吉林省吉林市年高三上学期期末教学质量检测(数学理)

10.定义域为 的函数 ，其值域为 ，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化简函数 的解析式为 ，可得出 ，由 可求出 的取值范围，结合已知条件可出关于 的不等式，解之即可.
【详解】因为 ，
由 可得 ，
，则 ，由题意可得 ，解得 .
故选：D.
11.如图所示，两个全等的矩形ABCD与ABEF所在的平面互相垂直，AB＝2，BC＝1，点P为线段CD上的动点，则三棱椎 的外接球体积的最小值为（）
长春市2023届高三质量监测（一）
数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知全集为R，集合 ， ，则Venn图中阴影部分所表示的集合为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先确定集合 中的元素，然后根据Venn图表示的集合进行计算．
A.123B.235C.242D.249
【答案】C
【解析】
【分析】根据百分位数的求法求得正确答案.
【详解】 ，
样本中，第 个、第 个数据分别为 ，
所以样本数据的第75百分位数为 .
故选：C
5.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知点 和点 为 的顶点，则：“ 的欧拉线的方程为 ”是“点C的坐标为 ”的（）
考点：向量的模
4.在市场上选取20种不同 零食作为研究样本，记录其每100克可食部分的能量（单位：KJ）如下：
110，120，120，120，123，123，140，146，150，162，

2013-2014学年吉林省吉林市高三（上）期末数学试卷（理科）一．选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|≤2}和N={x|x=2k﹣1，k∈N*}，则M∩N=（）A．[1，5）B．{1，3}C．{1，3，5}D．∅2．（5分）设复数z=a+bi（a，b∈R），若成立，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）读程序框图，该程序运行后输出的A值为（）A．B．C．D．4．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，已知3S n=a n+1﹣2，若a2=1，则a6=（）A．512B．16C．64D．2565．（5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小于，则周末去踢球，否则去图书馆．则小波周末去图书馆的概率是（）A．B．C．D．6．（5分）已知F1，F2是双曲线E的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个公共点是M，若∠MF1F2=30°则双曲线E的离心率是（）A．B．C．D．7．（5分）某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．8．（5分）设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数9．（5分）已知曲线C上任意一点到两定点、的距离之和是4，且曲线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点，则△AOB的面积的最小值为（）A．4B．C．8D．210．（5分）已知函数y=f（x），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）﹣f （x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）可能是（）A．y=2x B．y=log3（x+3）C．y=x3D．y=﹣x2+4x﹣611．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A．B．C．D．12．（5分）若关于x的方程|x+|﹣|x﹣|﹣kx﹣1=0有五个互不相等的实根，则k的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，0）∪（0，）二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y﹣x的最小值为．14．（5分）已知直角△ABC中，AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为．15．（5分）曲线y=x2，y=与直线x=2所围成的封闭图形的面积是．16．（5分）下列说法正确的有（只填序号）①函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为0或1；②设函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4，若当x1＜x2，x1+x2=0时，总有f（x1）＞f（x2），则；③时，函数y=lg（x2+x+a）的值域为R；④与函数y=f（x）﹣2的图象关于点（1，﹣1）对称的图象对应的函数为y=﹣f（2﹣x）．三.解答题17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，且c=3，a=，sinB=2sinA（1）求b；（2）求cos（2B+2C）的值．