专题07 探索直线与圆锥曲线位置关系之韦达定理的使用-2018版高人一筹之高二数学特色专题训练含解析

高三数学直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题

一. 本周教学内容：

1. 主要内容：直线与圆锥曲线位置关系以及圆锥曲线的有关最值问题。

2. 基本知识点：

（1）求解直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法。

（2）注意韦达定理的应用。

弦长公式：斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB，若A、B两点的坐标分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)则

ABxxyy()()122122

1212kxx

()[()]14212212kxxxx

12ka

（3）注意斜率不存在的情况的讨论和焦半径公式的使用。

（4）有关中点弦问题

<1>已知直线与圆锥曲线方程，求弦的中点及与中点有关的问题，常用韦达定理。

<2>有关弦的中点轨迹，中点弦所在直线方程，中点坐标问题，有时采用“差分法”可简化运算。

（5）有关圆锥曲线的对称问题

若，是关于直线的对称点，则应抓住的中点在对称轴上及AA'lAAl''kkAAl1

这两个关键条件，同时要记住一些特殊的对称关系，如关于坐标轴对称，关于点对称，关于直线y=±x+b对称。

（6）圆锥曲线中的有关最值问题，常用代数法和几何法解决。

<1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决。

<2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值。

【例题选讲】

例1. 已知抛物线y2=2px(p>0)。过动点M（a，0）且斜率为l的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B

（）若，求的取值范围。12ABpa

（2）若线段AB的垂直平分线交AB于Q，交x轴于点N，试求三角形MNQ的面积。

高考中的直线与圆锥曲线位置关系问题

一、基础知识

1、直线与圆锥曲线问题的特点：

（1）题目贯穿一至两个核心变量（其余变量均为配角，早晚利用条件消掉），

（2）条件与直线和曲线的交点相关，所以可设1122,,,AxyBxy，至于,AB坐标是否需要解出，则看题目中的条件，以及坐标的形式是否复杂

（3）通过联立方程消元，可得到关于x（或y）的二次方程，如果所求的问题与两根的和或乘积有关，则可利用韦达定理进行整体代入，从而不需求出1212,,,xxyy（所谓“设而不求”）

（4）有些题目会涉及到几何条件向解析语言的转换，注重数形几何，注重整体代入．则可简化运算的过程

这几点归纳起来就是“以一个（或两个）核心变量为中心，以交点1122,,,AxyBxy为两个基本点，坚持韦达定理四个基本公式（12121212,,,xxxxyyyy，坚持数形结合，坚持整体代入．直至解决解析几何问题“

2、韦达定理：是用二次方程的系数运算来表示两个根的和与乘积，在解析几何中得到广泛使用的原因主要有两个：一是联立方程消元后的二次方程通常含有参数，进而导致直接利用求根公式计算出来的实根形式非常复杂，难以参与后面的运算；二是解析几何的一些问题或是步骤经常与两个根的和与差产生联系．进而在思路上就想利用韦达定理，绕开繁杂的求根结果，通过整体代入的方式得到答案．所以说，解析几何中韦达定理的应用本质上是整体代入的思想，并不是每一道解析题必备的良方．如果二次方程的根易于表示（优先求点，以应对更复杂的运算），或者所求的问题与两根和，乘积无关，则韦达定理毫无用武之地．

3、直线方程的形式：直线的方程可设为两种形式：

（1）斜截式：ykxm，此直线不能表示竖直线．联立方程如果消去y则此形式比较好用，且斜率在直线方程中能够体现，在用斜截式解决问题时要注意检验斜率不存在的直线是否符合条件

（2）xmyb，此直线不能表示水平线，但可以表示斜率不存在的直线．经常在联立方程后消去x时使用，多用于抛物线22ypx（消元后的二次方程形式简单）．此直线不能直接体现斜率，当0m时，斜率1km

韦达定理在解析几何中的应用

韦达定理步骤

1、 设直线0AxByC与曲线交于两点1122(,),(,)AxyBxy,既设而不求。

2、 直线与曲线方程联立方程组。

3、 消去x, 得到关于或y的一元二次方程.

