奇异摄动理论引论
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第1章 数值分析与科学计算引论
24
数值分析
第1章 数值分析与科学计算引论
设多元函数A f ( x1 , x2 ,, xn )， x1 , x2 ,, xn为 x1 , x2 ,, xn的近似值
初始数据 x1 , x2 ,, xn
第1章 数值分析与科学计算引论
§1.1 数值分析的对象、作用与特点
一、数值分析的概念、地位和特点
1. 数值分析的概念
数值分析是研究用计算机解决各种数学问题的 数值解法(近似解法)，包括数值计算方法的构造和 求解过程的理论分析。
这门课程又称为(数值)计算方法、科学与工程计算等。
3
数值分析
第1章 数值分析与科学计算引论
◆非线性方程组的数值解法 (Ch7)
数 ◆代数特征值问题 (Ch8)
◆常微分方程的数值解法 (Ch9)
8
数值分析
研究方法:
第1章 数值分析与科学计算引论
数值方法的特点（支撑理论） 递推性(迭代), 近似代替, 离散化, 外推法
9
数值分析
第1章 数值分析与科学计算引论
收敛性：方法的可行性 可
数 值 方 法
2 0.a1a2
an
1 10 n1 2a1
19
数值分析
相对误差限 有效数字
第1章 数值分析与科学计算引论
已知 x* 的相对误差限可写为
er
1
10 n1
2(a1 1)
则
| x x
| er | x |
10 n1 2(a1 1) 0.a1a2
生的误差
方法误差 (截断误差 ) /* Truncation Error */ ——计算方法近似求解时产生的误差
13
拉普拉斯(Laplace)方程
位质量的质点的引力−→F (x,
y,
z)其大小为
m r2
，而作用的方向为−P−P→0，即作用方向沿着这
两点的连线指向P0点，其中r = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2表示点P0与点P 的距
离。−→F (x, y, z)可以写成下述向量的形式
−→F (x,
y,
z)
=
数 ，f (x1, · · · , xn)是 一 给 定 的 已 知 函 数 。 它 们 具 有 广 泛 的 应 用 背 景 。 下 面 我 们
以n = 2, 3为例，讨论方程的导出以及定解条件的提法。
1.1 方程的导出
本小节我们讨论Laplace方程和Poisson方程的应用背景及方程的导出。
实例一：静电场的电势
特点。譬如，记以原点为球心的单位球面为Γ，考察将Γ作为边界曲面的Dirichlet外问
题，其边界条件为
u|Γ = 1.
直接验证易知，函数u1 ≡ 1及u2 = (x2 + y2 + z2)−1/2都在单位球外满足Laplace方程且在 边界上满足边界条件。这个例子表明，如果在无穷远处不加限制，就不能保证相应的
求解一个函数使其在曲面∂Ω外部满足三维Laplace方程，在∂Ω上满足所给的边界条件
的问题。类似的问题，在实际中还有很多，因此这种类型的问题具有重要的应用价
值，我们通常把这类问题称为Laplace方程的外问题。上述第一个例子中所提的问题称 ::::::::::::::::::::::::
为D::i:r:i:c:h:l:e:t:外:::问::题:: ，而第二个例子中所提的问题称为N::e:u::m::a:n:n::外::问:::题:: 。 值得注意的是，Laplace方程的外问题与通常的Laplace方程的定解问题具有不同的
测度,积分和鞅
第 １卷：表理论的技术
