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选修2-2数学归纳法教案

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选修2-2 2.3《数学归纳法（一）》教学设计
太康县第二高级中学 郭伟峰
一、教材分析
数学归纳法是一种重要的数学证明方法，在高中数学内容中占有重要的地位，
其中体现的数学思想方法对学生进一步学习数学、领悟数学思想至关重要。数学
归纳法的证明过程中展现的推理和逻辑思维让学生体会到数学的严谨和规范。学
习数学归纳法后学生对等差等比数列、数列求和、二项式定理、整除问题等问题
的解决有了新的方法。首先，我们需要初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般
结论的推理方法，即不完全归纳法，这是研究数学问题，猜想或发现数学规律的
重要手段。但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不
能作为一种论证方法。因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的
科学的论证方法——数学归纳法，这是促进思维从有限性发展到无限性的一个重
要环节，掌握数学归纳法的证明过程是培养严密的推理能力、训练抽象思维能力、
体验数学内在美的好素材。

二、教学目标
1． 知识目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确，初步理解数学
归纳法原理。

（2） 能以递推思想为指导，理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个
结论。

（3）初步会用数学归纳法证明一些与正整数相关的简单的恒等式。
2． 能力目标
（1）通过对数学归纳法的学习，使学生初步掌握观察、归纳、猜想、分析
能力和严密的逻辑推理能力。

（2） 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建
过程, 体会类比的数学思想．
（3） 在学习中培养学生大胆猜想，小心求证的辨证思维素质以及发现问题、
提出问题的意识和数学交流的能力。

3． 情感目标
（1）通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴
含的数学思想和辨正唯物主义观点。

（2） 体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟数学的内在美，激发学生
学习热情，使学生喜欢数学。

（3） 学生通过置疑与探究，初步形成正确的数学观，创新意识和严谨的科
学精神。

三、教学重点与难点
1．教学重点
借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证
明一些与正整数有关的简单恒等式，特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒
等变换的运用。

2．教学难点
（1 如何理解数学归纳法证题的严密性和有效性。
（2）递推步骤中如何利用归纳假设，即如何利用假设证明当时结论
正确。

四、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生
出发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生
之间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学
归纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，
证明一些与正整数有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解
决问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又
强调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。

五、教学过程
（一）创设情境，提出问题
情景一：明朝刘元卿编的《应谐录》中有一个笑话：财主的儿子
学写字．这则笑话中财主的儿子得出“四就是四横、五就是五横……”
的结论，用的就是“归纳法”，不过，这个归纳推出的结论显然是错
误的．

情境二：平面内三角形内角和是，四边形内角和是，五边形内角
和是，于是得出：凸边形内角和是。

情境三：数列的通项公式为可以求得，
，，于是猜想出数列的通项公式为。
情景四：粉笔盒中有10支白色粉笔，怎么证明它们是白色的呢？

结论：情景一二三是由殊事例得出的一般性结论，即不完全归纳法不一定正因
此它不能作为一种论证方法，情景四是完全归纳法，结论可靠但
要一一核对，不变操

提出问题：如何寻找一个科学有效的方法证明结论的正确性呢？我们本节课要
学习的数学归纳法就是解决这一问题的方法之一

（二）实验演示，探索解决问题的方法
1．几何画板演示动画多米诺骨牌游戏，师生共同探讨：要让这些骨牌全部倒
下，必须具备哪些条件呢

① 第一块骨牌必须倒下。
② 两块连续的骨牌，当前一块倒下一定导致后一块倒下。
可以看出，条件
②事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相

邻的第k+1块也倒下。

这样，只要第1块倒下，其他所有的就能够相继倒下。无论多少块，只要①
②成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下。
演示小节：数学归纳法原理就如同多米诺骨牌一样。

2． 数学归纳法原理

（1） 当取第一个值（例如等）结论正确；
（2） 假设当时结论正确；
证明当时结论也正确。
那么命题对从0n开始的所有正整数n都正确。
步骤（1）是数学归纳法的基础，步骤（2）建立了递推过程，两者缺一不可，这
就是数学归纳法。