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．19．（12分）某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年的X值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（Ⅰ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（Ⅱ）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；（Ⅲ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．20．（12分）如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线为L，焦点为F，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为的直线n，交L于点A，交⊙M于另一点B，且|AO|=|OB|=2（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）过L上的动点Q作⊙M的切线，切点为S、T，求当坐标原点O到直线ST 的距离取得最大值时，四边形QSMT的面积．22．（12分）已知函数f（x）=ax﹣﹣2lnx，f（1）=0（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为0，且﹣n+1，已知a1=4，求证a n≥2n+2；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较+…+与的大小，并说明你的理由．2013-2014学年吉林省吉林市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M={x||x﹣1|≤2}和N={x|x=2k﹣1，k∈N*}，则M∩N=（）A．[1，5）B．{1，3}C．{1，3，5}D．∅【解答】解：由M中的不等式变形得：﹣2≤x﹣1≤2，解得：﹣1≤x≤3，即M=[﹣1，3]，由N中x=2k﹣1，k∈N+，得到N={1，3，5，7，…}，则M∩N={1，3}．故选：B．2．（5分）设复数z=a+bi（a，b∈R），若成立，则点P（a，b）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵，∴z=（2﹣i）（1+i）=2+2i﹣i﹣i2=3+i，∴点P（3，1），显然在第一象限，故选：A．3．（5分）读程序框图，该程序运行后输出的A值为（）A．B．C．D．【解答】解：当A=，i=1时，满足进入循环的条件，执行循环体后，A=，i=2当A=，i=2时，满足进入循环的条件，执行循环体后，A=，i=3当A=，i=3时，满足进入循环的条件，执行循环体后，A=，i=4当A=，i=4时，满足进入循环的条件，执行循环体后，A=，i=5当A=，i=5时，不满足进入循环的条件故输出的A值为故选：C．4．（5分）设S n为数列{a n}的前n项和，已知3S n=a n+1﹣2，若a2=1，则a6=（）A．512B．16C．64D．256【解答】解：∵3S n=a n+1﹣2，=a n﹣2，∴当n≥2时，3S n﹣1两式相减得：3a n=a n+1﹣a n（n≥2），∴=4（n≥2），又a2=1，∴数列{a n}（n≥2）是以1为首项，4为公比的等比数列，∴a6=a2•44=1×44=256．故选：D．5．（5分）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离小于，则周末去踢球，否则去图书馆．则小波周末去图书馆的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：圆的面积为π，点到圆心的距离小于的面积为，所以点到圆心的距离大于的面积为=，由几何概型得小波周末去图书馆的概率为=．故选：B．6．（5分）已知F1，F2是双曲线E的两个焦点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的一个公共点是M，若∠MF1F2=30°则双曲线E的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，MF1⊥MF2，设|F1F2|=2c，则∵∠MF1F2=30°，∴|MF1|=c，|MF2|=c，∴2a=MF1﹣MF2=，∴=，故选：B．7．（5分）某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知几何体是左边为一半圆锥，右边为半圆柱的组合体，且圆锥与圆柱的底面圆直径为2，圆柱的高为3，圆锥的高为2，∴几何体的体积V=V半圆柱+V半圆锥=π×12×3+××π×12×2=π．故选：B．8．（5分）设函数f（x）=sin（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的图象关于直线x=对称B．f（x）的图象关于点（，0）对称C．把f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象D．f（x）的最小正周期为π，且在[0，]上为增函数【解答】解：由对称轴x=kπ+k∈Z，A不正确，（，0）代入函数表达式对B选项检验知命题错；C平移后解析式为f（x）=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x，故其为偶函数，命题正确；D．