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一元二次方程中考章节复习(知识点+典型题型分析总结

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一元二次方程知识点一、一元二次方程定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。

标准形式:ax²+bx+c=0（a≠0）一元二次方程必须同时满足三个条件：①是整式方程，即等号两边都是整式，方程中如果有分母；且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程，方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程），这点请注意！②只含有一个未知数；③未知数项的最高次数是2。

二、一元二次方程根的定义使方程两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根三、一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法（十字交叉法）直接开平方法形如或()的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。

如果方程化成的形式，那么可得。

如果方程能化成的形式，那么，进而得出方程的根。

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。

②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。

③方法是根据平方根的意义开平方。

[4]配方法步骤将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。

用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。

配方法的理论依据是完全平方公式配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

求根公式法步骤用求根公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

用求根公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，确定a，b，c的值（注意符号）；②求出判别式的值，判断根的情况；③在（注：此处△读“德尔塔”）的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根。

因式分解法因式分解法即利用因式分解求出方程的解的方法。

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）。

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；③令每个因式分别为零④括号中x，它们的解就都是原方程的解。

四、一元一次方程跟的判别式及韦达定理判别式利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况。

一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程无实数根，但有2个共轭复根。

上述结论反过来也成立。

韦达定理设一元二次方程中，两根x₁、x₂有如下关系：数学推导由一元二次方程求根公式知五、用一元二次方程解应用题的一般步骤：①、弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数；②、找出能够表示应用题全部含义的等量关系；③、根据相等关系列出需要的代数式(简称关系式)，从而列出一元二次方程；④、解这个一元二次方程，求出未知数的值；⑤、在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案一元一次方程题型复习一：知识点回顾1、一元二次方程必须满足哪三个条件：①、②、③、2、解一元二次方程常用的四种方法:3、一元二次方程的根的判别式是什么？它与根的情况之间的关系： 当 时，方程有两个不相等的实数根当 时，方程有两个相等的实数根 当 时，方程有无实数根二、一元二次方程定义考核类型1判断一个方程是不是一元二次方程1.下列方程中，关于x 的一元二次方程是( )A. B. C. D.2.关于x 2=－2的说法，正确的是A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解3.下列方程中，一元二次方程是（ ）A. 221xx + B.bx ax +2 C.()()121=+-x x D.052322=--y xy x 4.当m 时，方程()05122=+--mx x m 不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。

类型2化简方程为一般形式并写出一元二次方程中的二次项系数、一次项系数及常数项1.把一元二次方程化为一般形式是________________，其中二次项为： ______，一次项系数为：______，常数项为：______.2.将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.其二次项是__________，一次项系数为__________，常数项为__________.3.若ab ≠0，则a 1x 2+b1x =0的常数项是__________.4.将方程22x =3(x -6)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数和常数项分别为( )A ．2、3、-6B ．2、-3、18C ．2、-3、6D ．2、3、6类型3根据定义求解一元二次方程中未知字母的值1.若关于x 的方程a (x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是( )A.2B.－2C.0D.不等于2 2.关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？3.如果方程ax 2+5=(x +2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a __________.4.若关于x 的方程(k -1)x 2-4x+5=0是一元二次方程，则是的取值范围是________．三、一元二次方程根的定义的应用1．一元二次方程3x 2=2x 的根是 ( )A ．x 1=0，x 2=32B ．x 1=0，x 2=23-C ．x=0D ．x 1=0，x 2=232．关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+x+m 2+2m -3=0有一个根是0，则m 的值为( )A ．3或-1B ．-3或1C ．1D ．-33.已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于（ ）A. -1B.0C.1D.24.若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，则A.a +b +c =1B.a －b +c =0C.a +b +c =0D.a －b －c =05. 若a 是方程x 2+x -1=0的一个根。