（三）迁移应用，理解升华
例1用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么an=a1+(n-1)d对于
一切n∈N*都成立。
证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 结论成立
(2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d
则 当n=k+1 ak+1= ak+d
= a1+(k-1)d+d
= a1+[(k+1)-1]d
∴
当n=k+1时，结论也成立。
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N都成立。

数学归纳法
是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。。

n=k到n=k+1有什么变化
用假设

凑结论
主要有两个步骤、一个结论: 其中
第一步是递推的基础，解决了特殊

性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。这两步缺一不可。只有
第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。

例2：已知数列{an}，其通项公式为an=2n-1，试猜想该数列的前n项和公式Sn，
并用数学归纳法证明你的结论。

解：（1）S1=a1=1 S2= S1+a2=1+3=4
S3= S2+a3=4+5=9 S4= S3+a4=9+7=16
(2) 猜想Sn=n2, 问题转化为证明1+3+5+„+(2n-1)=n2
证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。
(2)假设当n=k时等式成立， 即 1+3+5+„+(2k-1)=k2
则 当n=k+1 1+3+5+„+(2k-1)+[2(k+1)-1]
=k2+[2(k+1)-1]
=(k+1)2
∴
，当n=k+1时，等式也成立
由(1)和(2)知,等式对于任何n∈N都成立

注：在用数学归纳法证题时注意以下三句话“递推基础不可少，归纳假设要用到，
结论写明莫忘掉。”

（四）反馈练习，巩固提高

课堂练习：课本第95页练习1，2
（五）课堂小结：让学生归纳本节课所学内容，不足的老师补充。
1归纳法是一种由特殊到一般的推理方法
2数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思想是递推思想，证明程序为，两个
步骤一个结论。

3数学归纳法的科学性：基础正确，可传递。用有限的步骤证明无限的结论。
（六）布置作业
课本第96页习题2.3A组1.2.

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数学苏教版选修2-2数学归纳法(2)

数学苏教版选修2-2数学归纳法(2)

数学归纳法（2）教学目标知识与技能：理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤；过程与方法:通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径；情感、态度与价值观：学会数学归纳法在整除问题、几何问题、归纳猜想问题及不等式问题中的应用．教学重点: 体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径，学会数学归纳法的应用．教学难点:用数学归纳法证明猜想问题及不等式问题，学会数学归纳法的应用． 教具准备：与教材内容相关的资料。

教学设想：并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．教学过程:学生探究过程：数学归纳法公理；用数学归纳法证明：当*n N ∈时111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 数学运用例1．设*n N ∈，1()5231n n f n -=+⨯+．（1）当1,2,3,4n =时，计算()f n 的值；（2）你对()f n 的值有何感想？用数学归纳法证明你的猜想．解：（1）当1n =时，111(1)5231881f -=+⨯+==⨯；当2n =时，221(2)52313284f -=+⨯+==⨯；当3n =时，331(3)5231144818f -=+⨯+==⨯；当4n =时，441(4)5231680885f -=+⨯+==⨯．（2）猜想：当*n N ∈时，1()5231n n f n -=+⨯+能被8整除．①当1n =时，有111(1)52318f -=+⨯+=能被8整除，命题成立．②假设当n k =时，命题成立，即()f k 能被8整除，那么当1n k =+时，有1(1)11(1)523155631k k k k f k ++--+=+⨯+=⨯+⨯+111(5231)4(53)()4(53)k k k k k k f k ---=+⨯+++=++．这里，5k 和13k -均为奇数，它们的和1(53)k k -+必为偶数，从而14(53)k k -+能被8整除．又依归纳假设，()f k 能被8整除，所以(1)f k +能被8整除．这就是说，当1n k =+时，命题也成立．根据（1）和（2），可知命题对任何*n N ∈都成立．变式：求证当n 取正奇数时，n n x y +能被x y +整除。

