高等数学导数应用微课

破解有关x与e x，ln x的组合函数的金钥匙微点聚焦突破有关x与e x，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式（或比较大小)、求参数的取值范围（或最值)等.如2019年全国Ⅰ卷T13是以x与e x 的组合函数为载体，考查切线方程的求解，2019年全国Ⅲ卷T6是以x与e x,ln x的组合函数为载体,考查导数的几何意义，2018年全国Ⅱ卷T3是以x与e x的组合函数为载体，考查函数的图象的识别,2019年天津卷T20以x与ln x，e x的组合函数为载体考查函数的零点与不等式证明。

预计今年高考对有关x与e x，ln x的组合函数的考查，除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，突出对数学思维能力、数学核心素养的考查.类型一构造函数【例1】(2020·成都七中检测)已知函数f(x）＝ax－错误!,a∈R. (1）若f（x）≥0，求a的取值范围；(2)若y＝f(x)的图象与直线y＝a相切，求a的值.(1)解由题易知,函数f(x）的定义域为(0,＋∞）.由f（x）≥0，得ax－错误!≥0，所以ax≥ln xx，又x>0，所以a≥错误!。

令g（x）＝错误!，则g′(x）＝错误!。

令g′(x）>0，得0<x〈错误!，令g′(x）<0，得x〉错误!.所以当0〈x<错误!时，g（x)单调递增，当x〉错误!时，g(x)单调递减。

所以当x＝e时,g（x）取得最大值g（e)＝错误!，所以a≥错误!，即a的取值范围是错误!.（2）证明设y＝f(x）的图象与直线y＝a相切于点（t,a），依题意可得错误!因为f′(x)＝a－错误!，所以错误!消去a可得t－1－(2t－1)ln t＝0.(＊)令h(t)＝t－1－（2t－1）ln t，则h′(t）＝错误!－2ln t－1，易知h′(t)在(0，＋∞)上单调递减,且h′(1)＝0，所以当0<t<1时,h′(t）>0,h（t）单调递增，当t>1时，h′(t）<0，h(t）单调递减。

