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函数的基本性质及新定义题专项练习

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1 函数的基本性质及新定义题专项练习 1．设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)等于( )．

A．3 B．1 C．－1 D．－3

2．已知函数f(x)＝ e－x－2，x≤0，2ax－1，x>0(a是常数且a>0)．对于下列命题： ①函数f(x)的最小值是－1； ②函数f(x)在R上是单调函数；

③若f(x)>0在12，＋∞上恒成立，则a的取值范围是a>1；

④对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有fx1＋x22其中正确命题的序号是____________．

3．函数()fx的定义域为A,若12,xxA且12()()fxfx时总有12xx,则称()fx为单函数.例如,函数()1()fxxxR是单函数.下列命题: ①函数2()2()fxxxxR是单函数;②函数2log,2,()2,xxfxxx是单函数; ③若()fx为单函数, 12,xxA且12xx,则12()()fxfx; ④若函数()fx在定义域内某个区间D上具有单调性,则()fx一定是单函数. 其中真命题是(写出所有真命题的编号).

4．如果对定义在R上的函数()fx，对任意两个不相等的实数12,xx，都有11221221()()()()xfxxfxxfxxfx，则称函数()fx为“H函数”.给出下列函数

①2yx;②1xye;③2sinyxx;④ln0()00xxfxx.以上函数是“H函数”的所有序号为. 5．设()fx是奇函数，且在(0,)内是增函数，又(3)0f，则()0xfx的解集是（ ） 2

A．{|303xxx或｝B．{|303}xxx或 C．{|3003}xxx或D．{|33}xxx或

6.已知函数)(xfy满足：①是偶函数)1(xfy；②在,1上为增函数,若0,021xx,且221xx,则)(1xf与)(2xf的大小关系是（ ）

A.)()(21xfxfB．)()(21xfxf B.C．)()(21xfxfD．无法确定

7.已知定义在R上的偶函数21fxfxf，且当[0,1]x时，yfx单调递减，给出以下四个命题： ①10f

②直线2x为函数yfx的一条对称轴； ③函数yfx在4,5上单调递增； ④若方程fxm在3,1上两根12,xx，则124xx。 以上命题正确的是（请把所有正确命题的序号都填上）

8．在实数集R中定义一种运算“”，对任意,Rab，ab为唯一确定的实数，且具有性质： （1）对任意Ra，0aa；

（2）对任意,Rab，(0)(0)ababab.

则函数1()()xxfxee的最小值为（ ） A．2 B．3 C．6 D．8

9．已知定义在R上的函数满足条件；①对任意的，都有；②对任意的；③函数fxxR

4fxfx121212,0,2xxxxxfx且，都有f 3

的图象关于y轴对称.则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 10．给出定义：若2121MxM （其中M为整数），则M叫做离实数x最近的整数，记作Mx}{。在此基础上给出下列关于函数(){}fxxx的四个结论： ①函数()yfx的定义域为R，值域为1[0,]2； ②函数()yfx的图象关于直线()2kxkZ对称； ③函数()yfx是偶函数； ④函数()yfx在11[,]22上是增函数。 其中正确结论的是（把正确的序号填在横线上）。

11．已知1a，设函数()4xfxax的零点为m，()log4agxxx的零点为n，则mn的最大值为( ) （A）8（B）4（C）2（D）1

12．若函数)(xf满足：存在非零常数T，对定义域内的任意实数x，有

)()(xTfTxf成立，则称)(xf为“T周期函数”，那么有函数① xexf)( ②xexf)( ③xxfln)( ④xxf)( ，其中是“T周期函数”的有（填上

所有符合条件的函数前的序号） 13.下列命题正确的是___________（写序号）

①命题“2000R,13xxx”的否定是“2,13xRxx”：

②函数22()cossinfxaxax的最小正周期为“”是“a=1”的必要不充分条件； ③22xxax在[1,2]x上恒成立2minmax(2)()xxax在[1,2]x上恒成立； ④在△ABC中,“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件.