Ｉ阿森，Ｄ西姆松，Ａ斯科隆斯基 著 一 个 复 杂 的 数 学 对 象 通 过 另 一 个 较 简单的 对 象 表 示 出 来， 是 一 个 基 本 的 数 学思 想， 它 在 分 类 问 题 中 特 别 有 用。 本 书从箭 图 及 同 调 代 数 的 线 性 表 示 的 观 点 给出代 数 闭 域 上 有 限 维 结 合 代 数 的 表 示 理论 的 现 代 结 果。 全 书 分 两 卷， 本 书 为 第 １卷，论述表示理论的基本技术，如箭 图理 论 技 术、殆 分 裂 序 列、标 题 理 论、 整二次 型 等， 其 中 不 少 材 料 第 一 次 由 原 始论文改写为专著的形式。 全书除引论和附录外，正文包含 ９ 章。１是 关 于 代 数 和 模 的 基 本 知 识；２ 论述用 有 界 箭 图 表 示 代 数；３用 有 界 箭 图的线 性 表 示 来 表 示 模 的 技 术；４证 明 关于殆分裂序列的 ＡｕｓｌａｎｄｅｒＰｅｉｔｅｎ定理； ５论述 Ｎａｋａｙａｍａ代数的表示理论；６－ ７概述 标 题 理 论， 并 给 出 它 的 一 个 典 型 应用 （关于有限遗传代数表示的 Ｇａｂｒｉｅｌ 定理）；８研究 Ｈａｐｐｅｌ，Ｒｉｎｇｅｌ引进的标 题代数，它们与遗传代数 相 当 接 近；９ 研究不可分解模。附录给出范畴、函子、 同调的概念。 本 书 内 容 新 颖， 论 述 完 备， 证 明 详 尽，例题、习题丰富，适 于 自 学。可 用 作有关 专 业 研 究 生 教 材， 也 可 供 科 研 人 员参考。
ＥｌｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅＲｅｐｒｅｓｅｎｔａ ｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙｏｆＡｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ Ａｌｇｅｂｒａｓ
ｖｏｌ．１：ＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ２００６，４５８ｐｐ． ＨａｒｄｃｏｖｅｒＵＳＤ４５．００ ＩＳＢＮ０５２１５８４２３Ｘ
Ｉ阿森，Ｄ西姆松，Ａ斯科隆斯基 著 一 个 复 杂 的 数 学 对 象 通 过 另 一 个 较 简单的 对 象 表 示 出 来， 是 一 个 基 本 的 数 学思 想， 它 在 分 类 问 题 中 特 别 有 用。 本 书从箭 图 及 同 调 代 数 的 线 性 表 示 的 观 点 给出代 数 闭 域 上 有 限 维 结 合 代 数 的 表 示 理论 的 现 代 结 果。 全 书 分 两 卷， 本 书 为 第 １卷，论述表示理论的基本技术，如箭 图理 论 技 术、殆 分 裂 序 列、标 题 理 论、 整二次 型 等， 其 中 不 少 材 料 第 一 次 由 原 始论文改写为专著的形式。 全书除引论和附录外，正文包含 ９ 章。１是 关 于 代 数 和 模 的 基 本 知 识；２ 论述用 有 界 箭 图 表 示 代 数；３用 有 界 箭 图的线 性 表 示 来 表 示 模 的 技 术；４证 明 关于殆分裂序列的 ＡｕｓｌａｎｄｅｒＰｅｉｔｅｎ定理； ５论述 Ｎａｋａｙａｍａ代数的表示理论；６－ ７概述 标 题 理 论， 并 给 出 它 的 一 个 典 型 应用 （关于有限遗传代数表示的 Ｇａｂｒｉｅｌ 定理）；８研究 Ｈａｐｐｅｌ，Ｒｉｎｇｅｌ引进的标 题代数，它们与遗传代数 相 当 接 近；９ 研究不可分解模。附录给出范畴、函子、 同调的概念。 本 书 内 容 新 颖， 论 述 完 备， 证 明 详 尽，例题、习题丰富，适 于 自 学。可 用 作有关 专 业 研 究 生 教 材， 也 可 供 科 研 人 员参考。
ＥｌｅｍｅｎｔｓｏｆｔｈｅＲｅｐｒｅｓｅｎｔａ ｔｉｏｎＴｈｅｏｒｙｏｆＡｓｓｏｃｉａｔｉｖｅ Ａｌｇｅｂｒａｓ
ｖｏｌ．１：ＴｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆＲｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ Ｔｈｅｏｒｙ ２００６，４５８ｐｐ． ＨａｒｄｃｏｖｅｒＵＳＤ４５．００ ＩＳＢＮ０５２１５８４２３Ｘ
数值分析引论_赖志柱
