奇异摄动方法在输电线非线性振动问题中的应用

数学建模中对非线性动力系统模型的认识和体会真实动力系统几乎总是含有各种各样的非线性因素，诸如机械系统中的间隙、干摩擦，结构系统中的材料弹塑性和黏弹性、构件大变形，控制系统中的元器件饱和特性、控制策略非线性等等。

非线性动力学理论的研究和发展已经经历了一个多世纪，在新世纪之初，为了使非线性动力学理论得到更好的发展，非常有必要回顾一下非线性动力学研究和发展的历史。

非线性动力学理论的发展大致经历了三个阶段。

第一个阶段是从1881年到1920年前后，第二阶段从20世纪20年代到70年代，第三阶段从20世纪70年代至今。

人们对于非线性系统的动力学问题的研究可以追溯到1673年Huygens对单摆大幅摆动非等时性的观察。

第一阶段的主要进展是动力系统的定性理论，其标志性成果是法国科学家Poincare从1881年到1886年期间发表的系列论文“微分方程定义的积分曲线”，俄罗斯科学家Liapunov 从1882年到1892年期间完成的博士论文“运动稳定性通论”，以及美国科学家Birkhoff在1927年出版的著作“动力系统"。

第二阶段的主要进展是提出了一系列求解非线性振动问题的定量方法，代表人物有俄罗斯科学家Krylov、Bogliubov，乌克兰科学家Mitropolsky，美国科学家Nayfeh等等。

他们系统地发展了各种摄动方法和渐近方法，解决了力学和程科学中的许多问题。

在这个阶段中抽象提炼出了若干著名的数学模型，如Duffing方程、vander Pol方程、Mathieu方程等，至今仍被人们用以研究非线性系统动力学现象的本质特征。

从20世纪60~70年代开始，原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学研究的主流当中，混沌现象的发现更为非线性动力学的研究注入了活力，分岔、混沌的研究成为非线性动力学理论新的研究热点。

俄罗斯科学家Arnold和美国科学家Smale等数学家和力学家相继对非线性系统的分岔理论和混沌动力学进行了奠基性和深入的研究，Lorenz和Ueda等物理学家则在实验和数值模拟中获得了重要发现。

刘延柱的振动力学以及R.克拉夫、J.彭津编写、王光远等校译的结构动力学第二版【全美经典】机械振动书【机器故障的分析与监测】【机械设备故障诊断技术及方法】【机械设备故障诊断技术及应用】【旋转机械振动分析与工程应用】【旋转机械振动监测及故障诊断】这些书都可以啊，网上都可以下载到，但是建议买正版的这是陈立群教授发表在力学与实践上的，对振动类书籍的评论，您可以参考一下：国外振动新教材的内容和特点振动是国内理论与应用力学专业和工程力学专业本科必修课，也是机械、土木、航空等专业本科生或研究生的选修课。

