3月高考理科数学模拟试题

2020年福建省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1)A x x =…，{|(4)(2)0)B x x x =-+…，则()(R A B =U ð ) A ．{|21)x x -剟B ．{|4)x l x 剟C ．{|2)x x l -<<D ．{|4)x x <2．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，13104S =，则10(a = ) A ．10B ．12C ．16D ．203．（5分）设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．54．（5分）5(21)(2)x x -+的展开式中，3x 的系数是( ) A ．200B ．120C ．80D ．405．（5分）某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭，则月均用水量在812-吨的家庭个数X 的数学期望是( )A ．3.6B ．3C ．1.6D ．1.56．（5分）在ABC ∆中，2DC BD =u u u r u u u r ，且E 为AC 的中点，则(DE =u u u r )A ．2136AB AC -+u u ur u u u rB ．2136AB AC --u u ur u u u rC ．1136AB AC --u u ur u u u rD ．2536AB AC +u u ur u u u r 7．（5分）若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(2，)+∞D ．(3，)+∞8．（5分）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是( ) A ．169πB ．89π C ．1627πD ．827π 9．（5分）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数； ②()f x 满足()(4)f x f x =-； ③()f x 在(0,2)单调递减； ④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数，其中正确结论的个数是( ) A ．4B ．3C ．2D ．110．（5分）设抛物线2:6E y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ．43B ．83C ．163D ．32311．（5分）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋)分”，“夏（冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值 0.439 0.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年 公元前4000年 公元前6000年 公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是( ) A ．公元前2000年到公元元年B ．公元前4000年到公元前2000年C ．公元前6000年到公元前4000年D ．早于公元前6000年12．（5分）在满足04i i x y <<…，i i y x i i x y =的实数对(i x ，)(i y i l =，2，⋯，n ，)⋯中，使得123n l n x x x x -++⋯+<成立的正整数n 的最大值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数z 的共轭复数z 满足(2)|34|i z i +=+，则z = ．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等于 ．15．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ．16．（5分）数列{}n a 满足2123492(1)n a a a n a n n +++⋯+=+．记不超过x 的最大整数为[]x ，如[0.9]0=，[0.9]1-=-．设2[log ]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S <，则n 的最小值为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=． （1）若3sin C =，求B ； （2）若D 为AC 中点，且BD BC =．求a b． 18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在线段BC 上，2BE EC =．把BAE ∆沿AE 翻折至△1B AE 的位置，1B ∉平面AECD ，连结1B D ，点F 在线段1DB 上，12DF FB =，如图2．（1）证明：//CF 平面1B AE ；（2）当三棱锥1B ADE -的体积最大时，求二面角1B DE C --的余弦值．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为31:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆的面33． （1）求E 的方程；（2）若1AC l ⊥，垂足为C ，直线BC 交x 轴于点D ，证明：||||MD DG =．20．（12分）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作，经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点图如图：根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收人y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月⋯⋯分别为x l =，2x =，⋯，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的23． （1）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（2）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a ，为使该家庭2020年能实现小康生活，a 至少应为多少？（结果保留两位小数）参考数据：619310i i i x y ==∑，68610xy =2454120462.81+⨯⨯，101.15 4.05≈．