2．3.1 & 2.3.2 变量间的相关关系 两个变量的线性相关习课本P73～78，思考并完成以下问题预(1)相关关系是函数关系吗？(2)什么是正相关、负相关？与散点图有什么关系？(3)回归直线方程是什么？如何求回归系数？(4)如何判断两个变量之间是否具备相关关系？[新知初探]1．两个变量的关系分类函数关系相关关系 特征两变量关系确定两变量关系带有随机性2．散点图将样本中n 个数据点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关(1)正相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称为正相关．(2)负相关：如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关．4．最小二乘法设x ，Y 的一组观察值为(x i ，y i )，i ＝1,2，…，n ，且回归直线方程为y ^＝a ＋bx ，当x 取值x i (i ＝1,2，…，n )时，Y 的观察值为y i ，差y i －y ^i (i ＝1,2，…，n )刻画了实际观察值y i 与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度，通常是用离差的平方和，即Q ＝i ＝1n(y i －a－bx i)2作为总离差，并使之达到最小．这样，回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条．由于平方又叫二乘方，所以这种使“离差平方和最小”的方法，叫做最小二乘法．5．回归直线方程的系数计算公式回归直线方程回归系数系数a^的计算公式方程或公式y^＝a^＋b^x b^＝∑i＝1nxiyi－n x－y－∑i＝1nx2i－n x2a^＝y－b^x－上方加记号“^ ”的意义区分y的估计值y^与实际值ya，b上方加“^ ”表示由观察值按最小二乘法求得的估计值[小试身手]1．下列命题正确的是( )①任何两个变量都具有相关关系；②圆的周长与该圆的半径具有相关关系；③某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系；④根据散点图求得的回归直线方程可能是没有意义的；⑤两个变量间的相关关系可以通过回归直线，把非确定性问题转化为确定性问题进行研究．A．①③④B．②③④C．③④⑤D．②④⑤解析：选C ①显然不对，②是函数关系，③④⑤正确．v，u；对变量1，得散点图图10)，…，1,2＝i)(iy，ix(有观测数据y，x．对变量2)(由这两个散点图可以判断2.，得散点图图10)，…，1,2＝i)(iv，iu(有观测数据A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C ．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D ．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关解析：选C 由这两个散点图可以判断，变量x 与y 负相关，u 与v 正相关．80，当施肥量为250＋x 5＝y ^归方程为的线性回(kg)y 与水稻产量(kg)x ．若施肥量3kg 时，预计水稻产量约为________kg.．650(kg)＝250＋5×80＝y ^代入回归方程可得其预测值80＝x 解析：把 答案：6504．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示.x 2 4 5 6 8y 30 40 60 50 70若已求得它们的回直线的方程为______________________．，5＝2＋4＋5＋6＋85＝x 解析：由题意可知 y50.＝30＋40＋60＋50＋705＝即样本中心为(5,50)．，a ^＋x 6.5＝y ^设回归直线方程为 ，)y ，x (回归直线过样本中心∵ ，7.51＝a ^，即a ^＋6.5×5＝50∴ 17.5＋x 6.5＝y ^回归直线方程为∴ 17.5＋x 6.5＝y ^答案：相关关系的判断[典例] (1) ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与年龄之间的关系；④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． (2)某个男孩的年龄与身高的统计数据如下表所示.年龄x (岁)123456身高y (cm)78 87 98 108 115 120①画出散点图；②判断y 与x 是否具有线性相关关系．[解析] (1)在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；在③中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系．答案：②④(2)解：①散点图如图所示．②由图知，所有数据点接近一条直线排列，因此，认为y 与x 具有线性相关关系．两个变量是否相关的两种判断方法(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断．(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断．[活学活用]如图所示的两个变量不具有相关关系的是________(填序号)．解析：①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系．答案：①④求回归方程[典例] (1)已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3B.y ^＝2x －2.4C.y ^＝－2x ＋9.5 D.y ^＝－0.3x ＋4.4(2)一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器的运转的速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x (转/秒)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y (件)11985①画出散点图；②如果y 对x 有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系； ③在实际生产中，若它们的近似方程为y ＝5170x －67，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？