第一章引论教学目标：1.了解科学与工程计算的一般过程，算法的基本概念，如算法的分类和算法的计算复杂性等；2.了解数值分析的研究对象、内容和意义，掌握该门课程的学习方法等；3.了解误差的来历，理解误差的分类以及原因；4.理解和掌握误差的几种度量方法，如绝对误差（界）、相对误差（界），有效数字等，理解几种度量之间的关系，并能运用相关概念和公式解决有关误差问题；5.了解误差传播的内涵与表现以及初值误差传播的含义，了解误差分析的几种方法，理解并掌握泰勒公式分析函数值和算术运算的误差分析方法；6.理解并掌握病态问题的含义及条件数的作用，并能分析一些简单数值方法的稳定性；7.掌握设计数值方法时避免误差危害的若干原则；8.通过复习线性代数的一些基本概念，掌握矩阵的特征值（向量）、线性空间、线性赋范空间、内积和范数等概念，能熟练计算内积和范数等简单问题；9.通过复习几种常见的矩阵，了解几种特殊矩阵的性质以备后续章节的学习。
教学重点：1.误差的分类及原因；2.误差的几种度量方式及相互关系；3.病态问题及条件数概念；4.避免误差危害的若干原则；5.内积及范数的概念、计算和相互关系。
教学难点：1.误差的几种度量方式及相互关系；2.避免误差危害的若干原则及经典例子讲解；3.内积及范数的计算。
教学方法：教具：§1.1 数值分析的研究对象、内容与意义1.1.1 科学与工程领域中问题求解的一般过程：1．提出实际问题；2．建立数学模型；3．提出数值问题；4．设计可靠、高效的算法；5．程序设计、上机实践计算结果；在具体问题的求解过程中，上述步骤形成一个循环。
随着计算机技术的发展，科学计算（数值模拟）与科学理论（分析）、科学实验（分析）一并被称为近代科学研究的三大基本手段。
1.1.2 算法1．算法：指把对数学问题的解法归结为只有加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序的完整而准确的描述。
2．算法分类：分类方法1：若算法只包含一个进程则称其为串行算法，否则为并行算法。
钱学森论文
别简单，可容易地求得周期为 T (0) 的周期解。Poincaré 方法的实质是求得关于参数 ε 展开的
摄动解，不仅把变量展开：
（1.2a）
xi
=
x(0) i
+
ε
x(1) i
+
ε
2
x(2) i
+⋅⋅⋅
而且把周期 T 也展开：
（1.2b） T = T (0) + εT (1) + ε T2 (2) + ⋅⋅⋅
将（1.9）代入（1.5），然后令 ε 的同次幂相等，我们有
（1.10）
x du(0) + u(0) = 0, dx
（1.11）
x du(1) + u(1) = −u(0) du(0) ,
dx
dx
（1.12）
x du(2) + u(2) = −u(0) du(1) − u(1) du(0) ,
dx
dx
PLK 方法的另一个特性是它在实际应用中的很大的灵活性。尽管 Lighthill 原先强调了
解的一致有效性，但正如下文中所述，这一要求并非总能达到。要点在于：通过引进“伸缩” 坐标，我们在求解过程中赢得了附加的自由度，用以改进零阶解的准确度，原先在奇点或奇 线附近零阶解极差。我们能成功到何种程度取决于问题本身。不幸的是，迄今为止，有关 PLK 方法的数学理论尚未得到充分研究，还不能从给定的微分方程和辅助条件预测此方法 的成功率或失败率。但是，从目前已取得的效果看来，似乎可以肯定，PLK 方法将是工程 分析中的一种有用工具，即使它产生的结果有时不如期望的那么好。
（1.4）
x = ξ + ε x(1) (ξ , η) + ε 2 x(2) (ξ , η) + ⋅⋅⋅ {
中科大数学系本科专业必读科目及参考
中科大数学必读科目及参考有些科大学生，尤其是新生，抱怨科大教材偏难；而且新生通常缺乏学习方法，对如何在大学中学习还没有清楚的概念。
下面是一位科大数学系学长给科大数学专业学生的一些建议。
我转发过来，仅供参考。
1、老老实实把课本上的题目做完。
其实说科大的课本难,我以为这话不完整。
科大的教材,就数学系而言还是讲得挺清楚的,难的是后面的习题。
事实上做1道难题的收获是做10道简单题所不能比的。
2、每门数学必修课至少要看一本参考书,尽量做一本习题集。
3、数学分析别做吉米，除非你太无聊,推荐北大方企勤的习题集。
此外注意一下有套波兰的数学分析习题集，是不是搞得到中文或英文版。
4、线性代数推荐普罗斯库列科夫的<<线性代数习题集>>和法捷耶夫的<<高等代数习题集>>。
莫斯科大学要求把上面的题全做光。