参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．12233(1)1(10,||0.15)n n n na C a C a C a n a +≈+++<…． 21．（12分）已知函数()()xf x ln ax a=-． （1）求()f x 的极值；（2）若x e lnx 十2(1)0x mx e x m +-+„，求正实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+． （1）求l C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与1C 相切于第二象限的点P ，与2C 交于A ，B 两点，且7||||3PA PB =g ，求直线l 的倾斜角．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，a ，b R ∈． （1）若a l =，1b =-，求不等式()5f x …的解集； （2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21||a b+的最小值．2020年福建省高考数学模拟试卷（理科）（3月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|1)A x x =…，{|(4)(2)0)B x x x =-+…，则()(R A B =U ð ) A ．{|21)x x -剟B ．{|4)x l x 剟C ．{|2)x x l -<<D ．{|4)x x <【解答】解：集合{|1)A x x =…，{|(4)(2)0){|2B x x x x x =-+=-厔或4}x …， 则{||2A B x x x =-U „或1}x …， 则(){|21}R A B x x =-<<U ð， 故选：C ．2．（5分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，13104S =，则10(a = ) A ．10B ．12C ．16D ．20【解答】解：Q 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 44a =，13104S =，∴11341312131042a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩， 解得10a =，43d =， 10409123a ∴=+⨯=． 故选：B ．3．（5分）设x ，y 满足约束条件02010x y x y y -⎧⎪-⎨⎪-⎩…„„，则2z x y =+的最大值是( )A ．0B ．3C ．4D ．5【解答】解：作出x ，y 满足约束条件表示的平面区域，得到如图阴影部分及其内部，其中(2A，1 )，(1,1)B，O为坐标原点设(,)2z F x y x y==+，将直线:2l z x y=+进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值( z F ∴=最大值2，1)2215=⨯+=．故选：D．4．（5分）5(21)(2)x x-+的展开式中，3x的系数是()A．200B．120C．80D．40【解答】解：由于55432(21)(2)(21)(1040808032)x x x x x x x x-+=-+++++，∴含3x项的系数为28040120⨯-=，故选：B．5．（5分）某市为了解居民用水情况，通过抽样得到部分家庭月均用水量的数据，制得频率分布直方图（如图）．若以频率代替概率，从该市随机抽取5个家庭，则月均用水量在812-吨的家庭个数X的数学期望是()A．3.6B．3C．1.6D．1.5【解答】解：由频率分布直方图知，月均用水量在812-吨的频率为(0.160.14)20.6+⨯=； 以样本频率作为概率，从该市居民中任选5家，月均用水量在812-吨的家庭个数为随机变量X ，则~(5,0.6)X B ，所以X 的数学期望为()50.63E X =⨯=． 故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，2DC BD =u u u r u u u r，且E 为AC 的中点，则(DE =u u u r ) A ．2136AB AC -+u u u r u u u r B ．2136AB AC --u u u r u u u r C ．1136AB AC --u u u r u u u r D ．2536AB AC +u u ur u u u r【解答】解：111()223DE DA AE AC DB BA AC AB AC AB =+=++=+--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r1263AC AB =-u u ur u u u r ， 故选：A ．7．（5分）若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．2)B ．3)C ．(2，)+∞D ．(3)+∞【解答】解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，所以直线y x =与双曲线有交点， 所以其渐近线与x 轴的夹角大于45︒，即1ba>． 离心率21()2be a=+>所以该双曲线的离心率的取值范围是(2，)+∞． 故选：C ．8．（5分）某学生到工厂实践，欲将一个底面半径为2，高为3的实心圆锥体工件切割成一个圆柱体，并使圆柱体的一个底面落在圆锥体的底面内，若不考虑损耗，则得到的圆柱体的最大体积是()A．169πB．89πC．1627πD．827π【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得323r x-=，332x r∴=-，∴圆柱的体积为23()(3)(02)2V r r r rπ=-<<，则33333163331616442()(3)()9442939r r rV r r r rπππ++-=-=g g g g…．当且仅当33342r r=-，即43r=时等号成立．∴圆柱的最大体积为169π，故选：A．9．（5分）已知()f x是定义在R上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称．以下关于()f x的结论：①()f x是周期函数；②()f x满足()(4)f x f x=-；③()f x在(0,2)单调递减；④()cos2xf xπ=是满足条件的一个函数，其中正确结论的个数是()A．4B．3C．2D．