导数在函数中的应用一、知识梳理1.函数的单调性与导数的关系函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.2.函数的极值与导数形如山峰形如山谷3.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)若函数f (x )在(a ，b )内单调递增，那么一定有f ′(x )>0.( )(2)如果函数f (x )在某个区间内恒有f ′(x )＝0，则f (x )在此区间内没有单调性.( ) (3)函数的极大值一定大于其极小值.( )(4)对可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件.( )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.( ) 解析 (1)f (x )在(a ，b )内单调递增，则有f ′(x )≥0. (3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x 0为f (x )的极值点的充要条件是f ′(x 0)＝0，且x 0两侧导函数异号. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A.1B.2C.3D.4解析 由题意知在x ＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正. 答案 A3.函数f (x )＝2x －x ln x 的极值是( ) A.1eB.2eC.eD.e 2解析 因为f ′(x )＝2－(ln x ＋1)＝1－ln x ，令f ′(x )＝0，所以x ＝e ，当f ′(x )>0时，解得0<x <e ；当f ′(x )<0时，解得x >e ，所以x ＝e 时，f (x )取到极大值，f (x )极大值＝f (e)＝e. 答案 C4.(2019·青岛月考)函数f (x )＝cos x －x 在(0，π)上的单调性是( ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增D.单调递减解析易知f′(x)＝－sin x－1，x∈(0，π)，则f′(x)<0，所以f(x)＝cos x－x在(0，π)上递减.答案D5.(2017·浙江卷)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是()解析设导函数y＝f′(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数y＝f′(x)的图象易得当x∈(－∞，x1)∪(x2，x3)时，f′(x)<0；当x∈(x1，x2)∪(x3，＋∞)时，f′(x)>0(其中x1<0<x2<x3)，所以函数f(x)在(－∞，x1)，(x2，x3)上单调递减，在(x1，x2)，(x3，＋∞)上单调递增，观察各选项，只有D选项符合.答案D6.(2019·豫南九校考评)若函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，则常数c的值为()A.4B.2或6C.2D.6解析函数f(x)＝x(x－c)2的导数为f′(x)＝3x2－4cx＋c2，由题意知，在x＝2处的导数值为12－8c＋c2＝0，解得c＝2或6，又函数f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极小值，故导数在x＝2处左侧为负，右侧为正，而当e＝6时，f(x)＝x(x－6)2在x＝2处有极大值，故c＝2.答案C考点一 求函数的单调区间【例1】 已知函数f (x )＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值. (1)确定a 的值；(2)若g (x )＝f (x )e x ，求函数g (x )的单调减区间. 解 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2＋2x ，因为f (x )在x ＝－43处取得极值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝0，即3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋x 2e x ，故g ′(x )＝12x (x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x )<0，即x (x ＋1)(x ＋4)<0， 解得－1<x <0或x <－4，所以g (x )的单调减区间为(－1，0)，(－∞，－4). 规律方法 1.求函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求f ′(x )；(3)在定义域内解不等式f ′(x )>0，得单调递增区间；(4)在定义域内解不等式f ′(x )<0，得单调递减区间. 2.若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接.【训练1】 (1)已知函数f (x )＝x ln x ，则f (x )( ) A.在(0，＋∞)上递增 B.在(0，＋∞)上递减 C.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递增 D.在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上递减 (2)已知定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )的单调递增区间为________.解析 (1)因为函数f (x )＝x ln x ，定义域为(0，＋∞)，所以f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，当f ′(x )>0时，解得x >1e ，即函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞；当f ′(x )<0时，解得0<x <1e ，即函数的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e .(2)f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.答案 (1)D (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2考点二 讨论函数的单调性【例2】 (2017·全国Ⅰ卷改编)已知函数f (x )＝e x (e x －a )－a 2x ，其中参数a ≤0. (1)讨论f (x )的单调性； (2)若f (x )≥0，求a 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，且a ≤0. f ′(x )＝2e 2x －a e x －a 2＝(2e x ＋a )(e x －a ).①若a ＝0，则f (x )＝e 2x ，在(－∞，＋∞)上单调递增. ②若a <0，则由f ′(x )＝0，得x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f ′(x )<0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2上单调递减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞上单调递增.(2)①当a ＝0时，f (x )＝e 2x ≥0恒成立.②若a <0，则由(1)得，当x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2时，f (x )取得最小值，最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2， 故当且仅当a 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤34－ln ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2≥0， 即0>a ≥－2e 34时，f (x )≥0.综上，a 的取值范围是[－2e 34，0].【训练2】 已知f (x )＝x 22－a ln x ，a ∈R ，求f (x )的单调区间.解 因为f (x )＝x 22－a ln x ，x ∈(0，＋∞)，所以f ′(x )＝x －a x ＝x 2－ax .(1)当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为单调递增函数. (2)当a >0时，f ′(x )＝（x ＋a ）（x －a ）x，则有①当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递减区间为(0，a ). ②当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞). 综上所述，当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间. 当a >0时，函数f (x )的单调递减区间为(0，a )，单调递增区间为(a ，＋∞).考点三 函数单调性的简单应用 角度1 比较大小或解不等式【例3－1】 (1)已知函数y ＝f (x )对于任意的x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x ＝1＋ln x ，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数，则下列不等式成立的是( ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4C.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4D.3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6(2)已知函数f ′(x )是函数f (x )的导函数，f (1)＝1e ，对任意实数都有f (x )－f ′(x )>0，设F (x )＝f （x ）e x ，则不等式F (x )<1e 2的解集为( ) A.(－∞，1) B.(1，＋∞) C.(1，e)D.(e ，＋∞)解析 (1)令g (x )＝f （x ）cos x ，则g ′(x )＝f ′(x )cos x －f (x )(－sin x )cos 2x ＝1＋ln x cos 2x .