14.对任意实数a，b定义运算“”：,1,,1.bababaab设2()(1)(4)fxxx，

若函数()yfxk恰有三个零点，则实数k的取值范围是（ ）

2fx

76.54.5fff74.56.5fff

4.56.57fff4.576.5fff

 4 （A）)1,2( （B）1,0 （C）0,2 （D）1,2 15.设函数yfx在区间,ab上的导函数为fx，fx在区间,ab上的导函数为fx，若区间,ab上0fx，则称函数fx在区间,ab上为“凹函数”，已知54112012fxxmx22x在1,3上为“凹函数”，则实数m的取值范围是（ ） A．31(,)9 B．31[,5]9 C．(,3] D．,5

16.对于任意两个正整数,mn,定义某种运算“※”如下:当,mn都为正偶数或正奇数时,m※n=mn;当,mn中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m※n=mn.则在此定义下,集合{(,)|Maba※16}b中的元素个数是（ ） A.18个 B.17个 C.16个 D.15个

17.已知定义域为R的函数2cos3sin()2cosaaxxfxx （a、b∈R）有最大值和最小值，且最大值与最小值的和为6，则a A. 1B. 2 C. 3D. 4

18.设函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，使对一切实数x均成立，则称f(x)为“倍约束函数”．现给出下列函数：①f(x)=0；②f(x)=x2；

③f(x)=；④ f(x)是定义在实数集R上的奇函数，且对一切x1，x2均有．其中是“倍约束函数”的序号是 （ ） A．①②④ B．③④ C．①④ D．①③④

函数的基本性质及新定义题专项练习参考答案 1．D2．答案 ①③④ 解析 根据题意可画出草图，由图象可知，①显然正 5

确；函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)>0在12，＋∞上恒成立，则2a×12－1>0，a>1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1<0，x2<0且x1≠x2，恒有fx1＋x223．③【解析】命题①中,因为020ff,所以2()2()fxxxxR不是单函数, 命题①为假命题； 命题②中,因为2log,2,()2,xxfxxx所以，121ff,所以()fx不是单函数, 命题②为假命题； 因为“若12,xxA且12()()fxfx时总有12xx”与命题“12,xxA且12xx,则

12()()fxfx;”互为逆不命题，故③为真命题； 由命题①②中的两个函数作为实例，说明若函数()fx在定义域内某个区间D上具有单调性,则()fx不．一定是单函数.所以④是假命题.

4．②③【解析】11221221()()()()xfxxfxxfxxfx即1212()[()()]0xxfxfx， 所以函数()fx在R是增函数. 对于①，由'20yx得0x，即函数在区间(0,)是增函数，其不是“H函数”； 对于②，由由'0xye恒成立，所以其为“H函数”；； 对于③，由'2cos0yx恒成立，所以其为“H函数”； 对于④，由于其为偶函数，所以其不可能在R是增函数.所以不是“H函数”. 综上知，是“H函数”的有②③.

5．C【解析】∵()fx是奇函数，(3)0f，在(0,)内是增函数，∴(3)0f，在(,0)内是增函数； ∵()0xfx，∴（1）当0x时，()0(3)fxf，故03x；（2）当0x时，()0(3)fxf，故30x．（3）当0x时，不等式的解集为．

综上，()0xfx的解集是{|3003}xxx或． 6

6．A【解析】1fx是偶函数，所以11fxfx即2fxfx由122xx得1222xx，)(xfy在,1上为增函数,所以1222fxfxfx

7．①②④【解析】由已知令1x，(1)(1)(1)fff，又因为()fx是偶函数，所以(1)(1)ff，所以(1)2(1)ff，所以(1)0f,故①正确；由①得2fxfx，所以()yfx是周期为2的周期函数，因为0x是对称轴，所

以线2x为函数yfx的一条对称轴，故②正确；因为函数()yfx在[0,1]x单调递减，所以yfx在4,5上单调递减，③错误；因为线2x为函数yfx的一条对称轴，故方程fxm在3,1上两根12,xx满足