1【解答】解：对于①：()()f x f x-=Q，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x+=-所以(4)(2)()f x f x f x+=-+=，∴函数()f x是周期函数且其周期为4．①对．对于②：由①知，对于任意的x R∈，都有()f x满足()(4)f x f x-=-；函数是偶函数，即()(4)f x f x =-； ∴②对．对于③：反例：令函数22,[1,1)()(2),[1,3)x x f x x x ⎧-∈-=⎨-∈⎩满足函数偶函数的图象，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称．函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确．对于④：()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数，∴④对．故选：B ．10．（5分）设抛物线2:6E y x =的弦AB 过焦点F ，||3||AF BF =，过A ，B 分别作E 的准线的垂线，垂足分别是A '，B '，则四边形AA B B ''的面积等于( ) A ．43B ．3C ．163D ．323【解答】解：由抛物线的方程 可得焦点3(2F ，0)，准线方程：32x =-，由题意可得直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为：32x my =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立直线与抛物线的方程：2326x my y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理可得：2690y my --=，所以126y y m +=，129y y =-，21212()363x x m y y m +=++=+，因为||3||AF BF =，所以3AF FB =u u u r u u u r ，即13(2x -，123)3(2y x -=-，2)y 所以可得：123y y =-，所以可得：2222639y m y -=⎧⎨-=-⎩即213m =，由抛物线的性质可得：21233166668223AA BB AB x x m ''+==+++=+=+=g ， 221212121||()436363636433y y y y y y m -=+-=+=+=g ，由题意开始四边形AA B B ''为直角梯形，所以1211()||84316322AA B B S AA BB y y ''''=+-==g g g ，故选：C ．11．（5分）上世纪末河南出土的以鹤的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（图1)，充分展示了我国古代高超的音律艺术及先进的数学水平，也印证了我国古代音律与历法的密切联系．图2为骨笛测量春（秋)分”，“夏（冬)至”的示意图．图3是某骨笛的部分测量数据（骨笛的弯曲忽略不计），夏至（或冬至）日光（当日正午太阳光线）与春秋分日光（当日正午太阳光线）的夹角等于黄赤交角．由历法理论知，黄赤交角近1万年持续减小，其正切值及对应的年代如表： 黄赤交角 2341︒'2357︒'2413︒'2428︒'2444︒'正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根据以上信息，通过计算黄赤交角，可估计该骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年D．早于公元前6000年【解答】解：由题意，可设冬至日光与垂直线夹角为α，春秋分日光与垂直线夹角为β，则αβ-即为冬至日光与春秋分日光的夹角，即黄赤交角，将图3近似画出如下平面几何图形：则16tan 1.610α==，169.4tan0.6610β-==，tan tan 1.60.66tan()0.4571tan tan1 1.60.66αβαβαβ---==≈++⨯g．0.4550.4570.461<<Q，∴估计该骨笛的大致年代早于公元前6000年．故选：D．12．（5分）在满足04i ix y<<…，i iy xi ix y=的实数对(ix，)(iy i l=，2，⋯，n，)⋯中，使得123n l nx x x x-++⋯+<成立的正整数n的最大值为()A．5B．6C．7D．9【解答】解：i iy xi ix y=Q，i i i iy lnx x lny∴=，即i ii ilnx lnyx y=，不妨设i ii ilnx lnytx y==，令(),(0,4]lnxf x xx=∈，则函数()y f x=的图象与直线y t=有两个不同的交点，Q2211()x lnxlnxxf xx x--'==g，∴当0x e<<时，()0f x'>，()f x单调递增，当(x e∈，4]时，()0f x'<，()f x单调递减，又2424ln ln =，故24(1i i x e y i <<=剟，2，⋯⋯，n ，)⋯⋯， ()2i min x ∴=，1212(1)n x x x n -∴++⋯⋯+-…，又n x e <且()n max x e →，故33n x e <且(3)3n max x e →， 要使得123n l n x x x x -++⋯+<成立，则2(1)3n e -<， ∴31 5.0652en <+≈， 5max n ∴=．故选：A ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）复数z 的共轭复数z 满足(2)|34|i z i +=+，则z = 2i + ． 【解答】解：由(2)|34|5i z i +=+=， 得55(2)22(2)(2)i z i i i i -===-++-， 则2z i =+． 故答案为：2i +．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积等于 9π ．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：设外接球的半径为r，则：2222(2)1229r=++=，解得29 4r=，所以外接球的表面积为9494Sππ=⨯=．故答案为：9π．15．（5分）2020年初，我国突发新冠肺炎疫情．面对“突发灾难”，举国上下一心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中，为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课．现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13．