由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )>0，解得1e <x <π2；由⎩⎪⎨⎪⎧0<x <π2，g ′(x )<0，解得0<x <1e .所以函数g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，π2上单调递增，又π3>π4，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4cos π4， 即2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4.(2)F ′(x )＝f ′(x )e x －e x f (x )(e x )2＝f ′(x )－f (x )e x ，又f (x )－f ′(x )>0，知F ′(x )<0， ∴F (x )在R 上单调递减.由F (x )<1e 2＝F (1)，得x >1， 所以不等式F (x )<1e 2的解集为(1，＋∞).答案 (1)B (2)B角度2 根据函数单调性求参数【例3－2】 (2019·日照质检)已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x . (1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1，4]上单调递减，求实数a 的取值范围. 解 h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x >0.∴h ′(x )＝1x －ax －2.(1)若函数h (x )在(0，＋∞)上存在单调减区间， 则当x >0时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x 有解. 设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1.所以a >－1.即实数a 的取值范围是(－1，＋∞). (2)由h (x )在[1，4]上单调递减，∴当x ∈[1，4]时，h ′(x )＝1x －ax －2≤0恒成立， 则a ≥1x 2－2x 恒成立，设G (x )＝1x 2－2x ， 所以a ≥G (x )max . 又G (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －12－1，x ∈[1，4]，因为x ∈[1，4]，所以1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)，所以a ≥－716.又当a ＝－716时，h ′(x )＝1x ＋716x －2＝（7x －4）（x －4）16x，∵x ∈[1，4]，∴h ′(x )＝（7x －4）（x －4）16x ≤0，当且仅当x ＝4时等号成立. ∴h (x )在[1，4]上为减函数. 故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－716，＋∞.规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：y ＝f (x )在(a ，b )上单调，则区间(a ，b )是相应单调区间的子集.(2)f (x )是单调递增的充要条件是对任意的x ∈(a ，b )都有f ′(x )≥0且在(a ，b )内的任一非空子区间上，f ′(x )不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题.【训练3】 (1)已知f (x )是定义在区间(0，＋∞)内的函数，其导函数为f ′(x )，且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立，则( ) A.4f (1)<f (2) B.4f (1)>f (2) C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)(2)(2019·淄博模拟)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，则k 的取值范围是( )A.(－∞，－2]B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.[2，＋∞) D.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12解析 (1)设函数g (x )＝f (x )x 2(x >0)，则g ′(x )＝x 2f ′(x )－2xf (x )x 4＝xf ′(x )－2f (x )x 3<0，所以函数g (x )在(0，＋∞)内为减函数，所以g (1)>g (2)，即f (1)12>f (2)22，所以4f (1)>f (2).(2)由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(2，＋∞)上单调递增，等价于f ′(x )＝k －1x ≥0在(2，＋∞)上恒成立，由于k ≥1x ，而0<1x <12，所以k ≥12.即k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. 答案 (1)B (2)B三、课后练习1.(2017·山东卷)若函数e x f (x )(e ＝2.718 28…是自然对数的底数)在f (x )的定义域上单调递增，则称函数f (x )具有M 性质.下列函数中具有M 性质的是( ) A.f (x )＝2－x B.f (x )＝x 2 C.f (x )＝3－xD.f (x )＝cos x解析 设函数g (x )＝e x ·f (x )，对于A ，g (x )＝e x ·2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x，在定义域R 上为增函数，A 正确.对于B ，g (x )＝e x ·x 2，则g ′(x )＝x (x ＋2)e x ，由g ′(x )>0得x <－2或x >0，∴g (x )在定义域R 上不是增函数，B 不正确.对于C ，g (x )＝e x ·3－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫e 3x在定义域R 上是减函数，C 不正确.对于D ，g (x )＝e x ·cos x ，则g ′(x )＝2e x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，g ′(x )>0在定义域R 上不恒成立，D 不正确. 答案 A2.(2019·上海静安区调研)已知函数f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2，则不等式f (ln x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x <2f (1)的解集为( ) A.(e ，＋∞)B.(0，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e ∪(1，e) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 解析 f (x )＝x sin x ＋cos x ＋x 2是偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝f (ln x ).则原不等式可变形为f (ln x )<f (1)⇔f (|ln x |)<f (1). 又f ′(x )＝x cos x ＋2x ＝x (2＋cos x )， 由2＋cos x >0，得x >0时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增. ∴|ln x |<1⇔－1<ln x <1⇔1e <x <e. 答案 D3.若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝1－23(2cos 2x －1)＋a cos x ＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立. 令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎨⎧g (1)＝4－3a －5≤0，g (－1)＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，134.已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R ). (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋x 2·⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ′（x ）＋m 2在区间(t ，3)上总不是单调函数，求m 的取值范围.解 (1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 且f ′(x )＝a （1－x ）x， 当a >0时，f (x )的递增区间为(0，1)， 递减区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0，1)； 当a ＝0时，f (x )为常函数.(2)由(1)及题意得f ′(2)＝－a 2＝1，即a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3，f ′(x )＝2x －2x .∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x ， ∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t ，3)上总不是单调函数， 即g ′(x )在区间(t ，3)上有变号零点.由于g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧g ′(t )<0，g ′(3)>0.当g ′(t )<0时，即3t 2＋(m ＋4)t －2<0对任意t ∈[1，2]恒成立， 由于g ′(0)<0，故只要g ′(1)<0且g ′(2)<0， 即m <－5且m <－9，即m <－9；由g ′(3)>0，即m >－373. ∴－373<m <－9.即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－9.。

