的意义可知函数的函数值先缓慢增加，后快速增加，最后又缓慢增加；符合这个情况的只有D；故选D．【考点】函数的导数．2.已知g(x)为三次函数f(x)＝x3＋x2－2ax(a≠0)的导函数，则它们的图象可能是 ()【答案】D【解析】注意到原函数是三次函数,所以其导函数必为二次函数,再注意导函数与X轴的交点必为原函数的极值点,且导函数图象在X轴上方对应的范围内原函数必然是增函数, 导函数图象在X轴下方对应的范围内原函数必然是减函数,观察四个选择可知它们的图象只可能是D【考点】函数的导数与函数性质之间的关系.3.若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，因为函数在上单调递减，则在上即恒成立，等价于在上恒成立，所以。

故A正确。

【考点】用导数研究函数的性质。

4.已知函数，.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在区间上是减函数，求的取值范围.【答案】（1）;（2）或.【解析】(I)求出当时函数的导数即切线斜率，代入点斜式；(II)求导解得函数的两个极值点和因为异号，分，，讨论.（1）当时，，又，所以.又，所以所求切线方程为，即.所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为，令，得或.当时，恒成立，不符合题意. 当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则解得.当时，的单调递减区间是，若在区间上是减函数，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是或.【考点】1、导数及其应用；2、导数在研究函数中的应用.5.已知函数．（1）当在点处的切线方程是y=x+ln2时,求a的值．（2)当的单调递增区间是（1，5）时，求a的取值集合．【答案】(1);(2)．【解析】(1)利用导数的几何意义，先求,利用,解出;（2）函数的单调递增区间是，所以导函数的解集为，所以先求函数的导数，的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到．（1）,,代入 5分（2）,的解集为即的两个实根为或,根据根与系数的关系得到,a的取值集合为 10分【考点】1．导数的几何意义；2．导数求函数的单调区间．6.分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当时且的解集为（）A．（－2，0）∪（2，+∞）B．（－2，0）∪（0，2）C．（－∞，－2）∪（2，+∞）D．（－∞，－2）∪（0，2）【答案】A【解析】设F（x）=f （x）g（x），当x＜0时，∵F′（x）=f′（x）g（x）+f （x）g′（x）＞0．∴F（x）在当x＜0时为增函数．∵F（-x）=f （-x）g （-x）=-f （x）•g（x）．=-F（x）．故F（x）为（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．已知g（-3）=0，必有F（-3）=F（3）=0．构造如图的F（x）的图象，可知F（x）＜0的解集为x∈（-∞，-3）∪（0，3）．故选D.【考点】利用导数研究函数的单调性．.7.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的方程为s＝t2，则t＝2时，此木块水平方向的瞬时速度为 ()．A．2B．1C．D．【答案】C【解析】(Δt→0)．8.自由落体运动的物体下降距离h和时间t的关系式为h＝gt2，t＝2时的瞬时速度为19.6，则g＝________.【答案】9.8【解析】＝2g＋gΔt.当Δt→0时，2g＋gΔt→2g.∴2g＝19.6，g＝9.89.某商品每件成本5元，售价14元，每星期卖出75件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元，）的平方成正比，已知商品单价降低1元时，一星期多卖出5件.（1）将一星期的商品销售利润表示成的函数；（2）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？【答案】（1）；（2）当即商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大.【解析】（1）先写出多卖的商品数，则可计算出商品在一个星期的获利数，再依题意：“商品单价降低1元时，一星期多卖出5件”求出比例系数，即可得一个星期的商品销售利润表示成的函数；（2）根据（1）中得到的函数，利用导数研究其极值，也就是求出函数的极大值，从而得出定价为多少元时，能使一个星期的商品销售利润最大.试题解析：（1）依题意，设，由已知有，从而3分7分（2） 9分由得，由得或可知函数在上递减，在递增，在上递减 11分从而函数取得最大值的可能位置为或是，当时， 13分答：商品每件定价为9元时，可使一个星期的商品销售利润最大 14分.【考点】1.函数模型及其应用；2.导数的实际应用.10.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交3元的管理费，预计当每件产品的售价为元（∈[7,11]）时，一年的销售量为万件．（1）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值．【答案】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ．（2）当每件产品的售价为8元时，分公司一年的利润最大，的最大值为32【解析】（1）（ｘ）＝（ｘ－6），ｘ． 4分（2）（ｘ）＝3（ｘ－12）（ｘ－8）,ｘ．当ｘ时，（ｘ）＞0，（ｘ）单增；当ｘ时，（ｘ）＜0，（ｘ）单减。

高二数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数的图象在处的切线方程为，则的值是 .【答案】-1【解析】函数的图象在处的切线方程为，，，因此.【考点】导数的几何意义.2.已知函数的图像是下列四个图像之一,且其导函数的图像如右图所示,则该函数的图像是【答案】B【解析】由分析导函数的图像可知:原函数的从左向右一直是增函数，并且增长速度先是越来越快再越来越慢.【考点】导函数的应用.3.有一段“三段论”推理是这样的：“对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，那么x=x是函数f（x）的极值点；因为函数f（x）=x3在x=0处的导数值f′（0）=0，所以x=0是函数f（x）=x3的极值点．”以上推理中（1）大前提错误；（2）小前提错误；（3）推理形式正确；（4）结论正确你认为正确的序号为．【答案】(1)(3).【解析】该“三段论”的推理形式符合“S是P,M是S,M是P”的推理形式，所以推理形式是正确的；对于可导函数f（x），如果f′（x0）=0，且在的两侧，的符号相反，那么x=x是函数f（x）的极值点，所以题中所给的大前提是错误的；而小前提是正确的，结论是错误的.【考点】演绎推理.4.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】因为，所以答案选A.【考点】导数的定义与应用5.函数的图象如图所示，则导函数的图象的大致形状是( )【答案】D【解析】由函数的图象知：先减再增，最后成为常数函数；故其导函数的函数值应先小于零，等于零，然后再大于零，最后又等于零；符合这种情况的只有Ｄ；故选Ｄ．【考点】函数的导数．6.已知点A(0，1)和点B(－1，－5)在曲线C：为常数)上，若曲线C 在点A、B处的切线互相平行，则 .【答案】7【解析】和在曲线上，又∵，曲线在两点的切线平行，∴，∴可解得，∴.【考点】导数的运用.7.设定义在上的可导函数的导函数的图象如右所示,则的极值点的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】首先由得到此方程有四个根，同时在极值点的左右两侧满足异号，这样的极值点的个数为三个.故选C.【考点】函数极值点的判断方法.8.函数的导函数的图像如图所示，则的图像最有可能的是（）【答案】C.【解析】从的图像中可以看到，当时，，当时，，∴在上是减函数，在上是增函数，∴选C.【考点】导数的运用.9.若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴.【考点】常见基本函数的导函数.10.已知函数的定义域为R，为的导函数，函数的图象如图所示，且，，则不等式的解集为【答案】（－2，3）【解析】由图可知：函数在单调递增，因此当时，；函数在单调递减，因此当时，，综上不等式的解集为（－2，3）.【考点】利用导数研究函数性质11.已知函数，（1）求在点（1,0）处的切线方程；（2）判断及在区间上的单调性；（3）证明：在上恒成立.【答案】(1);(2)详见解析;(3）详见解析.【解析】（1）首先求出切线斜率即f’（x）利用点斜式即可求出答案；（2）首先求出，判断在（1，+∞）是否大于零，判断g（x）在区间上的单调性，在求出的导数判断其在（1，+∞）是否大于零，即可得到在（1，+∞）上的单调性；（3）对不等式两边取对数，化简得，设函数将原问题转化为则在，求出H（x）的最小值大于0 即可.（1） 1分2分3分（2） 4分在上恒成立 6分在上单调递减在上单调递增 7分（3）即 8分设函数则在在上单调递增11分即在上恒成立 12分.【考点】1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.利用导数研究函数的单调性；3.不等式的证明. 12.已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4．（1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式；（2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由．【答案】（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能【解析】（1）根据收益等于单件利润与销售量的乘积，列等量关系.注意今年销售量等于原销售量与新增的年销量之和，另外还要注意交代函数定义域；y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)．（2）本题实际需求本年收益范围，即需求函数y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2的值域，这可借助于导数研究.求导后可知函数图像先增后减再增，因此其最大值在极大值及处取到，比较大小知f(x)在区间[1，2]上的最大值为f(2)＝1，即为往年的收益，所以商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．试题解析：解（1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)．因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1)＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． 4分（2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2，从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)．令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下：(1，)(，)(，2)＋0－0＋7分又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)．而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)，所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益．10分【考点】函数解析式，利用导数求函数最值13.自由落体运动的物体下降的距离h和时间t的关系式为h＝gt2，则从t＝0到t＝1时间段内的平均速度为________，在t＝1到t＝1＋Δt时间段内的平均速度________，在t＝1时刻的瞬时速度为________．【答案】g，g＋gΔt，g【解析】＝g.＝g＋gΔt.当Δt→0时，g＋gΔt→g.14.质量为10 kg的物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律做直线运动，求运动开始后4秒时物体的动能．【答案】运动开始后4秒时的动能为3 125 J【解析】＝3Δt＋25，当Δt→0时，3Δt＋25→25.即4秒时刻的瞬时速度为25.∴物质的动能为mv2＝×10×252＝3 125(J)15.直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：y＝x3－x2＋1相切，求切点的坐标及a的值．【答案】，a＝.【解析】设切点A(x0，y)，＝3－2x0＋(3x－1)d＋d2→3－2x(d→0)．故曲线上点A处切线斜率为3－2x0，∴3－2x＝1，∴x0＝1或x＝－，代入C的方程得或代入直线l，当时，a＝0(舍去)，当时，a＝，即切点坐标为，a＝.16.（1）设函数，.求函数的单调递减区间；（2）证明函数在上是增函数.【答案】（1）（2）函数在上是增函数【解析】（1）由原函数求其导数得，令----3分减区间为 6分（2） --12分【考点】函数单调性的判定点评：求函数的单调增区间只需令导数大于零，求减区间只需令导数小于零，求解相应的不等式即可；证明单调性可通过证明导数大于零或小于零。