【解答】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A=⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A+=种情况，则数学学科恰好由甲辅导的概率为13，故答案为：13．16．（5分）数列{}n a 满足2123492(1)n a a a n a n n +++⋯+=+．记不超过x 的最大整数为[]x ，如[0.9]0=，[0.9]1-=-．设2[log ]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若0n S <，则n 的最小值为 8 ．【解答】解：依题意，由2123492(1)n a a a n a n n +++⋯+=+，可得 2123149(1)2(1)n a a a n a n n -+++⋯+-=-，两式相减，可得22(1)2(1)4n n a n n n n n =+--=，4n a n∴=，*n N ∈． 2222,11,24[log ][log ][2log ]0,3,41,5,6,7,8n n n n b a n n n n =⎧⎪=⎪∴===-=⎨=⎪⎪-=⎩， ∴若0n S <，则n 的最小值为8．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=． （1）若sin C =，求B ； （2）若D 为AC 中点，且BD BC =．求a b． 【解答】解：（1）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2222c a b ab +-=． 整理得2222cos 2c a b ac B ab +-==， 所以cos c B b =，利用余弦定理得：sin cos sin C B B =，整理得：sin tan C B ==，由于0B π<<， 所以6B π=．（2）如图所示：由于BD BC a ==，12AD DC b ==，利用余弦定理：222222cos 22BC AC AB BC DC BD C BC AC BC DC+-+-==g g g g ， 整理得：222222141222a b a a b c ab a b +-+-=⨯，所以222102a b c +-=，由于2222c a b ab +-=．所以两式相加得：221222a b ab -=，整理得22(2)2a b b -=，由于0a >，0b >，利用三角形的三边关系， 整理得a a b +>，即20a b ->， 所以22a b b -=， 解得：12a b +=． 18．（12分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在线段BC 上，2BE EC =．把BAE ∆沿AE 翻折至△1B AE 的位置，1B ∉平面AECD ，连结1B D ，点F 在线段1DB 上，12DF FB =，如图2．（1）证明：//CF 平面1B AE ；（2）当三棱锥1B ADE -的体积最大时，求二面角1B DE C --的余弦值．【解答】（1）证明：如图所示，在线段1AB 上取点M ，使得12AM MB =，连接EM ，MF ．又12DF FB =，则//MF AD ，13MF AD =，而//EC AD ，13EC AD =， //ME EC =∴．∴四边形MECF 为平行四边形，//FC ME ∴，FC ⊂/平面1B AE ；ME ⊂平面1B AE ． //CF ∴平面1B AE ．（2）解：当平面1B AE ⊥平面AECD 时，三棱锥1B ADE -的体积最大． 取AE 的中点O ，在AD 上取点N ，使得2AN ND =，连接ON ，则ON AE ⊥．连接1B O ，则1B O ，ON ，AE 两两相互垂直，建立空间直角坐标系．(0O ，0，0)，1(0B ，02)，(2E 0，0)，32(2C ，22，0)，2(2D ，322，0)， 1(2EB =u u u r 02)，2(ED =u u u r 320)，设平面1B ED 的法向量为(n x =r，y ，)z ，则10n EB n ED ==u u u r u u u r r r g g ，则220x z -+=，2320x y =， 取(3n =r，1，3)． 取平面CDE 的法向量(0m =r，0，1)，cos m <r，19n >=r ． 由二面角1B DE C --的平面角为钝角． ∴二面角1B DE C --的余弦值为319．19．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为31:4l x =与x 轴的交点为G ，过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 交E 于点A ，B ．当2l 垂直x 轴时，ABG ∆的面33． （1）求E 的方程；（2）若1AC l ⊥，垂足为C ，直线BC 交x 轴于点D ，证明：||||MD DG =． 【解答】解：（1）由焦距为3223c =3c =，即2223a b c -==，①由题意可得(4,0)G ，1333||||||22AB MG AB ==g ， 可得||3AB =3在椭圆上，可得221314a b+=，② 由①②解得2a =，1b =，则椭圆的方程为2214x y +=；（2）证明：过点(,0)M l 且不与x 轴重合的直线2l 的方程为1x my =+， 联立椭圆方程2244x y +=，可得22(4)230m y my ++-=， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，1(4,)C y ，则12224m y y m +=-+，12234y y m =-+， 可得直线BC 的方程为2112(4)4y y y x y x -=-+-， 令0y =，可得121221121211221212121(4)(3)443444y x y my y y my y y y y my y x y y y y y y y y ----+--=-=-==----，由21121212212143()252y y my y y y my y y y y y --+--=--，121222663()2044m m y y my y m m +-=-+=++，可得5(2D ，0)， 则||||MD DG =．20．（12分）为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作，经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康．