北美大学的情况基本类似，机械、土木、航空、航天和工程力学系一般都开设振动课程。

初级课程由学过工程力学(静力学和动力学)的二、三年级本科生选修，高级课程主要是研究生选修甚至必修。

土木系的初级振动课程有时也称为结构动力学，有些大学甚至是同门课程，不同的名称和编号。

据笔者所见，欧美至少出版了几十种振动教材。

本文仅讨论部分比较“新”的教材，即1995年后出版或再版的。

最新的如2006年以后出版的教材，笔者还没有仔细阅读。

另外，限于笔者外语能力，所谓“国外”教材主要是英语教材，包括欧洲大陆学者用英语出版的教材。

而且，本文不讨论没有涉及基本振动理论例如单自由度线性振动的高级课程教材。

笔者试图尽可能简要地分析各种教材在取材和处理方面的特点，并简介作者。

最后在结束语中总结这些教材及其作者的特点。

顺便一提，在20多年前笔者开始教书的时候，提到国外原版教材总有种可望不可及的感觉，既见不到，也买不起。

渐渐地情况发生变化。

首先，随着研究经费和教学项目经费的增加，原版教材变得相对便宜，一般在千元之内，可以通过外文书店向境外出版商订购。

其次，国内的图书公司引入某些教学版本，相对便宜，每册价格通常只有二、三百元。

第三，有些出版社取得外国教材的版权在境内重印发行，价格更低。

第四，有些高校购买国外期刊电子版本的同时也购买了相应出版社的书籍电子版，这种书籍虽然以专著居多，但也有少量教材。

非线性常微分方程高阶谐波平衡法傅里叶展开的简化唐元璋;翁雪涛;楼京俊;林雄伟;张晖【摘要】简化了一种求取非线性常微分方程高阶谐波解的近似解析计算方法。

对平方和立方非线性项的傅里叶展开过程进行改进和简化，使计算过程变为两次矩阵运算即可完成展开过程，且两次矩阵运算过程一致，易于编程。

以Duffing方程为算例，计算结果与数值方法一致，运算效率有所提高。

%A simplified computation method of the high-order harmonic solution for nonlinear ordinary differential equations is discussed. Fourier expansion procedure of the equation with quadratic or cubic terms is improved and simplified. The procedure consists of two steps of matrix operation with the same computation process so that the algorithm is easier to program than that of the previous equation. Results of the solution for the Duffing equation using this method show that the high-order harmonic solution is in good agreement with its numerical solution, but more efficient than the latter one.【期刊名称】《噪声与振动控制》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】6页(P28-33)【关键词】振动与波;非线性常微分方程;Duffing方程;傅立叶展开;谐波平衡法【作者】唐元璋;翁雪涛;楼京俊;林雄伟;张晖【作者单位】海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033;海军工程大学动力工程学院，武汉 430033; 船舶振动噪声重点实验室，武汉 430033【正文语种】中文【中图分类】O175.14线性隔振系统存在共振难避免等问题[1，2]。

第 40 卷第 2 期2024 年4 月结构工程师Structural Engineers Vol. 40 ， No. 2Apr. 2024±800 kV特高压输电塔动力特性分析董新胜1任顺恩2，*冯浩琪3（1.国网新疆电力公司电力科学研究院，乌鲁木齐 830011； 2.郑州大学土木工程学院，郑州 450001；3.中国联合工程有限公司，杭州 310022）摘要针对在输电塔杆塔结构设计和动力特性的研究中难以通过理论分析和数值模拟准确获得塔身动力响应的问题，基于±800 kV特高压直流输电工程直线塔，建立塔-线-基础体系有限元模型，采用p-y 曲线法建立离散非线性弹簧模拟土体对结构的影响，对比分析了单塔、三塔两线、塔-线-基础体系等不同计算模型的特高压输电塔的动力特性，并与现场试验结果进行对比。

结果表明，输电线的质量和刚度对输电塔的动力特性有一定的影响，塔线耦合作用不可忽略。

考虑桩-土相互作用使输电塔自振频率降低。

与单塔模型相比，塔-线-基础体系模型计算得到的频率相对较小，与实际测试频率更为接近，验证了塔-线-基础体系模型的合理性。

关键词输电塔，塔-线-基础体系，动力特性，p-y曲线，计算模型Analysis of Dynamic Characteristics of ±800 kVUHV Transmission TowerDONG　Xinsheng1REN　Shunen2，*FENG　Haoqi3（1.Xinjiang Electric Power Research Institute，Urumqi，Wulumuqi 830011， China； 2.School of Civil Engineering， Zhengzhou University， Zhengzhou 450001， China； 3.China United Engineering Corporation Limited， Hangzhou 310022， China）Abstract In the study of the structural design and dynamic characteristics of transmission tower structures，the accurate determination of the tower's dynamic response through theoretical analysis and numerical simulation poses a significant challenge. This paper focuses on the ±800 kV Ultra-High Voltage Direct Current （UHVDC） transmission line towers and establishes a finite element model of the tower-line-foundation system. The p-y curve method is employed to represent the discrete nonlinear springs simulating soil-structure interaction. Different computational models， including single-tower， three-tower two-line， and the tower-line-foundation system，are compared and analyzed concerning the dynamic characteristics of UHV transmission towers. The study investigates the effects of the mass and stiffness of the transmission line on the tower's dynamic behavior，emphasizing the importance of considering tower-line coupling. The inclusion of pile-soil interaction results in a reduction in the natural frequency of the transmission tower. The tower-line-foundation system model yields frequencies that are relatively smaller compared to the single-tower model， and they are closer to the frequencies observed in field tests， validating the rationality of the tower-line-foundation system model.Keywords transmission tower，tower-line-foundation system，dynamic characteristics，p-y curve，calculation model收稿日期：2023-03-20作者简介：董新胜，男，教授级高级工程师，硕士生导师，主要从事电网电器相关工程研究。