建议大家在搞定亚洲第一难书的同时也把里面的题打通。
5、解析几何不要不重视。
现在有种削弱几何课的倾向,甚至有的学校把解析几何课改成只有两课时,这样一来,几何训练不足,会很吃亏的。
6、常微要看看阿诺尔德的书,打通菲利波夫的习题集。
7、数论课是很重要的,起码可以锻炼思维能力。
8、数学分析、线性代数、解析几何、泛函、拓扑、抽象代数、实变、微分几何是最重要的课,大家脱层皮也要学好。
要尽量加强这方面的工底,不然的话以后很吃亏。
9、有时间去物理系多听课,千万不要毕业了连量子力学也不懂,这样的数学家注定要被淘汰的。
读读费曼物理讲义和郎道的理论物理教程。
10、华罗庚的<<数论导引>>的前言大家好好看看,多多领会!11、想读数理统计和计算数学的要注意,统计和计算数学同样是数学类的专业,不要以为加上计算和统计就可以降低要求。
欧拉理论
1. 踏上求学之路欧拉的“弃神学数”不是偶然的，而是由他对数学的热爱以及他的数学天赋所决定的。
但值得世人庆幸的是他最终还是踏上了数学之路！1707年4月15日，欧拉出生在瑞士北部的巴塞尔城。
拥有几代著名数学家的伯努利家族就居住在这里，欧拉的父亲保罗.欧拉就是大数学家雅各布.伯努利的高材生。
不想从事清贫工作的父亲，希望儿子也和自己一样，长大后当一名牧师。
可是，谢天谢地，他犯了教这孩子数学的“错误”。
欧拉从小特别喜欢数学，不满10岁就开始自学“代数学”，13岁时父亲送他进巴塞尔大学学习神学，但是偶拉却表现出超乎常人的数学天赋。
有一次，约翰教授在讲课的时候无意提到当时数学家们还没解决的一个大难题。
谁知下课铃声一响，欧拉不声不响地递给他一张纸，约翰教授简直不敢相信这份答案居然出自一个这么小的孩子。
欧拉的解答虽不够完备，但构思精巧！他意识到这个孩子将是未来的数学巨人。
欧拉被约翰.伯努利旁征博引，富有激情的数学讲座迷住了，而欧拉的数学天赋也引起了伯努利的关注。
伯努利让欧拉每个星期六到他家，单独给他授课。
名师的精心指导，使欧拉突飞猛进；而他的勤奋和才华也深深吸引了约翰的儿子丹尼尔.伯努利和尼可拉斯.伯努利，他们从此常在一起讨论数学问题，并成为终身好友。
欧拉15岁在巴塞尔大学获得学士学位，17岁获得硕士学位。
但父亲要他放弃数学而专注于神学。
欧拉虽然打心底里不愿做专职神职人员，但又不好公然违抗父亲的意愿，正在左右为难的时候，约翰.伯努利劝他父亲说：“亲爱的神甫，您知道我遇到过不少才华横溢的青年人，但是要和你的儿子比起来，他们都相形见绌。
如果我的眼光不错，您的儿子无疑将是瑞士未来最了不起的数学家。
”“为了数学，为了孩子，我请求您重新考虑您的决定。
”深孚众望的伯努利教授的话使保罗改变了初衷。
从此数学上的一个巨人终于诞生了！2．坎坷人生路“天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行佛乱其所为”。
关于最佳轨道引论(30)
一
定要 落 在月球 引力 圈 内， 而且 不要 彼此 距月 太 近 。这 些都 可用 调剂 基本 轨道 的基 本参数 来完 成 （ 当然也 有
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ５ — ０ ２
作者简介 ： 竺 苗龙， 男， 教授 ， 博 士 生导 师 ， 研究方 向： 航 天 力 学 中 的优 化 理 论 研 究 。
第 ３期
竺苗 龙 ， 等： 关 于最 佳轨 道 引论 （ ３ ０ ）
３
）， 我 们就 可 综合考 虑 能量 和时 间 的希望 搭 配 。但 一 般 来说 探 测 月 球来 回时 间都 不 长 ， 所 以我们 常 常 把能 量放 在第 一位 ， 把 时 间放在 第二 位 。 现在 我们 把上 述计 算 与 阿波罗 登月 飞行 来做 一 比较 。阿波 罗登 月飞 行 的轨道也 是 由两个 受摄 二体 问题 的子弧组 成 ， 但 前 后两个 子 弧都 没有 考虑 优化 问题 。在 受 摄 限制 三体 问题 中实 际 飞行 时 更 没有 考 虑 整体 优
这 样得 到 的轨道 我们 称之 为基 本轨 道 。