2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点图如图：根据相关性分析，发现其家庭人均月纯收人y 与时间代码x 之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月⋯⋯分别为x l =，2x =，⋯，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活，但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入均只有2019年12月的预估值的23． （1）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（2）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a ，为使该家庭2020年能实现小康生活，a 至少应为多少？（结果保留两位小数）参考数据：619310i i i x y ==∑，68610xy =2454120462.81+⨯⨯，101.15 4.05≈．参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+中，121()()ˆ()niii nii x x yy bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx =-．12233(1)1(10,||0.15)n n n na C a C a C a n a +≈+++<…． 【解答】解：（1）Q 1234563.56x +++++==，619310i i i x y ==∑，68610xy =，∴6162221693108610ˆ40916356i ii ii x yxybxx ==--===-⨯-∑∑g ，ˆˆ41040 3.5270a y bx =-=-⨯=． y ∴关于x 的线性回归方程为40270y x =+．取12x =，得ˆ750y=，∴该家庭2020年3月份的人均月纯收入为27505003⨯=元； （2）由题意，291000500500(1)500(1)500(1)8000a a a ++++++⋯++…， 得10500[1(1)]7000a a-+-…，其中1023(1)11045120a a a a +=+++， 整理得：21204540a a +-…．由不等式对应方程的根a = 得0.45a -„（舍)或0.07a …．a ∴至少应为0.07．21．（12分）已知函数()()x f x ln ax a=-． （1）求()f x 的极值； （2）若x e lnx 十2(1)0x mx e x m +-+„，求正实数m 的取值范围．【解答】解：（1）11()x a f x a x ax-'=-=， 当0a >时，0x >，当(0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增；故()f x 由极小值f （a ）12lna =-；当0a <时，0x <，当(,)x a ∈-∞时，()0f x '<，()f x 递减；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 递增；故()f x 由极小值f （a ）12()ln a =--；（2）根据题意，x e lnx 十2(1)0x mx e x m +-+„，0x >，x e lnx 十2(1)(1)0x m x e x ++-„， 分离参数2(1)1x x e lnx e x m x +---„， 由（1），当1a =时，1x lnx -…，即1lnx x -„， 故222(1)(1)111x x x x x e lnx e x e x x xe e x x x x +--+--=--++…， 令2()1x e x g x x -=+，22(1)[(1)1]()(1)x x e x x g x x --++'=+， 对于(1)1x y x e x =-++，10x y xe '=+>，故y 在(0．)+∞上递增，又(0)0y =，故0y >，所以当(0,1)x ∈时，()g x 递减，当(1,)x ∈+∞时，()g x 递增，故()g x 的最小值为g （1）12e -=， 故102e m -<…． （二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+． （1）求l C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与1C 相切于第二象限的点P ，与2C 交于A ，B 两点，且7||||3PA PB =g ，求直线l 的倾斜角． 【解答】解：（1）曲线1C 的参数方程为cos (sin x y ααα=⎧⎨=⎩为参数）．转换为直角坐标方程为221x y +=．曲线2C 的极坐标方程为22123sin ρθ=+．转换为直角坐标方程为22143x y +=． （2）由于过点P 的直线与圆相切，如图所示：设直线的倾斜角为θ，所以2POx πθ∠=+，所以(cos(),sin())22P ππθθ++，即(sin ,cos )P θθ-．所以直线l 得参数方程为sin cos (cos sin x t t y t θθθθ=-+⎧⎨=+⎩为参数）， 把直线的参数方程代入椭圆的方程得到：22(cos sin )(cos sin )143t t θθθθ-++=， 整理得：222(3sin )2sin cos cos 90t t θθθθ+++-=． 所以1222sin cos 3sin t t θθθ+=+，2122cos 93sin t t θθ-=+， 所以2122cos 97||||||||3sin 3PA PB t t θθ-===+g ， 解得：1cos 2θ=±（负值舍去）， 所以3πθ=．即直线l 的倾斜角为3π． [选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数()|||2|f x x a x b =-++，a ，b R ∈．（1）若a l =，1b =-，求不等式()5f x „的解集；（2）若0ab >，且()f x 的最小值为2，求21||a b+的最小值． 【解答】解：（1）1a =，1b =-时，321()|1||2|112232x x f x x x x x x -⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-⎩„…， 1x ∴„时，由325x -„得，11x -剟；12x <<时，15„恒成立，12x ∴<<；2x …时，由235x -„得，24x 剟，∴综上得，不等式()5f x „的解集为[1-，4]；（2）()|||2||2|f x x a x b a b =-+++…，且()f x 的最小值为2， |2|2a b ∴+=，0ab >Q ，∴①0a >，0b >时，22a b +=，∴2121121141||()(2)(22)(44222b a a b a b a b a b a b +=+=++=++++=…，当且仅当4b a a b=，即21a b ==时取等号；②0a <，0b <时，22a b +=-，且40,0b a a b >>，∴2121121141||()()(2)(22)(44222b a a b a b a b a b a b +=-+=++=++++=…，当且仅当4b a a b=，即21a b ==-时取等号， 综上得，21||a b+的最小值为4．。