由于x∈[0，]时2x+∈[，]，此时函数在区间内不单调，不正确．故选：C．9．（5分）已知曲线C上任意一点到两定点、的距离之和是4，且曲线C的一条切线交x、y轴交于A、B两点，则△AOB的面积的最小值为（）A．4B．C．8D．2【解答】解：∵曲线C上任意一点到两定点、的距离之和是4，∴C的轨迹是以、为焦点的椭圆，且2a=4，c=，∴a=2，b=1，∴曲线C的方程为，不失一般性，设椭圆上第一象限点的坐标为（m，n），则由，可得，∴，∴x=m时，，∴切线方程为y﹣n=，即y﹣n=（x﹣m），即，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=∴△AOB的面积为=，∵≥=|mn|，∴|mn|≤1，当且仅当m=2n时取等号，∴△AOB的面积为≥2，∴△AOB的面积的最小值为2．故选：D．10．（5分）已知函数y=f（x），若对于任意的正数a，函数g（x）=f（x+a）﹣f （x）都是其定义域上的增函数，则函数y=f（x）可能是（）A．y=2x B．y=log3（x+3）C．y=x3D．y=﹣x2+4x﹣6【解答】解：对于A，g（x）=2x+a﹣2x=（2a﹣1）2x，∵a＞0，∴2a＞1，2a﹣1＞0，∴g（x）=（2a﹣1）2x是其定义域上的增函数，即A正确；对于B，g（x）=log3（x+a+3）﹣log3（x+3），∵g′（x）=﹣＜0，∴函数g（x）=f（x+a）﹣f（x）在其定义域上单调递减，故B错误；对于C，g（x）=（x+a）3﹣x3=3ax2+3a2x+a3为开口向上的二次函数，故在其对称轴两侧单调性不同，故C错误；对于D，g（x）=﹣（x+a）2+4（x+a）﹣6﹣（﹣x2+4x﹣6）=﹣2ax﹣a2+4a，∵a＞0，﹣2a＜0，∴g（x）=﹣2ax﹣a2+4a在其定义域上单调递减，故D错误；综上所述，A正确．故选：A．11．（5分）如图，边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别是边AB，BC的中点，将△AED，△EBF，△FCD分别沿DE，EF，FD折起，使A，B，C三点重合于点A′，若四面体A′EFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可知△A′EF是等腰直角三角形，且A′D⊥平面A′EF．三棱锥的底面A′EF扩展为边长为1的正方形，然后扩展为正四棱柱，三棱锥的外接球与正四棱柱的外接球是同一个球，正四棱柱的对角线的长度就是外接球的直径，直径为：=．∴球的半径为．故选：A．12．（5分）若关于x的方程|x+|﹣|x﹣|﹣kx﹣1=0有五个互不相等的实根，则k的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）C．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）D．（﹣，0）∪（0，）【解答】解：∵方程|x+|﹣|x﹣|﹣kx﹣1=0，∴|x+|﹣|x﹣|=kx+1，设函数f（x）=|x+|﹣|x﹣|，g（x）=kx+1，则f（x）=，当x＞1时，由直线g（x）=kx+1与f（x）=相切时，得kx+1=，即kx2+x﹣2=0，由△=1+4×2k=0，解得k=﹣，当x＜﹣1时，由直线g（x）=kx+1与f（x）=﹣相切时，得kx+1=﹣，即kx2+x+2=0，由△=1﹣4×2k=0，解得k=，∴要使关于x的方程有五个互不相等的实根，则由图象可知﹣＜k＜0或0＜k＜，即k的取值范围是（﹣，0）∪（0，），故选：D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2y﹣x的最小值为﹣9．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2y﹣x得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（3，﹣3），代入目标函数z=2y﹣x得z=2×（﹣3）﹣3=﹣9．即目标函数z=2y﹣x的最小值为﹣9．故答案为：﹣9．14．（5分）已知直角△ABC中，AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，则向量在上的投影为﹣．【解答】解：直角△ABC中，AB=2，AC=1，D为斜边BC的中点，如图，；过点A作AE⊥BC，垂足为E，则是向量在上的投影；∵||=BC=，cosB=；∴cos∠ADE=cos2B=2cos2B﹣1=2×﹣1=，∴=||cos（π﹣2B）=×（﹣）=﹣；故答案为：．15．（5分）曲线y=x2，y=与直线x=2所围成的封闭图形的面积是．【解答】解：由，可得交点坐标为（2，4），由，可得交点坐标为（1，1），所以曲线与直线x=2所围成的封闭图形的面积是==．故答案为：．16．（5分）下列说法正确的有①②④（只填序号）①函数y=f（x）的图象与直线x=1的交点个数为0或1；②设函数f（x）=x2+（2a﹣1）x+4，若当x1＜x2，x1+x2=0时，总有f（x1）＞f（x2），则；③时，函数y=lg（x2+x+a）的值域为R；④与函数y=f（x）﹣2的图象关于点（1，﹣1）对称的图象对应的函数为y=﹣f（2﹣x）．