则代数式3a 2+3a -5的值为________．6.若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a （ ）A.12B.6C.9D.167．如果关于x 的一元二次方程x 2+px+q=0的两根分别为x 1=2，x 2=1，那么3p+2q 的值是________．8. 已知x=-1是关于x 的方程2x 2+ax -a 2=0的一个根，则a=________．9．若一元二次方程x 2-(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ，则a+b=________.四、根的判别式的应用1．若关于x 的方程2x 2-ax+a -2=0有两个相等的实数根，则a 的值为 ( )A ．-4B ．4C ．4或-4D ．22．关于x 的一元二次方程x 2-mx+(m -2)=0的根的情况是 ( )A ．有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法确定3.方程()()1132=-+x x 的解的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.有一个实数根4.已知关于x 的一元二次方程x 2-mx+m -1=0有两个相等的实数根，求m 的值5.若方程032=+-m x x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根分别为 。

6.关于x 一元二次方程2x(kx-4)-x 2+6=0没有实数根，则k 的最小整数值是______。

7.已知一元二次方程kx 2+(2k-1)x+k+2=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围五、韦达定理的应用1.如果21x x 、是方程06322=--x x 的两个根，那么21x x += ，21x x ⋅= 。

2.如果一元二次方程()012=+++m x m x 的两个根是互为相反数，那么有（ ） A.m =0 B.m =－1 C.m =1 D.以上结论都不对3.不解方程，01322=-+x x 的两个根的符号为（ ） A.同号 B.异号 C.两根都为正 D.不能确定4.已知一元二次方程()002≠=+m n mx ，若方程有解，则必须（ ） A.0=n B.同号mn C.的整数倍是m n D.异号mn5.已知α2+α-1=0，β2+β-1=0，且α≠β，则αβ+α+β的值为（ ）．A ．2B ．-2C ．-1D ．06.已知α,β，满足α+β=5且αβ=6，以α,β为两根的一元二次方程是（ ）．A ．x 2+5x+6=0B ．x 2-5x+6=0;C ．x 2-5x-6=0D ．x 2+5x-6=07．已知x 1，x 2是关于x 的方程（a-1）x 2+x+a 2-1=0•的两个实数根，且x 1+x 2=13，则x 1·•x 2=_______． 8.已知关于x 的一元二次方程8x 2+（m+1）x+m-7=0有两个负数根，那么实数m 的取值范围是__________．9.已知关于x 的方程x 2-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m 的值是10.已知x 1 x 2是方程0122=--x x 的两根，则x 11+x 21等于 。

11.已知方程()042222=++-+k x k x 有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k 的值。

六、一元二次方程的求解配方法：1.用配方法解关于x 的方程x 2+px+q=0时，此方程可变形为( )A. B.C. D. 2.用配方法解方程0642=--x x ，则___6___42+=+-x x ，所以_______,21==x x 。

3.用配方法解下列方程（1）2x 2+3x －2=0 (2)41x 2+x －2=0 (3)x 2+5x －1=0 (4)2x 2－4x －1=04公式法：用公式法解下列各方程（1）5x2+2x－1=0 （2）6y2+13y+6=0 （3）x2+6x+9=7 （4）2x2+7x=-14分解因式法1.如果()412m。

2+x是一个完全平方公式，则=-xm+2.解因式分解法解一元二次方程（1）x2-x-6=0 （2）（x+2）2=2x+4 （3）4.x2=4x（4）（2x-1）2=（3-x）综合练习1.用适当的方法解下列方程：(1)(2)( 3)(4）x2+4x=2 (5)4x2+3x-1=0 (6)x2-3x-2=0 (7)x2+2x-143=0 (8)(x+1)(x+8)=-12 (9)2．已知方程x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值．3．已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0．（1）当m取什么值时，原方程没有实数根．（2）对m选取一个合适的非零整数，使原方程有两个实数根，并求这两个实数根的平方和．m-=0．求证：无论m取何实数值，这个方程总有两相4.已知关于x的一元二次方程x2-（m-2）x-24异实根．5.已知关于x的方程x2-2（m+1）x+m2-2m-3=0的两个不相等实数根中有一个根为0．是否存在实数k，使关于x的方程x2-（k-m）x-k-m2+5m-2=0，•②的两个实数根x1，x2之差的绝对值为1？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。