两种摄动方法求解微分方程的近似解韦玉程【摘要】通过对一个含小参数一阶非线性微分方程Dirichlet问题的近似求解,阐述正则摄动法和PLK奇异摄动法求解微分方程近似解的基本思想.%The ideal of regular perturbation and PLK-singular perturbation methods is presented by finding asymptotic solutions for a one order nonlinear differential equations Dirichlet problem which contains small parameters.【期刊名称】《广西科学院学报》【年(卷),期】2011(027)004【总页数】4页(P299-302)【关键词】奇异摄动;正则摄动;渐近展开式;一致有效【作者】韦玉程【作者单位】河池学院数学系,广西宜州546300【正文语种】中文【中图分类】O175.1许多描述实际状态的工程、物理问题总可以用含有参数的函数u(x;ε)来表示，而这些问题在数学上往往表示为微分方程L(u,x,ε)=0和边值条件B(u,ε)=0. 其中x为标量或向量的自变量，ε为一个参数.现实中我们一般只对参数很大或很小的情况感兴趣.这个问题往往不能够精确地求解，但是，如果存在一个ε0(由于我们可适当调整ε的尺度，不妨设ε0=0)，使得当ε=ε0时，对应的问题可以精确地或比较容易地解出，那么对于小的参量ε我们可以寻求如下的ε的幂形式的解.即u(x;ε)=u0(x)+εu1(x)+ε2u2(x)+…，其中un(x)是与参数ε无关的函数. u0(x)为L(u,x,0)=0;B(u,0)=0的解.这种方法称之为摄动法[1].摄动法被广泛应用于非线性振动、非线性波、轨道力学、流体力学、固体力学、大气科学、等离子体物理等领域[2～6],是寻求代数方程，超越方程，微分方程，积分方程等方程近似分析解的一大类方法的总称,是方程近似求解中最主要的方法.本文以一类一阶非线性微分方程为例,用两种摄动方法求其近似解.1 基本概念定义1[3] 函数序列{δn(ε)}称为渐近序列(有时也常用δn(ε)表示).如果满足：δn(ε)=o(δn-1(ε))，当ε→0时.例如,{εn},{(log ε)-n},{(sin ε)n}等均为渐近序列.定义2[3] 函数项级数δi(ε)称为一渐近展开式.如果ai与ε无关且δi(ε)为一渐近序列.称渐近展开式δi(ε)为ε→0时y的渐近展开式，如果ε→0时有δi(ε)+O(δn(ε)).记为y～δi(ε),ε→0.定义3[3] 设f(x;ε)δi(ε)，其中ai(x)是仅与x有关的函数，δi(ε)为一渐近序列. 若满足f(x;ε)δi(ε)+Rn(x;ε).若Rn(x;ε)=o(δn(ε))对所有的定义域内x的值都成立,则称此展开式为一致有效的；否则称为非一致有效的(或称为奇摄动展开).注1 由于ε→0时，δn(ε)=o(δn-1(ε))，若展开式δi(ε)是一致有效的，则对所有x的值ai(x)是非更奇于ai-1(x).即无论x取何值，级数的每一项必须是其前一项的小量修正.注2 一般的摄动问题中，渐近展开式的非一致有效性主要由以下几个方面引起：无限域,小参数与最高阶导数相乘,偏微分方程类型的改变和奇点的存在.注3 摄动方法的主要目的是对所求的摄动问题寻求一个渐近展开式，使得可以用这个展开式的前几项(一般是不多于两项)来近似地表示问题的解.而且根据寻求的方法可分把摄动方法分为正则摄动和奇异摄动两类.2 两种摄动方法求解2.1 正则摄动法正则摄动法的基本思想是设想有可能借助于选定的并且具有精确解的微分方程组,逐次近似地描述所研究的微分方程.常见的是含有小参数的微分方程.考虑Dirichlet问题:(1)此方程沿直线是奇异的，当ε=0时，方程(1)变为用变量分离法可求得其解为y=Ax-2e-x.根据边界条件可知y(x)在0≤x<∞内是正则的.下面用正则摄动法求它的一阶渐近解.设y=y0(x)+εy1(x)+…,(2)将(2)式代入方程(1)得(x+εy0+ε2y1+…ε…)+(2+x)(y0+εy1+…)=0.