[解析] (1)依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C 、D.且直线必过点(3,3.5)，代入A 、B 得A 正确．答案：A(2)解：①散点图如图所示：②近似直线如图所示：秒/转14，所以机器的运转速度应控制在≤14.9x ，解得≤1067－x 5170得≤10y 由③内．求回归直线方程的步骤．)数据一般由题目给出)(n ，…，1,2＝i )(i y ，i x (收集样本数据，设为(1) (2)作出散点图，确定x ，y 具有线性相关关系．.i y i x ，2i x ，i y ，i x 把数据制成表格(3).iy i ∑i ＝1nx ，2i ∑i ＝1n x ，y ，x 计算(4) ⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nxiyi －n x y ∑i ＝1n x2i －n x 2，a ^＝y －b ^ x .，公式为a ^，b ^代入公式计算(5).a ^＋x b ^＝y ^写出回归直线方程(6) [活学活用]已知变量x ，y 有如下对应数据：x 1 2 3 4 y1345(1)作出散点图；(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 解：(1)散点图如图所示．，52＝1＋2＋3＋44＝x (2) y ，134＝1＋3＋4＋54＝∑i＝14x 39.＝20＋12＋6＋1＝i y i ∑i ＝14x 2i ，30＝16＋9＋4＋1＝ b^，1310＝39－4×52×13430－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝a^，0＝52×1310－134＝ .为所求的回归直线方程x 1310＝y ^所以 利用线性回归方程对总体进行估计[典例x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：x 3 4 5 6 y2.5344.5(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的回归直线方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了多少吨标准煤？[解] (1)散点图如图：，3.5＝2.5＋3＋4＋4.54＝y ，4.5＝3＋4＋5＋64＝x (2) ∑i＝14x ，66.5＝6×4.5＋5×4＋4×3＋3×2.5＝i y i ∑i＝14x 2i ，86＝26＋25＋24＋23＝ ∑i ＝14xiyi －4xy∑i ＝14x2i －4x 2＝b ^所以 ，0.7＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝a ^0.35.＝0.7×4.5－3.5＝x b ^－y ＝ 0.35.＋x 0.7＝y ^所以所求的线性回归方程为 ，)吨标准煤70.35(＝0.35＋0.7×100＝y ^时，100＝x 当(3) 90－70.35＝19.65(吨标准煤)．即生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低了19.65吨标准煤．只有当两个变量之间存在线性相关关系时，才能用回归直线方程对总体进行估计和预测．否则，如果两个变量之间不存在线性相关关系，即使由样本数据求出回归直线方程，用其估计和预测结果也是不可信的．[活学活用](重庆高考)随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：年份 2010 2011 2012 2013 2014 时间代号t 1 2 3 4 5 储蓄存款y (千亿元)567810(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款． 解：(1)列表计算如下：it iy it 2it i y i1 1 5 1 52 2 6 4 123 3 7 9 214 4 8 16 325 5 10 25 50 ∑153655120这里n ＝5，t －＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y －＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又∑i ＝1nt2i －n t －2＝55－5×32＝10，i ＝1n t i y i －n t－y －＝120－5×3×7.2＝12，从而b ^＝1210＝1.2，a ^＝y －－b ^t －＝7.2－1.2×3＝3.6，故所求回归方程为y ^＝1.2t ＋3.6.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)．[层级一 学业水平达标]1．下列变量具有相关关系的是( )A ．人的体重与视力B ．圆心角的大小与所对的圆弧长C ．收入水平与购买能力D ．人的年龄与体重解析：选C B 为确定性关系；A ，D 不具有相关关系，故选C.2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为2＋x 1.5＝y ^A. 2＋x 1.5＝－y ^B. 2－x 1.5＝y ^C. 2－x 1.5＝－y ^D. 之间负相关，回归直线y ，x ，由散点图可知变量a ^＋x b ^＝y ^设回归方程为 B 解析：选 2.＋x 1.5＝－y ^，因此方程可能为>0a ^，<0b ^轴上的截距为正数，所以y 在 个样本点，n 的y 和x 是变量)n y ，n x (，…，)2y ，2x (，)1y ，1x (设3.