124xx，④正确，综上，正确的命题有①②④．

8．B【解析】 依题意可得11111()()1213xxxxxxxxxxfxeeeeeeeeee，当且

仅当0x时“=”成立，所以函数1()()xxfxee的最小值为3， 9．D【解析】 函数的图象关于轴对称,得,又,

所以，， ，由题意，在上是增函数，所以. 10．①②③【解析】由定义，得2121Mx，即2121xx，则2

1

0xx，故①对；

Mxxxxf)(,2121MxM，则2121MkxkMk，即

Mkxk，

2fxy2+(2)fxfx4fxfx

4.50.5ff7321211fffff

6.52.520.520.51.5fffff()fx0,2

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专题01 函数的基本性质学霸必刷100题(解析版)

专题01 函数的基本性质学霸必刷100题(解析版)

专题01 函数的基本性质100题1．已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-， 即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+，所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称， 所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422miim m i mx y xx x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.2．已知函数2(2)2()log xf x ax +=+，若对任意(1,3]t ∈-，任意x ∈R ，不等式()()1f x f x kt +-≥+恒成立，则k 的最大值为 A ．1- B ．1C ．13-D ．13【答案】D 【解析】因为()()22log 2f x x ax =++，所以()()()222log 22f x f x x +-=+≥，则不等式()()1f x f x kt +-≥+恒成立等价于12kt +≤，设()1g t kt =+，则()()1123312g k g k ⎧-=-+≤⎪⎨=+≤⎪⎩，解得113k -≤≤.答案选D.3．已知函数()()f x g x ，的图象分别如图1，2所示，方程()()()()1f g x g f x ＝，＝－1，1(())2g g x =-的实根个数分别为a 、b 、c ，则（ ）A ．a b c +=B ．b c a ＋＝C ．b a c ＝D ．ab c ＝【答案】A 【解析】由方程(())1f g x =，可得()(10)g x m m =-<<. 此方程有4个实根，所以方程(())1f g x =有4个实根，则4a =； 由方程(())1g f x =-，可得()1f x =或()1f x =-. 所以方程(())1g f x =-有2个实根，则2b =，由方程1(())2g g x =-，可得113()12g x x x ⎛⎫=-<<- ⎪⎝⎭或()22()10g x x x =-<<或33()(01)g x x x =<<或443()12g x x x ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，这4个方程的实根的个数分别为0，4，2，0. 则6c =.故a b c +=，故选：A4．已知函数()f x 是定义在R 上的增函数，且其图象关于点()2,0-对称，则关于x 的不等式()()23120f x f x -+-≥的解集为（ ）A ．[)4,-+∞B ．[]4,2-C ．[]2,4-D ．(],2-∞【答案】B 【解析】因为()f x 的图象关于点()2,0-对称，所以()()40f x f x +--=. 因为()()23120f xf x -+-≥，故()()()2312412f x f x f x -≥--=---⎡⎤⎣⎦，所以()()2325f xf x -≥-.因为()f x 是定义在R 上的增函数，故2325x x -≥-即2280x x +-≤， 解得42x -≤≤，故原不等式的解集为[]4,2-， 故选：B.5．已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：（1）对任意()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =成立；（2）当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.给出如下结论： ①对任意m Z ∈，有()20mf =；②函数()f x 的值域为[)0,+∞；③若函数()f x 在区间(),a b 上单调递减，则存在k Z ∈，使得()()1,2,2kk a b +⊆.其中所正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D 【解析】()2220f =-= ()()()()122122222220m m m m f f f f ---∴===⋅⋅⋅==，①正确；取(12,2m m x +⎤∈⎦，则(]1,22m x ∈ 222mm xx f ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()12482202482m m m x x x x f x f ff f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⋅⋅⋅==-≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()f x ∴的值域为[)0,+∞，②正确；由②知：(12,2k k x +⎤∈⎦时，()12k f x x +=-，此时()f x 单调递减 由此可知，存在()()1,2,2kk a b +⊆，使得()f x 在(),a b 上单调递减，③正确.故选：D6．已知定义域为R 的函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=-+，且函数()f x 在区间()1,+∞上单调递增，如果121x x ，且122x x +>，则()()12f x f x +的值（ ）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负函数【答案】B 【解析】因为(1)(1)f x f x -=-+，所以()()110f x f x -++=，所以()f x 关于点()1,0成中心对称，且()10f = 又因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以()f x 在(),1-∞上也单调递增，所以()f x 是R 上的增函数， 因为122x x +>，所以122x x >-，所以()()122f x f x >-， 又因为()()22110f x f x -++=，所以()()2220f x f x -+=， 所以()()12f x f x >-，所以()()120f x f x +>. 故选：B.7．已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D8．已知函数()|lg |f x x =,若0a b <<,且()()f a f b =,则2a b -的取值范围是( ) A ．(0,)+∞ B ．[1,)-+∞C ．(,1)-∞-D ．(,0)-∞【答案】C 【解析】lg ,1()lg lg ,01x x f x x x x ≥⎧==⎨-<<⎩，画出函数图像，如图所示：()()f a f b =，则lg lg a b -=，故1ab =，且01a <<，故22a b a a-=-.设函数()2f x x x =-，则函数在()0,1上单调递增，故()22,1a b a a-=-∈-∞-. 故选：C .9．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，()()4f x f x =-，当02x ≤≤时，52x f x，函数112g xx ，则()()()F x f x g x =-零点个数为( ) A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当02x ≤≤时，52x f x ，所以令20x -≤≤，52x f x f x，即当20x -≤≤时，52x f x，因为()()4f x f x =-，所以函数()f x 的周期4T =，综上所述，可以绘出函数()f x 以及函数112g xx 的图像，结合图像可知，函数()()()F x f x g x =-的零点个数为6个 综上所述，故选B 。

