2016学年河北省承德市联校高一下学期期末数学试卷及参考答案

高一下学期期末数学试卷一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分)在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；各题答案必须答在答题卡上相应的位置.1. 已知等差数列{}n a 中，282a a += ，5118a a +=，则其公差是（ ） A ． 6 B ．3 C ．2 D ．12. 已知直线01)1(:1=+++y a ax l ，02:2=++ay x l ，则“2-=a ”是“21l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件3.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了n 个同学进行调查，结果显示这些同学的支出都 在[10,50)（单位：元），其中支出在[)30,50（单位：元）的同学有67人，其频率分布直方 图如右图所示，则n 的值为（ ）A ．100B ．120C ．130D ．3904.(原创)口袋中有形状和大小完全相同的四个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ） 7.已知点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域上运动，则z x y =-的取值范围是（ ）A.[]2,1--B. []1,2-C. []2,1-D.[]1,28.设{}n a 是公比为q 的等比数列，令1n n b a =+，*n N ∈，若数列{}n b 的连续四项在集合}{53,23,19,37,82--中，则q 等于( ) A ．43-B ．32-C ．32-或23- D ．34-或43- 9.已知在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为2223x y y +=-+，直线l 过点(1,0)且与直线10x y -+=垂直.若直线l 与圆C 交于A B 、两点，则OAB ∆的面积为（ ）A ．1 BC ．2 D． 10. (原创) 设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=, 若A B φ＝，则实数m 的取值范围是（ ）A21m ≤≤B. 02m <<+C. 21m m <->D. 122m m <>或第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)各题答案必须填写在答题卡相应的位置上. 11. 在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b12.在区间[5,5]-内随机地取出一个数a ，使得221{|20}x x ax a ∈+->的概率为 ． 13.若直线)0,(022>=-+b a by ax 始终平分圆082422=---+y x y x 的周长，则ba 121+的最小值为 14. (原创)给出下列四个命题：①某班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中另一位同学的编号为23； ②一组有六个数的数据是1,2,3,3,4,5的平均数、众数、中位数都相同；③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y a bx =+中，2,1,3,b x y ===则1a =；其中正确的命题有 （请填上所有正确命题的序号）15. (原创) 数列{}n a 满足*1142(1),()32nn n n a a a n N a n++==∈+－,则n a 的最小值是三、解答题 ：(本大题6个小题，共75分)各题解答必须答在答题卡上相应题目指定的方框内(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程).16.（本小题满分13分）在等比数列{}n a 中，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列. （1）求n a ； （2）令2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S .17. （本小题满分13分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒． (1)求sin sin a bA B++的值；(2)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．18. （本小题满分13分）某车间将10名技工平均分成甲、乙两组加工某种零件，在单位时 间内每个技工加工的合格零件数，按十位数字为茎， 个位数字为叶得到的茎叶图如图所示．已知甲、乙 两组数据的平均数都为10.m 22101879n 0乙组甲组（1）求m ，n 的值；（2）分别求出甲、乙两组数据的方差2S 甲和2S 乙， 并由此分析两组技工的加工水平；（3）质检部门从该车间甲、乙两组技工中各随机抽取一名技工，对其加工的零件进行 检测，若两人加工的合格零件数之和大于17，则称该车间“质量合格”，求该车间“质量合格” 的概率． （注：方差2222121[()()()n s x x x x x x n=-+-++-，x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数）19. （本小题满分12分） (原创)已知函数f (x) =bx ax ++（a 、b 为常数）. （1）若1=b ，解不等式(1)0f x -<； （2）若1a =,当x ∈[1-，2]时， 21()()f x x b ->+恒成立，求b 的取值范围.20. （本小题满分12分）(原创)已知圆M ：222x y +-l 上一点A 的横坐标为a , 过点A 作圆M 的两条切线1l , 2l , 切点分别为B ,C.（1）当a ＝0时，求直线1l , 2l 的方程； （2）当直线 1l , 2l 互相垂直时，求a 的值； （3）是否存在点A ，使得2AB AC ∙=-？若存在， 求出点A 的坐标，若不存在，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：2*1121()n n n a a a n N n--=+∈ （1）若数列{}n a 是以常数1a 为首项，公差也为1a 的等差数列，求1a 的值； （2）若00a >，求证：21111n n a a n--<对任意*n N ∈都成立； （3）若012a =，求证：12n n a n n +<<+对任意*n N ∈都成立； 参考答案数 学 答 案1—②③ 15.8-； 16.（13分）【解】（1）设{}n a 的公比为q ，由14a ，22a ，3a 成等差数列，得13244a a a +=. 又11a =，则244q q +=，解得2q =. ∴12n n a -=（*N n ∈ ）.（2）12log 21n n b n -==-，∴11n n b b +-=，{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列， 它的前n 项和(1)2n n n S -=. 17. （13分）18. （13分）解：（1）m=3,n=8(2)25.2S 甲＝, 2S 乙＝2,所以两组技工水平基本相当，乙组更稳定些。

2015-2016学年河北省承德市联校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合A={x|x<1}，B={x|x>0}，则A∩B等于（）A.(−∞, 0)B.(0, 1)C.(−∞, 1)D.(0, +∞)2. cos420∘+sin330∘等于（）A.1B.−1C.12D.03. 若3a⋅9b=13，则下列等式正确的是（）A.a+b=−1B.a+b=1C.a+2b=−1D.a+2b=14. 已知sinα=−23且α在第三象限，则tan(π+α)等于（）A.2√55B.−2√55C.√52D.−√525. 若函数f(x)=log13x+1x+a的零点在区间(1, +∞)上，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 0)B.(−∞, −1)C.(−1, +∞)D.(0, +∞)6. 已知cos2α=37且cosα<0，tanα<0，则sinα等于（）A.−√147B.√147C.−2√77D.2√777. 在△ABC中，D为线段BC上一点，且BD=15BC，以向量AB→，AC→作为一组基底，则AD→等于（）A.1 5AB→+45AC→B.25AB→+35AC→C.3 5AB→+25AC→D.45AB→+15AC→8. 当a>1时，不等式log a(4−x)>−log1ax的解集是（）A.(0, 2)B.(0, 4)C.(2, 4)D.(0, +∞)9. 已知tan x=13，则sin x cos x+1等于（）A.1310B.−1310C.1013D.−101310. 已知π2<α<π，且sin(α+π6)=35，则cos(α−π6)等于（）A.−4−3√310B.4+3√310C.4−3√310D.3√3−41011. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，图中描述了甲乙丙三辆汽车，在不同速度下的燃油效率请况，下列叙述错误的是（）A.消耗1升汽油，乙车行驶的最大路程超过5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少C.甲船以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油12. 