(3)根据方程(1)的初值条件得y0(1)=Ae-1,y1(1)= 0由于方程(3)对任何的ε都成立,从而方程(3)中关于ε的系数都等于零. 即,y0(1)=Ae-1,(4),y1(1)=0.(5)对于方程(4),利用常数变易法可得零阶问题的解是y0(x)=Ax-2e-x.将y0代入(5)式并解所得方程，得y1(x)=x-2e-1A2e-tt-4(t+2)dt.利用Taylor展开式…，当x→0时，y0(x)=O(x-2),而y1(x)=O(x-5). 这说明x=0是零阶解的奇点，且奇性越来越大. 因此展开式(2)在x=0不是一致有效的.这说明初值问题(1)使用正则摄动方法得到的近似解不是一致有效的. 为了解决这个问题，我们需要对正则摄动进行改进.2.2 PLK奇异摄动法PLK奇异摄动方法的基本思想是在将解y(x)关于小参数ε展开成εmym(x)的同时,引入一个新的变量将自变量x也作关于小参数ε的变形展开：εmxm(t).其中t为新引进的自变量，xm(t)为只与t有关的函数，常称为坐标变形函数(或坐标伸缩函数),一般是非线性的. 引入xm(t)为解决高阶渐近的强奇性提供了自由度,为使上面的两个展式都一致有效，必须满足和都是有界的条件.也就是说,高阶渐近的奇性不比低阶渐近的奇性强.在实际应用中常使用εmym(t)与εmxm(t)的参数展开式.下面用PLK方法求解Dirichlet问题(1).(a)当ε=0时,未摄动问题的精确解为y(x)=Ae-xx-2.(b)当ε≠0时,令εmym(t),(6)εmxm(t).(7)首先确定x=1时t的值,记为,即.(8)将以ε的幂级数展开：ε…,(9)再将(9)式代入(8)式得1+ε…=1-εx1(1+ε…)-ε2x2(1+ε…)-o(ε2).(10)将x1(1+ε…)及x2(1+ε…) 在1处作Taylor展开得x1(1+ε…ε…ε2),(11)x2(1+ε…ε…)+o(ε).(12)把(11)式及(12)式代入(10)式得1+ε…=1-εε2).比较ε的同次幂系数得,,于是有ε….由方程的初值知εmym(1-ε…)，(13)将ym(1-ε…)在1处作Taylor展开得ym(1-ε…ε…ε…)2+…，再将其代入(13)式并比较ε的0,1次幂得y0(1)=Ae-1,.由(6)式及(7)式有÷ε(ε).(14)将(6)式,(7)式及(14)式代入方程(1),并令ε0,ε1及ε2的系数为零得,(15)t)y1=0,(16)x2y0=0.(17)由(15)式得y0(t)=Ae-tt-2.由(16)式得，上式两边乘并作适当的变形得.(18)若x1=0,则(18)式可化为直接展开式中一阶项的方程.由正则摄动的过程知道，当x→0时，y0=o(x-2),y1=o(x-5).故在x=0处y1比y0更奇异.在(18)式中可看出式子右端的奇性最高次项出现在中.如果能够选取x1的值使得,可以使y1不比y0更奇异,获得一致有效的展开式.为消去最坏的奇异性,获得一致有效的展开式,取.这是一个一阶非齐次线性方程，其解为，令C=0得.因此(16)式变为.(19)(19)式两边从t到1积分得.由(14)式可以得出，上式两边乘得，将x1,y0及y1代入上式，使用Taylor展开式，通过繁琐的计算，最后得到y2中包含最坏的奇异性项为.为消去y2中最坏的奇异性，令，解之得到伸缩函数.从而得到方程(1)的近似展开式y=Ae-tt-2{1+Aε，其中t满足方程.【相关文献】[1] Nayfeh A H.摄动方法[M].上海:上海科学技术出版社,1984.[2] 包玉兰,董贵兴.用摄动法求解非线性微分方程[J].内蒙古民族师院学报:自然科学版,1996(1):12-14.[3] 潘祖梁.非线性问题的数学方法及其应用[M].浙江:浙江大学出版社,1998.[4] 刘日成.奇异摄动问题中的若干方法[D].长春:吉林大学,2007.[5] 钱伟长.关于非线性科学[J].自然杂志,1995(1):7-9.[6] 徐钧涛.奇异摄动理论研究在华东师范大学的发展[J].华东师范大学学报：自然科学版,2006(1)：31-34.。