数学下册综合算式专项练习题函数的性质与应用

数学下册综合算式专项练习题函数的性质与应用

数学下册综合算式专项练习题函数的性质与应用数学下册综合算式专项练习题：函数的性质与应用在数学下册的学习中，函数的性质与应用是一个重要的知识点。

函数是数学中的基本概念，它描述了两个集合之间的关系，常常用来表示一个变量如何依赖于另一个变量。

本文将通过综合算式专项练习题来深入探讨函数的性质与应用。

一、函数的定义与基本性质1. 定义：函数是一种特殊的关系，如果对于集合A中的每个元素，都有唯一确定的集合B中的元素与之对应，那么我们称这种关系为函数，通常用符号f表示。

2. 定义域与值域：对于函数f，集合A中的元素称为定义域，集合B中的元素称为值域。

3. 一一对应与映射：如果函数中的每个元素在值域中具有唯一对应的元素，那么称这个函数为一一对应。

对于函数f:A→B，如果集合A 的每个元素都在函数f中有对应的元素，则称函数为映射。

二、函数的分类与特性1. 常数函数：函数f(x)=c，其中c为常数，对于任意的x，f(x)始终等于c。

2. 线性函数：函数f(x)=kx+n，其中k和n为常数，x为自变量，f(x)表示因变量。

线性函数的图像是一条直线。

3. 幂函数：函数f(x)=x^m，其中m为常数，x为自变量。

幂函数是指数函数的一种特殊情况，当指数为整数时，幂函数的图像通常是一个曲线。

4. 指数函数：函数f(x)=a^x，其中a为常数，x为自变量。

指数函数的特点是底数固定，指数变化时函数值发生较大的变化。

5. 对数函数：函数f(x)=loga(x)，其中a为常数，x为自变量。

对数函数与指数函数是互逆关系，即f(x)=loga(a^x)=x。

三、函数的应用函数在现实生活中有着广泛的应用，例如：1. 经济学中的需求与供给函数：需求函数描述了消费者对某一商品的需求量与商品价格的关系，供给函数描述了生产者愿意提供的商品量与商品价格的关系。