高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。

习题3-11．验证下列函数在指定区间上是否满足拉格朗日中值定理： （1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x ； （2）x x f ln )(=，],1[e x ∈； （3）32)(x x f =，]2,1[-∈x ； （4）22)(xxx f -=，]1,1[-∈x . 答案：（1）25)(23-+-=x x x x f ，]1,0[∈x解 函数25)(23-+-=x x x x f 在闭区间]1，0[上连续，在开区间()10，内可导，并且312501)0()1(-=---=--）（）（f f .由于1103)(2+-='x x x f ，所以令311032-=+-x x ，解此方程得3135±=x ，这说明在)1,0(内有3135-=ξ，使得3)(-='ξf .（2）x x f ln )(=，],1[e x ∈解函数x x f ln )(=在闭区间]1[e ，上连续，在开区间()e ，1内可导，并且111011)1()(-=--=--e e e f e f .由于x x f 1)(='，所以令111-=e x ，解此方程得1-=e x ，这说明在),1(e 内有1-=e ξ，使得11)(-='e f ξ.（3）32)(x x f =，]2,1[-∈x解 函数32)(x x f =在闭区间]2，1[-上连续，在开区间()21，-内可导，并且314)1(2)1()2(3-=----f f .由于332)(x x f ='，所以令3143233-=x ，解此方程得33)142(-=x ，这说明在)2,1(-内有33)142(-=x ，使得314)(3-='ξf .（4）22)(x xx f -=，]1,1[-∈x 解 函数22)(x x x f -=在闭区间]1，1[-上不连续，所以22)(x xx f -=在]1，1[-不满足拉格朗日中值定理.2．用洛必达法则求下列极限：（1）bx axx sin tan lim 0→； （2）x e e x x x sin lim 0-→；（3）ax ax a x --→sin sin lim ； （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x ；（5）x x x ln 1lim1-→； （6）x x x 3cos sin 21lim 6-→π；（7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π； （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π；（9）x x x ln lim+∞→； （10）xxx cot ln lim 0→；（11）xx x sin ln ln lim 0+→； （12）ax b x e x ∞→lim （a ，0>b ）.答案：（1）bx axx sin tan lim0→解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得ba bxb ax a bx ax x x ==→→cos sec lim sin tan lim 200. （2）xe e x x x sin lim 0-→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 2111cos lim sin lim 00=+=+=--→-→x e e x e e x x x x x x . （3）a x ax a x --→sin sin lim解 这是0型未定式，所以应用洛必达法则得a x x a x a x a x a x a x cos cos lim 010cos lim sin sin lim ==--=--→→→. （4）23)3ln(lim 222+--→x x x x解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 41122)32)(3(2lim 23)3ln(lim 22222=⨯⨯=--=+--→→x x x x x x x x . （5）x x x ln 1lim 1-→解 这是00型未定式，所以应用洛必达法则得1lim 11lim ln 1lim 111===-→→→x xx x x x x . （6）x xx 3cos sin 21lim6-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 33132323sin 3cos 2lim 3cos sin 21lim 66=⨯-⨯-=--=-→→xx x x x x ππ. （7）xx x 1sin arctan 2lim -∞→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 limx→∞π2−arctan x sin1x=limx→∞−11+x 2−1x 2cos1x=lim x→∞x 21+x 2∙lim x→∞1cos 1x=1×1=1 （8）xx x 1arctan 2lim 0-+→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 111lim 1)1()1(11lim 1arctan 2lim 202200=+=-⋅+-=-+++→→→x x x x x x x x π （9）x xx ln lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01lim 11lim ln lim ===+∞→+∞→+∞→xx x x x x x . （10）x xx cot ln lim 0→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得01cos sin 2lim sin lim csc 1lim cot ln lim 020200=-=-=-=→→→→x x x x x x x x x x x x . （11）x xx sin ln ln lim 0+→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得1sec lim tan lim sin cos 1lim sin ln ln lim 20000====++++→→→→x xx xx x x x x x x x . （12）ax bx ex ∞→lim （a ，0>b ）解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 0!lim )1(lim lim lim 221===-==∞→-∞→-∞→∞→ax b x axb x ax b x ax b x e a b e a x b b ae bx e x . 3．用洛必达法则求下列极限：（1）)11ln 1(lim 1--→x x x ； （2）)1(cot lim 0xx x -→；（3）)111(lim 0--→x x e x ； （4）x x x 2cot lim 0→；（5）2120lim x x e x →； （6）xx x sin 0lim →；（7）xx x-→111lim ； （8）xx x 2tan 4)(tan lim π→；（9）xx x ln 10)(cot lim +→.答案： （1）)11ln 1(lim 1--→x x x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 xxx x x x x x x x x x x ln 111lim )1(ln ln 1lim )11ln 1(lim 111+--=---=--→→→ =limx→1x−1x−1+x ln x=limx→111+1+ln x=12.（2）)1(cot lim 0xx x -→解 这是∞-∞型未定式，先变形化为型的未定式，再应用洛必达法则得 2000sin cos limsin sin cos lim )1(cot lim x xx x x x x x x x x x x x -=-=-→→→ 02sin lim 2cos sin cos lim 00=-=--=→→x x x x x x x x . （3）)111(lim 0--→x x e x解 这是∞-∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得xx x x x x x x x xe e e e x x e e x +--=---=--→→→11lim )1(1lim )111(lim 000 21021lim 0=+=++=→x x x x x xe e e e . （4）x x x 2cot lim 0→解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为0型的未定式，再应用洛必达法则得212cos 21lim 2sec 21lim 2tan lim2cot lim 202000====→→→→x x x x x x x x x x .（5）212lim x x e x →解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为∞∞型的未定式，再应用洛必达法则得 ∞==--==→→→→222210313021012lim 1212lim 1lim lim x x xx x x x x e x e x x e ex .（6）xx xsin 0lim →解 这是00型未定式，利用对数恒等式有x x x e e xln sin ln sinx sin x ==，而0)(lim 11lim 1ln lim ln lim ln sin lim 020000=-=-===→→→→→x xx x xx x x x x x x x x ， 所以1lim 0sin 0==→e xxx .（7）xx x-→111lim解 这是∞1型未定式，利用对数恒等式有x xx ee xln 11ln x-1111x-==-，而11lim 11lim 1ln lim 111-=-=-=-→→→xx x x x x x 所以ee xxx 1lim 1111==--→.（8）xx x 2tan 4)(tan lim π→解 这是∞1型未定式，有)ln(tan 2tan )ln(tan tan2x2tan tanx)x x x e e x==（，而x xx x x x x x x x 2csc 2sec tan 1lim 2cot )ln(tan lim )ln(tan 2tan lim 22444-==→→→πππ 1)2sin (lim 4-=-=→x x π所以ee x xx 1)(tan lim 12tan 4==-→π.（9）xx x ln 10)(cot lim +→解 这是0∞型未定式，有xxx xee co xln cot ln )ln(cot ln 1ln 1tx )==（，而x x x x x xx x xx x x x x 2sin 2lim sin cos lim 1)csc (cot 1lim ln cot ln lim 00200-=-=-=++++→→→→12cos 1lim 0-=-=+→x x所以e e x xx 1)(cot lim 1ln 10==-→+.4．求下列函数的极限： （1）x x xx x cos sin 2lim-+∞→； （2）xx x x sin 1sinlim20→；（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （4）x x x x x e e e e --+∞→-+lim .答案： （1）xx xx x cos sin 2lim-+∞→解 20102cos 1sin 2lim cos sin 2lim =-+=-+=-+∞→∞→xx x xx x x x x x . （2）xx x x sin 1sinlim20→ 解 x xx x x x x x x x x x x x x sin lim 1sinlim sin 1sin lim sin 1sin lim00020→→→→== 0101sin 1lim ===∞→xxx .（3）xx xx x ln ln lim 2++∞→解 xx x x x x x x x x x x x x 1lim ln lim )1ln (lim ln ln lim2+∞→+∞→+∞→+∞→+=+=+ +∞==+=+∞→+∞→x xx x lim 011lim.（4）xx xx x e e e e --+∞→-+lim解101011111limlim 22=-+=-+=-++∞→--+∞→x x x xxxx x ee e e e e . 习题3-21．判定下列函数在指定区间内的单调性： （1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x ； （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x ； （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x . 答案：（1）x x x f -=arctan )(，),(+∞-∞∈x解 因为2221111)(x x x x f +-=-+='在指定区间),(+∞-∞内恒为负值， 所以x x x f -=arctan )(在),(+∞-∞内是单调减少的. （2）x x x f cos )(+=，]2,0[π∈x解 因为x x f sin 1)(-='在指定区间]2,0[π内恒为正值， 所以x x x f cos )(+=在]2,0[π内是单调增加的. （3）x x f tan )(=，)2,2(ππ-∈x解 因为x x f 2sec )(='在指定区间)2,2(ππ-内恒为正值， 所以x x f tan )(=在)2,2(ππ-内是单调增加的. 2．求下列函数的单调区间：（1）x x f ln )(=； （2）24)(+-=x x f ；（3）71862)(23---=x x x x f ； （4）x x x f ln 2)(2-=；（5）xe x xf -=)(； （6）22)(x x x f -=.答案：（1）x x f ln )(=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，xx f 1)(='，在定义区间内0)(>'x f ， 所以函数)(x f 的单调增加区间是),0(+∞. （2）24)(+-=x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，4)(-='x f ，在定义区间内0)(<'x f ， 所以函数)(x f 的单调减少区间是),(+∞-∞.（3）71862)(23---=x x x x f解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，18126)(2--='x x x f ，令0)(='x f ，得11-=x ，32=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是]3,1[-. （4）x x x f ln 2)(2-=解 函数)(x f 的定义域为),0(+∞，x x x x x f 1414)(2-=-='，令0)(='x f ，得21=x .所以函数)(x f 的单调增加区间是),21[+∞，单调减少区间是]21,0(. （5）xe x xf -=)(解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，xe xf -='1)(，令0)(='x f ，得0=x .列表讨论如下：所以函数)(x f 的单调增加区间是]0,(-∞，单调减少区间是),0[+∞. （6）22)(x x x f -=解 函数)(x f 的定义域为]2,0[，22212222)(xx x xx x x f --=--='，令0)(='x f ，得所以函数)(x f 的单调增加区间是]1,0[，单调减少区间是]2,1[. 3．求下列函数的极值点和极值：（1）263423+--=x x x y ； （2）1)1(22--=x y ； （3）)1ln(x x y +-=； （4）213xxy +=； （5）xxe e y --=2； （6）x x y tan +=.答案：（1）263423+--=x x x y 解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1)(12(66612)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点211-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；因此，函数)(x f 的极大值点为2-=x ，极大值为4)1(=-f ；极小值点为1=x ，极小值为3)3(-=f .（2）1)1(22--=x y解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；)1(444)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、02=x 、13=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x 、1=x ，极小值为1)1(-=-f 、1)1(-=f ；极大值点为0=x ，极大值为0)0(=f .