【解答】解：①考查了函数的定义，函数必须是一对一或者一对多的，所以用直线x=1截f（x）的交点个数为0或1，故①对②一元二次函数的实根分布问题，只需要考查对称轴x=，得到，故②对③函数y=lg（x2+x+a）的值域为R应满足1﹣4a≥0，即，故③错④不妨设g（x）=f（x）﹣2，则由对称性可知，g（x）与﹣2﹣g（2﹣x）关于点（1，﹣1）对称，即﹣2﹣g（2﹣x）=﹣f（2﹣x）．故④对故答案为：①②④三.解答题17．（10分）设△ABC的内角A，B，C所对的边是a，b，c，且c=3，a=，sinB=2sinA （1）求b；（2）求cos（2B+2C）的值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理==2R，得sinA=，sinB=，∵sinB=2sinA，∴b=2a，∵a=，∴b=2a=2；（Ⅱ）∵a=，b=2，c=3，∴由余弦定理得：cosA===，∴cos（2B+2C）=cos[2（π﹣A）]=cos（2π﹣2A）=cos2A=2cos2A﹣1=2×（）2﹣1=．18．（12分）已知数列{a n}与{b n}，若a1=3且对任意正整数n满足a n+1﹣a n=2，数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列的前n项和T n．﹣a n=2，【解答】解：（Ⅰ）∵对任意正整数n满足a n+1∴{a n}是公差为2的等差数列，又a1=3，∴a n=2n+1；当n=1时，b1=S1=4；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=（n2+2n+1）﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）+1]=2n+1，对b1=4不成立．∴数列{b n}的通项公式：b n=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知当n=1时，T1==，当n≥2时，==（﹣），∴T n=+[（﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=+（﹣）=+，当n=1时仍成立．∴T n=+对任意正整数n成立．19．（12分）某河流上的一座水利发电站，每年六月份的发电量Y（单位：万千瓦时）与该河流上游在六月份的降雨量X（单位：毫米）有关．据统计，当X=70时，Y=460；X每增加10，Y增加5．已知近20年的X值为：140，110，160，70，200，160，140，160，220，200，110，160，160，200，140，110，160，220，140，160．（Ⅰ）完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率（Ⅱ）求近20年降雨量的中位数和平均降雨量；（Ⅲ）假定2014年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求2014年六月份该水力发电站的发电量不低于520（万千瓦时）的概率．【解答】解：（Ⅰ）近20年降雨量为110，160，220的频数分别为：3、7、2，由频数除以20得频率分别为，，，频率分布表如图：（Ⅱ）20个数从小到大排列为：70，110，110，110，140，140，140，140，160，160，160，160，160，160，160，200，200，200，220，220中位数是160；平均降雨量；（Ⅲ）由已知可设∵X=70时，Y=460，∴B=425，∴．当Y≥520时，由，解得：X≥190．∴发电量不低于520（万千瓦时）包含降雨量200和220两类，它们彼此互斥，∴发电量低于520（万千瓦时）的概率．20．（12分）如图1，在△ABC中，BC=3，AC=6，∠C=90°，且DE∥BC，将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图2．（Ⅰ）求证：BC⊥平面A1DC；（Ⅱ）若CD=2，求BE与平面A1BC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∠C=90°，DE∥BC，∴AD⊥DE∴A1D⊥DE．又A1D⊥CD，CD∩DE=D，∴A1D⊥面BCDE．由BC⊂面BCDE，∴A1D⊥BC．BC⊥CD，A1D∩CD=D，∴BC⊥面A1DC；（2）解：以D为原点，分别以为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系D﹣xyz在直角梯形CDEB中，过E作EF⊥BC，EF=2，BF=1，BC=3，∴B（3，0，﹣2），E（2，0，0），C（0，0，﹣2），A1（0，4，0），∴，，，设平面A 1BC的法向量为，由，可得，∴，令y=1，∴设BE与平面A1BC所成角为θ，∴．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的准线为L，焦点为F，⊙M的圆心在y轴的正半轴上，且与x轴相切，过原点作倾斜角为的直线n，交L于点A，交⊙M于另一点B，且|AO|=|OB|=2（Ⅰ）求⊙M和抛物线C的方程；（Ⅱ）过L上的动点Q作⊙M的切线，切点为S、T，求当坐标原点O到直线ST 的距离取得最大值时，四边形QSMT的面积．【解答】解：（Ⅰ）如图，设准线L交y轴于，在Rt△OAN中，，∴，∴p=2，则抛物线方程是x2=4y；在△OMB中有，∴OM=OB=2，∴⊙M方程是：x2+（y﹣2）2=4；（Ⅱ）设S（x1，y1），T（x2，y2），Q（a，﹣1）∴切线SQ：x1x+（y1﹣2）（y﹣2）=4；切线TQ：x2x+（y2﹣2）（y﹣2）=4，∵SQ和TQ交于Q点，∴ax1﹣3（y1﹣2）=4和ax2﹣3（y2﹣2）=4成立，∴ST方程：ax﹣3y+2=0．