《高等数学》教案第三章导数与微分教案之一：导数的定义和性质一、教学目标1.理解导数的概念和意义；2.学习导数的计算方法；3.掌握导数的基本性质；4.能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

二、教学重点和难点1.导数的概念和计算方法；2.导数的性质；3.函数在其中一点的切线方程的计算。

三、教学内容和方法1.导数的概念和计算方法通过解释导数的概念，引出导数的计算方法，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

2.导数的性质介绍导数的基本性质，如导数为0的函数、导数的四则运算和导数的符号性。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

3.函数在其中一点的切线方程的计算通过解释切线的概念，推导出切线方程的计算公式，并通过示例进行演示和讲解。

方法：讲解、示例演示、问题解答。

四、教学过程1.导数的概念和计算方法a.引出导数的概念和意义；b.讲解导数的计算方法，包括使用函数的极限和差商的方法，以及导数的几何意义；c.通过示例演示导数的计算方法。

2.导数的性质a.介绍导数为0的函数及其性质；b.讲解导数的四则运算和导数的符号性；c.通过示例演示导数的性质。

3.函数在其中一点的切线方程的计算a.解释切线的概念和意义；b.推导出切线方程的计算公式，包括斜截式和点斜式；c.通过示例演示切线方程的计算方法。

五、教学反思本节课主要介绍了导数的定义和性质，通过讲解、示例演示和问题解答，帮助学生理解了导数的概念和计算方法，掌握了导数的基本性质，以及函数在其中一点的切线方程的计算方法。

在教学中，应重点讲解导数的几何意义和切线的概念，帮助学生理解导数及其应用。

同时，通过举例说明导数性质的应用，激发学生的学习兴趣和思考能力。

在教学过程中，要注意引导学生思考问题，提高其自主学习的能力。

希望通过本次教学，学生能够掌握导数的概念和性质，并能够应用导数计算函数在其中一点的切线方程及函数的近似值。

导数专题及其应用教案教案标题：导数专题及其应用教案教案目标：1. 理解导数的概念和意义；2. 掌握导数的计算方法；3. 熟悉导数在实际问题中的应用。

教学重点：1. 导数的定义和计算方法；2. 导数在函数图像、极值和曲线的切线方程中的应用。

教学难点：1. 理解导数的概念和意义；2. 运用导数解决实际问题。

教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、计算工具；2. 学生准备：教材、笔记、计算器。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入导数的概念，提问学生对导数的理解；2. 通过一个简单的例子，引导学生思考导数的意义。

二、导数的定义和计算方法（15分钟）1. 介绍导数的定义和符号表示；2. 讲解导数的计算方法，包括用极限定义导数和使用导数公式计算导数；3. 通过示例演示导数的计算过程。

三、导数在函数图像中的应用（15分钟）1. 讲解导数与函数图像的关系，包括导数与函数的增减性、极值和拐点；2. 指导学生根据导数的正负判断函数的增减性，并绘制函数图像；3. 引导学生通过导数的零点判断函数的极值和拐点，并绘制函数图像。

四、导数在曲线的切线方程中的应用（15分钟）1. 引入导数与曲线的切线方程的关系；2. 讲解切线方程的一般形式和求解步骤；3. 指导学生根据导数和给定点求解曲线的切线方程，并进行实际问题的应用练习。

五、导数在实际问题中的应用（15分钟）1. 介绍导数在实际问题中的应用领域，如物理、经济等；2. 提供一些实际问题，引导学生运用导数解决问题；3. 学生个别或小组完成导数应用问题的解答和讨论。