直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是( ))y ，x (过点l ．直线A B ．回归直线必通过散点图中的多个点C ．直线l 的斜率必在(0,1)D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同解析：选A A 是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B 错误；回归直线的斜率不确定，故C 错误；分布在l 两侧的样本点的个数不一定相同，故D 错误． 4．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的，x 0.006 2＋9.5＝y ^的回归方程为x 关于吨位y 人，船员人数32～5人数 (1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数；(2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．，则2x ，1x 设两艘船的吨位分别为(1)解： y^)2x 6 20.00＋(9.5－1x 0.006 2＋9.5＝2y ^－1 ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．，0.006 2×192≈11＋9.5＝y ^时，192＝x 当(2) 0.006 2×3 246≈30.＋9.5＝y ^时，3 246＝x 当 即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为30人和11人．[层级二 应试能力达标]1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( ) A ．确定性关系 B ．相关关系 C ．函数关系D ．无任何关系 解析：选 B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．，下x 80＋50＝y ^变化的回归直线方程为)千元(x 依劳动生产率)元(y ．农民工月工资2列判断正确的是( )A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元B ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元C ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元的单x ，但要注意80增加y ，1每增加x 知，x 80＋50＝y ^由回归直线方程 B 解析：选位是千元，y 的单位是元．3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：则y 对x 的线性回归方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝x ＋1x 12＋88＝y ．C176＝y ．D ＝y ，176＝174＋176＋176＋176＋1785＝x 计算得， C 解析：选符合．C 检验知，)y ，x (，根据回归直线经过样本中心176＝175＋175＋176＋177＋17754．已知x 与y 之间的几组数据如下表：，若某同学根据上表中的前两组a ^＋x b ^＝y ^假设根据上表数据所得线性回归直线方程为数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )′a <a ^，′b >y ^′ B.a >a ^，′b >b ^A. ′a <a ^，′b <y ^′ D.a >a ^，′b <b ^C. 解析：选C 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′.2.＝－2×1－0＝′a ，2＝2－02－1＝′b ，58＝24＋15＋12＋3＋4＋0＝i y i ∑i ＝16x 时，a ^，b ^求 x ，136＝y ，3.5＝ ∑i＝16x 2i ，91＝36＋25＋16＋9＋4＋1＝ ，57＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝b ^∴ a^，13＝－52－136＝×3.557－136＝ ′.a >a ^，′b <b ^∴ ＝y ^的回归方程为(cm)x 对身高(kg)y 岁的人，体重38岁到18．正常情况下，年龄在50.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg 左右． ＝y ^时，178＝x 的人的体重进行预测，当178 cm 解析：用回归方程对身高为0.72×178－58.2＝69.96(kg)．答案：69.966．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：________.＝a ，则a ＋x 4＝－y 由表中数据，求得线性回归方程为 ，132＝4＋5＋6＋7＋8＋96＝x 解析： y，80＝92＋82＋80＋80＋78＋686＝)y ，x (由回归方程过样本中心点 .a ^＋1324×＝－80得 106.＝1324×＋80＝a ^即 答案：1067．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知x ，y ，估计该台机器最为划算的使用年限为x 1.3－10.47＝y ^具备线性相关关系，回归方程为________年．解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，解得x ≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．答案：88．