设函数f(x)=|x|，g(x)=lg(ax2−4x+1)，若对任意x1∈R，都存在在x2∈R，使f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是（）A.(−∞, 4]B.(0, 4]C.(−4, 0]D.[0, +∞)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．.已知角θ的终边经过点M(−2, 3)，则sinθ=________．设函数f(x)={2x−3,x≥02x−1，x<0，则f（f(1)）=________．若函数f(x)=(m −1)x α是幂函数，则函数g(x)=log a (x −m)（其中a >0，a ≠1）的图象过定点A 的坐标为________．已知x ∈R ，向量AB →=(−1,x +2)，CD →=(x,1)，则CD →在AB →方向上的投影的最大值为________． 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤已知集合B ={x|−3<x <2}，C ={y|y =x 2+x −1, x ∈B} （1）求B ∩C ，B ∪C ；（2）设函数f(x)=√4x −a 的定义域为A ，且B ⊆(∁R A)，求实数a 的取值范围．已知向量a →，b →，c →满足：|a →|=2，|b →|=4，c →=a →−b →，且c →⊥a →（1）求向量a →与b →的夹角；（2）求a →⋅(a →+3b →)及|3a →+b →|．已知f(x)=2sin x cos x +2cos 2x −1 （1）求函数f(x)的最小正周期；（2）当x ∈[0,π4]时，求函数f(x)的取值范围．设函数f(x)=x +ax+b 且f(1)=2,f(2)=52．（1）求f(x)的解析式并判断函数f(x)的奇偶性；（2）判断函数f(x)在区间(1, +∞)上单调性，并用定义法证明．已知函数f(x)=A sin (wx +φ)(A >0,w >0,|φ|)<π2)的图象的一个最高点的坐标为(π6，2)，与其相邻的一个最低点的坐标为(2π3，−2)（1）求函数f(x)的解析式；（2）求函数f(x)的单调增区间及对称轴方程．已知函数f(x)=log a x(a >0且a ≠1). (1)当a =3时，求方程f(27x )f(3x)=−5的解；(2)若f(3a −1)>f(a)，求实数a 的取值范围；(3)当a =12时，设g(x)=f(x)−3x +4，求证：对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0对x ∈(λμ, +∞)恒成立．参考答案与试题解析2015-2016学年河北省承德市联校高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A=(−∞, 1)，B=(0, +∞)，∴A∩B=(0, 1)，故选：B．2.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值【解析】利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可化简求值．【解答】解：cos420∘+sin330∘=cos(360∘+60∘)+sin(360∘−30∘)=cos60∘−sin30∘=12−12=0．故选：D．3.【答案】C【考点】有理数指数幂的化简求值【解析】根据指数幂的运算法则计算即可求出答案．【解答】解：若3a⋅9b=13，则3a⋅32b=3a+2b=13=3−1，则a+2b=−1，故选：C．4.【答案】A【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数基本关系的运用【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵sinα=−23且α在第三象限，∴cosα=−√1−sin2α=−√53，∴tan(π+α)=tanα=sinαcosα=2√55．故选：A．5.【答案】C【考点】函数零点的判定定理【解析】判断平时的定义域和单调性，根据函数零点的意义，建立不等式关系即可．【解答】解：∵函数f(x)在(0, +∞)上为减函数，若函数f(x)=log13x+1x+a的零点在区间(1, +∞)上，则f(1)>0，即f(1)=log131+1+a=1+a>0，即a>−1，故选：C．6.【答案】B【考点】同角三角函数基本关系的运用【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式，求得sinα的值．【解答】解：∵已知cos2α=37且cosα<0，tanα<0，∴α为第二象限角，则sinα>0．∵cos2α=1−2sin2α=37，∴sinα=√147，故选：B．7.【答案】D【考点】平面向量的基本定理及其意义 【解析】由题意作图辅助，从而可得AD →=AB →+BD →=AB →+15(AC →−AB →)，从而化简即可． 【解答】解：由题意作图如右， AD →=AB →+BD →=AB →+15BC →=AB →+15(AC →−AB →)=45AB →+15AC →，故选：D ．8.【答案】 A 【考点】指、对数不等式的解法【解析】由对数的运算性质把已知不等式变形，然后利用对数函数的性质把对数不等式转化为一元一次不等式组求解． 【解答】解：∵ −log 1a x =log a x ，∴ 原不等式等价于log a (4−x)>log a x ，∵ a >1，∴ {x >04−x >04−x >x，解得0<x <2．∴ 原不等式的解集为(0, 2)．故选：A ．9.【答案】 A【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值． 【解答】解：∵ tan x =13，则sin x cos x +1=sin x cos xsin 2x+cos 2x +1=tan xtan 2x+1+1=1319+1+1=1310，故选：A ． 10.【答案】 D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值 【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos (α+π6)的值，利用两角差的余弦函数公式根据cos (α−π6)=cos [(α+π6)−π3]即可计算求值． 【解答】解：∵ π2<α<π，sin (α+π6)=35， ∴2π3<α+π6<7π6，可得：cos (α+π6)=−√1−sin 2(α+π6)=−45，∴ cos (α−π6)=cos [(α+π6)−π3]=cos (α+π6)cos π3+sin (α+π6)sin π3=(−45)×12+35×√32=3√3−410．故选D ． 11.【答案】C【考点】 函数的图象变换【解析】根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．【解答】解：甲乙丙三辆汽车，在不同速度下的燃油效率请况，对于选项A ，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40千米每小时时的燃油效率大于5千米每升，故乙车消耗1升汽油的行驶路程远大于5千米，故A 正确；对于选项B ，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B 正确， 对于选项C ，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率为10， 故消耗8升汽油，故C 错误，对于选项D ，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D 正确， 故选：C ． 12. 【答案】 D【考点】函数的值域及其求法 函数的图象变换【解析】由题意求出f(x)的值域，再把对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)转化为函数g(x)的值域包含f(x)的值域，进一步转化为关于a 的不等式组求解． 【解答】解：∀x 1∈R ，f(x)=|x|∈[0, +∞)， ∵ ∃x 2∈R ，使f(x 1)=g(x 2)，∴ g(x)=lg (ax 2−4x +1)的值域包含[0, +∞)， 当a =0时，g(x)=lg (−4x +1)，显然成立；当a ≠0时，要使g(x)=lg (ax 2−4x +1)的值域包含[0, +∞)， 则ax 2−4x +1的最小值小于等于1，∴ {a >04a−(−4)24a ≤1，即a >0． 综上，a ≥0．∴ 实数a 的取值范围是[0, +∞)． 故选：D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 【答案】3√1313【考点】 三角函数 【解析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sin θ的值． 【解答】解：∵ 角θ的终边经过点M(−2, 3)，∴ x =−2，y =3，r =√x 2+y 2=√13， 则sin θ=y r=√13=3√1313， 故答案为：3√1313． 【答案】 −12【考点】函数的求值【解析】根据分段函数求出f(1)的值，从而求出f （f(1)）即可． 【解答】解：函数f(x)={2x −3,x ≥02x −1，x <0，则f(1)）=−1，∴ f （f(1)）=f(−1)=−12， 故答案为：−12．【答案】 (3, 0) 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 对数函数的图象与性质【解析】根据幂函数的定义求出m 的值，结合对数函数的性质求出A 的坐标即可． 