然 后我 们仍 在近 点距 ２ ０ ０ ｋ ｍ， 但 远点距 ３万公 里处 重复进 行 上述工 作 ， 可得 第二 条基 本轨道 ；
然 后我 们仍 在近 点距 ２ ０ ０ ｋ ｍ， 但 远点距 １万公 里处 重复进 行 上述 工作 ， 可得 第三 条基 本轨 道 ；
Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ３
Ａｕ ｇ．２ ０ １ ３
文章 编 号 ： １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３—０ ０ ０ １ 一Ｏ ５ ｄ ｏ ｉ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ８ ． ０ １
定要 落 在月球 引力 圈 内， 而且 不要 彼此 距月 太 近 。这 些都 可用 调剂 基本 轨道 的基 本参数 来完 成 （ 当然也 有
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ５ — ０ ２
作者简介 ： 竺 苗龙， 男， 教授 ， 博 士 生导 师 ， 研究方 向： 航 天 力 学 中 的优 化 理 论 研 究 。
第 ３期
竺苗 龙 ， 等： 关 于最 佳轨 道 引论 （ ３ ０ ）
３
）， 我 们就 可 综合考 虑 能量 和时 间 的希望 搭 配 。但 一 般 来说 探 测 月 球来 回时 间都 不 长 ， 所 以我们 常 常 把能 量放 在第 一位 ， 把 时 间放在 第二 位 。 现在 我们 把上 述计 算 与 阿波罗 登月 飞行 来做 一 比较 。阿波 罗登 月飞 行 的轨道也 是 由两个 受摄 二体 问题 的子弧组 成 ， 但 前 后两个 子 弧都 没有 考虑 优化 问题 。在 受 摄 限制 三体 问题 中实 际 飞行 时 更 没有 考 虑 整体 优
这 样得 到 的轨道 我们 称之 为基 本轨 道 。
然 后我 们仍 在近 点距 ２ ０ ０ ｋ ｍ， 但 远点距 ３万公 里处 重复进 行 上述工 作 ， 可得 第二 条基 本轨道 ；
然 后我 们仍 在近 点距 ２ ０ ０ ｋ ｍ， 但 远点距 １万公 里处 重复进 行 上述 工作 ， 可得 第三 条基 本轨 道 ；
Ｖｏ １ ． ２ ６ Ｎｏ ． ３
Ａｕ ｇ．２ ０ １ ３
文章 编 号 ： １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３—０ ０ ０ １ 一Ｏ ５ ｄ ｏ ｉ： １ ０ ． ３ ９ ６ ９ ／ ｊ ． ｉ ｓ ｓ ｎ ． １ ０ ０ ６ —１ ０ ３ ７ ． ２ ０ １ ３ ． ０ ８ ． ０ １
清华大学自动化专业研究生课程
课程名学时学分授课教师授课方式开课学期系统与控制理论中的线性代数64 4 赵千川 , 周杰课堂讲授为主春应用软件系统分析与设计48 3 柴跃廷讲课、实验秋计算机软件技术基础48 3 刘义讲课、上机春自动控制原理48 3 慕春棣 , 王诗宓课堂讲授为主秋现代控制理论64 4 王诗宓，钟宜生课堂讲授为主春微处理器应用系统设计64 4 袁涛，陈峰讲课、实验春计算机网络与多媒体应用技术64 4 张曾科，王红讲课、实验秋英文科技论文写作与学术报告16 1 管晓宏课堂讲授为主春矩阵分析与应用48 3 张贤达课堂讲授为主秋线性系统理论48 3 赵千川课堂讲授为主秋现代信号处理48 3 张贤达课堂讲授为主春模式识别48 3 张长水讲课、实验春系统学48 3 张毅、宋靖雁课堂讲授为主秋最优控制32 2 钟宜生课堂讲授为主秋运筹学64 4 范全义课堂讲授为主秋网络化仪表及控制系统32 2 王俊杰 , 彭黎辉课堂讲授为主春自适应控制理论与方法32 2 周东华课堂讲授为主秋系统建模理论与方法32 2 宋靖雁，姚丹亚课堂讲授为主秋信息论基础48 3 李衍达，周杰课堂讲授为主秋非线性系统理论48 3 李春文课堂讲授为主秋系统分析理论及方法32 2 宋靖雁，姚丹亚课堂讲授为主秋自动测试理论48 3 杨士元，王红课堂讲授为主秋系统辨识理论与实践48 3 萧德云，叶昊讲课、实验春最优化理论与应用48 3 