∴原点到ST距离，当a=0，即Q在y轴上时d有最大值．此时直线ST方程是．代入x2+（y﹣2）2=4，得．∴．此时四边形QSMT的面积．22．（12分）已知函数f（x）=ax﹣﹣2lnx，f（1）=0（Ⅰ）若函数f（x）在其定义域内为单调函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）的图象在x=1处的切线斜率为0，且﹣n+1，已知a1=4，求证a n≥2n+2；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试比较+…+与的大小，并说明你的理由．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），因为f（1）=0所以有a=b所以，，当a=0时，恒成立，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，当a≠0时，若函数f（x）在其定义域内单调递增，则有f′（x）≥0恒成立即，因为x ＞0所以a ≥1且a=1时f′（x ）不恒为0．若函数f （x ）在其定义域内单调递减，则有f′（x ）≤0恒成立即，因为x ＞0所以a ≤0，综上，函数f （x ）在定义域内单调时a 的取值范围是a ≤0或a ≥1； （2）因为函数f （x ）的图象在x=1处的切线斜率为0，所以f′（1）=0， 即2a ﹣2=0所以a=1， 所以，，令，所以，当n 是偶数时，所以h′（x ）＜0即函数h （x ）在[2，+∞）单调递减， 所以h （x ）≤h （2）=﹣1，即g （x ）≤x ﹣1， 当n 是奇数时，令T （x ）=ln （x ﹣1）﹣x 则所以函数T （x ）在[2，+∞）单调递减，所以T （x ）≤T （2）=﹣2， 又因为x ≥2时1﹣x ＜0所以，所以h′（x ）＜0即函数h （x ）在[2，+∞）单调递减， 所以h （x ）≤h （2）=﹣1，即g （x ）≤x ﹣1，综上，对任意的正整数n ，当x ≥2时，有g （x ）≤x ﹣1．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1nx a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩．（2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m n m na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()0,,,m m m nn n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 函数名称指数函数定义函数(0xy a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =定义域R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a >01a <<定义域 (0,)+∞ 值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数函数值的 变化情况log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x >>==<<<log 0(1)log 0(1)log 0(01)a a a x x x x x x <>==><<a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高．x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=。

吉林省2021版高三上学期期末数学试卷（理科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋i，则在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2分）设集合，N={x|y=log2（2﹣x）}，则图中阴影部分表示的集合为（）A . {x|2≤x≤3}B . {x|1≤x≤2}C .D . ∅3. （2分） (2018高二下·河南期中) 下列说法正确的是（）A . 命题“若，则”的否命题是“若，则”B . 若，则“ ”是“ ”的必要不充分条件C . 函数的最小值为D . 命题“ ，”的否定是“ ，”4. （2分）将4封信投入3个邮箱，则不同的投法为（）A . 81 种B . 64 种C . 4 种D . 24种5. （2分）(2017·南阳模拟) 若双曲线的渐近线将圆x2+y2﹣2x﹣4y+4=0平分，则双曲线的离心率为（）A . 3B .C .D .6. （2分）(2017·漳州模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分） (2015高三上·包头期末) 已知函数f（x）=Asin（πx+φ）的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则的值为（）A . ﹣1B . -C .D . 28. （2分） (2018高一下·山西期中) 在中，下列命题正确的个数是（）① ；② ；③点为的内心，且 . ，则为等腰三角形；④ ，则为锐角三角形．