【解答】解：若函数f(x)=(m −1)x α是幂函数， 则m =2，则函数g(x)=log a (x −m)=log a (x −2)（其中a >0，a ≠1）， 令g(x)=0，则x −2=1， 解得：x =3，则其图象过定点A 的坐标为(3, 0). 故答案为：(3, 0)． 【答案】 2【考点】平面向量数量积的运算 【解析】由CD →在AB →方向上的投影为|AB →|˙，运用向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值． 【解答】解：CD →在AB →方向上的投影为|AB →|˙ =2=2，当x =−2时，1+(x +2)2取得最小值1， 可得CD →在AB →方向上的投影的最大值为2．故答案为：2．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 【答案】解：集合B ={x|−3<x <2}，∵ x ∈B ，∴ y =x 2+x −1=(x +12)2−54∈[−54，5)，∴ C =[−54，5)．（1）∴ B ∩C =[−54，2)，B ∪C =(−3, 5)． （2）函数f(x)=√4x −a 的定义域为A =[a4，+∞)， ∴ ∁R A =(−∞,a4)， ∵ B ⊆(∁R A)， ∴ 2≤a4，解得a ≥8．∴ 实数a 的取值范围是[8, +∞)． 【考点】集合的包含关系判断及应用 并集及其运算 交集及其运算 【解析】集合B ={x|−3<x <2}，由于x ∈B ，可得y =x 2+x −1=(x +12)2−54∈[−54，5)，可得C ．（1）利用集合的运算性质可得：B ∩C ，B ∪C ．（2）函数f(x)=√4x −a 的定义域为A =[a4，+∞)，可得∁R A =(−∞,a 4)，利用B ⊆(∁R A)，即可得出．【解答】解：集合B ={x|−3<x <2}，∵ x ∈B ，∴ y =x 2+x −1=(x +12)2−54∈[−54，5)，∴ C =[−54，5)．（1）∴ B ∩C =[−54，2)，B ∪C =(−3, 5)． （2）函数f(x)=√4x −a 的定义域为A =[a4，+∞)， ∴ ∁R A =(−∞,a4)， ∵ B ⊆(∁R A)， ∴ 2≤a4，解得a ≥8．∴ 实数a 的取值范围是[8, +∞)． 【答案】解：(1)c →⊥a →，c →=a →−b →， 可得(a →−b →)⋅a →=0， 即为a →2=a →⋅b →=4，可得cos <a →，b →>=|a →|⋅|b →|˙=42×4=12，由0≤<a →，b →>≤π，可得向量a →与b →的夹角为π3； （2）a →⋅(a →+3b →)=a →2+3a →⋅b →=4+3×4=16； |3a →+b →|=√(3a →+b →)2=√9a →2+6a →⋅b →+b →2 =√9×4+6×4+16=2√19．【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）由向量垂直的条件：数量积为0，运用向量的夹角的余弦公式，计算即可得到所求夹角； （2）运用向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值． 【解答】解：(1)c →⊥a →，c →=a →−b →， 可得(a →−b →)⋅a →=0，即为a →2=a →⋅b →=4，可得cos <a →，b →>=|a →|⋅|b →|˙=42×4=12， 由0≤<a →，b →>≤π，可得向量a →与b →的夹角为π3； （2）a →⋅(a →+3b →)=a →2+3a →⋅b →=4+3×4=16；|3a →+b →|=√(3a →+b →)2=√9a →2+6a →⋅b →+b →2 =√9×4+6×4+16=2√19．【答案】解：（1）化简可得f(x)=2sin x cos x +2cos 2x −1 =sin 2x +cos 2x =√2sin (2x +π4)， ∴ 函数f(x)的最小正周期T =2π2=π；（2）当x ∈[0,π4]时，2x +π4∈[π4, 3π4]， ∴ sin 2x ∈[√22, 1]，√2sin 2x ∈[1, √2]． 【考点】三角函数中的恒等变换应用 正弦函数的图象 【解析】（1）由三角函数公式化简可得f(x)=√2sin (2x +π4)，由周期公式可得；（2）由x∈[0,π4]可得2x+π4∈[π4, 3π4]，由三角函数的值域可得．【解答】解：（1）化简可得f(x)=2sin x cos x+2cos2x−1 =sin2x+cos2x=√2sin(2x+π4)，∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π；（2）当x∈[0,π4]时，2x+π4∈[π4, 3π4]，∴sin2x∈[√22, 1]，√2sin2x∈[1, √2]．【答案】解：（1）∵函数f(x)=x+ax +b且f(1)=2,f(2)=52．∴f(1)=1+a+b=2且f(2)=2+a2+b=52，解得a=1，b=0，则f(x)=x+1x，则函数的定义域为{x|x≠0}，则f(−x)=−x−1x =−(x+1x)=−f(x)，则函数是奇函数；（2）证明：设0<x1<x2，则有f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)x1x2−1x1x2当1<x1<x2时，x1x2>1，即，x1x2−1>0，又∵x1x2>0，x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数在(1, +∞)上为增函数．【考点】函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据条件建立方程关系，求出a，b的值，结合函数奇偶性的定义进行判断即可．（2）根据函数单调性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）∵函数f(x)=x+ax +b且f(1)=2,f(2)=52．∴f(1)=1+a+b=2且f(2)=2+a2+b=52，解得a=1，b=0，则f(x)=x+1x，则函数的定义域为{x|x≠0}，则f(−x)=−x−1x=−(x+1x)=−f(x)，则函数是奇函数；（2）证明：设0<x1<x2，则有f(x1)−f(x2)=(x1+1x1)−(x2+1x2)=(x1−x2)+(1x1−1x2)=(x1−x2)x1x2−1x1x2当1<x1<x2时，x1x2>1，即，x1x2−1>0，又∵x1x2>0，x1−x2<0，∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函数在(1, +∞)上为增函数．【答案】解：（1）由题意知A=2，周期T=2(2π3−π6)=π，ω=2ππ=2，∴y=2sin(2x+φ)，∵2=2sin(2×π6+φ)，可得：φ+π3=2kπ+π2，k∈Z，∴|φ|<π2，可得：φ=π6，∴解析式为：y=2sin(2x+π6)．（2）∵由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得：kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，∴f(x)的单调增区间为：[kπ−π3, kπ+π6]，k∈Z．∴令2x+π6=kπ+π2，k∈Z，可解得：x=kπ2+π6，k∈Z，故f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π6，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】（1）由题意，根据图象相邻的最高点与最低点的坐标，我们可以得到函数的最大值，最小值，周期，进而求出A，ω，φ值后，即可得到函数解析式．（2）由2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，解得f(x)的单调增区间，令2x+π6=kπ+π2，k∈Z，可解得f(x)的对称轴方程．【解答】 解：（1）由题意知A =2， 周期T =2(2π3−π6)=π，ω=2ππ=2，∴ y =2sin (2x +φ)，∵ 2=2sin (2×π6+φ)，可得：φ+π3=2kπ+π2，k ∈Z ， ∴ |φ|<π2，可得：φ=π6， ∴ 解析式为：y =2sin (2x +π6)．（2）∵ 由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，解得：kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，∴ f(x)的单调增区间为：[kπ−π3, kπ+π6]，k ∈Z ．∴ 令2x +π6=kπ+π2，k ∈Z ，可解得：x =kπ2+π6，k ∈Z ，故f(x)的对称轴方程为x =kπ2+π6，k ∈Z ．【答案】解：(1)当a =3时，f(x)=log 3x ，∴ f(27x )f(3x)=(log 327−log 3x)(log 33+log 3x)=(3−log 3x)(1+log 3x)=−5， 解得：log 3x =4，或log 3x =−2， 解得：x =81，或x =19； (2)∵ f(3a −1)>f(a)=1，①当0<a <1时，0<3a −1<a ，解得：0<a <12，②当a >1时，3a −1>a ，解得：a >1， 综上可得：0<a <12，或a >1；(3)证明：当a =12时，g(x)=f(x)−3x +4=log 12x −3x +4为减函数，由g(2)=−1−9+4=−6<0， 故g(x)<0对x ∈(2, +∞)恒成立．故对任意λ>0，都存在μ=2λ>0，使得λμ=2，即对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0对x ∈(λμ, +∞)恒成立． 【考点】不等式恒成立问题 对数函数的图象与性质 其他不等式的解法【解析】（1）当a =3时，f(x)=log 3x ，f(27x )f(3x)=(log 327−log 3x)(log 33+log 3x)=(3−log 3x)(1+log 3x)=−5，解得答案；（2）分讨论满足不等式f(3a −1)>f(a)=1的a 的范围，综合讨论结果，可得答案；（3）当a =12时，g(x)=log 12x −3x +4为减函数，且g(x)<0对x ∈(2, +∞)恒成立．进而得到答案．【解答】解：(1)当a =3时，f(x)=log 3x ，∴ f(27x )f(3x)=(log 327−log 3x)(log 33+log 3x) =(3−log 3x)(1+log 3x)=−5， 解得：log 3x =4，或log 3x =−2， 解得：x =81，或x =19； (2)∵ f(3a −1)>f(a)=1，①当0<a <1时，0<3a −1<a ，解得：0<a <12， ②当a >1时，3a −1>a ，解得：a >1， 综上可得：0<a <12，或a >1；(3)证明：当a =12时，g(x)=f(x)−3x +4=log 12x −3x +4为减函数，由g(2)=−1−9+4=−6<0， 故g(x)<0对x ∈(2, +∞)恒成立．故对任意λ>0，都存在μ=2λ>0，使得λμ=2，即对任意λ>0，都存在μ>0，使得g(x)<0对x ∈(λμ, +∞)恒成立．。