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《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

《一元二次方程》总复习、练习、中考真题【题型解析】

一元二次方程总复习考点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为0，这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0〕。

注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。

考点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a〕2=b〔b≥0〕的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。

x+a= ± b ∴ x1 =-a+ b x2 =-a- b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0〕的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a〕2=b 的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，那么原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是x = - b ± b 2 - 4ac (b2－4ac≥0)。

步骤：①把方程转化为一般形2a式；②确定 a，b，c 的值；③求出 b2－4ac 的值，当 b2－4ac≥0时代入求根公式。

4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：假设ab=0，那么 a=0 或b=0。

步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。

5．一元二次方程的考前须知：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c 的值；②假设b2－4ac＜0，那么方程无解．⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) 2 =3〔x＋4〕中，不能随便约去 x＋4。

一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(K12教育文档)

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一元二次方程专题复习考点一、概念（1）定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．,这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。

(2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2"：①该项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ )A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。

例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 .针对练习：★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 .★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程,⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是 . ★★★4、若方程nx m +x n —2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ) A.m=n=2 B 。

第二十一章一元二次方程知识点及中考考点

第二十一章一元二次方程知识点及中考考点

第一章 一元二次方程复习提纲及典型例题新课标要求1．理解并掌握一元二次方程的意义，正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数；2．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解；3．明确解一元二次方程的基本思想是以降次为目的，会用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；4．了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合题意的字母系数的取值范围；5．会列一元二次方程解决生活中的实际问题，与二次函数综合考查最优问题。

命题趋势：本节的主要考查一元二次方程的根，解一元二次方程，根的判别式，以及一元二次方程在实际生活中的应用。

在中考中，往往会在填空题中考查一元二次方程的根，根的判别式，在解答题中考查一元二次方程的解法，尤其是在倒数第二题中考查一元二次方程在实际生活中的应用，和二次函数相结合的综合应用。

考点整合1、一元二次方程概念：只含有 ，未知数，并且 ，这样的 就是一元二次方程。

2、一般表达式： 其中2ax 是二次项， 叫二次项系数； 是一次项， 叫一次项系数， 是常数项。

二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。

3、使 值，就是方程的解。

4、一元二次方程的解法：（1） 法，适用于能化为)((2)0x a b b +=≥ 的一元二次方程。

（2 法，即把一元二次方程变形为（x+a ）（x+b ）=0的形式，则（x+a ）=0或（3） 法，即把一元二次方程配成)((2)0x a b b +=≥形式，再用直接开方法，(4) 法，其中求根公式是 （ ≥0）5、根的判别式、根与系数的关系：当 时，方程有两个不相等的实数根。