A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2020·邵阳模拟) 在数列中，若，则该数列的前50项之和是（）A . 18B . 8C . 9D . 410. （2分）(2017·河南模拟) 数学名著《算学启蒙》中有如下问题：“松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．”如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b的值分别为16，4，则输出的n 的值为（）A . 4B . 5C . 6D . 711. （2分）(2016·桂林模拟) 直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，与该抛物线及其准线的交点依次为A、B、C，若|BC|=2|BF|，|AF|=3，则P=（）A .B .C .D .12. （2分）不等式的解集为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 已知圆C：x2+（y﹣2）2=1，P是x轴正半轴上的一个动点，若PA，PB分别切圆C于A，B两点，若|AB|= ，则直线CP的方程为________14. （1分）（5x+7 ）9的展开式中第三项的二项式系数是________（用数字作答）．15. （1分） (2018高一下·长阳期末) 设变量满足约束条件，则目标函数的取值范围是________ .16. （1分） (2016高二上·大名期中) 如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于________ m．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，≈1.73）三、解答题 (共8题；共65分)17. （10分）(2016·中山模拟) 数列{an}的前n项和是Sn ，且Sn+ =1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记bn=log3 ，数列的前n项和为Tn ，若不等式Tn＜m，对任意的正整数n恒成立，求m 的取值范围．18. （10分）(2016·上饶模拟) 如图，四棱锥P﹣ABCD的侧面PAD是正三角形，底面ABCD为菱形，A点E 为AD的中点，若BE=PE．（1）求证：PB⊥BC；（2）若∠PEB=120°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19. （5分）(2017·江西模拟) 已知某蔬菜商店买进的土豆x（吨）与出售天数y（天）之间的关系如表所示：x234567912y12334568（Ⅰ）请根据表中数据在所给网格中绘制散点图；（Ⅱ）请根据表中提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程（其中保留2位有效数字）；（Ⅲ）根据（Ⅱ）中的计算结果，若该蔬菜商店买进土豆40吨，则预计可以销售多少天（计算结果保留整数）？附：，．20. （10分） (2015高二上·和平期末) 已知椭圆C：过点A（2，3），且F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在于行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （5分）(2019·鞍山模拟) 已知函数．（Ⅰ）若f(x)在定义域内单调递增，求实数a的范围；（Ⅱ）设函数，若至多有一个极值点，求a的取值集合．22. （5分）如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．23. （10分）(2019·南通模拟) [选修4-4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是（为参数）．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是．（1）直线l的直角坐标方程；（2）直线被曲线C截得的线段长．24. （10分） (2018高二下·临汾期末) 已知函数，（1）解不等式；（2）若方程在区间有解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。

吉林省数学高三上学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） 已知复数 z=﹣i+2，则 z 的虚部为（ ）A.iB . ﹣1C.1D . ﹣i2. （2 分） 设全集 U=R，集合 A={x|x≥2}，B={x|0≤x＜5}，则集合 A∩B=（ ）A . {x|0≤x}B . {x|0＜x≤2}C . {x|0≤x＜2}D . {x|2≤x＜5}3. （2 分） (2018·江西模拟) 已知向量 ， 的夹角为 于（ ）A.1，且，，则等B.C.D.4.（2 分）(2018 高三上·辽宁期末) 如图描述的是我国 2014 年四个季度与 2015 年前三个季度三大产业累计同比贡献率，以下结论正确的是 （）第 1 页 共 10 页A . 2015 年前三个季度中国累计比较 2014 年同期增速有上升的趋势B . 