通过研究需求和供给函数，可以帮助经济学家了解市场的运作规律。

2. 物理学中的运动函数：运动函数描述了物体的位置与时间的关系，比如直线运动的位置函数可以表示为s(t)=v0t+1/2at^2，其中v0为起始速度，a为加速度，t为时间。

函数的性质练习题

函数的性质练习题

函数的性质练习题函数的性质练习题函数是数学中一个重要的概念，它描述了两个数集之间的对应关系。

函数的性质是我们研究函数的重要内容之一，通过练习题的形式，我们可以更好地理解和掌握函数的性质。

下面，我们来进行一些函数性质的练习题。

1. 函数的定义域和值域函数的定义域是指函数所接受的自变量的取值范围，值域是指函数所能取得的因变量的取值范围。

考虑函数f(x) = √(4 - x^2)，求出它的定义域和值域。

解答：由于√(4 - x^2)中的被开方数不能为负数，所以4 - x^2 ≥ 0。

解这个不等式，我们可以得到-2 ≤ x ≤ 2。

因此，函数的定义域为[-2, 2]。

又因为函数的值域是被开方数的非负实数集合，所以值域为[0, 2]。

2. 函数的奇偶性函数的奇偶性是指函数在定义域内的对称性。

如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；如果对于定义域内的任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

考虑函数f(x) = x^3 - x，判断它的奇偶性。

解答：将函数f(-x)代入函数f(x)中，得到f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x。

由于f(-x) ≠ f(x)且f(-x) ≠ -f(x)，所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数。

3. 函数的单调性函数的单调性是指函数在定义域内的增减性。

如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数为递增函数；如果对于定义域内的任意x1 < x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数为递减函数。