2015-2016学年河北省张家口市高一（下）期末数学试卷一、选择题（每题5分）1．（5分）不等式﹣2x2+7x﹣3＜0的解集为（）A．{x|＜x＜3}B．{x|x＜或x＞3}C．{x|﹣＜x＜3}D．∅2．（5分）直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行，则a为（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．3．（5分）已知等比数列{a n}，且a2+a4=3，则a3（a1+2a3+a5）的值为（）A．12 B．4 C．6 D．94．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3（π+1）B．4π+1 C．π+D．2π+5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定能成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a4＞b46．（5分）若log2x+log2y=2，则+的最小值为（）A．1 B．C．2 D．47．（5分）在△ABC中，a=x，b=1，B=30°，若此三角形只有一解，则x的取值范围是（）A．2 B．0＜x≤1 C．2或0＜x≤1 D．1≤x≤28．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，则异面直线A1D与OB所成角的余弦值为（A．B．C．D．9．（5分）自圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0外一点P（5，0）向该圆引切线，切点分别为A，B，过A，B的直线方程为（）A．3x+4y﹣20=0 B．4x+3y﹣4=0 C．3x﹣4y﹣15=0 D．4x﹣3y+4=010．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9=3，则a7+a10=﹣1，则{a n}的前n项和S n的最大值为（）A．100 B．92 C．88 D．7211．（5分）设点P（1，﹣1）到直线（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m=0（m∈R）的距离为d，则d的取值范围为（）A．[0，1） B．[0，1]C．[0，）D．[0，]12．（5分）棱长相等的三棱锥A﹣BCD的俯视图是边长为2的正方形，如图所示，若该几何体的另一个棱长都相等的三棱锥A′﹣B′C′D′纸盒内可以任意转动，则三棱锥A′﹣B′C′D′的棱长的最小值为（）A．3 B．8 C．6 D．6二、填空题（每题5分）13．（5分）已知实数x，y满足，求目标函数z=x﹣2y的最小值为．14．（5分）△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则AC边上的中线长为．15．（5分）直线x﹣ysinθ+2=0的倾斜角的取值范围是．16．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，则{a n}的前100项和为．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cosC+sinC=；（1）求A；（2）若a=，求△ABC面积的最大值．18．（12分）三棱锥S﹣ABC中，已知△ABC是以角A为直角的等腰三角形，AB=2，SB=SC=，SO⊥BC，垂足为O．（1）证明：SA⊥BC；（2）若侧面SBC⊥底面ABC，求OS与平面ASB所成角的正弦值．19．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，S n=a n+1﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．20．（12分）如图，已知小矩形蓄水池ABCD中，AB=3米，AD=2米，现要将小矩形蓄水池扩建为大矩形蓄水池AEPF，使点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF过点C．（1）分别求矩形AEPF的面积和周长的最小值及对应AE的长；（2）求|CF|•|CE|的最小值及此时AE的长．21．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a4+a8=22，{a n}的前n项和为S n，（1）求a n及S n（2）证明：对一切正整数n，有++…+＜．22．（12分）已知与定点O（0，0），A（0，3）的距离比为的点P的轨迹为曲线C，过点B（0，2）的直线l与曲线C交于M，N两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）判断•是否为定值？若是求出这个定值，若不是请说明理由；（3）若•=1，求直线l的方程．2015-2016学年河北省张家口市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．（5分）不等式﹣2x2+7x﹣3＜0的解集为（）A．{x|＜x＜3}B．{x|x＜或x＞3}C．{x|﹣＜x＜3}D．∅【解答】解：﹣2x2+7x﹣3＜0等价于2x2﹣7x+3＞0，即为（2x﹣1）（x﹣3）＞0，解得x＜或x＞3，故选：B．2．（5分）直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行，则a为（）A．﹣1 B．3 C．3或﹣1 D．【解答】解：直线ax+3y+3=0与直线x+（a﹣2）y+1=0平行，则﹣=﹣，解得a=3或a=﹣1，当a=3时，两直线重合，故a的值为﹣1，故选：A．3．（5分）已知等比数列{a n}，且a2+a4=3，则a3（a1+2a3+a5）的值为（）A．12 B．4 C．6 D．9【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=3，∴=3．则a3（a1+2a3+a5）=q2（1+2q2+q4）==32=9．故选：D．4．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3（π+1）B．4π+1 C．π+D．2π+【解答】解：由三视图可知：该几何体的后面是圆柱的一半，前面是一个三棱柱截去一个三棱锥．∴该几何体的体积V=π×12×4+﹣×2=2π+．故选：D．5．（5分）若a＞b，则下列不等式一定能成立的是（）A．＜B．a3＞b3C．＞D．a4＞b4【解答】解：对于A，若a=1，b=﹣1则不成立，对于B：根据幂函数y=x3为增函数，若a＞b，则a3＞b3，故正确，对于C：若a=2，b=﹣1，则不成立，对于D：若a=0，b=﹣1，则不成立，故选：B．6．（5分）若log2x+log2y=2，则+的最小值为（）A．1 B．C．2 D．4【解答】解：∵log2x+log2y=2，∴xy=4，x，y＞0．则+≥=，当且仅当y=2x=2时取等号．故选：B．7．（5分）在△ABC中，a=x，b=1，B=30°，若此三角形只有一解，则x的取值范围是（）A．2 B．0＜x≤1 C．2或0＜x≤1 D．1≤x≤2【解答】解：：∵B=30°，b=1，根据正弦定理得：==2，∴a=2sinA．又A+C=180°﹣30°=150°，且三角形只一解，可得A有一个值，∴0＜A≤30°．又A=90°时，三角形也只有一解，此时，a=2．∴0＜sinA≤，或sinA=1，∴a∈（0 1]或a=2，即x∈（0 1]或x=2，故选：C．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形A1B1C1D1的中心，则异面直线A 1D与OB所成角的余弦值为（A．B．C．D．【解答】解：如图所示建立空间直角坐标系不妨设AB=2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），B（2，2，0），O（1，1，2），∴=（2，0，2），=（﹣1，﹣1，2），∴===，∴异面直线A1D与OB所成角的余弦值为．故选：A．9．（5分）自圆x2+y2﹣2x﹣6y+9=0外一点P（5，0）向该圆引切线，切点分别为A，B，过A，B的直线方程为（）A．3x+4y﹣20=0 B．4x+3y﹣4=0 C．3x﹣4y﹣15=0 D．4x﹣3y+4=0【解答】解：设已知圆圆心为C（1，3），则|PC|==2r∴∴P，A，B，C四点共圆的方程为与已知圆相减得：4x﹣3y+4=0即为所求．10．