（3）)1ln(x x y +-=解 函数)(x f 的定义域为),1(+∞-； xxx x f +=+-='1111)(，令0)(='x f ，解得驻点01=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为0=x ，极小值为0)0(=f . （4）213xxy +=解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；2222222)1()1(3)1(6)1(3)(x x x x x x f +-=+-+='，令0)(='x f ，解得驻点11-=x 、12=x ，另)(x f '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数)(x f 的极小值点为1-=x ，极小值为2)1(-=-f ；极大值点为1=x ，极大值为23)1(=f . （5）xxee y --=2解 函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞；xx xx ee ee xf 122)(2+=+='-，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加； 因此，函数)(x f 无极值点. （6）x x y tan +=解 函数)(x f 的定义域为)(2Z k k x ∈+≠ππ；x x f 2sec 1)(+='，在定义区间内0)(>'x f ，)(x f 单调增加；因此，函数)(x f 无极值点.习题3-31．求下列函数在给定区间上的最值： （1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x ； （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x ； （3）x x y +=，]4,0[∈x ；（4）12+=x xy ，],0[+∞∈x ；（5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x ； （6）xxy +-=11arctan ，]1,0[∈x . 答案：（1）)2(422-=x x y ，]2,2[-∈x 解 )1(161616)(23-=-='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]2,2[-上得驻点11-=x 、02=x 、13=x ； 驻点处的函数值为4)1(-=-f 、0)0(=f 、4)1(-=f ， 端点处的函数值为32)2(=-f 、32)2(=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为32)2()2(==-f f ，最小值为4)1()1(-==-f f . （2）7186223---=x x x y ，]4,1[∈x 解 )3)(1(618126)(2-+=--='x x x x x f ，令0)(='x f ，在]4,1[上得驻点3=x ； 驻点处的函数值为61)3(-=f ，端点处的函数值为29)1(-=f 、47)4(-=f ；所以，函数在]2,2[-上的最大值为29)1(-=f ，最小值为61)3(-=f . （3）x x y +=，]4,0[∈x 解 0211)(>+='xx f ，因此函数)(x f 在区间]4,0[上单调增加； 所以，函数在]4,0[上的最大值为6)4(=f ，最小值为0)0(=f . （4）12+=x xy ，],0[+∞∈x 解 2222222)1(1)1(21)(+-=+-+='x x x x x x f ， 令0)(='x f ，在）,0[+∞上得驻点1=x ；驻点处的函数值为21)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f ；所以，函数在）,0[+∞上的最大值为21)1(=f ，最小值为0)0(=f . （5）322)2(x x y -=，]3,0[∈x 解 323223)1(4)22(232)(xx x x xx x f --=-⨯-='，令0)(='x f ，在]3,0[上得驻点1=x ；驻点处的函数值为1)1(=f ，端点处的函数值为0)0(=f 、39)3(=f ； 所以，函数在]3,0[上的最大值为39)3(=f ，最小值为0)0(=f .（6）x xy +-=11arctan，]1,0[∈x 解 0)1()1(2)1(2)11(11)(2222<-++-=+-⨯+-+='x x x xx x f ，因此函数)(x f 在区间]1,0[上单调减少；所以，函数在]4,0[上的最大值为4)0(π=f ，最小值为0)1(=f .2.证明：（1）面积一定的矩形中，正方形周长最短；（2）周长一定的矩形中，正方形面积最大. （1）证明：设面积为S 的矩形长为x ，则其宽为x S ，矩形周长)(2xS x A +=； 因22222)(2224xS x x S x x A -=--='，令0='A ，得S x =； 所以长S x =的矩形周长A 最小，即：面积一定的矩形中，正方形周长最短.（2）证明：设周长为A 的矩形长为x ，则其宽为22x A -，矩形面积2)2(x A x S -=； 因24x A S -='，令0='S ，得4Ax =； 所以长4Ax =的矩形面积S 最大，即：周长一定的矩形中，正方形面积最大.3．设22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= ，问x 取多大时，S 最小？ 解 由22221)()()(n a x a x a x S -++-+-= 知)(22)22()22()22(121n n a a nx a x a x a x S ++-=-++-+-=' ，令0='S ，得na a a x n+++=21；所以当na a a x n+++= 21时，S 最小.4．某企业生产每批产品x 单位的总成本x x C +=3)(（万元），得到的总收入26)(x x x R -=（万元），为了提高经济效益，每批生产产品多少单位，才能使总利润最大？解 总利润35)3()6()()()(22-+-=+--=-=x x x x x x C x R x F ，52)(+-='x x F ，令0)(='x F ，得25=x ； 所以每批生产产品25单位，才能使总利润最大.5．某厂生产一种自行车，每月固定成本3万元.而每生产1千辆，要增加成本5万元，大批量生产时，可节约部分开支，当每月生产x 千辆时，可以节约成本326001407x x -万元.问x 为多大时，其成本最低？（6030<<x ）解 总成本32600140753)(x x x x F +-+=， 52072001)(2+-='x x x F ； 令0)(='x F ，得函数0)(=x F 在)60,30(内唯一驻点50=x ；所以50=x 千辆时，其成本最低.6．甲船以6千米/小时的速度向东航行，乙船在甲船北16千米处，以8千米/小时的速度向南航行，问何时两船距离最近？解 设x 小时后，两船距离y 千米256256100)816()6(222=-=-+=x x x x y ，256200-='x y ，令0='y ，得28.1=x ；所以1.28小时后两船距离最近.习题3-41．求下列曲线的凹凸性和拐点：（1）24x x y -=； （2）1323+-=x x y ；（3）5224-+=x x y ； （4）xx y 12+=； （5）32x x y =； （6）)1ln(2x y +=； （7）xey arctan =； （8）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）24x x y -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，42+-='x y ，02<-=''y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凸的，无拐点. （2）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)1,1(-. （3）5224-+=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 443+='，04122>+=''x y ；因此，函数在区间),(+∞-∞内是凹的，无拐点. （4）xx y 12+= 解 函数的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，212xx y -='，3322x x y +=''；令0=''y ，解得定义区间内的实根1-=x ；所以列表讨论如下：因此函数在区间)1,(--∞和),0(+∞内是凹的、在区间)0,1(-内是凸的，拐点为)0,1(-. （5）32x x y =解 函数的定义域为),(+∞-∞，3235x y ='，331910910xx y ==''-； 0=''y 无解，y ''不存在的点0=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)0,(-∞内是凸的、在区间),0(+∞内是凹的，拐点为)0,0(.（6）)1ln(2x y +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，212xx y +='，222)1()1(2x x y +-=''. 令0=''y ，解得定义区间内的实根1±=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(--∞和),1(+∞内是凸的、在区间)1,1(-内是凹的，拐点为)2ln ,1(-和)2ln ,1(.（7）xey arctan =解 函数的定义域为),(+∞-∞，2arctan 1xe y x +='，22arctan )1)21(x x e y x +-=''（； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间),21(+∞内是凸的、在区间)21,(-∞内是凹的，拐点为),21(21arctan e .（8）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，3316ln 48x x x y -='，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为)7,1(-. 2．已知曲线4923+-+=x ax x y 在1=x 处有拐点，试确定系数a ，并求出曲线的凹凸区间和拐点.解 由4923+-+=x ax x y 知9232-+='ax x y ，a x y 26+=''； 因为曲线在1=x 处有拐点，所以0216=+⨯a ，得3-=a ；可知曲线方程为49323+--=x x x y ，9632--='x x y ，66-=''x y ；因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 3．a 、b 为何值时，点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点？ 解 由曲线方程23bx ax y +=知bx ax y 232+='，b ax y 26+=''； 令0=''y ，解得ab x 3-=； 又因为点)3,1(为曲线23bx ax y +=的拐点，所以3=+b a 、13=-ab； 联立方程组，求解得：23-=a ，29=b 4．试证明曲线112+-=x x y 有位于同一直线上的三个拐点（提示：证明任意两个拐点的连线斜率相等）.证明 因为曲线方程为112+-=x x y ，定义域为),(+∞-∞；222)1(12+++-='x x x y ，322)1()14)(12++-+=''x x x x y （； 令0=''y ，解得11-=x 、322-=x 、323+=x ；所以曲线拐点为)1,1(--A 、）34831,32(---B 、）34831,32(+++C ； 因为9624132134831=+-+--=--=A B A B ABx x y y k 、9624=--=A C A C AC x x y y k ； AC AB k k =，所以曲线三个拐点位于同一直线上.习题3-51．求下列曲线的渐近线： （1）211x y -=； （2）2)3(361++=x y ；（3）11-=xe y ； （4）xx y 12+=. 答案： （1）211xy -=解 由于函数211x y -=的定义域为),1()1,1()1,(+∞---∞ ， 且011lim 2=-∞→x x ，∞=--→2111lim x x 、∞=-→2111lim x x ； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线1-=x 、1=x 为曲线的垂直渐近线. （2）2)3(361++=x y 解 由于函数2)3(361++=x y 的定义域为),3()3,(+∞---∞ ， 且lim x→∞[1+36(x+3)2]=1，lim x→−3[1+36(x+3)2]=∞； 因此直线y =1为曲线的水平渐近线，直线3-=x 为曲线的垂直渐近线. （3）11-=xe y解 由于函数11-=xe y 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且0)1(lim 1=-∞→xx e ，lim x→0+(e 1x −1)=+∞； 因此直线0=y 为曲线的水平渐近线，直线0=x 为曲线的垂直渐近线. （4）xx y 12+= 解 由于函数xx y 12+=的定义域为),0()0,(+∞-∞ ， 且)1(lim 2x x x +∞→不存在，∞=+→)1lim 20xx x （； 因此直线0=x 为曲线的垂直渐近线，曲线无水平渐近线.2．作出下列函数的图像：（1）3210710x x x y -++=； （2）2)2)(1(-+=x x y ； （3）)1ln(+-=x x y ； （4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x ； （5）xxe y -=； （6）x x y arctan +=答案：（1）3210710x x x y -++= 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)7)(13(+-+='x x y ，令0='y 得311-=x 、72=x ；206+-=''x y ，令0=''y 得3103=x ；取辅助点)12,1(-，)10,0(，)26,1(，)134,4(，)194,8(；根据以上讨论，做出函数3210710x x x y -++=的图像如图所示图3-1（2）2)2)(1(-+=x x y 解 函数的定义域为),(+∞-∞，)2(3-='x x y ，令0='y 得01=x 、22=x ； 66-=''x y ，令0=''y 得13=x ；x)0,(-∞)1,0(1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － 0 ＋ y ''－ － － 0 ＋ ＋ ＋ y╭极大值4 ╮拐点）2，1（ ╰极小值╯取辅助点)0,1(-，)827,21(，)85,23(，)4,3(； 根据以上讨论，做出函数2)2)(1(-+=x x y 的图像如图所示图3-2（3）)1ln(+-=x x y 解 函数的定义域为),1(+∞-，1+='x xy ，令0='y 得01=x ； 2)11+=''x y （，令0=''y ，无解； 列表讨论如下：x)0,1(-),0(+∞y '－ 0 ＋ y ''＋ ＋ ＋ y╰极小值0╯取辅助点)2ln 21,21(+--，)2ln 1,1(-； 根据以上讨论，做出函数)1ln(+-=x x y 的图像如图所示图3-3（4）x x y 2cos 21+=，)20(π≤≤x 解 函数的定义域为]2,0[π， x y 2sin 211-='，令0='y ，无解；x y 2cos -=''，令0=''y 得41π=x 、432π=x 、453π=x 、474π=x ； 列表讨论如下：x )4,0(π4π)43,4(ππ 43π )45,43(ππ 45π)47,45(ππ47π )2,47(ππ y '＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ y ''－ 0 ＋ 0 － 0 ＋ 0 － y╭拐点╯拐点╭拐点╯拐点╭拐点）41，4（+ππ、拐点）413，43（+ππ、拐点）415，45（+ππ、拐点）417，47（+ππ 取辅助点)21,0(，)2,2(ππ，)21,(+ππ，)23,23(ππ，)212,2(+ππ； 根据以上讨论，做出函数x x y 2cos 21+=的图像如图所示图3-4（5）xxey -=解 函数的定义域为),(+∞-∞，)1(x e y x -='-，令0='y 得11=x ； )2(x e y x +-=''-，令0=''y 得22=x ；x)1,(-∞1)2,1(2),2(+∞y '＋ 0 － － － y ''－－－0 ＋y╭ 极大值e1╮拐点)2，2(2e╰0=y 为水平渐近线；取辅助点)0,0(，)3,3(3e；根据以上讨论，做出函数xxey -=的图像如图所示图3-5（6）x x y arctan +=解 函数的定义域为),(+∞-∞，奇函数， 2212x x y ++='，令0='y ，无解；22)12+-=''x x y （，令0=''y 得01=x ； x)0,(-∞),0(+∞y '＋ ＋ ＋ y ''＋ 0－ y╯拐点)0，0( ╭取辅助点)41,1(π---，)41,1(π+；根据以上讨论，做出函数x x y arctan +=的图像如图所示图3-6习题3-61．求下列曲线在指定点处的曲率：（1）24x x y -=在其顶点处； （2）x x y cos =在原点处； （3）32x y =在点)8,4(处； （4）x y sin =在点)1,2(π处.答案：（1）24x x y -=在其顶点处解 由24x x y -=得42+-='x y ，2-=''y ； 代入计算公式得：曲线曲率为232)17164(2+-=x x K ；曲线顶点为2=x ，所以顶点处曲率为22==x K .