一元二次方程知识点考点题型总结

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1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 一元二次方程专题复习

考点一、概念

(1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”：

①该项系数不为“0”；

②未知数指数为“2”；

③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：

例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）

A 12132xx B 02112xx

C 02cbxax D 1222xxx

变式：当k 时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。

例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为 。

针对练习：

★1、方程782x的一次项系数是 ，常数项是 。

★2、若方程021mxm是关于x的一元一次方程，

⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。

★★3、若方程112•xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。

★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）

A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1

考点二、方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；

典型例题：

例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为 。

例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为 。

例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程必有一根为 。

例4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根，

则m的值为 。

针对练习：

★1、已知方程0102kxx的一根是2，则k为 ，另一根是

。

★2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。

⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2 。

★★4、已知a是0132xx的根，则aa622 。

★★5、方程02acxcbxba的一个根为（ ）

A 1 B 1 C cb D a

★★★6、若•yx则yx324,0352

。

考点三、解法

⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法

⑵关键点：降次

类型一、直接开方法：mxmmx,02

※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法

典型例题：

例1、解方程：;08212x 216252x=0; ;09132x 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

2文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 例2、若2221619xx，则x的值为 。

针对练习：下列方程无解的是（ ）

A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x

类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或

※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，

※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax ，0222aaxx

典型例题：

例1、3532xxx的根为（ ）

A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x

例2、若044342yxyx，则4x+y的值为 。

变式1：2222222,06b则ababa 。

变式2：若032yxyx，则x+y的值为 。

变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为 。

例3、方程062xx的解为（ ）

A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx

例4、解方程： 04321322xx

例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。

变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为 。

针对练习：

★1、下列说法中：

①方程02qpxx的二根为1x，2x，则))((212xxxxqpxx

② )4)(2(862xxxx. ③)3)(2(6522aababa

④ ))()((22yxyxyxyx

⑤方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx

正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

★2、以71与71为根的一元二次方程是（）

A．0622xx B．0622xx C．0622yy D．0622yy

★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数：

⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（ ）

A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2

5、方程：2122xx的解是 。

★★★6、已知06622yxyx，且0x，0y，求yxyx362的值。

★★★7、方程012000199819992xx的较大根为r，方程01200820072xx的较小根为s，则s-r的值为 。

类型三、配方法002acbxax222442aacbabx

※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。

典型例题： 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

3文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. 例1、 试用配方法说明322xx的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。

例3、 已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。

例4、 分解因式：31242xx

针对练习：

★★1、试用配方法说明47102xx的值恒小于0。

★★2、已知041122xxxx，则xx1 .

★★★3、若912322xxt，则t的最大值为 ，最小值为 。

★★★4、如果4122411bacba,那么cba32的值为 。

类型四、公式法

⑴条件：04,02acba且

⑵公式： aacbbx242,04,02acba且

典型例题：

例1、选择适当方法解下列方程：

⑴.6132x ⑵.863xx ⑶0142xx

⑷01432xx ⑸5211313xxxx

例2、在实数范围内分解因式：

（1）3222xx； （2）1842xx. ⑶22542yxyx

说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，

一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成

cbxax2=))((21xxxxa.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.

类型五、 “降次思想”的应用

⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。

典型例题：

例1、 已知0232xx，求代数式11123xxx的值。

例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。

例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。

例4、用两种不同的方法解方程组

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再

消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已

知的问题.

考点四、根的判别式acb42

根的判别式的作用：

①定根的个数；

②求待定系数的值；

③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。

例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是( )

A.10且mm B.0m C.1m D.1m

例3、已知关于x的方程0222kxkx

(1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根； 文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.

4文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑. (2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.

例5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？

针对练习：

★1、当k 时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。

★2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？

★3、已知方程022mxmx有两个不相等的实数根，则m的值是 .

★★4、k为何值时，方程组.0124,22yxykxy