（5分）若等差数列{a n}满足a7+a8+a9=3，则a7+a10=﹣1，则{a n}的前n项和S n的最大值为（）A．100 B．92 C．88 D．72【解答】解：∵等差数列{a n}满足a7+a8+a9=3，a7+a10=﹣1，∴，解得a1=22，d=﹣3，∴S n=22n+×（﹣3）=﹣+=﹣（n﹣）2+．∴n=8时，{a n}的前n项和S n的最大值为92．故选：B．11．（5分）设点P（1，﹣1）到直线（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m=0（m∈R）的距离为d，则d的取值范围为（）A．[0，1） B．[0，1]C．[0，）D．[0，]【解答】解：直线（m+1）x+（2m﹣1）y﹣1﹣4m=0化为m（x+2y﹣4）+x﹣y ﹣1=0，点P（1，﹣1）联立，解得．∴直线l过定点Q（2，1），∴d的最大值为点P、Q的距离，∵点P、Q的距离为=，由d=→PQ⊥l，且PQ斜率为2→直线l的斜率为﹣而直线l的斜率为﹣二者矛盾，也就是说，d≠故d的取值范围是[0，）．故选：C．12．（5分）棱长相等的三棱锥A﹣BCD的俯视图是边长为2的正方形，如图所示，若该几何体的另一个棱长都相等的三棱锥A′﹣B′C′D′纸盒内可以任意转动，则三棱锥A′﹣B′C′D′的棱长的最小值为（）A．3 B．8 C．6 D．6【解答】解：这个正四面体的位置是AC放在桌面上，BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，则正视图BD=2．构造正四面体A﹣BCD的外接球，其半径R=2•=，该球作为三棱锥A′﹣B′C′D′的内切球，半径为r=R==a′，∴a′=6，故选：D．二、填空题（每题5分）13．（5分）已知实数x，y满足，求目标函数z=x﹣2y的最小值为﹣4．【解答】解：由z=x﹣2y得y=，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=，由图象可知当直线y=，过点A时，直线y=的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣2×3=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故答案为：﹣4．14．（5分）△ABC在空间直角坐标系中的位置及坐标如图所示，则AC边上的中线长为．【解答】解：如图，∵A（2，0，0），C（0，1，1），B（1，1，0）∴AC的中点为（1，），∴AC边上的中线长：=．故答案为：．15．（5分）直线x﹣ysinθ+2=0的倾斜角的取值范围是[，] ．【解答】解：设直线x﹣ysinθ+2=0的倾斜角为α，则|ta nα|=||≥∴α∈[，]．故答案为：[，]．16．（5分）数列{a n}满足a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，则{a n}的前100项和为5100．【解答】解：∵a1=1，a n+1+（﹣1）n a n=2n，当n=2k（k∈N*）时，a2k+1+a2k=4k，a2k﹣a2k﹣1=4k﹣2．∴a2k+1+a2k﹣1=2，a2k+2+a2k=8k+2．则{a n}的前100项和=（a1+a3+…+a99）+（a2+a4+…+a100）=25×2+[（8×1+2）+（8×3+2）+…+（8×49+2）]=50+=5100．故答案为：5100．三、解答题17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cosC+sinC=；（1）求A；（2）若a=，求△ABC面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）∵cosC+sinC=，∴sinAcosC+sinAsinC=sinB+sinC，∴sinAcosC+sinAsinC=sin（A+C）+sinC∴sinAsinC=cosAsinC+sinC，∵sinC≠0，∴sinA=cosA+1∴sin（A﹣）=，∵A∈（0，π），∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣=，∴A=；（2）∵a=，A=，由余弦定理可得a2=b2+c2+2bccosA，∴3=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc∴bc≤1，=bcsinA≤×1×=，∴S△ABC故△ABC面积的最大值为18．（12分）三棱锥S﹣ABC中，已知△ABC是以角A为直角的等腰三角形，AB=2，SB=SC=，SO⊥BC，垂足为O．（1）证明：SA⊥BC；（2）若侧面SBC⊥底面ABC，求OS与平面ASB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：连接AO，∵SB=SC，SO⊥BC，∴O为BC的中点，∵△ABC是以角A为直角的等腰三角形，∴AO⊥BC，∵AO∩SO=O，∴BC⊥平面SOA，∵SA⊂平面SOA，∴SA⊥BC；（2）解：∵AB=2，SB=SC=，SO⊥BC，∴SO=1．∵侧面SBC⊥底面ABC，∴SO⊥底面ABC，∴SO⊥OA，∴SA=设OS与平面ASB所成角为θ，点O到平面ASB的距离为h，则sinθ=．=V S﹣OAB，∵V O﹣ASB∴=，==1，S△SAB==，∵S△OAB∴h=，∴sinθ==．19．（12分）数列{a n}的前n项和记为S n，a1=1，S n=a n+1﹣2（n∈N*）．（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵S n=a n+1﹣2（n∈N*），∴S n﹣1=a n﹣2，相减可得：a n=a n+1﹣a n，=2a n，化为：a n+1∴数列{a n}是等比数列，公比为2，首项为1．∴a n=2n﹣1．（2）na n=n•2n﹣1．∴数列{na n}的前n项和T n=1+2×2+3×22+…+n•2n﹣1．∴2T n=2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣T n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）n•2n﹣1，∴T n=（n﹣1）•2n+1．20．（12分）如图，已知小矩形蓄水池ABCD中，AB=3米，AD=2米，现要将小矩形蓄水池扩建为大矩形蓄水池AEPF，使点B在AE上，点D在AF上，且对角线EF过点C．（1）分别求矩形AEPF的面积和周长的最小值及对应AE的长；（2）求|CF|•|CE|的最小值及此时AE的长．【解答】解：以A为原点建立平面直角坐标系，设E（a，0），F（0，b），则直线EF方程为+=1，∵EF过点C，∴=1．（1）矩形AEPF的面积S=ab，1=≥，∴ab≥24，当且仅当，即a=6，b=4时等号成立；周长l=2（a+b）=2（a+b）（）=2（5++）≥2（5+2），当且仅当=，即a=3+时等号成立；（2）∵=﹣|CF|•|CE|，∴|CF|•|CE|=﹣=﹣（﹣3，b﹣2）•（a﹣3，﹣2）=3a+2b﹣13=（3a+2b）（）﹣13=≥12，当且仅当a=b，即a=5时等号成立，∴|CF|•|CE|的最小值为12，此时AE=5．21．（12分）已知等差数列{a n}满足a3=5，a4+a8=22，{a n}的前n项和为S n，（1）求a n及S n（2）证明：对一切正整数n，有++…+＜．【解答】解：（1）∵a4+a8=22，∴a6=11，∴a6﹣a3=3d=11﹣5=6，∴d=2，∴a1=1，∴a n=2n﹣1．S n==n2，（2）∵S n=n2，∴当n=1时，=1，当n≥2时，=＜=﹣，∴++…+＜1++（﹣）+…+（﹣）=1++﹣=﹣＜，故对一切正整数n，有++…+＜．22．（12分）已知与定点O（0，0），A（0，3）的距离比为的点P的轨迹为曲线C，过点B（0，2）的直线l与曲线C交于M，N两点．（1）求曲线C的轨迹方程；（2）判断•是否为定值？若是求出这个定值，若不是请说明理由；（3）若•=1，求直线l的方程．【解答】解：（1）设曲线C上的任意一点P（x，y），由题意可得：==，化为：x2+（y+1）2=4．（2）直线l的斜率不存在时，直线l与曲线C相交于点（0，1），（0，﹣3）．则•=（0，﹣1）•（0，﹣5）=0+5=5．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+2，直线l与曲线C相交于点M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为（1+k2）x2+6kx+5=0，△=36k2﹣20（1+k2）=16k2﹣20＞0，解得k2．∴x1x2=，∴•=x1x2+（y1﹣2）（y2﹣2）=（1+k2）x1x2=5．综上可得：•为定值5．（3）•=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+2）（kx2+2）=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=1，由（2）可得：根与系数的关系：x1+x2=﹣，（1+k2）x1x2=5．∴5+2k×+4=1，化为：k2=2，解得k=．满足△＞0．∴直线l的方程为：y=x+2．。