（2）x x y cos =在原点处解 由x x y cos =得x x x y sin cos -='，x x x y cos sin 2--=''， 代入计算公式得：曲线曲率为23222)1sin 2sin (cos cos sin 2++---=x x x x x xx x K ；所以原点处曲率为00==x K.（3）32x y =在点)8,4(处解 由32x y =得23x y =，知2123x y ='，2143-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2321)491(43x x K +=-；所以点)8,4(处曲率为8001034==x K . （4）x y sin =在点)1,2(π处解 由x y sin =得x y cos ='，x y sin -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)cos 1(sin x x K +-=；所以点)1,2(π处曲率为14==x K.2．求下列曲线在指定点处的曲率半径：（1）4=xy 在点)2,2(处； （2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处； （3）x y ln =在点21=x 处； （4）x y cos =在点0=x 处；（5）x y tan =在点)1,4(π处； （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处.答案：（1）4=xy 在点)2,2(处解 由4=xy 得14-=x y ，知24--='x y ，38-=''x y ；代入计算公式得：曲线曲率为2343)161(8--+=x x K ；所以点)2,2(处曲率半径为22122====x X K R .（2）)0(42>=p px y 在点)2,(p p 处解 由)0(42>=p px y 得212x p y =（所讨论的点为)2,(p p ）， 知21-='x p y ，2321--=''xp y ；代入计算公式得：曲线曲率为23123)1(21--+=px xp K ；所以点)2,(p p 处曲率半径为R |X=p =1K |x=p=252p =4√2p .（3）x y ln =在点21=x 处解 由x y ln =得xy 1='，21x y -=''；代入计算公式得：曲线曲率为2322)11(1xx K +=； 所以点21=x 处曲率半径为23312121====x x KR . （4）x y cos =在点0=x 处解 由x y cos =得x y sin -='，x y cos -=''； 代入计算公式得：曲线曲率为232)sin 1(cos x x K +=；所以点0=x 处曲率半径为1111====x x K R . （5）x y tan =在点)1,4(π处解 由x y tan =得x y 2sec ='，x x y tan sec 22=''；代入计算公式得：曲线曲率为2342)sec 1(tan sec 2x x x K +=；所以点)1,4(π处曲率半径为545144====ππx x KR . （6）x x y 44cos sin -=在点)1,0(-处解 由x x y 44cos sin -=得x x x y 2sin 2cos sin 4=='，x x x y 2cos 4sin 4cos 422=-=''；代入计算公式得：曲线曲率为232)2sin 41(2cos 4x x K +=；所以点)1,0(-处曲率半径为41100====x x K R .复习题三1．填空题：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少尊在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________.（4）曲线xxe y =在区间______________内是凹的，在区间_______________内是凸的. （5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.（6）函数xxy ln =的极值点是_______________，拐点是_______________，渐近线为____________________.（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为_______________，最小值为_______________.答案：（1）如果函数)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，则在),(b a 内至少存在一点ξ，使得=')(ξf ____________________.解ab a f b f --)()(；（2）设函数)(x f 在),(b a 内可导，如果0)(>'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(<'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内_______________；如果0)(≡'x f ，则函数)(x f 在),(b a 内____________________.解 单调增加，单调减少，是常数；（3）函数x x x f -=sin )(在定义域内单调_______________. 解 减少；（提示：01cos )(<-='x x f ）（4）曲线xxe y =在区间____________内是凹的，在区间___________内是凸的.解 ),2(+∞-，)2,(--∞；（提示：)2x e y x+=''（，拐点为2-=x ）（5）函数xxy ln =在区间_______________内单调递增，在区间_______________内单调递减，在区间_______________内是凹的，在区间_______________内是凸的.解 ),0(e ，),(+∞e ，),(23+∞e ，),0(23e ；（提示：2ln 1x x y -='，驻点为e x =；3ln 23xxy +-=''，拐点为23e x =） （6）函数xxy ln =的极值点是________，拐点是_________，渐近线为__________. 解 e x =，)23,(2323-e e ，直线0=x ，直线0=y ；（提示：∞==→→x x x x x 1lim ln lim00，01lim ln lim ==∞→∞→xx x x x ）（7）函数)1ln(2x y +=在区间]2,1[-上的最大值为________，最小值为_________. 解 5ln )2(=f ，0)0(=f . （提示：212x xy +='，驻点为0=x ；0)0(=f ，2ln )1(=-f ，5ln )2(=f ） 2．选择题：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（ ） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减；C ．单调递减，单调递增；D ．单调递减，单调递减. （2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（ ） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.（3）设函数232+-=x x y ，则（ ）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（ ） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（ ）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 答案：（1）设函数22)4(-=x y ，则在区间)0,2(-和),2(+∞内此函数分别为（） A ．单调递增，单调递增； B ．单调递增，单调递减； C ．单调递减，单调递增； D ．单调递减，单调递减. 解A ；（提示：)4(42-='x x y ）（2）函数)1ln(x x y +-=的单调递减区间是（） A ．),1(+∞-； B ．)0,1(-； C ．),0(+∞； D ．)1,(--∞.解B ；（提示：定义域为),1(+∞-，xxy +='1） （3）设函数232+-=x x y ，则（）A ．y 有极小值41，但无极大值； B ．y 有极小值0，但无极大值； C ．y 有极小值0，极大值41； D ．y 有极大值41，但无极小值.解C ；（提示：由图像分析可知）（4）设函数4322x x x y +-=，则在区间)2,1(和)4,2(内，曲线分别为（） A ．凸的，凸的； B ．凸的，凹的；C ．凹的，凸的；D ．凹的，凹的. 解D ；（提示：)112-=''x x y （） （5）函数xex y -=2在区间)2,1(内是（）A ．单调递增且是凸的；B ．单调递增且是凹的；C ．单调递减且是凸的；D ．单调递减且是凹的. 解A （提示：)2(x xe y x-='-，)42(2x x e y x+-=''-） 3．求下列极限：（1）2233lim a x a x a x --→； （2）30arctan lim xxx x -→； （3）x x x 4sin 1tan lim 4-→π； （4）x x e x 3lim +∞→；（5）xx xx x ln ln lim 2++∞→； （5）)1(lim 1-+∞→x x e x .答案：（1）2233lim a x a x a x --→解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 a x x x a x a x a x a x a x 2323lim 23lim lim 22233===--→→→. （2）3arctan lim xxx x -→ 解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 31)1(31lim 3111lim arctan lim202203=+=+-=-→→→x x x x xx x x x .（3）xx x 4sin 1tan lim4-→π解 这是型未定式，所以应用洛必达法则得 21424cos 4sec lim 4sin 1tan lim 244-=-==-→→xx x x x x ππ. （4）x x ex 3lim +∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得06lim 6lim 3lim lim 23====+∞→+∞→+∞→+∞→x x x x x x x x ee x e x e x . （5）xx x x x ln ln lim 2++∞→解 这是∞∞型未定式，所以应用洛必达法则得 xx x x x xx x x x x x 112lim ln 112lim ln ln lim 22-=++=++∞→+∞→+∞→ ∞==-=+∞→+∞→x xx x x 4lim 12lim 2. （6）)1(lim 1-+∞→xx e x解 这是0⋅∞型未定式，先变形化为00型的未定式，再应用洛必达法则得11lim 1lim )1(lim 001==-=-→→+∞→xx x x xx e xe e x . 4．求下列函数的单调区间： （1）149323+--=x x x y ； （2）x ex y -=2；（3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x . 答案：（1）149323+--=x x x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，9632--='x x y ， 令0='y ，得11-=x ，32=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调增加区间是)1,(--∞和),3(+∞，单调减少区间是)3,1(-. （2）xex y -=2解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，)2(x xe y x-='-， 令0='y ，得01=x ，22=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)0,(-∞和),2(+∞，单调增加区间是)2,0(. （3）x x y sin 2-=，]2,0[π∈x 解x y cos 21-='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得1π=x ，52π=x ；列表讨论如下：所以函数y 的单调减少区间是)3,0(π和)2,35(ππ，单调增加区间是)35,3(ππ. 5．求下列函数的极值：（1）43+=x xy ； （2）x x y 2ln =；（3）221xx y +=； （4）x x y 33cos sin +=； （5）32)1(23+-=x y ； （6）)1ln(21arctan 2x x y +-=.答案： （1）43+=x xy 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，233)4()2(2+--='x x y ；令0='y ，解得驻点32=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数43+=x x y 的极大值为62323==x y .（2）xxy ln =解 函数y 的定义域为),0(+∞，2ln 1x xy -='； 令0='y ，解得驻点e x =，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数x y =的极大值为e y e x ==. （3）221xx y +=解 函数y 的定义域为),0()0,+∞∞- （，34)12x x y -='（； 令0='y ，解得驻点1±=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数22x x y +=的极小值为21=±=x y . （4）x x y 33cos sin +=解 )cos (sin cos sin 3x x x x y -='，]2,0[π∈x ， 令0='y ，得01=x 、42π=x 、23π=x 、234π=x 、455π=x ；列表讨论如下：因此，函数x x y 33cos sin +=的极小值为224==πx y 和123-====ππx x y y ， 极大值为120====πx x y y 和2245-==πx y . （5）32)1(23+-=x y解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，3134+-='x y ；令0='y ，无解，另y '不存在的点为1-=x ；列表讨论如下：因此，函数32)1(23+-=x y 的极大值为31=-=x y . （6）)1ln(21arctan 2x x y +-= 解 函数y 的定义域为),(+∞-∞，211xxy +-='； 令0='y ，解得驻点1=x ，另y '不存在的点没有；列表讨论如下：因此，函数y 的极大值为2ln 241-==x y .6．求下列函数在指定区间上的最值：（1）2211x x x x y -++-=，]1,0[∈x ； （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x . 答案：（1）2211xx x x y -++-=，]1,0[∈x 解 221)122）（（x x x y -+-='，令0='y ，在]1,0[上得驻点21=x ； 驻点处的函数值为5321==x y ，端点处的函数值为110====x x y y ； 所以，函数在]1,0[上的最大值为110====x x y y ，最小值为5321==x y . （2）x x y 2tan tan 2-=，]3,0[π∈x解 )tan 1(sec 22x x y -='，令0='y ，在]3,0[π上得驻点4π=x ；驻点处的函数值为14==πx y ，端点处的函数值为00==x y ，3323-==πx y ；所以，函数在]3,0[π上的最大值为14==πx y ，最小值为00==x y .7．求下列函数的凹凸区间和拐点：（1）1323+-=x x y ； （2）)7ln 12(4-=x x y .答案：（1）1323+-=x x y解 函数的定义域为),(+∞-∞，x x y 632-='，66-=''x y ； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,(-∞内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)1,1(-. （2）)7ln 12(4-=x x y解 函数的定义域为),0(+∞，)1ln 3(163-='x x y ，x x y ln 1442=''； 令0=''y ，解得定义区间内的实根1=x ；所以列表讨论如下：因此，函数在区间)1,0(内是凸的、在区间),1(+∞内是凹的，拐点为点)7,1(-. 8．作出下列函数的图像： （1）23x x y -=； （2）115-+=x y ； （3）2xx e e y -+=； （4）32)1(x x y -=.答案： （1）23x xy -=解 函数的定义域为），3（）3，3（)3,(∞+---∞ ，222)3(3x x y -+='，令0='y ，无解；322)3)92x x x y -+=''（（，令0=''y 得0=x ；0=y 为水平渐近线，3±=x 为垂直渐近线；取辅助点)21,3(-，)2,2(-，)21,1(--，)21,1(，)4,2(-，)21,3(-；。