外国语2021届高三数学3月份模拟质量检测试题理本套试卷一共4页，23题〔含选考题〕。

全卷满分是150分。

考试用时120分钟。

考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。

2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的答题：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．选考题的答题：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置需要用2B铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5．在在考试完毕之后以后，请将本套试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分。

在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．设集合，，那么A．B．C． D．2．假设复数满足〔为虚数单位〕，为的一共轭复数，那么A． B．2 C． D．33．在矩形中，，假设向该矩形内随机投一点，那么使得与的面积都不小于2的概率为A． B．C． D．4．函数为偶函数，且在单调递减，那么的解集为A．B．C．D．5．双曲线的离心率为，那么的值是A．1 B．C．1或者 D．-1 6．等比数列的前项和，前项和，前项和分别为，那么A．B． C．D．7．执行如下图的程序框图，假设输入，输出的，那么空白判断框内应填的条件为A． B． C． D．8．将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为A． B． C． D．9．在的展开式中，含项的系数是A．119 B．120 C．121 D．72010．我国古代数学名著?九章算术?记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈．刍，草也；甍，屋盖也．〞翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．〞如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形．那么它的体积为A． B． C． D．11．椭圆，直线与轴相交于点，过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，点在直线上，那么“//轴〞是“直线过线段中点〞的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．以下命题为真命题的个数是①；②；③；④A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合M＝{x|x2﹣6x+5≥0}，N＝{y|y＝x2+1}，则M∩N＝（）A．[5，+∞）B．{1}∪[5，+∞）C．[1，5]D．R3．（1﹣2x）6的展开式第三项为（）A．60B．﹣120C．60x2D．﹣120x34．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．5．设变量x，y满足约束条件则z＝（x﹣3）2+y2的最小值为（）A．2B．C．4D．6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算数和几何的纽带）图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（）A．120B．145C．270D．2857．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（）A．B．C．2D．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（3，0）对称，当x∈（0，3）时f （x）＝e x，则当x∈[2018，2019]时，f（x）的最小值为（）A．0B．e C．e2D．e39．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．10．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交准线于点M．若＝，|＝9，则p为（）A．2B．3C．4D．511．已知点A（0，1），B（x1，2），C（x2，﹣2）在函数的图象上，且|BC|min＝5．给出关于f（x）的如下命题：p：f（x）的最小正周期为10q：f（x）的对称轴为x＝3k+1（k∈Z）r：f（2020）＞f（2019）s：方程f（x）＝2lgx有3个实数根；其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．112．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，有一个过点B且平行于平面AB1C的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知{a n}是首项为1的等比数列，若4a n，2a n+1，a n+2成等差数列，则a n＝．14．执行如图所示的程序框图，若输出的y值为1，则可输入的所有x值组成的集合为．15．若A，B，C三点满足，且对任意λ∈R都有，则的最小值为．16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余r﹣1个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r﹣1个外卖店取单．设事件A k＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P（A k）是事件A k发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0，则P（A3）＝，P（A k+1）与P（A k）的关系式为．