崔德光课堂讲授为主秋多传感器融合理论及其应用32 2 彭黎辉，萧德云课堂讲授为主春盲信号处理32 2 陆文凯课堂讲授为主秋人工神经网络48 3 卓晴、王凌课堂讲授为主春秋网络安全32 2 李军课堂讲授为主秋制造过程调度理论及其应用32 2 刘民课堂讲授为主秋产品数据与生命周期管理32 2 张和明课堂讲授为主秋系统与控制中的随机方法32 2 陈曦课堂讲授为主秋科学精神、道德与表达16 1 张学工、李衍达讲课、讨论秋统计学方法及其应用48 3 张中琦讲课秋企业信息化及其系统分析与设计32 2 李清讲课、实验秋技术现代电子学及实验48 3 徐振英实验春多变量系统分析与设计32 2 王诗宓讲课、讨论春高等过程控制32 2 叶昊，王诗宓课堂讲授为主春工业过程建模与优化32 2 熊智华课堂讲授为主春现代检测技术32 2 曹丽，彭黎辉课堂讲授为主春认知科学引论32 2 赵南元课堂讲授为主秋电子技术专题32 2 王红，叶朝辉，赵勇课堂讲授为主春离散事件动态系统32 2 赵千川课堂讲授为主春动态系统故障诊断与容错控制32 2 周东华课堂讲授为主春单片机及其开发系统32 2 袁涛讲课、实验春计算机控制系统48 3 王锦标讲课、实验春多媒体技术与应用32 2 姚丹亚，张佐讲课、实验春智能信息处理专题32 2 周杰等课堂讲授为主秋鲁棒辨识32 2 周彤课堂讲授为主春稳定性理论32 2 李春文课堂讲授为主秋敏捷供需链管理32 2 柴跃廷课堂讲授为主秋互联网信息处理专题32 2 路海明课堂讲授为主春统计学习理论导论32 2 张学工课堂讲授为主秋鲁棒控制32 2 钟宜生课堂讲授为主秋CIMS 应用工程案例32 2 黄必清、刘文煌讲课、讨论秋模糊控制系统的分析与设计48 3 张乃尧讲课、实验春高频数字系统设计方法32 2 李宛洲课堂讲授为主春虚拟制造技术32 2 肖田元课堂讲授为主春智能交通系统概论32 2 姚丹亚、张毅课堂讲授为主春软计算理论及应用32 2 王书宁课堂讲授为主春先进制造系统基础32 2 任守榘课堂讲授为主春宽带信息网络32 2 戴琼海课堂讲授为主春微系统技术32 2 顾利中课堂讲授为主春微弱信号检测及处理32 2 高晋占课堂讲授为主秋企业网络与系统集成48 3 张曾科课堂讲授为主春图象分析与计算机视觉48 3 张大力讲课、实验春控制网络及现场总线32 2 王俊杰，彭黎辉课堂讲授为主秋复杂网络系统的建模与优化48 3 宋士吉讲课、讨论秋嵌入式系统的软硬件设计48 3 慕春棣讲课、实验春约束逻辑与算法设计32 2 黄必清讲课、讨论秋通信技术的研究问题与创业机会32 2 龚维博、袁睿翕讲课、讨论春工业数据统计分析与应用32 2 叶昊讲课、讨论秋通信信号处理48 3 张贤达，邹红星讲课、实验秋计算分子生物学引论48 3 张学工讲课、讨论秋工业数据通信与控制网络48 3 阳宪惠，杨佃福讲课、实验秋综合自动化理论与方法32 2 黄德先，周东华课堂讲授为主春供应链协调和信息的动态性16 1 严厚民，黄必清课堂讲授为主秋生产调度及其智能优化32 2 王凌课堂讲授为主春企业建模理论与方法32 2 范玉顺，张洵课堂讲授为主秋高级 IT 项目管理16 1 李清课堂讲授为主秋并行工程与知识管理32 2 张和明课堂讲授为主秋数字媒体处理及通信32 2 戴琼海课堂讲授为主春现代运动控制理论与技术48 3 赵明国，张涛讲课、实验春多媒体数据智能处理技术32 2 陈峰课堂讲授为主秋生物信息学专题32 2 李梢、李衍达讲课、讨论春数字视频处理及通信32 2 戴琼海课堂讲授为主秋信息服务32 2 李实恭，周杰，蔡弘课堂讲授为主春数字家庭网络技术32 2 杨士元课堂讲授为主秋制造执行系统及其应用48 3 刘民课堂讲授为主秋经营过程重构与 IT 咨询技术32 2 李清课堂讲授为主春数字电视48 3 杜百川课堂讲授为主春控制工程领域学科前沿讲座32 2 杜继宏等课堂讲授为主春复杂系统性能评价和优化32 2 何毓琦，贾庆山讲课、讨论秋摄动分析、马尔可夫决策和强化32 2 曹希仁，陈曦讲课、讨论秋学习智能技术基础32 2 张长水课堂讲授为主春智能交通系统16 1 姚丹亚课堂讲授为主夏现代设计及合作工程学32 2 范玉顺课堂讲授为主夏调度：理论、算法与最近进展32 2 管晓宏课堂讲授为主夏分布系统的群体智能与优化16 1 赵千川课堂讲授为主秋。