六、总结（5分钟）1. 简要回顾导数的概念和计算方法；2. 强调导数在实际问题中的应用；3. 鼓励学生继续深入学习导数的相关知识。

教学延伸：1. 提供更多的导数计算练习题，巩固学生的计算能力；2. 引导学生在实际生活中寻找更多导数的应用案例，并进行讨论和分享。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与和表现；2. 学生完成课后作业，包括导数计算和应用题目；3. 学生进行小组或个人报告，展示导数在实际问题中的应用案例。

高中数学中的导数应用案例全面解析与计算导数是高中数学中的一个重要概念，在不同的数学问题中都有广泛的应用。

本文将通过一些具体案例，全面解析和计算导数的应用，以帮助读者更好地理解和应用导数。

案例一：汽车行驶问题假设一辆汽车以恒定的速度行驶，车速为v(t)（单位：m/s）。

我们需要求出汽车行驶过程中的加速度a(t)。

根据导数的定义，加速度a(t)可以表示为车速v(t)对时间t的导数，即a(t) = dv(t)/dt。

由此，我们可以通过求车速对时间的导数得到加速度。

在具体计算中，我们可以用一个具体的函数来描述车速v(t)的变化规律。

例如，假设车速v(t) = 2t + 3，其中t为时间（单位：s）。

根据导数的计算规则，这个函数的导数即为加速度。

对v(t)进行求导，有：dv(t)/dt = d(2t + 3)/dt = 2因此，这辆汽车的加速度恒定为2 m/s²。

案例二：曲线的切线问题假设有一条曲线y = f(x)，我们需要求出该曲线在某一点P(x0, y0)处的切线斜率k。

根据导数的定义，斜率k可以表示为曲线y = f(x)在点P处的斜率，即k = dy/dx |x=x0。

其中，dy/dx表示y对x的导数，"|"表示在x=x0的意思。

在实际计算中，我们首先需要确定曲线函数f(x)的具体形式，以及点P(x0, y0)的坐标。

然后，对曲线函数进行求导，并将x的值代入导函数，即可得到切线斜率k的值。

以一个具体的例子来说明。

假设曲线为y = x²，要求在点P(2, 4)处的切线斜率k。

首先，对曲线函数y = x²进行求导，得到导函数dy/dx = 2x。

然后，将点P(2, 4)中的x坐标代入导函数2x，即可得到切线斜率：k = dy/dx |x=2 = 2(2) = 4所以，在曲线y = x²的点P(2, 4)处，切线的斜率为4。

通过以上两个案例，我们可以看到导数在不同数学问题中的应用。

2023《导数及其应用函数的极值与导数》contents •导数及其应用概述•函数的极值•导数与极值的关系•导数的其他应用目录01导数及其应用概述函数在某一点的导数如果一个函数在某一点处的变化率恒定，那么该函数在该点处可导。