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y (元)与该周每天销售这种服装的件数x (件)之间有一组数据如下表：；y ，x 求(1) (2)若纯利y 与每天销售这种服装的件数x 之间是线性相关的，求回归直线方程； (3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？3 487)＝i y i ∑i ＝17x ，45 309＝2i ∑i ＝17y ，280＝2i ∑i ＝17x 提示：( ，6＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋97＝x (1)解： y≈79.86.66＋69＋73＋81＋89＋90＋917＝ ，≈4.753 487－7×6×79.86280－7×62＝b ^∵(2) a^，51.36＝4.75×6－79.86＝ .x 4.75＋51.36＝y ^之间的回归直线方程为x 纯利与每天销售件数∴ ≈31.29.x ，所以651.3＋x 4.75＝200时，200＝y ^当(3) 因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．9．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：年收入x (万元)2 4 4 6 6 6 7 7 8 10年饮食 支出y(万元)0.9 1.4 1.6 2.0 2.1 1.9 1.8 2.1 2.2 2.3(2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出．406)＝2i ∑i ＝110x ，117.7＝i y i ∑i ＝110x 参考数据：( 解：依题意可计算得：x，10.98＝y x ，36＝2x ，1.83＝y ，6＝ ，406＝2i ∑i ＝110x ，117.7＝i y i ∑i ＝110x ∵又，≈0.17∑i＝110xiyi －10x y ∑i ＝110x2i －10x 2＝b ^∴ a^0.81.＋x 0.17＝y ^∴，0.81＝x b ^－y ＝ 1.0.8＋x 0.17＝y ^所求的回归方程为∴ ．)万元2.34(＝0.81＋0.17×9＝y ^时，9＝x 当(2) 可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②在某公司的50名工人中，依次抽取工号为5,10,15,20,25,30,35,40,45,50的10名工人进行健康检查；③某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱(每箱12盒)牛奶中抽取4盒进行质量检查．则应采用的抽样方法依次为( )A ．简单随机抽样；分层抽样；系统抽样B ．分层抽样；简单随机抽样；系统抽样C ．分层抽样；系统抽样；简单随机抽样D ．系统抽样；分层抽样；简单随机抽样解析：选 C ①中商店的规模不同，所以应利用分层抽样；②中抽取的学号具有等距性，所以应是系统抽样；③中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样．故选C.2．将某班的60名学生编号为01,02，…，60，采用系统抽样方法抽取一个容量为5的样本，且随机抽得的一个号码为04，则剩下的四个号码依次是( )A ．09,14,19,24B ．16,28,40,52C ．10,16,22,28D ．08,12,16,20 解析：选B 分成5组，每组12名学生，按等间距12抽取．选项B 正确．3．某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n 的样本，若女学生一共抽取了80人，则n 的值为( )A ．193B ．192C ．191D ．190 192.＝n ，求得80＝n200＋1 200＋1 0001 000× B 解析：选 4．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，则其回归方程可能是( )200＋x 10＝y ^200 B.＋x 10＝－y ^A. 200－x 10＝y ^200 D.－x 10＝－y ^C. 解析：选A 由于销售量y 与销售价格x 成负相关，故排除B ，D.又因为销售价格x ＞0，则C 中销售量全小于0，不符合题意，故选A.，则y 和x ，它们的平均数分别是n y ，…，2y ，1y 与n x ，…，2x ，1x ．设有两组数据5)(的平均数是1＋n y 3－n x 2，…，1＋2y 3－2x 1,2＋1y 3－1x 2新的一组数据 y 3－x 2．A 1＋y 3－x 2．By 9－x 4．C1＋y 9－x 4．D ，)n ，…，1,2＝i 1(＋i y 3－i x 2＝i z 设 B 解析：选 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋…＋1n ＋)n y ＋…＋2y ＋1y (3n －)n x ＋…＋2x ＋1x (2n ＝)n z ＋…＋2z ＋1z (1n ＝z 则 1.＋y 3－x 2 6．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5,15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5,23.5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5,31.5) 11 [31.5,35.5) 12[35.5,39.5) 7 [39.5,43.5) 3则总体中大于或等于31.5的数据所占比例约为( )211A.13B. 12C.23D. 解析：选B 由题意知，样本的容量为66，而落在[31.5,43.5)内的样本个数为12＋7.13＝2266的数据约占31.5，故总体中大于或等于22＝3＋ 7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别是( )A ．85,85,85B ．87,85,86C ．87,85,85D ．87,85,90 解析：选C ∵得85分的人数最多为4人，∴众数为85，中位数为85，87.