考虑函数f(x) = x^2 - 2x，判断它的单调性。

解答：求出函数f(x)的导数f'(x) = 2x - 2。

当f'(x) > 0时，函数递增；当f'(x) < 0时，函数递减。

解不等式2x - 2 > 0，得到x > 1。

因此，函数f(x)在定义域内的x > 1时递增，在x < 1时递减。

高考综合复习 专题7 函数的概念与性质专题练习

高考综合复习 专题7 函数的概念与性质专题练习

高考综合复习专题七函数的概念与性质专题练习一.选择题1.下列函数既是奇函数,又在区间[-1,1]上单调递减的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=－C.f(x)=D.f(x)=2.函数，若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.－C.1, －D.1,3.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(－∞,0)上是减函数,且f(2)=0,则使f(x)<0的x的取值范围是()A.(－∞,2)B.(2,＋∞)C.(－∞,2)∪(2,＋∞)D.(－2,2)4.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=－1对称,且当x>0时f(x)= ,则当x<－2时,f(x)=()A.－B.C.－D.－5.已知y=f(x)是R上的减函数,且y=f(x)的图象经过点A(0,1)和点B(3,－1),则不等式<1的解集为()A.(－1,2)B.(0,3)C.(－∞,－2)D.(－∞,3)6.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠－1, =,.若,则()A.<0B.=0C.0<<1D.≥17.若函数f(x)=(a>0,a≠1)在区间(－,0)内单调递增,则a的取值范围是()A.[－,1)B.[,1)C.(,+∞)D.(1, )8.已知f(x)是定义在R上的函数,且满足f(x)+f(x－1)=1,当x∈[0,1]时,f(x)=现有4个命题:①f(x)是周期函数,且周期为2;②当x∈[1,2]时,f(x)=2x－;③f(x)为偶函数;④f(－2005.5)= .其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4二.填空题.1.若函数f(x)= (a≠0)的图象关于直线x=2对称,则a=.2.已知函数y=f(x)的反函数为y=g(x),若f(3)=－1,则函数y=g(x－1)的图象必经过点.3.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.4.设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+3)=1－f(x),又当x∈(0,1]时,f(x)=2x,则f(17.5)=.三.解答题.1.设函数f(x)=,求使f(x)≥2的x的取值范围.2.已知函数f(x)= (a,b为常数),且方程f(x)－x+12=0有两个实根为=3,=4.(1)求函数f(x)的解析式;(2)设k>1,解关于x的不等式f(x)< .3.设f(x)是定义在R上的增函数,若不等式f(1－ax－)<f(2－a)对任意x∈[0,1]都成立,求实数a的取值范围.4.已知定义在R上的函数f(x)对任意实数,满足关系f(+)=f()+f()+2.(1)证明:f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)若x>0,则有f(x)>－2,求证:f(x)在R上为增函数.(3)若数列满足=－,且对任意n∈N﹡有=f(n),试求数列的前n项和.答案与解析:一.选择题.1.选D.分析:这里f(x)为奇函数,由此否定B.C;又f(x)在[-1,1]上单调递减,由此否定A.故应选D.2.选C.分析:注意到这里a的可能取值至多有3个,故运用代值验证的方法.当a=1时,由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;由f(x)的表达式得f(1)==1,故a=1是所求的一个解,由此否定B.当a=－时,由f(x)的表达式得f(－)=sin=1,又f(1)=1,故f(1)+f(－)=2,a=－是所求的一个解,由此否定A.D.本题应选C.3.选D.分析:由f(x)在(－∞,0)上是减函数,且f(x)为偶函数得f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x)在(－∞,-2]上递减,在[2,+∞)上递增.又∵f(2)=0, ∴f(-2)=0∴f(x)在(－∞,-2]上总有f(x)≥f(-2)=0,①f(x)在[2,+∞)上总有f(x)≥f(2)=0②∴由①②知使f(x)<0的x的取值范围是(-2,2),应选D.4.选C.