高等数学—导数的应用习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 .2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ .3.=+→xx x 6)13ln(lim0 .4.=+∞→a x xxln lim .()0>a 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立.6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ=7.极限=>>-→)0,0lim0b a xb a xx x （ . 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 2.39lim22--→x x x3.xx x x +-+→220121lim 4.435lim222--+→x x x 5.11lim 1--→n m x x x 6.203cos 1limx xx -→7.30sin lim xx x x -→ 8.x x x x x --→tan sin lim 0 9.xx x x x 20sin tan lim -→ 10.1ln lim 1-→x xx习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( ) A.2,1==b a B. 1,2==b a C. 1,2-=-=b a D. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 .3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 7.极限=-→xx xx x sin tan lim20 .三．求下列极限1. x xe x x 220sin 21lim --→ 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 3. 11lim 951--→x x x4. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 5. 20cos ln lim xxx → 6. xx x 8sin 12tan lim8-→π7. xxx x 30sin arcsin lim-→8. ()xx x x ln 1cos lim 221--→9. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→11. xxx e x xe 22lim ++∞→习题三一、选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f,则有结论( )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,()A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 .2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 .3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 .4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 .5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 .6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 .8.曲线221xx y +=的拐点是 . 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 3.）（xx x x ln 11lim 1--→ 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x2. ）（241cos1lim x x x -∞→ 3. ）（211ln lim xe x x ++∞→ 4. 2tan 1lim 1xx x π）（-→5. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 2．24x x x y -= 3.()()311+-=x x y习题四一、选择题 1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续 二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 .2.函数7323+-=x x y 的极小值是 .3.函数1--=x e y x 的极值 .4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2.5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 .6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 .7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 8.函数x x y 2=的极小值点是 . 三. 求下列函数的极值 1.7186223+--=x x x y2.()x x y +-=1ln3.x x e e y -+=2 四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.答案 习题一一．选择题1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ A ）A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-54,532. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满足罗尔定理的=ξ( C )A.2π B.π C. 4πD. 45π3.设0,1)(<=ab xx f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( C )A.只有一点B.有两个点C.不存在D.是否存在,与b a ,值有关4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,210,3)(2x xx x x f ,则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( C ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ A ）A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( A ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ( C )A.不存在最小值B. 最大值是ee 1C. 最大值是e e 11⎪⎭⎫ ⎝⎛D. 最小值是ee 11⎪⎭⎫⎝⎛二. 填空题1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其原因是)(x f 不满足罗尔定理的条件 . ），在（11)1(--f 内处处可导2.函数4)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日定理,则=ξ . 34153.=+→x x x 6)13ln(lim0 . 214.=+∞→a x xxln lim .()0>a 0 5.在0≠x 时,=+221arctan arctan xx 恒成立. 2π6.据罗尔定理，()x x f sin ln =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ，上满足()0=ξ‘f 的ξ= 2π7.极限=>>-→)0,0lim0b a x b a x x x （ . baln 三．求下列极限1.82lim 322---→x x x x 123 2.39lim22--→x x x 3123.xx x x +-+→220121lim 0 4.435lim222--+→x x x 615.11lim 1--→n m x x x nm6.203cos 1limx x x -→ 297.30sin lim xx x x -→ 61 8.x x x x x --→tan sin lim 0 21 9.x x x x x 20sin tan lim -→ 31 10.1ln lim 1-→x xx 1习题二一．选择题1.设函数)(x f 在区间()b a ,内可导,则在()b a ,内0)('>x f 是)(x f 在()b a ,内单调增的( B )A. 必要而非充分条件B. 充分而非必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数x x x f ln 2)(2-=的单调增区间是( C )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,21⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,21 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,⎪⎭⎫ ⎝⎛21,03.若1=x 和2=x 都是函数xbe x a y )(+=的极值点,则b a ,的值为( A )A.2,1==b aB. 1,2==b aC. 1,2-=-=b aD. 1,2=-=b a4.若)(x f 的二阶导数存在,且0)(''>x f ,则ax a f x f x F --=)()()(在(]b a ,内是( A )A.单调增加的B.单调减少的C.有极大值D.有极小值5.设)0()(23≠+++=a dcx bx ax x f 单调增加,下面各式成立的是( A )A.03,02≤->ac b aB. 03,02≥->ac b aC. 03,02≤-<ac b aD. 03,02≥-<ac b a6.下列命题中,正确的是( C )A.若)(x f y =在0x x =处有0)('=x f ,则)(x f 在0x x =处取极值B. 极大值一定大于极小值C.若可导函数)(x f 在0x x =处取极大值,则必有0)(0'=x fD. 最大值就是极大值7.若函数bx ax x x f ++=23)(在1=x 处有极小值-2,则必有( C ) A. 1,4=-=b a B. 7,4-==b a C. 3,0-==b a D. 1,1==b a8.设)(x f 处处连续,在1x x =处有0)(1'=x f ,在2x x =处)(x f 不可导,则( D ) A. 1x x =及2x x =都一定不是极值点 B.只有1x x =是极值点 C. 只有2x x =是极值点 D. 1x x =及2x x =都有可能是极值点 二. 填空题 1.函数x xx x f 6sin 3)(3--=的单调区间是 . ()()+∞∞-,00, 2.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值点是 . 3 3.函数x x x x f 9331)(23+-=在区间[]4,0上的最大值点=x . 4 4.函数x e x f x -=)(在()+∞∞-,的最小值点=x . 0 5.函数x xe x f -=)(在()+∞∞-,的最大值点=x . 1 6.极限=→xxx 3tan tan lim2π. 3 7.极限=-→x x x x x sin tan lim20 . 31三．求下列极限1. x x e x x 220sin 21lim --→x xe x x 220sin 21lim --→ 2 2.()x x x x e x x 21ln 13sin lim 20+--+→ 1 3. 11lim 951--→x x x 954. ()x x x 4sin 51ln lim0-→ 45-5. 20cos ln lim xx x → 21- 6. x x x 8sin 12tan lim8-→π21-7. xx x x 30sin arcsin lim-→ 618. ()xx x x ln 1cos lim 221--→ 29. xe e x x x 2sin 2lim 20-+-→ 41 10. xxx 5sin ln 4sin ln lim 0+→ 111. xxx e x xe 22lim ++∞→ ∞习题三一．选择题1.设)(x f 在点0x x =邻域三阶连续可导,且0)()(0''0'==x f x f ,0)(0'''>x f ,则有结论( C )A. )(0x f 是极大值B. )(0x f 是极小值C. ))((0,0x f x 是拐点D. )(x f 在0x x =处无极值也无对应的拐点2.设函数⎩⎨⎧<-≥-=1,21,ln )(2x x x x x x x f ,则该函数在1=x 处( C )A. 有最小值B. 最大值有C.有对应的拐点D. 无对应的拐点 3.若点()3,1是曲线23bx ax y +=的拐点,则b a ,的值为( C )A.23,29-==b a B. 9,6=-=b a C. 29,23=-=b a D. 23,29=-=b a 4.曲线12-+=x xx y ( C )A.没有渐近线(水平和垂直)B.有水平渐近线0=yC.有垂直渐近线1±=xD. 有水平渐近线1=y5.设()[]3')(x x f ϕ=,其中)(x ϕ在()+∞∞-,连续,可导0)('>x ϕ,则)(x f y =在()+∞∞-,( C )A.单调增B.单调减C.上凹D. 下凹6.曲线)0(23≠+++=a d cx bx ax y ,最多拐点个数是( A ) A.1个 B.2个 C.3个 D.0个7.关于曲线112+-=x x y 的拐点,下述论断正确的是( A )A.有3个拐点,且在一条直线上B. 有3个拐点,但不在一条直线上C. 只有2个拐点D. 只有1个拐点 8.曲线11+-=x x y 的渐近线方程是( B ) A.1,1==y x B. 1,1=-=y x C. 1,1-==y x D. 1,1-=-=y x 二. 填空题1.曲线x xe y 2=的下凹区间是 . ()1,-∞-2.曲线1ln 22-+=x x y 的拐点坐标是 . (1,0)3.曲线()1ln 2+=x y 的下凹区间是 . ()()1,01,-∞-4.曲线4343x x y +=的上凹区间是 . ()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,032,5.曲线33x x y -=的拐点坐标是 . (0,0)6.曲线xxy ln =的渐近线方程是 . 0,0==y x 7.曲线263+-=x x y 的拐点是 . (0,2)8.曲线221x x y +=的拐点是 . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±41,33 三．求下列极限1.）（211211lim xx x ---→ 21- 2.）（xx x 220sin 11lim -→ 31- 3.）（x x x x ln 11lim 1--→ 214.⎪⎭⎫ ⎝⎛--+→111lim 0x x e x 21 四．求下列极限1. ）（1lim 1-∞→xx e x 12. ）（241cos1lim x x x -∞→ 213. ）（211ln lim xe x x ++∞→ ∞+ 4. 2tan 1lim 1x x x π）（-→ π25. ）（361cos 1lim xx x -∞→ 21 五．求下列函数的单调增减区间1．x x y ln 22-= 单调减区间⎪⎭⎫⎝⎛210， 单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 2．24x x x y -= 单调减区间()43，单调增区间 ()30， 3.()()311+-=x x y 单调减区间⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-21， 单调增区间 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，21 习题四一．选择题1.函数xx y 4+=的单调减少区间是( D ) A.()()+∞⋃-∞-,22, B.(-2,2) C. ()()+∞⋃∞-,00, D. ()()2,00,2⋃- 2.以下结论正确的是( C )A.函数)(x f 的导数不存在的点,一定不是)(x f 的极值点B.若0x 为函数)(x f 的驻点, 则0x 必为函数)(x f 的极值点C.若函数)(x f 在点0x 处有极值,且)(0'x f 存在,则必有0)(0'=x fD.若函数)(x f 在点0x 处连续,则)(0'x f 一定存在3.曲线xx y 1sin=( A ) A.仅有水平渐近线 B.既有水平渐近线,又有铅直渐近线 C.仅有铅直渐近线 D.既无水平渐近线,又无铅直渐近线4.函数x e y -=在定义区间内是严格单调( C )A.增加且凹的B. 增加且凸的C. 减少且凹的D. 减少且凸的 5.曲线42246x x x y +-=的凸区间是( A ) A.(-2,2) B. ()0,∞- C.()+∞,0 D. ()+∞∞-, 6.函数)1ln(2x y +=的单调增加区间是( C ) A.(-5,5) B. ()0,∞- C. ()+∞,0 D. ()+∞∞-, 7.函数x x y arctan -=在()+∞∞-,内是( A ) A.单调增加 B.单调减少 C.不单调 D.不连续 二. 填空题1.函数()21ln x y +=的单调增加区间是 . ()∞+，0 2.函数7323+-=x x y 的极小值是 . 3 3.函数1--=x e y x 的极值 . 0 4.当20π〈〈x 时,x x sin tan + x 2. >5.曲线14123223+-+=x x x y 的拐点为 . ⎪⎭⎫ ⎝⎛-212021， 6.函数()23361++=x xy 的图形的水平渐近线为 . 1=y7.函数()()()543321---=x x x y 的极值点为=x . 2,25,348.函数x x y 2=的极小值点是 . 2ln 1-三. 求下列函数的极值1.7186223+--=x x x y 极大值()171=-y 极小值()473-=y2.()x x y +-=1ln 极小值()00=y3.x x e e y -+=2 极小值2222ln =⎪⎭⎫⎝⎛-y四.证明下列各不等式的正确性 1.当0>x 时, ()x x +>1ln 2.当1>x 时, ()112ln +->x x x 3.当0≥x 时, xxx +≥+1arctan )1ln(五.应用题1.欲围一个面积为150平方米的矩形场地,所用材料的造价其正面是每平方米6元,其余三面是每平方米3元,问场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的材料费最少？ 长10米 宽15米2. 欲用围墙围成面积为216平方米的矩形场地,并在正中用一堵墙将其隔成两快,问此场地的长、宽各为多少米时，才能使所用的建筑材料最少？ 长18米 宽12米3.某窗的形状为半圆置于矩形之上,若此窗框的周长为一定值l .试确定半圆的半径r 和矩形的高h ,使所能通过的光线最为充足.4+==πlh r。