北师版选修2-2数学归纳法的应用

北师版选修2-2数学归纳法的应用

2、对于用数学归纳法证明几何问题，应分k到k+1的变化情况，建立k的递推关系。
五、布置作业
课本P21，复习题A组15题，17题
学生回答
在教师引导下共同讨论完成。
学生
练习
板书设计
4、数学归纳法的应用
例3例4练习
1、2、
教学反思
思路分析：首先n从4开始取，其次，当n=k+1时，即增加一个顶点时，凸多边形的对角线增加k-1条。
四、课堂小结
1、对于用数学归纳法证明不等式问题，要注意恰到好处的使用放缩法，对于要证的式子和结果，恰当地进行构造，常用的处理过程是：先用分析法分析n=k与n=k+1的异同，找到解题思路，再用综合法书写解题过程。
当n=k+1时，k+1条直线的交点比k条直线的交点多k个，因此
所以当n=k+1时，命题成立。
由（1）（2）可知，对所以正整数n命题都成立。
三、课堂练习
1、求证： （n是正整数）。
思路分析：解题时应注意（1）n从2开始；（2）在证明n=k+1时命题成立时，即证 时，应采用放缩法。
2、证明：凸n边形的对角线的条数
（1）验证：n=1时，命题成立；
（2）在假设当n=k（k≥1）时命题成立的前提下，推出当n=k+1时，命题成立。
根据（1）（2）可以断定命题对一切正整数n都成立。
2、注意：1、用数学归纳法进行证明时,要分两个步骤,两个步骤缺一不可。
2、（1）（归纳奠基)是递推的基础，找准n0。（2）(归纳递推)是递推的依据，假设n＝k时命题成立，作为必用的条件运用，而n＝k+1时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、定理等加以证明。
2、作业中存在的问题。
高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿

高中数学选修2-2《数学归纳法及其应用举例》说课稿

说课题目：数学归纳法及其应用举例（第一课时）（选自人教版高中数学选修2-2第二章第3节）一、教材分析1．内容的前后联系、地位和作用本课是数学归纳法的第一节课。

前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法。

不完全归纳法它是研究数学问题，猜想或发现数学规律的重要手段。

但是，由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种推理方法不能作为一种论证方法。

因此，在不完全归纳法的基础上，必须进一步学习严谨的科学的论证方法─数学归纳法。

数学归纳法安排在数列之后极限之前，是促进学生从有限思维发展到无限思维的一个重要环节。

也是历年高考中比较常考的证明方法. 它可以证明某些与正整数有关且具有递推性的数学命题，也可以通过?有限?来解决某些?无限?问题.2. 教学目标学生通过数列等相关知识的学习。

已基本掌握了不完全归纳法，已经有一定的观察、归纳、猜想能力。

通过近几年教学方法的改革和素质教育的实施，学生已基本习惯于对已给问题的主动探究，但主动提出问题和置疑的习惯还未形成。

能主动提出问题和敢于置疑是学生具有独立人格和创新能力的重要标志。

如何让学生主动置疑和提出问题？本课也想在这方面作一些尝试。

根据教学内容特点和教学大纲、根据学生以上实际、根据学生终身发展需要而制订以下教学目标。

【知识目标】（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。

（2）初步理解数学归纳法原理。

（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。

（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。

【能力目标】（1）通过对数学归纳法的学习、应用，培养学生观察、归纳、猜想、分析能力和严密的逻辑推理能力。

（2）让学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，培养学生的创新能力。

【情感目标】（1）通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学态度和不怕困难，勇于探索的精神。

人教B版高中数学选修2-2 2-3 数学归纳法 教案 精品

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2.3 数学归纳法一、教学目标 1、知识目标：使学生了解归纳法, 理解数学归纳法的原理与实质．掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题． 2、能力目标：培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想．努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑的氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率；通过学习，让学生体会用归纳推理发现规律，再用数学归纳法证明规律。

3、情感、态度与价值观目标：通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神；通过数学归纳法的学习，开拓数学视野，体会数学的科学意义。

二、教学重点.难点重点：数学归纳法的两个条件极其内涵； 难点：数学归纳法的精髓； 三、学情分析在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。

教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。

四、教学方法类比启发探究式教学方法 五、教学过程一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性） （情景一）问题1：口袋中有5个吃的东西，如何证明它们都是糖？ 问题2:数列{}(),1,1,*11N n a a a a a nn n n ∈+==+已知（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？（情境二）数学家费马运用不完全归纳法得出费马猜想的事例。

【设计意图：】以上两个情境分别是完全归纳法和不完全归纳法的体现，发现其结论正确性不同，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。

归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。