4、 结合具体问题与韦达定理建立联系， 如求弦长等。

韦达定理注意与向量的联系

一，求弦长

.直线与圆锥曲线相交的弦长计算:(1)连结圆锥曲线上两点的线段称为圆锥曲线的弦;(2)易求出弦端点坐标时用距离公式求弦长;(3)一般情况下,解由直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组,得到关于x(或y)的一元二次方程,利用方程组的解与端点坐标的关系,结合韦达定理得到弦长公式

∣AB∣=∣x1-x2∣21k=)1](4)[(221221kxxxx

或∣AB∣=∣y1-y2∣211k =)11](4)[(221221kyyyy ，

1．设直线21yx交曲线C于1122(,),(,)AxyBxy两点。

（1）若12||2xx，则||AB

10

（2）12||2yy，则||AB 102

2．斜率为1的直线经过抛物线24yx的焦点，与抛物线相交于,AB两点，则||AB= 8

例1,已知直线 L 的斜率为2，且过抛物线y2=2px的焦点，求直线 L 被抛物线截得的弦长。已知向量mxnmxny1122201101，，，，，，，（其中x，y是实数），又设向量122122mmnnmnuruuruurruurur，，且mn∥，点Pxy，的轨迹为曲线C。

（I）求曲线C的方程；

（II）设曲线C与y轴的正半轴的交点为M，过点M作一条直线l与曲线C交于另一点N，当MN423时，求直线l的方程。

例2,直线y=kx-2交椭圆x2+4y2=80交于不同的两点P、Q，若PQ中点的横坐标为2，则∣PQ∣等于___________.

圆锥曲线定直线问题解题方法与技巧

标题：圆锥曲线定直线问题的解题方法与技巧

一、引言

在解析几何中，圆锥曲线是重要的研究对象，其中涉及到的定直线问题要求我们找出经过特定点或者满足特定条件的直线方程。这类问题通常需要综合运用直线与圆锥曲线的位置关系、参数方程、极坐标方程以及代数运算等知识。以下将详细介绍解决此类问题的一些基本方法和实用技巧。

二、基本解题方法

1. 利用位置关系确定直线方程：

当已知直线过某定点或与圆锥曲线相切、相交于两点等情况时，可以利用圆锥曲线的标准方程（例如椭圆、双曲线、抛物线）与直线的一般方程联立，通过求解方程组得到交点坐标，进而确定直线方程。

2. 参数法：

圆锥曲线的参数方程能直观地反映点与曲线的关系，当直线与圆锥曲线有特殊关系（如切线、法线）时，可先将直线写成参数形式，然后与圆锥曲线的参数方程联立求解参数，从而得出直线的方程。

3. 极坐标法：

在某些情况下，若圆锥曲线或直线在极坐标下表达更为简便，可直接在极坐标系中建立方程，求解后转换为直角坐标系下的直线方程。

三、解题技巧

1. 明确题目条件： 解决定直线问题时，首先要明确直线需要满足的条件，如是否过定点、是否为圆锥曲线的切线、斜率是否存在等，这些信息对于选择合适的解题方法至关重要。

2. 判断直线与圆锥曲线的位置关系：

通过计算判别式，可以判断直线与圆锥曲线的位置关系，如相离、相切、相交等，进一步决定如何设定直线方程。

3. 巧妙应用韦达定理：

在处理直线与圆锥曲线交点问题时，韦达定理是一个非常有力的工具。它可以快速给出两交点横坐标的乘积和和关系，帮助简化计算过程。

4. 充分利用对称性：

圆锥曲线具有良好的对称性，有时可以根据对称性简化问题，比如已知直线过原点或与坐标轴平行的情况。

总结，解决圆锥曲线定直线问题需灵活运用解析几何的基础理论，结合具体情况选择最适宜的解题策略，同时注重培养观察问题的能力和逻辑推理能力，以提升解题效率与准确性。