＝75)＋80＋85×4＋90×2＋95＋(100110平均数为 8．某出租汽车公司为了了解本公司司机的交通违章情况，随机调查了50名司机，得到了他们某月交通违章次数的数据，结果制成了如图所示的统计图，根据此统计图可得这50名出租车司机该月平均违章的次数为( )A ．1B ．1.8C ．2.4D ．3 1.8.＝5×0＋20×1＋10×2＋10×3＋5×450B 解析：选 9．下表是某厂1～4月份用水量情况(单位：百吨)的一组数据月份x 1 2 3 4用水量y 4.5 4 3 2.5的a ，则a ＋x 0.7＝－y 之间具有线性相关关系，其线性回归方程为x 与月份y 用水量值为( )A ．5.25B ．5C ．2.5D ．3.5 解析：选A 线性回归方程经过样本的中心点，根据数据可得样本中心点为(2.5,3.5)，所以a ＝5.25.10.如图是在元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )A ．84,4.84B ．84,1.6C ．85,1.2D ．85,4 ＋5＋6＋3＋(515＋80，平均数为77，去掉一个最低分95去掉一个最高分 C 解析：选，因此1.2＝]286)－(85＋285)－(85＋286)－(85＋283)－(85＋285)－[(8515，方差为85＝6)选C.，…，2＋2x 2,3＋1x 3，则2s ，方差是x 的平均数是n x ，…，3x ，2x ，1x ．如果数据11)(的平均数和方差分别是2＋n x 32s 和x A.2s 9和x 3．B2s 9和2＋x 3．C4＋2s 12和2＋x 3．D nx …，2x ，1x ，由于数据2＋x 3的平均数是2＋n x 3，…，2＋2x 2,3＋1x 3 C 解析：选.2s 9的方差为2＋n x 3，…，2＋2x 2,3＋1x 3，所以2s 的方差为 12.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图，已知甲的成绩的极差为31，乙的成绩的平均值为24，则下列结论错误的是( ) A ．x ＝9 B ．y ＝8C ．乙的成绩的中位数为26D ．乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差解析：选B 因为甲的成绩的极差为31，所以其最高成绩为39，所以x ＝9；因为乙的成绩的平均值为24，所以y ＝24×5－(12＋25＋26＋31)－20＝6；由茎叶图知乙的成绩的中位数为26；对比甲、乙的成绩分布发现，乙的成绩比较集中，故其方差较小． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．某人5次上班途中所花的时间(单位：分钟)分别为x ，y,10,11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x －y |的值为________．∴，2；又方差为20＝y ＋x ，则10＝159)×＋11＋10＋y ＋x (，得10解析：由平均数为＝xy 208,2＝2y ＋2x ，得2＝15]×210)－(9＋210)－(11＋210)－(10＋210)－y (＋210)－x [( 4.＝x2＋y2－2xy ＝x －y 2＝|y －x |∴，192 答案：414．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________．12.＝×482148＋36解析：抽取的男运动员的人数为 答案：1215．要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001,002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，________，________，________.(下面摘取了随机数表第7行至第9行)59408 66368 36016 26247 25965 49487 26968 86021 77681 83458 21540 62651 69424 78197 20643 67297 76413 66306 51671 54964 87683 30372 39469 97434解析：以3开始向右读，每次读取三位，重复和不在范围内的不读，依次为368,360,162,494,021.答案：368,360,162,494,02116．从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图(如下图)．由图中数据可知a ＝________.若要从身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140,150]的学生中选取的人数应为________．解析：∵0.005×10＋0.035×10＋a ×10＋0.020×10＋0.010×10＝1，∴a ＝0.030.设身高在[120,130)，[130,140)，[140,150]三组的学生分别有x ，y ，z 人，10.＝z ，20＝y 同理，30.＝x ，解得0.030×10＝x100则3.＝×181030＋20＋10的学生中选取的人数为[140,150]故从 答案：0.030 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) ，应如何110名学生中抽取50为调查某班学生的平均身高，从)分10本小题满分(．17抽样？若知道男生、女生的身高显著不同(男生30人，女生20人)，应如何抽样？ 抽签法或随机数(人，采用简单随机抽样法5，即抽取110名学生中抽取50解：从法)．若知道男生、女生的身高显著不同，则采用分层抽样法，按照男生与女生的人数比为30∶20＝3∶2进行抽样，则男生抽取3人，女生抽取2人．18.(本小题满分12分)某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示． (1)根据茎叶图计算样本均值；(2)日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？