导数表示函数在某一点处的变化趋势和速度。

导数的几何意义导数在几何上表示函数曲线在该点处的切线斜率。

导数的物理意义导数在物理中表示速度或加速度。

1 2 3如果函数在某区间内单调递增（或递减），那么该函数的导数在此区间内大于等于0（或小于等于0）。

函数单调性与导数的关系导数可以通过加、减、乘、除等运算进行计算，并遵循相应的运算法则。

导数的计算法则高阶导数是指一个函数对自变量求导的次数大于1的导数。

高阶导数的计算需要使用递推关系和低阶导数的计算结果。

高阶导数的计算03医学导数在医学中用于研究药物浓度、生理参数等变量的变化规律和趋势，为疾病诊断和治疗提供依据。

导数的应用场景01经济学导数在经济学中用于研究成本、收益、利润等变量的变化规律和趋势。

02工程学导数在工程学中用于研究物体的运动规律、机械振动、流体动力学等问题。

02函数的极值局部极小值函数在某一点的函数值比其邻域内的函数值都小，则称该点为局部极小值点，该点对应的函数值为局部极小值。

全局极小值在整个函数定义域内，函数值比其定义域内所有点的函数值都小，则称该点为全局极小值点，该点对应的函数值为全局极小值。

全局极大值在整个函数定义域内，函数值比其定义域内所有点的函数值都大，则称该点为全局极大值点，该点对应的函数值为全局极大值。

局部极大值函数在某一点的函数值比其邻域内的函数值都大，则称该点为局部极大值点，该点对应的函数值为局部极大值。

极值的定义极值的判定条件必要条件一阶导数在该点的值为零。

充分条件二阶导数在该点的符号发生变化（由正变为负或由负变为正）。

根据极值的定义，通过比较函数值与其邻域内的函数值来判断是否为极值点，然后求出极值。

先求出函数的导数，令导数为零得到极值点，然后根据极值的定义判断是否为极值点，并求出极值。

D O I :10.3969/j.i s s n .1001-5337.2022.2.126 *收稿日期:2021-10-21基金项目:山西省教育科学十四五规划2021年度项目(G H -21397,G H -21219).作者简介:王林玉,女,1991-,硕士,助教;研究方向:微分算子谱理论;E -m a i l :617875074@q q.c o m.基于B O P P P S模式的高等数学微课教学设计* 以导数的概念为例王林玉(晋中信息学院,030800,山西省晋中市) 摘要:以高等数学中 导数的概念 为例来探讨B O P P P S 微课教学模式的教学设计策略,进一步阐述该模式可引导学生主动参与课堂教学和自主构建高等数学知识,并及时进行课堂教学的效果反馈.关键词:B O P P P S 微课教学模式;教学设计;高等数学中图分类号:G 642.0 文献标识码:A 文章编号:1001-5337(2022)02-0126-031 B O P P P S 教学模式概述B O P P P S 教学模式初期是用于教师技能培训,后期因其操作方便且学习方式简洁明了被普遍应用在教师教学设计中[1].此教学模式分为6个有序的教学环节,依次为:导言(B r i d ge -i n ) 问题情境创设㊁目标(O u t c o m e ) 多维目标提升㊁前测(P r e -t e s t ) 内容脉络的发展㊁参与式学习(P a r t i c i pa -t i o n ) 新内容的发掘㊁后测(P o s t -t e s t ) 例题练习及总结(S u mm a r y).B O P P P S 教学模式的独特优势可与高等数学教学有效结合.(1)B O P P P S 教学模式的教学时长一般控制在15分钟以内,正与我国学生上课注意力集中所用时间相近,是一种优质的微课模式.(2)高等数学课程是以章节形式呈现的,每个章节都如同一个大的模块,每个大模块中所涉及的知识点又可看作是小的独立模块.此种课程模式为该课程能够实行B O P P P S 微课教学奠定了良好的基础.(3)B O P P P S 教学模式突出参与式学习的重要性,改变以往教师灌输式输出,学生被迫式接收的教学模式,强调了学生在课堂学习中的主要地位.(4)该模式的反馈和检测环节,更能够让教师或学生及时地发现问题并解决问题.因此,我们可将该教学模式应用于高等数学的教学中以实现优质的教学.在基于B O P P P S 教学模式进行高等数学课程的微课教学时,我们首先需了解该教学模式是否适用于所有的知识点,如:某概念㊁某定义[2]㊁某定理㊁某性质[3]㊁某计算[4]等,或者这种模式在哪种知识点中使用才能更好地体现出它的价值.其次,需考虑如何将B O P P P S 教学模式应用于课堂中,即如何高效分配传统课堂的45分钟.最后,根据实践再重新审度该模式在本校教学中的意义以及学生是否更乐意接受这种模式.2 基于B O P P P S 教学模式下高等数学微课设计策略B O P P P S 教学模式是一种高效率的微课教学模式.将B O P P P S 教学模式应用于高等数学微课教学的教学理念是为了:(1)提升学生在教学中的地位,改变填鸭式的教育,由逼迫式学习转变为乐意式学习.