戴世强教授简介
【学术经历】
上海大学终身教授，博士生导师；
曾任上海工业大学上海市应用数学和力学研究所副所长（1985-1989）；
曾在中科院力学所、七机部从事国防科研和基础研究；
1966年在中科院力学研究所研究生毕业（导师：郭永怀教授；专业：电磁流体
力学）；
1962年毕业于复旦大学数学系。

【研究领域】
多年来致力于流体力学、应用数学以及力学史和方法论的研究。早期提出的“修
正的完全近似法”、“推广的KBM方法”等引起学术界的广泛重视。科研项目
“奇异摄动理论及其在联系中的应用”和“非线性水波和非线性振动的渐近分
析”分获1986年和1994年的国家教委科技进步二等奖；学术论文《关于振荡型
的界面孤立波》获1995年周培源优秀水动力学论文奖。

【学术兼职】
中国力学学会副理事长（2006.11－2010.10）、理性力学和力学中的数学方法专
业委员会主任（2002－2006）、流体力学专业委员会委员、力学史和方法论专业
委员会委员；
中国国家自然科学基金委员会数理学部第九、十届评审委员；
上海市非线性科学研究会理事长；
复旦大学、苏州大学、宁波大学兼职教授；中科院力学所兼职研究员；
《水动力学研究与进展》编委会副主任
《应用数学和力学》常务编委；
《上海大学学报（英文版）》主编；
《力学学报》编委；
《力学进展》编委；
《应用数学与计算数学学报》编委；
《上海大学学报（自然科学版）》编委

【科研项目】
曾主持或参加20余项科研项目（其中国家自然科学基金重点课题2项，国家“攀
登”计划子课题1项）

次档距振动研究综述摘要随着电网规模越来越庞大，电压等级越来越高，如何有效、安全、可靠地提高输送能力，是我国电网面临的一个主要问题。

目前输送电容量不断增大，为了减少电晕损失和电晕干扰，同时为了输电线路的经济性和可靠性，输电线路广泛采用多分裂导线。

次档距振荡是分裂导线所特有的一种导线振动形式。

因次档距振荡而导致的分裂导线破坏问题己经成为一个影响电网安全运行的关键问题。

因此，本文主要对输电线路多分裂导线次档距振荡进行研究分析。

分析了次档距振荡的机理，并给出了几种防振措施；对阻尼间隔棒抑制次档距振荡进行机理分析；给出了阻尼间隔棒安装距离的优化布置方案，并得出最优的结果；对该方案进行计算和试验评估。

得到了很好的计算结果，试验验证可以用于工程。

最后开发了一套阻尼间隔棒布置方式及其设计计算软件，方便设计人员使用。

关键词：分裂导线，次档距振荡，阻尼间隔棒，优化布置前言架空超高压输电线路是电力能源系统中将电能进行传输、调节和分配的重要生命线工程结构。

它的安全运行是关系到国计民生的大事，输电线路的破坏会导致供电系统的瘫痪，这不仅严重地影响人们的生产建设和生活秩序，而且还会产生重大的附带灾害，给社会和人民的生命财产造成严重的后果。

为保证电网的安全可靠运行，除要有电气方面的技术保障外，输电线路还必须有足够的力学方面的安全性和可靠性。

在导线及金具方面不仅要研究其静态力学性能，更重要的是研究分析其动态力学性能，这是因为输电线路不仅承受其自重、覆冰等静荷载，而且还要承受风产生的动荷载。

在风的作用下，导线可能发生高频微幅的微风振动，也可能发生中频中等幅度的次档距振荡，还可能发生低频大幅度的舞动。

以往人们对微风振动和舞动研究较多，取得的成果也较显著，基本能够满足工程实际需要。

但是对于次档距振荡，尽管人们进行过不少研究，但因其机理十分复杂，还不能达到工程实际需要。

所以，关于次档距振荡的研究对于输电线路的安全运行有着重要意义。

次档距振荡次档距振动是指超高压输电线路分裂导线上两间隔棒之间的子导线振荡，这是采用分裂导线的线路所特有的机械运动现象。