相对于 2014 年，2015 年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加C . 相对于 2014 年，2015 年前三个季度第二产业对的贡献率明显增加D . 相对于 2014 年，2015 年前三个季度第一产业对的贡献率明显增加5. （2 分） 设函数 A . -15 B . 20 C . -20 D . 15,则当 x>0 时,表达式的展开式中常数项为（ ）6. （2 分） 下图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为 的矩形.则该几何体的 表面积是（ ）A. B.第 2 页 共 10 页C.8 D . 16 7. （2 分） 若抛物线上一点 p 到其焦点的距离为 9，则点 p 的坐标为（ ）A.B.C.D. 8. （2 分） 运行如图所示的程序框图，则输出的数是 5 的倍数的概率为（ ）A. B. C. D.9. （2 分） (2018 高二下·黑龙江月考) 已知 值为（ ）满足约束条件A.2第 3 页 共 10 页，则目标函数的最大B.6 C.5 D.10. （2 分） (2017 高三上·山西月考) 定义在 R 上的函数满足,且时,,则=（ ）A.1B. C.D.11. （2 分） 在中,A . 一解B . 两解C . 一解或两解D . 无解,则此三角形解的情况是（ ）12. （2 分） 曲线上一点A . x-y-2=0B . x+y-2=0C . x+4y-5=0D . x-4y-5=0二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)处的切线方程为（ ）第 4 页 共 10 页13. （1 分） 已知函数 f（x）= sin(2x+ )，有下列四个结论：①函数 f（x）在区间[﹣ ， ]上是增函数：②点（ ， 0）是函数 f（x）图象的一个对称中心；③函数 f（x）的图象可以由函数 y= sin2x 的图象向左平移 得到；④若 x∈[0， ]，则函数 f（x）的值域为[0， ]．则所有正确结论的序号是________ ．14. （1 分） 已知球 ________．的表面积为，则球 的内接圆锥（球心 在圆锥内部）体积的最大值为15. （1 分） (2017 高一上·靖江期中) 若 log2（log3x）=log3（log2y）=1，则 x+y=________．16. （1 分） 如图，F1 和 F2 分别是双曲线的两个焦点，A 和 B 是以 O 为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB 是等边三角形，则双曲线的离心率为________三、 解答题 (共 6 题；共 105 分)17. （5 分） (2018 高二上·大港期中) 已知数列 满足（Ⅰ）求证：数列是等比数列，并求 的通项公式；（Ⅱ）求数列的前 项和．第 5 页 共 10 页，且．18. （30 分） (2018 高二上·湘西月考) 如图，正方形 ACDE 所在的平面与平面 ABC 垂直，M 是 CE 和 AD 的交 点，AC BC,且 AC=BC.（1） 求证：AM 平面 EBC； （2） 求证：AM 平面 EBC； （3） 求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小， （4） 求二面角 A-BE-C 的大小. （5） 求直线 AB 与平面 EBC 所成角的大小， （6） 求二面角 A-BE-C 的大小.19. （20 分） (2018·南充模拟) 在直角坐标系直线 的参数方程为（ 为参数）.（1） 求 和 的直角坐标方程；（2） 求 和 的直角坐标方程；中，曲线 的参数方程为（3） 若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为，求 的斜率．（ 为参数），（4） 若曲线 截直线 所得线段的中点坐标为，求 的斜率．20. （15 分） (2019 高二下·佛山月考) 设函数 相切.，若函数在处与直线第 6 页 共 10 页（1） 求函数的上的最大值.（2） 求实数 的值；（3） 求函数的上的最大值.21. （15 分） (2019·吴忠模拟) 在直角坐标系中，曲线 的参数方程为），以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 ：相交于 ， 两点，且.（其中 为参数， 与：（1） 直线 与曲线 相交于 ， 两点，证明： （2） 求 的值；（ 为圆心）为定值.（3） 直线 与曲线 相交于 ， 两点，证明：（ 为圆心）为定值.22. （20 分） (2018·泸州模拟) 已知定义在 上的函数 成立.（1） 求实数 的值； （2） 求实数 的值；，，若存在实数 使（3） 若，，，求证：.（4） 若，，，求证：.第 7 页 共 10 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、参考答案第 8 页 共 10 页15-1、 16-1、三、 解答题 (共 6 题；共 105 分)17-1、 18-1、答案：略 18-2、答案：略 18-3、答案：略 18-4、答案：略 18-5、答案：略 18-6、答案：略19-1、19-2、第 9 页 共 10 页19-3、19-4、 20-1、答案：略 20-2、答案：略 20-3、答案：略 21-1、答案：略 21-2、答案：略 21-3、答案：略 22-1、答案：略 22-2、答案：略 22-3、答案：略 22-4、答案：略第 10 页 共 10 页。