当 时，方程有两个相等的实数根。

当 时，方程有没有的实数根。

如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根12,x x 则有6、列一元二次方程解实际应用题步骤考点精析考点一、一元二次方程的解例1：（2011黑龙江哈尔滨3分）若x =2是关于x 的一元二次方程x 2－m x ＋8=0的一个解．则m 的值是．(A) 6 (B) 5 (C) 2 (D)－6举一反三1. （2011广西贵港3分）若关于x 的一元二次方程x 2－mx －2＝0的一个根为－1，则另一个根为A ．1B ．－1C ．2D ．－22.(2012年河北一模)关于x 的一元二次方程(a －1) x 2+x+a 2－1=0的一个根是0，则a 的值为（ ）A. 1B. －1C. 1或－1D. 03. （2011广西百色3分）关于x 的方程2220x mx m +-=的一个根为1，则m 的值为A.1B. 12.C.1或12.D.1或－12. 4. （2012年浙江一模）已知关于x 的方程2220x x k -+=的一个根是1，则k = ．考点二、一元二次方程的解法例题1,：（1）（2012湖北荆州）用配方法解关于x 的一元二次方程x 2－2x －3＝0，配方后的方程可以是( )A ．(x －1)2＝4B ．(x ＋1)2＝4C ．(x －1)2＝16D ．(x ＋1)2＝16（2）（2012山东省滨州中考）方程x （x ﹣2）=x 的根是 ．（3）（2011江苏省无锡市）解方程：x²－4x+2=0举一反三1：（2012贵州铜仁，17,4分，一元二次方程0322=--x x 的解为____________；2：(2012贵州黔西南州，4，4分)三角形的两边分别为2和6，第三边是方程x 2―10x ＋21=0的解，则第三边的长为( )．A ．7B ．3C ．7或3D ．无法确定3：解方程：（1）（2011广东清远6分）解方程：x 2－x －1=0．（2）（2011湖北武汉6分）解方程：x 2+3x +1=0.考点三：根的判别式，根与系数的关系例题：（2012湖北襄阳）如果关于x 的一元二次方程kx 2＋1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是A ．k ＜12B ．k ＜12且k ≠0C ．－12≤k ＜12D ．－12≤k ＜12且k ≠0举一反三1. （2011广西钦州）下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）A ．210x +=B ．2210x x -+=C ．210x x ++=D ．2210x x +-=2. （2012北京昌平初三一模）若关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是（ ）A ．a ＜2且a ≠0 Ｂ．a ＞2 Ｃ．a ＜2且a ≠1 Ｄ．a ＜－2考点四：一元二次方程的应用例题：（2012南京市）某汽车销售公司6月份销售某厂家汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系，若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元，销售量在10辆以上，每辆返利1万.（1）若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为 万元；（2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？（盈利=销售利润+返利）举一反三1. （2012广东湛江）湛江市2009年平均房价为每平方米4000元．连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米5500元，设这两年平均房价年平均增长率为x ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）A ．5500（1+x ）2=4000B ．5500（1﹣x ）2=4000C ．4000（1﹣x ）2=5500D ．4000（1+x ）2=55002. （2012山东省青岛市，12，3）如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.若设道路宽为x 米，则根据题意可列方程为 .3. （2012•湘潭）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m 2．。

中考数学专题复习一元二次方程总结

中考数学专题复习一元二次方程总结

一元二次方程复习总结★本章知识脉络★本章专题归纳专题一、一元二次方程的解的应用方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，利用这个关系可以解决一些问题.例1、已知1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解，且a b ≠，求2222a b a b--的值.思维点击：待求式2222a b a b --可化简为2a b+，故只要求出,a b 的值或a b +的值即可，由已知条件无法确定,a b的值，但根据方程根的定义把1x =代入原方程可得40a b +=，则问题可解.解：因为1x =是一元二次方程2400ax bx +-=的一个解， 所以211400a b ⨯+⨯-=，可知40a b +=.所以()()()224020.22222a b a b a b a b a b a b +--+====--温馨提示：本题在解题过程中体验了整体求解的解题策略，即不求具体,a b 的值是多少，而直接根据方程根的定义确定a b +的值，从而求解.先将待求式进行化简便于找出解题思路，先化简再求值也是解这类题的常用方法.专题二、一元二次方程解法的选择解一元二次方程，常用的方法有四种：直接开平方法，因式分解法，配方法，求根公式法。

这四种方法各有长处，直接开平方法和因式分解法虽然简便易行，但是并非所有的一元二次方程都能用这两种方法来解；配方法适用于任何一个一元二次方程，但配方过程比较麻烦；公式法也适合于任何一元二次方程，是解一元二次方程的主要方法，且公式法比配方法简单得多，它直接用配方法导出的公式求解。

但公式法不如直接开平方法和因式分解法快捷。

因此，在解具体方程是，要根据方程的特征，因题而异，灵活选用适当的解法.例2、对于方程()()()()2222140;2230;3320;441290;x x x x x x x -=+=--=-+=()()()()()22225336;670;76;8241x x x x x x =-==+=把最适宜解法的序号填在下面的横线上。