22.＝1326＝17＋19＋20＋21＋25＋306样本均值为1)(解： 4＝1312×名工人中有12，故推断该车间13＝26知样本中优秀工人所占比例为(1)由(2)名优秀工人．19．(本小题满分12分)2016年春节前，有超过20万名广西、四川等省籍的外出务工人员选择驾乘摩托车沿321国道长途跋涉返乡过年，为防止摩托车驾驶人员因长途疲劳驾驶，手脚僵硬影响驾驶操作而引发交通事故，肇庆市公安交警部门在321国道沿线设立了多个长途行驶摩托车驾乘人员休息站，让返乡过年的摩托车驾乘人员有一个停车休息的场所．交警小李在某休息站连续5天对进站休息的驾驶人员每隔50辆摩托车就进行一次省籍询问，询问结果如图所示：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是什么抽样方法？(2)用分层抽样的方法对被询问了省籍的驾驶人员进行抽样，若广西籍的有5人，则四川籍的应抽取几人？解：(1)交警小李对进站休息的驾驶人员的省籍询问采用的是系统抽样法．(2)从题图可知，被询问了省籍的驾驶人员广西籍的有5＋20＋25＋20＋30＝100(人)；四川籍的有15＋10＋5＋5＋5＝40(人)．2，即四川籍的应抽取2＝x ，解得x40＝5100人，依题意得x 设四川籍的驾驶人员应抽取人．20．(本小题满分12分)某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其重量(单位：kg)，分别记录抽查数据如下：甲：102,101,99,98,103,98,99； 乙：110,115,90,85,75,115,110.(1)这种抽样方法是哪一种方法？(2)试计算甲、乙车间产品重量的平均数与方差，并说明哪个车间产品较稳定？解：(1)甲、乙两组数据间隔相同，所以采用的方法是系统抽样．，100＝99)＋98＋103＋98＋99＋101＋(10217＝甲x (2) x，100＝110)＋115＋75＋85＋90＋115＋(11017＝乙 ，1)≈3.43＋4＋9＋4＋1＋1＋(417＝2甲s ，228.57＝100)＋225＋625＋225＋100＋225＋(10017＝2乙s ，故甲车间产品比较稳定．2乙s ＜2甲s ∴ 21．(本小题满分12分)对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M 名学生作为样本，得到这M 名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数 频率[10,15) 10 0.25[15,20) 25n [20,25) mp[25,30] 20.05 合计M1(1)求出表中M ，p 及图中a 的值；(2)若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10,15)的人数．解：(1)由分组[10,15)的频数是10， 40.＝M ，所以0.25＝10M知，0.25频率是 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，解得m ＝3.0.075.＝340＝p 故 因为a 是对应分组[15,20)的频率与组距的商，125.0.＝2540×5＝a 所以 (2)因为该校高一学生有360人，分组[10,15)的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为360×0.25＝90.22．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入iy i ∑i ＝110x ，20＝i ∑i ＝110y ，80＝i ∑i ＝110x 的数据资料，算得)单位：千元(i y 与月储蓄)单位：千元(i x 720.＝2i ∑i ＝110x ，184＝ ；a ^＋xb ^＝y ^的线性回归方程x 对月收入y 求家庭的月储蓄(1) (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．，8＝8010＝i ∑i ＝1n x 1n ＝x ，10＝n 由题意知(1)解： y ，2＝2010＝i ∑i ＝1n y 1n ＝ ，80＝210×8－720＝2x 10－2i ∑i ＝110x 又 ∑i＝110x ，24＝10×8×2－184＝y x 10－i y i ，0.3＝2480＝∑i ＝110xiyi －10x y∑i ＝110x2i －10x 2＝b ^由此得 a^，0.4＝－0.3×8－2＝x b ^－y ＝ 0.4.－x 0.3＝y ^故所求回归方程为 (2)由于变量y 的值随x 的值增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关．(3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7千元.。
第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验一、知识回顾1.如何判断两个变量的线性相关：如果在散点图中，2个变量数据点分布在一条直线附近，则这2个变量之间具有线性相关关系。
2.所求直线方程 ˆy=bx +a 叫做回归直线方程；其中 ⋅∑∑∑∑nnii i ii=1i=1nn222iii=1i=1(x-x)(y -y)x -nx yb ==,a =y -bx (x-x)x-nxy回归直线方程必过中心点(,)x y3．相关系数的∑nii (x-x)(y -y)r =性质• (1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小．4. ˆˆ=-i i y y i 残差e=实际值-预测值2^^211()===-∑∑nniiii i e y y 总残差平方和:残差平方和越小,即模型拟合效果越好5. 两个分类变量的独立性检验：(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”.(2)在此假设下计算随机变量 22n（ad -bc）K =(a +b)(c +d)(a +c)(b +d)(3) 根据随机变量K 2查表得“两个分类变量没有关系”的概率,用1减去此概率即得有联系的概率 典型例题：例1．（宁夏海南卷）对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断（ ）。