2023-2024学年河北省承德市高一下册期中联考数学试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i 3i z +=-，则z 的虚部为（）A ．2-B ．1-C ．2i-D ．2【正确答案】A【分析】根据复数除法法则，再结合虚部的概念即可得到答案．【详解】由()1i 3i z +=-，则3i12i 1iz -==-+，所以z 的虚部为2-．故选：A ．2．下列说法中不正确的是（）A ．零向量与任一向量平行B ．方向相反的两个非零向量不一定共线C ．单位向量是模为1的向量D ．方向相反的两个非零向量必不相等【正确答案】B【分析】根据向量的定义、共线向量、相等向量的定义求解.【详解】根据规定：零向量与任一向量平行，A 正确；方向相反的两个非零向量一定共线，B 错误；单位向量是模为1的向量，C 正确；根据相等向量的定义：长度相等方向相同的两个向量称为相等向量，所以方向相反的两个非零向量必不相等，D 正确；故选:B.3．在ABC 中，若3,4,5AB BC AC ===，则BC AC ⋅=（）A ．16-B ．16C ．9D ．0【正确答案】B【分析】根据题意得到AB BC ⊥，再根据数量积和向量的加法法则即可求解．【详解】由3,4,5AB BC AC ===，则222AB BC AC +=，所以AB BC ⊥，所以()2216BC AC BC AB BC BC AB BC BC ⋅=⋅+=⋅+==．故选：B ．4．若π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1sin 3π3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos α的值为（）A ．16B ．16C ．6+D ．6【正确答案】D【分析】根据角的范围，结合同角的三角函数关系式，利用两角和的余弦公式进行求解即可.【详解】因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6π3π3πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以πcos 33α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos 33ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11323=-⨯故选：D.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若30a =，25b =，42A = ，则此三角形解的情况为（）A ．无解B ．有两解C ．有一解D ．有无数解【正确答案】C【分析】利用正弦定理可得5sin 6B A =，由sin A 的取值范围可求得sin B 的范围，结合大边对大角可知B 为锐角的一个，由此可得结果.【详解】由正弦定理sin sin a bA B =得：sin 5sin sin 6b A B A a ==，sin 30sin sin 45A << ，1sin 22A ∴<<，则55sin 12612<<A ，5sin 11212B ∴<<<，a b > ，A B ∴>，B ∴只能为锐角的一个值，ABC ∴ 只有一个解.故选：C.6．已知ABC 的三边长分别为a ，3a +，6a +，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值为（）A ．23B ．34C ．45D ．38【正确答案】B【分析】设ABC 的最小内角为α，利用正弦定理得到6cos 2a aα+=，再利用余弦定理得到()15cos 26a a α+=+，进而即可求解．【详解】设ABC 的最小内角为α，由正弦定理得6sin sin2a a αα+=，整理得6cos 2a aα+=，又余弦定理得()()()222(3)(6)15cos 23626a a a a a a a α+++-+==+++，所以()615226a a a a ++=+，解得12a =，则3cos 4α=．故选：B ．7．已知点O 是ABC 所在平面内一点，若非零向量AO 与向量cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭共线，则（）A ．OAB OAC ∠=∠B ．0OA OB OC ++= C ．OB OC=D ．0AO BC ⋅= 【正确答案】D【分析】计算得出0cos cos AB AC BC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ ，可得出0AO BC ⋅= ，即可得出结论.【详解】因为0cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+=-+= ⎪⎝⎭，所以BC 与cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭垂直，因为AO 与cos cos AB AC AB B AC C ⎛⎫ ⎪+ ⎪⎝⎭共线，所以AO BC ⊥ ，则0AO BC ⋅= .故ABC 均无法判断，D 对.故选：D.8．将函数sin2y x x =+的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象，若()f x 在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则ϕ的取值范围为（）A ．3,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．π,42π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．π5π,412⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．ππ,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【正确答案】C【分析】根据辅助角公式和图象的平移变换得到()π2sin 223f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的单调性求出函数()f x 的单调递减区间，然后根据条件给出的区间建立不等式关系进行求解即可．【详解】由πsin22sin 23y x x x ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数π2sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后得到()f x 的图象，则()()ππ2sin 22sin 2233f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由πππ2π222π232k x k ϕ-+≤-+≤+，k ∈Z ，得5ππππ,1212k x k k ϕϕ-+≤≤++∈Z ，又()f x 在4ππ,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，则π4ππ1235πππ12k k ϕϕ⎧++≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，k ∈Z ，解得17ππ125ππ4k k ϕϕ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≥-⎪⎩，即5π17πππ,412k k k ϕ-≤≤-∈Z ，又π02ϕ<<，则当1k =时，π5π412ϕ≤≤，即ϕ的取值范围是π5π,412⎡⎤⎢⎣⎦．故选：C ．二、多选题9．若复数z 为纯虚数，则（）A ．z z +为实数B ．z z -为实数C ．2z 为实数D ．i z ⋅为实数【正确答案】ACD【分析】根据题意，设i(R z m m =∈且0)m ≠，得到i z m =-，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为z 为纯虚数，设i(R z m m =∈且0)m ≠，则i z m =-，由0z z +=，所以A 正确；由2i z z m -=，所以B 错误；由22z m =-为实数，所以C 正确；由i i i z m m =⋅=-⨯=为实数，所以D 正确.故选：ACD.10．已知函数()tan f x x =，则下列关于函数()f x 的图象与性质的叙述中，正确的有（）A ．函数()f x 的最小正周期为πB ．函数()f x 在()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增C ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称D ．π4π55f f ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【正确答案】ABC【分析】根据正切函数的性质画出()tan f x x =图象，即可判断A 、B 、C 的正误，由正切函数及诱导公式求π4π,55f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭判断D.【详解】函数()tan f x x =的大致图象，如下图示，由上图象，易知：()f x 最小正周期为π、()ππ,πZ 2k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭上单调递增、图象关于直线π2x =对称，故A ，B ，C 正确，又ππ4π4π4πππtan ,tan tan πtan tan 5555555f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以π4π55f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误．故选：ABC.11．已知非零向量a ，b满足42a b -= ，则下列结论正确的是（）A ．若a ，b 共线，则||4||2a b +=B ．若a b ⊥ ，则22164a b +=C ．若22166a b += ，则44a b += D ．