第三体摄动函数
第三体摄动函数摘要：一、引言1.第三体问题的背景和重要性2.第三体摄动函数的概念二、第三体摄动函数的定义与性质1.第三体摄动函数的定义2.第三体摄动函数的性质3.第三体摄动函数与第三体问题的关系三、第三体摄动函数的应用1.解决第三体问题2.天文学领域的应用3.工程领域的应用四、研究现状与发展趋势1.第三体摄动函数的研究现状2.第三体摄动函数的发展趋势正文：一、引言第三体问题，即在万有引力作用下，三个质量相对较大的物体在空间中的运动轨迹问题，是天文学和物理学中的一个基本问题。
解决第三体问题对于研究天体运动规律、航空航天工程等领域具有重要意义。
第三体摄动函数是解决第三体问题的一个关键概念，它可以描述第三体问题中两个质量较大的物体对第三个物体的引力摄动效应。
二、第三体摄动函数的定义与性质1.第三体摄动函数的定义第三体摄动函数是指在第三体问题中，两个质量较大的物体对第三个物体的引力摄动效应。
具体来说，当两个质量较大的物体距离第三个物体较远时，可以将它们视为质点，从而将第三体问题简化为一个质点受另外两个质点引力摄动的问题。
这时，可以用摄动函数来描述这个摄动效应。
2.第三体摄动函数的性质第三体摄动函数具有一些重要的性质。
首先，摄动函数是一个关于第三个物体位置的函数，它随着第三个物体的运动而变化。
其次，摄动函数可以用解析方法或数值方法求解。
最后，第三体摄动函数是解决第三体问题的关键概念，它可以为我们提供关于第三个物体运动轨迹的信息。
3.第三体摄动函数与第三体问题的关系第三体摄动函数是解决第三体问题的一个重要工具。
通过求解摄动函数，我们可以得到第三个物体的运动轨迹，从而解决第三体问题。
在实际应用中，通常需要对摄动函数进行修正，以考虑其他因素（如大气阻力、地球非球形等）对运动轨迹的影响。
三、第三体摄动函数的应用1.解决第三体问题第三体摄动函数的一个主要应用是解决第三体问题。
在天文学和航空航天工程中，了解三个物体之间的引力相互作用对于研究它们的运动轨迹具有重要意义。
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11Ch. 9奇异摄动理论引论9.1 多项式方程的根9.2 常微分方程的边值问题
介绍用于处理有边界层、双尺度问题的匹配法关键：展开式中小参数的幂次、边界层厚度、匹配
29.1 多项式方程的根1. 一个简单问题2. 一个比较复杂的问题
以高次项含小参数的多项式方程为例阐明匹配法中尺度的确定方法2
3忽略小项，得1.一个简单问题另一根？12m≈−2mε
2210, 01mmεε++=<<<
将m 表为ε 的幂级数21112816mεε=−−−+
原因：方程是二次的，但近似方程是一次的，只有一个根
212
1
2mmmεε=−+++
代入比较，得
4可得21128mεε=−+++
(1)(2)2121, , 12
2
2
mmεεε
=−+=−+
−
()(1)21, 1,2,iimimεε−=−−=
12mε−≈−
用迭代法，
如m 很大，则第一项不能忽略，但第三项可忽略2121mmmmεεε+=−=−−
2210, 01mmεε++=<<<
也可用级数法3
51.忽略前两项得二重根，少两个根！2. 一个比较复杂的问题高阶修正？211()xxOεε=++
1x≈
432210, 01xxxxεεε+−+−=<<<
代入，得2.如假定这两个重根的高阶近似为20=2231[2()]()0OxOεεεε+−+=
():Oε
问题：
也可作为小参数α
ε
6令，代入，得可见方程的根应展为的幂级数引入，得
431=±+xxxεε
可用于逐次迭代243
(1)−=+xxxεε
2121=+++xxaxa
1/2ε
22211112(1413)(2)0++++−++=axaxaaxxxa
考虑432210, 01+−+−=<<εεε
1/2=aε24232
(1)0+−−=axaxx
23712()2=±++xaaOa
211
1122
20, 2
7720,
2
−==±−==xxxxxx4