导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。

解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。

根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。

2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。

解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。

因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。

3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。

解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。

首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。

对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。

高三数学章末综合测试题导数及其应用一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.232．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4 B ．－14 C ．2D ．－125．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤36．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π48．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( )A ．y ＝2x －1B ．y ＝3x －2C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋310．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( ) A ．在(－2,1)内f (x )是增函数 B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课标 第 一 网 C ．在(4,5)内f (x )是增函数 D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427 C ．－427、0 D ．0、－42712．若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________．14．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________．15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．16．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________． ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减；②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值；④当x ＝7时，函数f (x )有极小值． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值； (2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )． (1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋bx，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线． (1)求a ，b 的值； (2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值； (2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论； (3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．曲线y ＝13x 3＋x 在点⎝⎛⎭⎫1，43处的切线与坐标轴围成的三角面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23解析：y ′＝x 2＋1，当x ＝1时，k ＝y ′|x ＝1＝2，∴切线方程为y －43＝2(x －1)．当x ＝0时，y ＝－23，当y ＝0时，x ＝13.∴三角形的面积S ＝12×|－23|×13＝19.答案：A2．函数y ＝4x 2＋1x 的单调增区间为( )A ．(0，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ C ．(－∞，－1)D.⎝⎛⎭⎫－∞，－12 解析：由y ＝4x 2＋1x ，得y ′＝8x －1x 2. 令y ′＞0，即8x －1x 2＞0，解得x ＞12，∴函数y ＝4x 2＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上递增. 答案：B3．若曲线f (x )＝x sin x ＋1在x ＝π2处的切线与直线ax ＋2y ＋1＝0互相垂直，则实数a 等于( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：据已知可得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ，故f ′⎝⎛⎭⎫π2＝1.由两直线的位置关系可得－a2×1＝－1，解得a ＝2. 答案：D4．设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( ) A ．4B ．－14C ．2D ．－12解析：∵f (x )＝g (x )＋x 2，∴f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，X k b 1 . c o m f ′(1)＝g ′(1)＋2＝2＋2＝4. 答案：A5．已知f (x )＝x 3－ax 在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( ) A ．a ＞3 B ．a ≥3 C ．a ＜3D ．a ≤3解析：由f (x )＝x 3－ax ，得f ′(x )＝3x 2－a ， 由3x 2－a ≥0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立， 3x 2≥a ，∴a ≤3.若a ＜3，则f ′(x )＞0对于一切x ∈(－∞，－1]恒成立． 若a ＝3，x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0恒成立． x ＝－1时，f ′(－1)＝0，∴a ≤3. 答案：D6．设f (x )是一个三次函数，f ′(x )为其导函数，如图所示的是y ＝xf ′(x )的图像的一部分，则f (x )的极大值与极小值分别是( ) A ．f (1)与f (－1) B ．f (－1)与f (1) C ．f (2)与f (－2)D ．f (－2)与f (2)解析：由y ＝xf ′(x )的图像知±2是y ＝f ′(x )的两个零点，设f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)．当x ＞2时，xf ′(x )＝ax (x －2)(x ＋2)＞0，∴a ＞0.由f ′(x )＝a (x －2)(x ＋2)知，f (－2)是极大值，f (2)是极小值，故选D. 答案：D7．若函数f (x )＝13x 3＋12f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的倾斜角为( )A.π4 B.π3 C.2π3D.3π4解析：由题意，得f ′(x )＝x 2＋f ′(1)x －f ′(2)， 令x ＝0，得f ′(0)＝－f ′(2)， 令x ＝1，得f ′(1)＝1＋f ′(1)－f ′(2)， ∴f ′(2)＝1，∴f ′(0)＝－1，即f (x )在点(0，f (0))处切线的斜率为－1， ∴倾斜角为3π4.答案：D8．下图所示为函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的导函数的图像，那么y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像可能是( )解析：由y ＝f ′(x )的图像知，y ＝f ′(x )在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y ＝f (x )图像上任意一点切线的斜率在(0，＋∞)也单调递减，故可排除A ，C.又由图像知，y ＝f ′(x )与y ＝g ′(x )的图像在x ＝x 0处相交，说明y ＝f (x )与y ＝g (x )的图像在x ＝x 0处的切线斜率相同，故可排除B.故选D. 答案：D9．若函数f (x )在R 上满足f (x )＝e x ＋x 2－x ＋sin x ，则曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程是( ) A ．y ＝2x －1 B ．y ＝3x －2 C ．y ＝x ＋1D ．y ＝－2x ＋3解析：令x ＝0，解得f (0)＝1.对f (x )求导，得f ′(x )＝e x ＋2x －1＋cos x ，令x ＝0，解得f ′(0)＝1，故切线方程为y ＝x ＋1. 答案：C10．如图，函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像，则下面判断正确的是( )A ．在(－2,1)内f (x )是增函数B ．在(1,3)内f (x )是减函数新 课 标 第 一 网C ．在(4,5)内f (x )是增函数D ．在x ＝2时，f (x )取到极小值解析：在(－2,1)上，导函数的符号有正有负，所以函数f (x )在这个区间上不是单调函数；同理，函数f (x )在(1,3)上也不是单调函数，在x ＝2的左侧，函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－32，2上是增函数．在x ＝2的右侧，函数f (x )在(2,4)上是减函数，所以在x ＝2时，f (x )取到极大值；在(4,5)上导函数的符号为正，所以函数f (x )在这个区间上为增函数. 答案：C11．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴相切于(1,0)点，则f (x )的极大值、极小值分别为( ) A.427、0 B ．0、427C ．－427、0D ．0、－427解析：f ′(x )＝3x 2－2px －q ，由f ′(1)＝0，f (1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2p －q ＝0，1－p －q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝2，q ＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x .由f ′(x )＝3x 2－4x ＋1＝0，得x ＝13，或x ＝1.从而求得当x ＝13时，f (x )取极大值427；当x ＝1时，f (x )取极小值0.故选A.答案：A12．如右图，若函数y ＝f (x )的图像在点P 处的切线方程为x －y ＋2＝0，则f (1)＋f ′(1)＝( ) w w w .x k b 1.c o m A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：由图像知f (1)＝3，f ′(1)＝1，故f (1)＋f ′(1)＝ 3＋1＝4. 答案：D第Ⅱ卷 (非选择 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．设P 为曲线C ：y ＝x 2－x ＋1上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[－1,3]，则点P 纵坐标的取值范围是__________． 解析：设P (a ，a 2－a ＋1)，y ′|x ＝a ＝2a －1∈[]－1，3， ∴0≤a ≤2.从而g (a )＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34. 当a ＝12时，g (a )min ＝34；a ＝2时，g (a )max ＝3. 故P 点纵坐标范围是⎣⎡⎦⎤34，3.答案：⎣⎡⎦⎤34，314．已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，g (x )＝a (x 2＋x )，若f (x )≤g (x )恒成立，则实数a 的取值范围是__________． 解析：设F (x )＝f (x )－g (x )，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝1x ＋2－2ax －a ＝－(2x ＋1)(ax －1)x ，x ∈(0，＋∞)．当a ≤0时，F ′(x )＞0，F (x )单调递增，F (x )≤0不可能恒成立． 