高数PPT课件第二节 二重积分的计算法

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则 特别, 对
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此时若 f ≡1 则可求得D 的面积
思考: 下列各图中域 D 分别与 x , y 轴相切于原点,试
问 的变化范围是什么?
(1)
(2)
答:
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例6. 计算二重积分 x2 y2d，其中D是由圆 x2 y2 2 y D 围成的闭区域．
);
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I1 I I2,
(1 e R2 ) ( R e x2 dx)2 (1 e 2R2 );
4
0
4
当R 时,
I1
4
,
I2
4
,
故当R 时, I ,
4
即( e x2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
e x2 dx
.
0
2
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3
1 cos3 )
3
0
32 9
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解: 在极坐标系下 原式
其中 故
由于 的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角 坐标计算.
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利用上题可得一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式
①
事实上,
又
故①式成立 .
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2 极坐标系下的二重积分化为二次积分 将直系下的二重积分化为极系后，极系下的 二重积分仍然需要化为二次积分来计算。
关键是定出r ,的上下限 定的 上 下 限 ：
用两条过极点的射线夹平面区域， 由两射线的倾角得到其上下限
定r的上下限：
任意作过极点的半射线与平面区域相交， 由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。

第二节
第十章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分
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一、利用直角坐标计算二重积分
由曲顶柱体体积的计算可知, 当被积f函 (x,y数 )0
且在D上连续时, 若D为 X - 型区域
y y2(x)
则若D为YD - f型D (x区:, y域 )1 d(D xxa d ): y y x 1( y abc )b d 2x(x y x ) 12( d (xx)2 )(fy()x,yO)dayydyyx xD1 (x )b2(xy)
特别, 对 D: 00r2(π)
O
r1()
x
D f(rc o ,rss i)r n d rd
y
D1:00yx122x2,
D2: 0y 8x2 2x2 2
将 D D 1 D 2视为Y - 型区域 , 则
x2 y2 8
2
y12
x2 D1
D2
O 22 2 x
D
:
2yx8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f(x,y)dx
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例5. 计算 I x ln y (1 y 2 )d x d y,其中D 由 D
9 8
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例2. 计算 Dxyd, 其中D 是抛物线 y2 x 及直线
yx2所围成的闭区域.
y
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
2
y
y2 x
则
D
:
y2xy2 1y2
Dxyd
2 y2
1dyy 2 xydx

电磁学中电荷分布问题
电荷分布概述
在电磁学中，电荷分布是研究电场和 磁场的基础。了解电荷分布对于预测 电场强度、电势差以及电磁波的传播 等具有重要意义。
二重积分在电荷分布 中的应用
二重积分在电磁学中广泛应用于计算 电荷分布。通过将电荷区域离散化为 微小单元，对每个单元的电荷密度进 行积分，并利用二重积分对整个区域 进行积分，可以得到总电荷量和电荷 分布。
在每个子区域内分别进行积分计算，然后将结果相加得到最 终的二重积分值。这种策略可以降低计算难度，提高计算效 率。
03 典型例题分析与求解
平面区域上函数积分问题
确定积分区域
根据题目要求，确定需要积分的平面区域，通常是由 不等式组或曲线围成。
选择积分次序
根据积分区域的形状和复杂性，选择合适的积分次序， 即先对哪个变量进行积分。
图像处理算法与二重积分
在实际应用中，图像处理算法（如直方图均衡化、滤波算法）经常需要利用像素值统计来实现图像增强和特 征提取。二重积分作为计算像素值统计的重要工具，在这些算法中发挥着关键作用。
其他领域应用举例
地理学中的地形分析
在地理学中，地形分析是研究地 表形态和地貌特征的重要手段。 二重积分可以用于计算地表高程、 坡度、坡向等地形参数，进而实 现地形分类、地貌特征提取等应 用。
梯形法
将积分区域划分为若干个小梯形， 以梯形的面积近似代替被积函数 的面积，通过求和所有梯形的面 积得到二重积分的近似值。
辛普森法
在梯形法的基础上，通过采用更 精确的插值多项式来逼近被积函 数，从而提高二重积分计算的精 度。
误差估计及收敛性判断
误差估计
对于不同的数值方法，可以通过理论分析和实际计算来估计其误差的大小，以便更好地控制计算精度 。

二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇 函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原 点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的 立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该 立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加 ，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄 片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片 的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课 件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积 ，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。