14a b ⋅≥-【正确答案】BD【分析】当a ，b 同向时即可判断A ；根据a b ⊥ ，有0a b ⋅= ，再对42a b -= 两边平方即可判断B ；根据()22224421612a b a b a b -++=+=，求解即可判断C ；对42a b -= 两边平方，再结合基本不等式，绝对值不等式即可判断D ．【详解】对于A ，由22244816a b a a b b =-=-⋅+ ，()22244816a ba ab b =+=+⋅+，所以当a ，b同向时，88a b a b -⋅=-⋅ ，此时42a b +≠ ，故A 错误；对于B ，若a b ⊥，则0a b ⋅= ，42a b -= ，两边平方得22164a b += ，故B 正确；对于C ，由()22224421612a b a b a b -++=+= ，所以2|4|8a b +=，即4a b += C错误；对于D ，由222448168816a b a a b b a b a b a b =-=-⋅+≥⋅-⋅≥-⋅，得14a b ⋅≥- ，故D 正确．故选：BD ．12．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2(sin sin )(2sin sin )sin A B B C C +=+，且sin A >）A ．cos c a a C -=B ．a >cC ．c >aD ．π3C >【正确答案】ACD【分析】利用正弦边角关系可得2222()a b c b c a +-=-，结合余弦定理及锐角三角形知cos c a a C -=、0c aa->判断A 、B 、C 正误；再由正弦边角关系得sin sin 1cos C A C =+，应用倍角公式得tan23C >，注意π02C <<，即可得范围判断D 正误.【详解】由正弦边角关系知：2()(2)a b b c c +=+，则22222a ab b bc c ++=+，所以2222()a b c b c a +-=-，而222cos 02a b c C ab+-=>，则cos c a a C -=，A 正确；由上知：0c aa->，即c a >，B 错误，C 正确；由cos c a a C -=知：sin sin sin cos C A A C -=，则22sincos sin 22sin tan 1cos 22cos 2C C CC A C C===+，又π02C <<，故π024C <<，则ππ624C <<，即ππ32<<C ，D 正确.故选：ACD三、填空题13．计算：3i1i+=-___________.【分析】由复数的除法化简复数，进而求模即可.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2++++===+-+-14．已知3a = ，向量b 在a 上的投影向量为23a - ，则⋅=a b __________.【正确答案】6-【分析】设向量,a b的夹角为θ，根据投影向量的概念，再结合数量积的概念即可求解．【详解】设向量,a b的夹角为θ，由b 在a方向上的投影向量为23a - ，则2cos 3a b a a θ⋅⋅=- ，即cos 23b a θ⋅=- ，所以()cos 326a b a b θ⋅=⋅=⨯-=-．故6-．15．已知某扇形材料的面积为3π2，圆心角为π3，则用此材料切割出的面积最大的圆的周长为______.【正确答案】2π【分析】根据条件求出扇形半径r ，设割出的圆半径为a ，圆心为C ，由r CO a =+求得a ，从而求得的周长.【详解】设扇形所在圆半径为r ，∴21π3π,3232r r ⋅=∴=如图：设割出的圆半径为a ，圆心为C ，∴2πsin 6aCO a==,33r CO DC a ==+=，故1a =，所以最大的圆周长为2π.故2π16．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若O 为ABC 的重心，OB OC ⊥，34b c =，则cos A =__________．【正确答案】56【分析】根据πADB ADC ∠+∠=及余弦定理建立方程得出2225b c a +=，再由余弦定理求解即可．【详解】连接AO ，延长AO 交BC 于D ，由题意得D 为BC 的中点，OB OC ⊥，所以12OD BD CD a ===，32AD a =，因为πADB ADC ∠+∠=，所以22222291914444cos cos 0313*******a a c a ab ADB ADC a a a a +-+-∠+∠=+=⨯⨯⨯⨯，得2225b c a +=，又34b c =，则43b c =，故2222222112243555cos2255346b c b cb c a b cAbc bc c b+--+-⎛⎫⎛⎫===+=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故56．四、解答题17．已知虚数z满足z=(1)求证：5izz+在复平面内对应的点在直线y x=上；(2)若z是方程2240(R)x x k k++=∈的一个根，求k与z.【正确答案】(1)证明见解析(2)10k=，12iz=-±【分析】（1）由题设可得5i iz z zz+=+，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；（2）将复数iz a b=+代入方程求参数即可.【详解】（1）设iz a b=+(,R,0)a b b∈≠，由z=，则5zz=，所以5i i i(i)i()()iz z z a b a b a b a bz+=+=++-=+++，所以5izz+在复平面内对应的点为(,)a b a b++，在直线y x=上.（2）同（1）设复数i(,R,0)z a b a b b∈≠=+，因为z是方程2240(R)x x k k++=∈的一个根，所以22(i)4(i)0a b a b k++++=，即22224(44)i0a b a k ab b-++++=，所以222240a b a k-++=且440ab b+=，得1a=-，因为225a b+=，所以2b=±，把1,2a b =-=±代入222240a b a k -++=得：10k =，所以10k =，12i z =-±.18．已知函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象的一部分如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）当4,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()(2)y f x f x =++的最值.【正确答案】（1）π3π()2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）最小值-【分析】（1）由函数()f x 的图象，求得2A =，24T =，得到π()2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由()12f -=，求得3π4ϕ=，即可得到函数()f x 的解析式；（2）化简得到函数()(2)y f x f x =++π4x =-，结合三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由函数()sin()(0,0,0π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的图象，可得2A =，24T =，即2π8T ω==，所以π4ω=，可得π()2sin 4f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()12f -=，即ππ(1)2π,42k k ϕ⨯-+=+∈Z ，可得3π2π,4k k ϕ=+∈Z ，又由0πϕ<<，所以3π4ϕ=，所以函数()f x 的解析式为π3π()2sin 44f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意，函数()(2)y f x f x =++π3ππ3π2sin 2sin (2)4444x x ⎛⎫⎡⎤=++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦π3ππ3π2sin 2cos 4444x x ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ44x x ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭.因为4,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以ππ3π,434x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ42x =，即2x =时，y 取最小值-；当ππ43x =-，即43x =-时，y本题主要考查了利用三角函数的图象求解函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.19．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量()()2,,cos ,cos m b c a n A B =-= ，且m n ⊥ .(1)求角A ；(2)若ABC 的周长为ABC 外接圆的半径为1，判断ABC 的形状，并求ABC 的面积.【正确答案】(1)π3(2)等边三角形，4【分析】（1）由m n ⊥ ，可得2cos cos cos c A a B b A =+，后由正弦定理结合()sin sin A B C +=即可得答案；（2）由（1），ABC 的周长为ABC 外接圆的半径为1，可得b c +=后由余弦定理可得3bc =，解出b,c 即可得答案.【详解】（1）因为m n ⊥ ，所以()2cos cos 0b c A a B -+=，即2cos cos cos c A a B b A =+.