（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 （B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关 （C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 （D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关1x 1y 1u 1v变式1. (韶关一模文、理)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A 、B 两变量的线性相关性作试验，）()A 甲 ()B 乙 ()C 丙 ()D 丁 例2.一系列样本点(,)(1,2,,)=⋅⋅⋅i i x y i n 的回归直线方程为23,∧=-y x 若117==∑nii X则1==∑ni i y变式1.某地第二季各月平均气温（℃）与某户用水量（吨）如下表，根据表中数据，用最小二乘法求得用水量关于月平均气温的线性回归方程是( )A B. C. D. 例3.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对照数据．（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆy bxa =+； （3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？ （参考数值：3 2.543546 4.566.5⨯+⨯+⨯+⨯=）例4．(惠州一模)对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行了3年的跟踪x y y x 5.115ˆ-=x y5.115.6ˆ-=x y 5.112.1ˆ-=x y5.113.1ˆ-=x y0.0005300035000.00030.0004200015000.00020.0001400025001000月收入（元）频率/组距 第2讲 变量的相关性、回归分析及独立性检验课后作业：姓名： 学号：1．若施化肥量x 与小麦产量y 之间的回归直线方程为ˆ2504yx =+，当施化肥量为50kg 时，预计小麦产量为2.下表是某厂1～4月份用水量（单位：百吨）的一组数据：月份x1 2 3 4用水量y5.443 5.2由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是a x y +-=∧7.0，则=a3.一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是（ ）A ．57.2 3.6B ．57.2 56.4C ．62.8 63.6D ．62.8 3.64．有一笔统计资料，共有11个数据如下（不完全以大小排列）：2,4,4,5,5,6,7,8,9,11,x ，已知这组数据的平均数为6，则这组数据的方差为（ ） A ．6B ．6C ．66D ．6.55.为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A.5，10，15，20，25 B.2，4，8，16，32 C.1，2，3，4，5 D.7，17，27，37，476．(广州调研文、理)某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人．7. (韶关一模文、理)一个社会调查机构就某地居民的 月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分 布直方图（如下图）。
线性相关系数r的计算公式线性相关系数（CorrelationCoefficient，简称r）是衡量两个自变量之间相互依赖程度的量度指标，也是最经常用到的数量化指标之一。
线性相关系数可以看作是自变量改变时，因变量变化的大小。
它被广泛应用在经济学、心理学、生物学以及实验统计等领域当中，运用它可以识别出变量之间的依赖关系，比如价格、收入、销量等之间的相互联系，从而为决策制定提供有力的依据。
线性相关系数r的计算公式可以分为样本和总体的计算公式，其中样本的数据通常由实验或者实践来获得，而总体的数据则是由总体中的所有样本数据进行计算，而不是统计样本单独计算。
一、样本计算公式。
样本计算公式是根据样本数据来计算线性相关系数，其数学表达式一般为：r=∑(X-X)(Y-Y)/[∑(X-X)∑(Y-Y)]其中：X是第一个自变量的样本值，Y是第二个自变量的样本值，X和Y 分别为X和Y的样本均值。
根据上述公式，我们可以计算出两个自变量的线性相关系数r，r的值范围为-1到+1，其中：（1）当r=0时，说明两个自变量之间没有相关性；（2）当r>0时，说明两个自变量之间是正相关；（3）当r<0时，说明两个自变量之间是负相关。
二、总体计算公式。
总体计算公式是根据总体数据来计算线性相关系数，其数学表达式一般为：r=∑[(X- X)(Y- Y)]/√[∑(X- X)∑(Y-Y)]其中：X是第一个自变量的总体值，Y是第二个自变量的总体值，X和Y 分别为X和Y的总体均值。
根据上述公式，我们可以计算出两个自变量的线性相关系数r，r的值范围为-1到+1，其中：（1）当r=0时，说明两个自变量之间没有相关性；（2）当r>0时，说明两个自变量之间是正相关；（3）当r<0时，说明两个自变量之间是负相关。
线性相关系数r是一种可以反映两个变量之间线性关系程度的量度指标，广泛应用在经济学、心理学、生物学以及实验统计等领域，计算r的公式有样本和总体的公式，分别根据样本或者总体数据计算线性相关系数，计算出的结果可以反映两个自变量之间的依赖关系，从而为决策制定提供有力的依据。