当a ＞0时，令F ′(x )＝0，得x ＝1a ，或x ＝－12(舍去)．当0＜x ＜1a 时，F ′(x )＞0；当x ＞1a 时，F ′(x )＜0.故F (x )在(0，＋∞)上有最大值F ⎝⎛⎭⎫1a ，由题意F ⎝⎛⎭⎫1a ≤0恒成立，即ln 1a ＋1a －1≤0.令φ(a )＝ln 1a ＋1a －1，则φ(a )在(0，＋∞)上单调递减，且φ(1)＝0，故ln 1a ＋1a －1≤0成立的充要条件是a ≥1. 答案：[1，＋∞)15．设函数y ＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)在x ＝0处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线x ＋2y ＋1＝0，则a ＋b 的值为__________．解析：∵f (x )＝ax 2＋bx ＋k (k ＞0)，∴f ′(x )＝2ax ＋b .又f (x )在x ＝0处有极值，故f ′(0)＝0，从而b ＝0.由曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，可知该切线斜率为2，即f ′(1)＝2，∴2a ＝2，得a ＝1.∴a ＋b ＝1＋0＝1. 答案：116．已知函数f (x )的导函数的图像如图所示，则下列说法正确的是__________．(填写正确命题的序号) ①函数f (x )在区间(－3,1)内单调递减； ②函数f (x )在区间(1,7)内单调递减； ③当x ＝－3时，函数f (x )有极大值； ④当x ＝7时，函数f (x )有极小值．解析：由图像可得，在区间(－3,1)内f (x )的导函数数值大于零，所以f (x )单调递增；在区间(1,7)内f (x )的导函数值小于零，所以f (x )单调递减；在x ＝－3左右的导函数符号不变，所以x ＝－3不是函数的极大值点；在x ＝7左右的导函数符号在由负到正，所以函数f (x )在x ＝7处有极小值．故②④正确． 答案：②④三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．(10分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2(a ，b ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处有极值为10，求b 的值；(2)若对任意a ∈[－4，＋∞)，f (x )在x ∈[0,2]上单调递增，求b 的最小值． 解析：(1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11，Δ＝64＋132＞0，故函数有极值点； 当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2≥0，故函数无极值点； 故b 的值为－11.(2)方法一：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 则F (a )＝2xa ＋3x 2＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立． ∵x ≥0，F (a )在a ∈[－4，＋∞)上单调递增或为常数函数，∴得F (a )min ＝F (－4)＝－8x ＋3x 2＋b ≥0对任意的x ∈[0,2]恒成立，即b ≥(－3x 2＋8x )max ， 又－3x 2＋8x ＝－3⎝⎛⎭⎫x －432＋163≤163， 当x ＝43时，(－3x 2＋8x )max ＝163，得b ≥163，故b 的最小值为163.方法二：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ≥0对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立， 即b ≥－3x 2－2ax 对任意的a ∈[－4，＋∞)，x ∈[0,2]都成立，即b ≥(－3x 2－2ax )max . 令F (x )＝－3x 2－2ax ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32＋a 23， ①当a ≥0时，F (x )max ＝0，于是b ≥0； ②当－4≤a ＜0时，F (x )max ＝a 23，于是b ≥a 23.又∵⎝⎛⎭⎫a 23max ＝163，∴b ≥163. 综上，b 的最小值为163.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－12x 2＋bx ＋c .(1)若f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，求b 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝1处取得极值，且x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，求c 的取值范围．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，则f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0， ∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)恒成立．设g (x )＝x －3x 2，当x ＝16时，g (x )max ＝112，∴b ≥112.(2)由题意，知f ′(1)＝0，即3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.x ∈[－1,2]时，f (x )＜c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1，或x ＝－23.∵f (1)＝－32＋c ，f (－23)＝2227＋c ，f (－1)＝12＋c ，f (2)＝2＋c ，∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c ＜c 2，解得c ＞2，或c ＜－1， 所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)． 19．(12分)已知函数f (x )＝2mx －m 2＋1x 2＋1(x ∈R )．(1)当m ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)当m ＞0时，求函数f (x )的单调区间与极值． 解析：(1)当m ＝1时，f (x )＝2x x 2＋1，f (2)＝45，又因为f ′(x )＝2(x 2＋1)－4x 2(x 2＋1)2＝2－2x 2(x 2＋1)2，则f ′(2)＝－625.所以曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为 y －45＝－625(x －2)，即6x ＋25y －32＝0. (2)f ′(x )＝2m (x 2＋1)－2x (2mx －m 2＋1)(x 2＋1)2＝－2(x －m )(mx ＋1)(x 2＋1)2.令f ′(x )＝0，得到x 1＝－1m ，x 2＝m .∵m ＞0，∴－1m＜m .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x ⎝⎛⎭⎫－∞，－1m－1m ⎝⎛⎭⎫－1m ，m m (m ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )递减极小值递增极大值递减从而f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－∞，－1m ，(m ，＋∞)内为减函数，在区间⎝⎛⎭⎫－1m ，m 内为增函数， 故函数f (x )在点x 1＝－1m 处取得极小值f ⎝⎛⎭⎫－1m ，且f ⎝⎛⎭⎫－1m ＝－m 2，函数f (x )在点x 2＝m 处取得极大值f (m )，且f (m )＝1.20．(12分)已知函数f (x )＝(a －12)x 2＋ln x (a ∈R )．(1)当a ＝1时，求f (x )在区间[1，e]上的最大值和最小值；(2)若在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方，求a 的取值范围．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2＋ln x ，f ′(x )＝x ＋1x ＝x 2＋1x.对于x ∈[1，e]有f ′(x )＞0， ∴f (x )在区间[1，e]上为增函数， ∴f (x )max ＝f (e)＝1＋e 22，f (x )min ＝f (1)＝12.(2)令g (x )＝f (x )－2ax ＝(a －12)x 2－2ax ＋ln x ，则g (x )的定义域为(0，＋∞)．在区间(1，＋∞)上，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方等价于g (x )＜0在区间(1，＋∞)上恒成立． ∵g ′(x )＝(2a －1)x －2a ＋1x＝(2a －1)x 2－2ax ＋1x＝(x －1)[(2a －1)x －1]x，①若a ＞12，令g ′(x )＝0，得极值点x 1＝1，x 2＝12a －1，当x 2＞x 1＝1，即12＜a ＜1时，在(x 2，＋∞)上有g ′(x )＞0，此时g (x )在区间(x 2，＋∞)上是增函数，并且在该区间上有g (x )∈(g (x 2)，＋∞)，不符合题意； 当x 2≤x 1＝1，即a ≥1时，同理可知，g (x )在区间(1，＋∞)上，有g (x )∈(g (1)，＋∞)，也不符合题意； ②若a ≤12，则有2a －1≤0，此时在区间(1，＋∞)上恒有g ′(x )＜0，从而g (x )在区间(1，＋∞)上是减函数．要使g (x )＜0在此区间上恒成立，只需满足g (1)＝－a －12≤0⇒a ≥－12， 由此求得a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12. 综上可知，当a ∈⎣⎡⎦⎤－12，12时，函数f (x )的图像恒在直线y ＝2ax 下方． 21．(12分)设函数f (x )＝ln x ，g (x )＝ax ＋b x，函数f (x )的图像与x 轴的交点也在函数g (x )的图像上，且在此点有公共切线．(1)求a ，b 的值；(2)对任意x ＞0，试比较f (x )与g (x )的大小．解析：(1)f (x )＝ln x 的图像与x 轴的交点坐标是(1,0)，依题意，得g (1)＝a ＋b ＝0.①又f ′(x )＝1x ，g ′(x )＝a －b x 2， 且f (x )与g (x )在点(1,0)处有公共切线，∴g ′(1)＝f ′(1)＝1，即a －b ＝1.②由①②得，a ＝12，b ＝－12. (2)令F (x )＝f (x )－g (x )，则F (x )＝ln x －⎝⎛⎭⎫12x －12x ＝ln x －12x ＋12x， ∴F ′(x )＝1x －12－12x 2＝－12⎝⎛⎭⎫1x－12≤0. ∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数．当0＜x ＜1时，F (x )＞F (1)＝0，即f (x )＞g (x )；当x ＝1时，F (1)＝0，即f (x )＝g (x )；当x ＞1时，F (x )＜F (1)＝0，即f (x )＜g (x )．22．(12分)设函数f (x )＝ax 3－2bx 2＋cx ＋4d (a ，b ，c ，d ∈R )的图像关于原点对称，且x ＝1时，f (x )取极小值－23. (1)求a ，b ，c ，d 的值；(2)当x ∈[－1,1]时，图像上是否存在两点，使得过两点处的切线互相垂直？试证明你的结论；(3)若x 1，x 2∈[－1,1]，求证：|f (x 1)－f (x 2)|≤43. 解析：(1)∵函数f (x )的图像关于原点对称，∴对任意实数x 有f (－x )＝－f (x )，∴－ax 3－2bx 2－cx ＋4d ＝－ax 3＋2bx 2－cx －4d ， 即bx 2－2d ＝0恒成立，∴b ＝0，d ＝0，∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，∵当x ＝1时，f (x )取极小值－23， ∴3a ＋c ＝0，且a ＋c ＝－23， 解得a ＝13，c ＝－1. (2)当x ∈[－1,1]时，图像上不存在这样的两点使结论成立． 假设图像上存在两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，使得过此两点处的切线互相垂直，则由f ′(x )＝x 2－1知，两点处的切线斜率分别为k 1＝x 12－1，k 2＝x 22－1， 且(x 12－1)(x 22－1)＝－1.(*)∵x 1，x 2∈[－1,1]，∴x 12－1≤0，x 22－1≤0. ∴(x 12－1)(x 22－1)≥0.此与(*)相矛盾，故假设不成立．(3)f ′(x )＝x 2－1，令f ′(x )＝0，得x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )＜0，∴f (x )在[－1,1]上是减函数，且f (x )max ＝f (－1)＝23，f (x )min ＝f (1)＝－23. ∴在[－1,1]上，|f (x )|≤23， 于是x 1，x 2∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤|f (x 1)|＋|f (x 2)|≤23＋23＝43.。