(2)注重知识的认知过程,打破学生对以往数学是枯燥无味的认知,激发学生的创造力和探索欲,开放学生的思维模式.(3)实现双向互动㊁双向反馈,提高教学质量.本文以高等数学中第二章第1节内容 导数的概念 为例[5],进一步来阐述基于B O P P P S 教学模式下高等数学微课的设计策略.大纲中要求导数的概念讲解需2个课时,即传统教学时长的2倍.在此,我们给出45分钟所需授课内容以及授课方式.第48卷 第2期2022年4月 曲阜师范大学学报J o u r n a l o f Q u f u N o r m a l U n i v e r s i t yV o l .48 N o .2A p r .20222.1第1模块教学本模块(时长15分钟左右)以案例为引入,通过启发法㊁演示法与探究法并举的多元教学方法,创建思维递进课堂循序渐进型微课教学,根据学生课堂表现及时掌握学生动态,同时做好各个环节的工作.2.1.1 导言(B r i d g e-i n) 问题情境创设(约5分钟)以问题驱动式循序渐进由浅入深式激活旧知识即温故.第1步,结合图像(几何学)(如图1)给出变速直线运动的速度问题(力学)的例子.让学生自己动手算质点在[t0,t0+Δt]时间内的平均速度(平均变化率).图1变速直线运动s=f(t)图例第2步,教师提问一个点的变化率(即瞬时变化率)如何算,即求该质点在t0时的瞬时速度(瞬时变化率).(学生自己发掘平均变化率与瞬时变化率间连续与区别).思路:(1)平均变化率与瞬时变化率在已知条件上的区别:平均变化率是已知2个点,瞬时变化率已知1个点;(2)如何让瞬时变化率向平均变化率靠拢,根据已知函数再确定一个点:在自变量t0处有增量Δt可得点(t0+Δt,f(t0+Δt));(3)2个点又如何变成1个点:减小自变量的改变量Δt,使用平均速度来逼近瞬时速度即转化为求极限.第3步,学生写出在t0时瞬时速度,并用图像研究所求平均速度及瞬时速度相应直线MN的变化情况.2.1.2目标(O u t c o m e) 多媒体展示(约1分钟)基础知识目标:通过以上导言的引入,学生需要掌握瞬时变化率的求法以及由图像得出平均变化率和瞬时变化率的几何意义.进而掌握某点处的导数的定义㊁几何意义,学会利用导数定义求导.技能目标:激活旧知识,学会知识迁移及整合,做到所学为所用.例如,在本题中学会由两点间的平均变化率引入反向思维思考一点的瞬时变化率的求法,学会类比㊁类推㊁极限思维能力.情感目标:教师从简单实际问题出发,激发学生的自我思考能力㊁对问题的探索欲望,提高学生学习兴趣.2.1.3前测(P r e-t e s t) 内容脉络的发展(约1分钟)学生在本节课之前已掌握平均变化率和函数极限知识点,为了引出本节课要讲的函数在某点处导数的定义,以多媒体教学形式展示函数s=f(t)在点t0时变化率(瞬时变化率)公式以及函数图像中直线MN的变化情况.2.1.4参与式学习(P a r t i c i p a t i o n) 新内容的发掘(约4分钟)学生自主构建知识,以问答式为主进行新内容的发掘.教师引导:函数s=f(t)在点t0时变化率(瞬时变化率)为s=f(t)在点t0处的导数.请总结数学中函数y=f(x)在点x0处的导数的定义.学生答:极限l i mΔxң0f(x0+Δx)-f(x0)Δx存在.教师通过多媒体给出详细㊁具体的导数的定义.并对定义中的重点内容进行强调.教师问:根据s=f(t)的函数图像中直线MN 的变化情况,是否能得出函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义?学生答:函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义为点x0处切线的斜率.教师问:是否能求出该切线的方程,如何求?学生答:该切线过点(x0,f(x0))且斜率为点x0处的导数,由点斜式可写出点x0处切线的方程.即y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).教师问:点x0处的法线方程呢?学生答:该法线方程过点(x0,f(x0))且斜率为-1f'(x0),由点斜式可写出点x0处法线方程.在进行该环节的每个步骤的同时,教师根据学生有效的回答做出相应知识点的总结.可将知识点以P P T形式或其他形式展示给学生.让学生对该知识能够有系统性的了解.2.1.5后测(P o s t-t e s t) 例题练习(约3分钟)由理论性学习转为实践性学习加强本节学习内容.721第2期王林玉:基于B O P P P S模式的高等数学微课教学设计(1)设f(x)=C(C为常数),求f'(0).(2)求曲线y=e x在点(0,1)处的切线方程与法线方程.2.1.6总结(S u mm a r y)(约2分钟)利用多媒体总结本模块知识点,强调极限思想的重要性.2.2第2模块教学此模块(时长约15分钟)同样应用B O P P P S微课教学模式,通过观察导数的定义为导入,得出导数的实质也是极限.接着温故知新,以问答形式依据极限中自变量趋于某个固定值时的方式得出单侧导数,进而依据单侧极限与极限的关系得出单侧导数与导数的关系.