7为求出另两个根，考虑x很大时假定有两项数量级相同，其它项可忽略
432210, 01+−+−=<<εεε
4342443233
0,0,20,10,0,2010,
+=−=+=−=−=+=−=
xxxxxxxxxxxx
εεεεεεεε
1/21/31/411/31(/2)−−−−
−
=−=±=−=±==xxxxx
x
εεεε
ε
43211/211/21/32/31/31/41/21/421211/32/31/321()()()()(1)()(1)()()(1)(1)()()()(1)()()()()(1)()(1)()()(1)−−−−−−−−−−−−−
−−−
xxxxOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
OOOOO
εεεεεεεεεεεεεεεε
εεε
8或迭代方程：零级近似修正项
(1)11/2(1)11/231, 31−−−−=−+=−++pnεεεε
(0)(0)11, ==−pn
εε420−=xxε
432210, 01+−+−=<<εεε
22112−−−=−−xxxxεε
21/21/212−=∓∓xεεεε
(1)(0)1313(), ()22pOnOεε
εε=−+=−−+5
9¾注意多重根¾展开式可能出现分数幂，可用逐次逼近法（迭代法）确定¾没有单一尺度可以表征整个解的特征
109.2 常微分方程的边值问题1. 对一个模型方程精确解的研究2. 用奇异摄动法求近似解3. 匹配4. 进一步的例子最高阶导数项含小参数的二阶常微分方程的近似解6
111. 对一个模型方程精确解的研究2220, 01(0)0, (1)1dydyydxdxyyεε++=<<<
==精确解：
考虑方程
当ε很小时，1212−=−mxmxmmee
y
ee
其中为特征方程的根2210++=mm
ε
1/2/22/(,)(), 01−−≈−<<
ε
εε
12,mm1212,
2≈−≈−mm
ε
可忽略
12附近解的性态：略去二阶导数项，得通解：
近似解
(1)/20 −==xyye或
20+=dyydx
/2−=x
yKe
0x=
2220, (0)0, (1)1, 01dydyyyydxdxεε++===<<<
只能满足一个边界条件!1/2/22/(,)()xxyxeeeεε−−≈−
时括号内两项相等，随x 增大第二项急剧减小当x 增大到ε的几倍后，第二项可以忽略，得(1)/2−≈x
ye
0x=
在附近厚度为区域出现边界层0x=()O
ε
边界层外部的解称为外解：(1)/20−≡xye
满足处
边界条件1=x7
1314两个极限运算不能交换，在区间中并不一致收敛，在中不一致有效
可证但(,)yxε(0,1]
0()yx
(1)/200
lim(,)(), (0,1]−↓==∈xyxeyxx
εε
1/2/22/(,)()−−≈−xxyxeee
ε
ε
(1)/20−=xye
1/2000
limlim(,)(0)↓↓⎡⎤==⎣⎦xyxye
εε
00limlim(,)0↓↓⎡⎤=⎣⎦xyxεε
(0,1]8
15给出了以边界层内固定相对距离表示的近似解边界层厚度为，因此可以用ε作为边界层内的尺度。如令，则给出了自变量在边界层内的相对位置
内部近似=xξε()Oε
0lim[(,)](), =↓≡Ixyxyξεεεξξ固定ξ
ξ定义
0()lim(,)↓≡IyYεξξε
(,)(,)≡Yyξεξεε则内解
于是，
16当时，1212
1, 20, 2 →−→−∞→→−mm
mmεε
0→ε
1/22()(1)−=−Iyee
ξ
ξ
1212−=−mxmxmmee
y
ee12
12, 2≈−≈−mmε
1212(,)−=−mmmmeeY
ee
εξεξξε
0()lim(,)↓≡IyYεξξε9
17
18ε小于0 时
2220, 0, 1(0)0, (1)1++=<<<==dydyydxdx
yy
εεε
精确解：1212−=−mxmxmmee
y
ee
当ε很小时，其中为特征方程的根2210++=mm
ε
2(1)/(,)−≈xyxe
ε
ε
12,mm1212,
2≈−≈−mm
ε
可忽略
20>m