高二数学导数的综合运用试题答案及解析1.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a＜0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[0，1]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+m]在区间（t，2）上总不是单调函数，其中f′（x）为f（x）的导函数，求实数m的取值范围．【答案】（1）的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]；（2）．【解析】解题思路：（1）求导，利用导数的正负确定函数的单调区间；（2）求导，利用零点存在定理判定在总存在零点.规律总结：利用导数研究函数的单调性、极值、最值及与函数有关的综合题，都体现了导数的重要性；此类问题往往从求导入手，思路清晰；但综合性较强，需学生有较高的逻辑思维和运算能力.试题解析：（1）根据题意知，，当时，的单调递增区间为（1，＋∞），单调递减区间为（0,1]．（2）∵，∴，∴.∴，∴.∵在区间上总不是单调函数，且，∴由题意知：对于任意的，恒成立，∴∴.【考点】1.函数的单调性；2.函数的单调性的逆用.2.已知函数．（Ⅰ）当时，求在区间上的最值；（Ⅱ）讨论函数的单调性.【答案】(1)(2)当时，在单调递增当时，在单调递增，在上单调递减．当时，在单调递减；【解析】(1)利用函数的单调性与导数的关系；(2)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较即得;(4)若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.试题解析：解：（Ⅰ）当时，，∴．∵的定义域为，∴由得．∴在区间上的最值只可能在取到，而，∴．（Ⅱ）．①当，即时，在单调递减；②当时，在单调递增；③当时，由得或（舍去）∴在单调递增，在上单调递减；综上，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减．当时，在单调递减；【考点】(1)利用导数求函数的最值；（2）利用导数求函数的单调区间.3.设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称，且f′(1)＝0.（1）求实数a，b的值；（2）求函数f(x)的极值．【答案】（1）a＝3. b＝－12.（2）函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.【解析】（1）先求出的导函数f′(x)=，由函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称及二次函数的性质求出，再由f′(1)＝0求出；（2）将（1）中的值代入导函数中，利用导函数研究函数的单调性，根据单调性及极值的有关知识求出的极值.试题解析：（1）由题知f′(x)= ，由函数y＝f′(x)的图象关于直线x＝－对称得，，解得a＝3，由f′(1)＝0即解得b＝－12. 所以a＝3. b＝－12. 6分（2）由（1）知a＝3， b＝－12，所以f′(x)= =，当＜-2或＞1时，＞0，当-2＜＜1时，＜0，所以单调增区间为（-，-2），（1，+），单调减区间为（-2,1），所以函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6. 12分考点:常见函数的导数，导数的运算法则，二次函数的对称性，函数的极值4.已知函数（，为常数），当时，函数有极值，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是．【解析】∵=，由当时函数有极值知，，解得，所以=，所以当或时，＞0，当时，＜0，则在（-，0）和（1，+）上是增函数，在（0,1）上是减函数，所以当=0时，取极大值=，当=1时，取极小值=，要使有三个零点，则，解得0＜＜，所以的取值范围为（0，）.【考点】常见函数的导数，导数的综合运用，函数零点，数形结合思想5.已知函数（为常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为-1.（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有.【答案】（1），极小值为无极大值；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】解题思路：（1）利用导数的几何意义求，再进一步求极值；（2）构造函数，即证；（3）结合（2）的结论，对进行分类讨论.规律总结：这是一道典型的导函数问题，综合性较强，要求我们要有牢固的基础知识（包括函数的性质、常见解题方法、数形结合等）.试题解析：解法一：（1）由，得.又,得.所以.令,得.当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值,且极小值为无极大值.（2）令,则.由（1）得,故在R上单调递增,又,因此,当时, ,即.（3）①若,则.又由（2）知，当时, .所以当时, .取,当时，恒有.②若,令,要使不等式成立，只要成立.而要使成立，则只要,只要成立.令,则.所以当时,在内单调递增.取,所以在内单调递增.又.易知.所以.即存在,当时，恒有.综上，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.解法二：（1）同解法一（2）同解法一（3）对任意给定的正数c，取由（2）知，当x>0时，，所以当时，因此，对任意给定的正数c，总存在,当时,恒有.【考点】1.导数的几何意义；2.导数在研究函数中的应用.6.设函数在定义域内可导,的图象如下右图所示,则导函数可能为( )【答案】D【解析】本题考查函数图象与导函数的关系：函数图象上升，则的图象在轴上方，反之亦然；函数图象下降，则的图象在轴下方.经验证D符合条件.【考点】函数图象与导函数图象的关系.7.已知函数的图象为曲线E．(1)若a = 3，b = -9，求函数f(x)的极值；(2)若曲线E上存在点P，使曲线E在P点处的切线与x轴平行，求a，b的关系．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）欲求函数极值应先求函数导数，并求出的根，再判断在根左右导数是否异号，若成立则此根为极值点，代入函数解析式可求极值.（2）对于存在性问题，一般假设存在然后依条件求出，若有则有，若无则假设不成立.试题解析：(1)当时，.令，可得.+0-0+当时，，当时， 5分，设切点为，则曲线在点P的切线的斜率由题意知有解∴即． 10分【考点】（1）函数导数与极值；（2）函数导数与切线.8.定义在上的函数，是它的导函数，且恒有成立，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，又因为，从而有：；构造函数则，从而有在上是增函数，所以有即：，故选Ｄ．【考点】函数的导数．9.已知函数：f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1(1)y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；(2)函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b的取值范围．【答案】(1) f(x)＝x3＋2x2－4x＋5; (2) b≥0【解析】(1)先由函数导数的几何意义用含a,b,c的代数式表达出函数在点P处的切线方程，再与已知的切线相比较可得关于a,b,c的两个方程；另又因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0再得到一个关于a,b,c的方程，三个字母三个方程，通过解方程组就可求得字母a,b,c的值，从而求得f(x)的表达式； (2) 由函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，知其导函数f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有，从而有3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，分离参数转化为函数的最值问题，可求得b的取值范围.试题解析：(1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c,求导数得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)＝f′(1)(x－1)，即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)而过y＝f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y＝3x＋1即又∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③由①②③相联立解得a＝2，b＝－4，c＝5,所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5(2)y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增又f′(x)＝3x2＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0∴f′(x)＝3x2－bx＋b依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立注意到，所以3x2－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立等价于：，令知当时，当时，所以在[-2，1）上有最大值为，故知，且当x=1时f′(x)≥0也成立,所以【考点】1.导数的几何意义;2.函数的极值与最值.10.对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：①任意三次函数都关于点对称：②存在三次函数,若有实数解，则点为函数的对称中心；③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；④若函数，则:其中所有正确结论的序号是( )．A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④【答案】A【解析】①的二阶导数为，令得，根据题意得对称中心为，故①正确；②存在，例如三次函数，得，而就是的对称中心；③任何三次函数经过一次求导以后得到的是一个二次函数，二次函数再求一次导以后得到的是一个一次函数，而一次函数只有一个解，所以只有一个拐点，也就是说只有一个对称中心，所以说任何三次函数都只有一个对称中心；④,,得，所以的对称中心是即，所以有，所以，④正确。