分析:由f(x)的图象关于直线x=-1对称得f(x)=f(－2－x)①∴当x<－2时, －2－x>0∴再由已知得f(－2－x)= ②于是由①②得当x<－2时f(x)= ,即f(x)= －.应选C.5.选A.分析:由已知条件得f(0)=1,f(3)=－1,∴(※)又f(x)在R上为减函数.∴由(※)得0<x+1<3－1<x<2故应选A.6.选A.分析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.当=0时, =,=,则,由此否定B,当=1时,= ,f()=f(),则,由此否定D;当0<<1时, 是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.7.选B.分析:令u=g(x)= ,y=f(x)则y=由题意知当x∈(－,0)时,u>0注意到g(0),故u=g(x)在(－,0)上为减函数.①又y=f(x)在(－,0)上为增函数,∴y=在u的相应区间上为减函数.∴0<a<1再由①得u＇＝ｇ＇(x)= 在(－,0)上满足u＇≤0②而u＇=在(－,0)上为减函数,且是R上的连续函数.③∴由②③得u＇(－)≤0∴－a≤0,即a≥④于是由①,④得≤a<1应选B.点评:从复合函数的“分解”切入.利用复合函数的单调性与所“分解”出的内层函数与外层函数的单调性之间的联系(同增异减)初步确定a的取值范围0<a<1.但是,由于u=为x的三次函数, u＇为x的二次函数.故还要从u＇在(－,0)上的符号入手进一步确认a的正确的范围.”粗” 、“细”结合,双方确定所求参数的范围,乃是解决这类问题的基本方略.8.选B.分析:从认知f(x)的性质入手,由f(x)+f(x－1)=1得f(x－1)=1－f(x)(※)∴f(x－2)=1－f(x－1)(※※)∴由(※),(※※)得f(x)=f(x－2)∴f(x)为周期函数,且2是f(x)的一个周期.(1)由上述推理可知①正确.(2)当x∈[1,2]时,有x－1∈[0,1].∴由题设得f(x)=1－f(x－1)=1－(x－1)=2x－x,由此可知②正确(3)由已知条件以及结果①、②得,又f()=,∴f()≠f(－)∴f(x)不是偶函数即③不正确;(4)由已知条件与f(x)的周期性得f(－2005.5)=f(－2005.5+2×1003)= f()=故④不正确.于是由(1)(2)(3)(4)知,本题应选B.二.填空题.1.答案: .分析:由题设知f(0)=f(4)(a≠0),∴(a≠0)0<=1(a≠0)4a－1=1或4a－1=－1(a≠0)a=即所求a=.2.答案: (0,3)分析:f(3)=－1y=f(x)的图象经过点(3,－1)y=g(x)的图象经过点(－1,3)g(－1)=3g(0－1)=3y=g(x)的图象经过点(0,3).3.答案:直线y=x分析:根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y= f(x),则有x=( y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)= x②∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.4.答案:1分析: 从认知f(x)的性质切入已知f(x+3)=1－f(x)①以－x代替①中的x得f(－x+3)=1－f(－x)②又f(x)为偶函数∴f(－x)=f(x)③∴由②③得f(－x+3)=1－f(x)④∴由①④得f(3+x)=f(3－x)f(x)图象关于直线x=3对称f(－x)=f(6+x)∴由③得f(x)=f(6+x)即f(x)是周期函数,且6是f(x)的一个周期.⑤于是由③⑤及另一已知条件得f(17.5)=f(17.5－3×6)=f(－0.5)=f(0.5)=2×0.5=1三.解答题.1.分析:注意到f(x)为复合的指数函数,故考虑令u=,而后利用指数函数的性质将所给不等式转化为关于u的不等式解.解:令u=, y=f(x),则y=2为u的指数函数.∴f(x)≥2≥2≥u≥①∴f(x) ≥≥②(1)当x≥1时,不等式②(x+1)－(x－1) ≥2≥成立.(2)当－1≤x<1时,由②得,(x+1)－(1－x) ≥x≥即≤x<1;(3)当x<－1时,由②得－(x+1)－(1－x) ≥即－2≥不成立.于是综合(1)(2)(3)得所求的x的取值范围为[,1]∪[1,+∞),也就是[,+∞)点评:对于复合函数y=f[p(x)],令u=p(x),将其分解为y=f(u),u=p(x).于是所给问题转化为内层函数u=p(x)的问题或转化为外层函数y=f(u)的问题.这种分解----转化的手法,是解决复合指数函数或复合对数函数的基本策略.2.分析:注意到f(x)为分式函数,故相关方程为分式方程,相关不等式为分式不等式,因此,求解此类问题要坚定地立足于求解分式问题的基本程序:移项,通分,分解因式;化“分”为“整”以及验根等等.解:(1)将=3, =4分别代入方程得由此解得∴f(x)= (x≠2).