在后测环节中以分段函数为主进行练习.最后,总结本模块知识点以及学生掌握度.在以后教学中可以采用B O P P P S微课教学模式改良传统上课模式.在不会影响教学大纲完成教学目标的前提下,可以将教学内容分块学习,每模块都由B O P P P S教学模式的6个环节构成.这种具有条理性的教学策略能够促使学生自主建立结构化的思考思维,更加注重从已知到未知的认知过程. 3对B O P P P S教学模式的反馈与反思相对于以往的上课模式,应用B O P P P S模式教学更加活跃了课堂学习氛围.学生主动性更强.在教学中更具有成效的是以案例为导言的B O P P P S教学,更能激起学生的探索欲望,调动了学生学习兴趣,减少学生对高等数学学习的恐惧感以及厌倦心理.B O P P P S教学模式在应用中也存在着一些缺点.现阶段我国国内上课班级中人数较多甚至超过新国标,在教学过程中很难把控教学环节的进程.学生学习水平参差不齐,理解力㊁表达力㊁抽象思维能力等不尽相同,这些因素或多或少都会影响原汁原味的B O P P P S教学模式的使用.所以在应用B O P P P S教学模式时,可结合本学校的教学特点以及已有的教学经验形成一个具有特色的B O P P P S 教学模式.综上所讲,B O P P P S教学模式是一种符合我国目前教学改革背景下的一种较有效并且实用的微课教学模式.此模式可以有效的提高微课教学设计的吸引力,提高学生的参与意识,由传统的以教师教为中心的灌输式的课堂教学方式迁移为以学生为主积极主动的探索式学习,进而达到学生自我构建新的高等数学学习模式.参考文献:[1]曹丹平,印兴耀.加拿大B O P P P S教学模式及其对高等教育改革的启示[J].实验室研究与探索,2016,35(2): 196-200.[2]张琛,李红霞.基于B O P P P S模式下的高等数学微课教学设计 以 数列极限 为例[J].信息技术教育, 2017,3(2):163-164.[3]林旭旭.基于B O P P P S模式下的高等数学微课教学设计 以 曲线的凹凸性 为例[J].现代商贸工业, 2018,36:176-177.[4]张艳辉.基于B O P P P S模式下的高等数学微课教学设计策略的探讨 以 一阶非齐次线性微分方程的解法 为例[J].科技风,2021,21(1):40-41.[5]方桂英,崔克俭.高等数学[M].(第4版).北京:科学出版社,2018,51-57.D i s c u s s i o no n t e a c h i n g d e s i g no f h i g h e rm a t h e m a t i c sm i c r oc o u r s e b a s e do nB O P P P Sm od eT a k e t h e c o n c e p t o f d e r i v a t i v e a s a ne x a m p l eWA N GL i n y u(J i n z h o n g C o l l e g e o f I n f o r m a t i o n,030800,J i n z h o n g,S h a n x i,P R C)A b s t r a c t:T a k i n g t h e c o n c e p t o f d e r i v a t i v e i nh i g h e rm a t h e m a t i c s a s a n e x a m p l e t o e x p l o r e t h e t e a c h-i n g d e s i g n s t r a t e g y o fB O P P P Sm i c r o c o u r s e t e a c h i n g m o d e.I t f u r t h e r e x p o u n d s t h a t t h i sm o d e c a n g u i d e s t u d e n t s t o a c t i v e l yp a r t i c i p a t e i nc l a s s r o o mt e a c h i n g,i n d e p e n d e n t l y c o n s t r u c th i g h e rm a t h e m a t i c sk n o w l-e d g e a n d t i m e l y f e e d b a c k t h e e f f e c t o f c l a s s r o o mt e a c h i n g.K e y w o r d s:B O P P P Sm i c r o c o u r s e t e a c h i n g m o d e;t e a c h i n g d e s i g n s t r a t e g y;h i g h e rm a t h e m a t i c s 821曲阜师范大学学报(自然科学版)2022年。