由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，因为()sin cos sin cos sin sin A B B A A B C +=+=，所以2sin cos sin C A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =.因为()0,πA ∈，所以π3A =.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，则1R =.由正弦定理，得2sin a R A =.因为ABC 的周长为b c +=由余弦定理，得22222cos ()33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，所以3bc =.则3b c b c bc ⎧+=⎪⇒==⎨=⎪⎩所以ABC 为等边三角形，ABC的面积11sin 322S bc A ==⨯.20．已知向量a ，b 满足||2a = ，(2)(2)12a b a b -⋅+=-，a b ⋅= ．(1)求向量a 与b 的夹角θ；(2)求||a ．【正确答案】(1)6π(2)2【分析】（1）由(2)(2)12a b a b -⋅+=- ，||2a = ，解得||2b = ，再由向量的数量积，即可得出答案．（2）22||()a a = ，由向量的数量积，即可得出答案．【详解】（1）解：因为(2)(2)12a b a b -⋅+=- ，所以22||4||12a b -=- ，因为||2a = ，所以244||12b -=- ，解得||2b = ．而a b ⋅=，所以cos ||||a b a b θ⋅== 又[0,]θπ∈，所以6πθ=．（2）解：因为||2a = ，||2b =，a b ⋅=所以()2222||||3||422344a a a b b -=-⨯=⋅+=-= ，所以||2a = ．21．2023年的春节，人们积蓄已久的出行热情似乎在这一刻被引爆，让旅游业终于迎来真正意义上的“触底反弹”.如图是某旅游景区中的网红景点的路线图，景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .现有甲､乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m /min .在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C .假设缆车匀速直线运行的速度为130m /min ，索道AB 长为1040m ，经测量，123cos ,cos 135A C ==.(1)求山路AC 的长；(2)乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？【正确答案】(1)1260m(2)当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短【分析】（1）利用123cos ,cos 135A C ==，可得sin ,sin CB ，后由正弦定理可得答案；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.由图，题意，余弦定理可得()22200377050DE t t =-+，即可得答案.【详解】（1）在ABC 中，因为123cos ,cos 135A C ==，所以54sin ,sin 135A C ==.从而()()5312463sin sin πsin sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C ⎡⎤=-+=+=+=⨯+⨯=⎣⎦.由正弦定理sin sin AB AC C B =，得()104063sin 1260m 4sin 655AB AC B C =⨯=⨯=.所以山路AC 的长为1260m ；（2）假设乙出发t 分钟后，甲在D 点，乙在E 点.此时，()10050m AD t =+，130m AE t =，所以由余弦定理得()()222212(10050)(130)21301005020037705013DE t t t t t t =++-⨯⨯+⨯=-+23512500074003737t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.因为10400130t ≤≤，即08t ≤≤，故当()35min 37t =时，甲､乙两游客距离最短.22．已知圆O 的半径为2，圆O 与正ABC 的各边相切，动点Q 在圆O 上，点P 满足2AO AQ AP += .(1)求222PA PB PC ++ 的值；(2)若存在(),0,x y ∈+∞，使得CP xPA yPB =+ ，求x y +的最大值.【正确答案】(1)51(2)5【分析】（1）方法1，由题可得O 为正三角形ABC 中心，则0OA OB OC ++= ，||||||4OA OB OC === ，又由2AO AQ AP += ，可得||1OP = ，后注意到222222()()()PA PB PC PO OA PO OB PO OC ++=+++++ 即可得答案；方法2，以点O 为坐标原点，直线OA 为y 轴，过点O 与直线OA 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，设()cos ,sin P θθ，则可得22222cos (4sin )PA PB PC ⎡⎤++=+-⎣⎦θθ 22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ22cos )(2sin )⎡⎤+-++⎣⎦θθ，化简后可得答案；（2）方法1，由CP xPA yPB =+ ，可得()()()111x y PO x OA y OB ++=-+- ，平方后结合（1）可得()215()1848150x y x y xy +-+-+=，后由基本不等式可将其化为()2()650x y x y +-++≤，即可得答案；方法2，由（1）结合CP xPA yPB =+ ，可得)1422cos ,sin 11y x y x y x y θθ---==++++，则()22221661055cos sin x y xy x y θθ++--++⇒==.后由基本不等式可将其化为()2()650x y x y +-++≤，即可得答案.【详解】（1）方法1，由题意知120,0AOB BOC AOC OA OB OC ===++=∠∠∠，且||||||4OA OB OC === ，44cos1208OA OB OA OC OB OC ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯=- ，2,AO AQ AP AO AP AP AQ +=∴-=- ，PO QP P ∴=⇒ 为OQ 的中点.||2,||1OQ OP =∴= ，222222()()()PA PB PC PO OA PO OB PO OC ∴++=+++++ ()222232PO PO OA PO OB PO OC OA OB OC =+⋅+⋅+⋅+++ ()222232PO OA OB OC PO OA OB OC =++++⋅++ 31616162051PO =++++⋅= ；方法2，如图，以点O 为坐标原点，直线OA 为y 轴，过点O 与直线OA 垂直的直线为x 轴建立直角坐标系，则()()()0,4,2,2A B C ---.由2AO AQ AP += 得()2AO AO OQ AO OP ++=+ ，所以2OQ OP = .||2,||1OQ OP =∴= ，设()cos ,sin P θθ，则()cos ,4sin ,PA =--θθ ()()cos ,2sin ,2cos ,2sin PB PC =---=--θθθθ.则22222cos (4sin )PA PB PC ⎡⎤++=+-⎣⎦θθ 22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ22cos )(2sin )⎡⎤+++⎣⎦θθ()223cos sin 4851θθ=++=；（2）方法1，,CP xPA yPB =+ ()()CO OP x PO OA y PO OB ∴+=+++ .0∵++=OA OB OC ，OP PO =- ，()()()111x y PO x OA y OB ∴++=-+- .两边平方得：()()222222(1)(1)(1)211x y x OA y OB x y OA OB OP ++=-+-+--⋅ ，由（1）得8OA OB ⋅=- ，则()215()1848150x y x y xy +-+-+=.()22215()1815484812()2x y x y x y xy x y +⎛⎫∴+-++=≤⨯=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时取“=”号），整理得()2()65015x y x y x y +-++≤⇒≤+≤，即x y +的最大值为5；方法2，由（1）()()cos ,4sin ,cos ,2sin ,PA PB =--=----θθθθ ()cos ,2sin PC =--θθ，又CP xPA yPB =+ ，则()()()cos cos cos cos x y x y θθθθ-=-+-=--+，()()()2sin 4sin 2sin 42sin x y x y x y θθθθ+=-+--=--+.可得)1422cos ,sin 11y x y x y x y θθ---==++++.则()22221661055cos sin x y xy x y θθ++--++⇒==，整理得()222616164()1()55525x y x y x y xy x y +⎛⎫+-++=≤=+ ⎪⎝⎭（当且仅当x y =时等号成立），整理得()2()650x y x y +-++≤，解得15x y ≤+≤.所以x y +的最大值为5.。