(2)原不等式<－<0<0<0(x－2)(x－1)(x－k)>0注意到这里k>1,(ⅰ)当1<k<2时,原不等式的解集为(1,k)∪(2,+∞);(ⅱ)当k=2时,原不等式(x－2)2(x－1)>0x>1且x≠2.∴原不等式的解集为(1,2)∪(2,+∞);(ⅲ)当k>2时,原不等式的解集为(1,2) ∪(k,+∞);于是综合(ⅰ) (ⅱ) (ⅲ)得当1<k≤2时,原不等式解集为(1,k)∪(2,+∞);当k>2时,原不等式解集为(1,2) ∪(k,+∞);点评:在这里,运用根轴法求解不等式(x－2)(x－1)(x－k)>0快捷准确.此外,在分式不等式转化为高次不等式后,分类讨论时不可忽略对特殊情形:k=2的讨论;综合结论时需要注意相关情况的合并,以最少情形的结论给出最佳答案.3.分析:所给不等式含有抽象的函数符号f,故首先需要“反用”函数的单调性定义脱去“f”,转化为普通的含参不等式的问题.进而,再根据个人的熟重和爱好选择不同解法.解:∵f(x)是R上的增函数.∴不等式f(1－ax－)<f(2－a) 对任意x∈[0,1]都成立.不等式1－ax－<2－a对任意x∈[0,1]都成立+ax－a+1>0对任意x∈[0,1]都成立①解法一: (向最值问题转化,以对称轴的位置为主线展开讨论.)令g(x)= +ax－a+1,则①式g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立.g(x)在区间[0,1]上的最小值大于0.②注意到g(x)图象的对称轴为x=－(1)当－≤0即a≥0时,由②得g(0)>0－a+1>0a<1,即0≤a<1;(2)当0<－≤1时,即－2≤a<0时,由②得g(－)>01－a－>0+4a－4<0<8当－2≤a<0时,这一不等式也能成立.(3)当－>1即a<－2时.由②得g(1)>02>0即当a<－2时,不等式成立.于是综合(1)(2)(3)得所求实数a的取值范围为[0,1）∪[－2,0]∪(－∞,－2), 即(－∞,1).解法二: (以△的取值为主线展开讨论)对于二次三项式g(x)= +ax－a+1,其判别式△=+4(a－1)=+4a－4△<0<8－－2<a<－2(1)当△<0时,g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立,此时－－2<a<－2;(2)当△≥0时,由g(x)>0对任意x∈[0,1]都成立得－2≤a<1或a≤－－2.于是由(1)(2)得所求a的取值范围为（－－2,－2）∪[－2,1）∪(－∞, －－2]即(－∞,1).点评:解法一归统为最值问题,以g(x)图象的对称轴的位置为主线展开讨论;解法二直面g(x)>0在x∈[0,1]上成立,以g(x)的判别式△的取值为主线展开讨论,两种解法各有千秋,都解决这类问题的主要策略.以××为主线展开讨论,这是讨论有理有序,不杂不漏的保障.4.分析:为了认知和利用已知条件,从”特取”切入:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2.为利用f(0)=－2,寻觅f(x)的关系式,又在已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2故得f(x)+f(－x)=－4证明(1),由此式展开.对于(2)面对抽象的函数f(x),则只能运用定义;对于(3),这里a n=f(n),a n+1=f(n+1),因此,从已知恒等式入手寻觅{a n}的递推式或通项公式,便称为问题突破的关键.解:(1)证明:在已知恒等式中令==0得f(0)=－2①又已知恒等式中令=x, =－x得f(0)=f(x)+f(－x)+2∴f(x)+f(－x)=－4②设M(x,f(x))为y=f(x)的图象上任意一点则由②得③∴由③知点M(x,f(x))与N(－x,f(－x))所成线段MN的中点坐标为(0,－2),∴点M与点N关于定点(0,－2)对称.④注意到点M在y=f(x)图象上的任意性,又点N亦在y=f(x)的图象上,故由④知y=f(x)的图象关于点(0,－2)对称.(2)证明:设,为任意实数,且<,则－>0∴由已知得f(－)>－2⑤注意到=(－)+由本题大前提中的恒等式得f()=f[(－)+] =f(－)+ f()+2∴f()－f()=f (－)+2⑥又由⑤知f (－)+2>0,∴由⑥得f()－f()>0,即f()>f().于是由函数的单调性定义知,f(x)在R上为增函数.(3)解:∵a n=f(n),∴a1=f(1)=－,a n+1=f(n+1)又由已知恒等式中令=n, =1得f(n+1)=f(n)+f(1)+2∴a n+1= a n+∴a n+1－a n=(n∈N﹡)由此可知,数列{ a n }是首项为=－,公差为的等差数列.∴=－n+×即=(n2－11n).点评:充分认识与利用已知条件中的恒等式,是本题解题的关键环节. 对于(1)由此导出f(x)+f(－x)=－4;对于(2)由此导出f()=f()+f(－)+2;对于(3)由此导出f(n+1)=f(n)+f(1)+2即a n+1－a n=.。