（k∈N*）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝1，．（1）求B；（2）若B，A，C成等差数列，求△ABC的面积．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，AB∥CD，AB⊥AD，点E为PC的中点．平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角A﹣PB﹣C 的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值．19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广．某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失．公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t（单位：mm）的数据，得到如图茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）．另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如表所示．≤10 （10，50]（50，100]＞100 周降雨量t（单位：mm）猕猴桃轻灾正常轻灾重灾灾害等级根据上述信息，解答如下问题．（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率．①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元．方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元．方案3：不采取防控措施．问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由．20．已知椭圆过点且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在三个不同的点A，B，P，满足，求弦长|AB|的取值范围．21．已知函数．（1）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（2）求证：．（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，点P是曲线C：，（t为参数数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M的坐标为，射线l与曲线C1、C2分别交于A，B两点，求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|（x+1）+|x﹣1|（x+a）．（1）当a＝0时，求f（x）≥0的解集；（2）若f（x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设复数z＝，则在复平面内z对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接由已知的复数化简得到其在复平面内对应点的坐标得答案【解答】答案：B解：∵，∴所以z在复平面内对应的点为（﹣，）位于第二象限．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣6x+5≥0}，N＝{y|y＝x2+1}，则M∩N＝（）A．[5，+∞）B．{1}∪[5，+∞）C．[1，5]D．R【分析】可以求出集合M，N，然后进行交集的运算即可．解：M＝{x|x≤1或x≥5}，N＝{y|y≥1}，∴M∩N＝{1}∪[5，+∞）．故选：B．3．（1﹣2x）6的展开式第三项为（）A．60B．﹣120C．60x2D．﹣120x3【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣2x）6的展开式第三项．解：（1﹣2x）6的展开式第三项，故选：C．4．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行判断即可．解：因为，所以f（x）为奇函数，排除C，当x→0+时，f（x）＞0，排除B、D，故选：A．5．设变量x，y满足约束条件则z＝（x﹣3）2+y2的最小值为（）A．2B．C．4D．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：画出变量x，y满足约束条件的可行域，可发现z＝（x﹣3）2+y2的最小值是（3，0）到2x﹣y﹣2＝0距离的平方．取得最小值：＝．故选：D．6．公元前四世纪，毕达哥拉斯学派对数和形的关系进行了研究．他们借助几何图形（或格点）来表示数，称为形数．形数是联系算数和几何的纽带）图为五角形数的前4个，则第10个五角形数为（）A．120B．145C．270D．285【分析】记第n个五角形数为a n，由a1＝1＝1+3×0，a2﹣a1＝4＝1+3×1，a3﹣a2＝7＝1+3×2，推导出a n＝1+3（n﹣1），由累加法能求出结果．解：记第n个五角形数为a n，由题意知：a1＝1＝1+3×0，a2﹣a1＝4＝1+3×1，a3﹣a2＝7＝1+3×2，a4﹣a3＝10＝1+3×3，…∴a n＝1+3（n﹣1），由累加法得：a n＝a1+a2﹣a1+a3﹣a2+a4﹣a3+a5﹣a4+…+a n﹣a n﹣1＝1+（1+3×1）+（1+3×2）+（1+3×3）+…+[1+3（n﹣1）]＝1×n+3[1+2+3+…+（n﹣1）]＝n+3×＝，∴＝145．故选：B．7．若双曲线的一条渐近线与函数f（x）＝ln（x+1）的图象相切，则该双曲线离心率为（）A．B．C．2D．【分析】求出双曲线的渐近线方程，结合函数的导数求解切线的斜率，然后推出双曲线的离心率即可．解：因为双曲线的渐近线过原点，且方程为函数f（x）＝ln（x+1）图象也过原点，结合图形可知切点就是（0，0），，∴．故选：A．8．已知f（x）是定义在R上的奇函数，其图象关于点（3，0）对称，当x∈（0，3）时f （x）＝e x，则当x∈[2018，2019]时，f（x）的最小值为（）A．0B．e C．e2D．e3【分析】根据条件可知f（x）的周期为6，然后将问题转化为求x∈[2，3]时f（x）最小值．解：∵f（x）关于（3，0）对称，∴f（x）+f（6﹣x）＝0，∴f（x）＝﹣f（6﹣x）＝f（x﹣6），∴f（x）的周期为6，∴x∈[2018，2019]时，f（x）最小值即为x∈[2，3]时f（x）的最小值．∵x∈[2，3），∴，∵f（3）＝f（﹣3）＝﹣f（3），∴f（3）＝0，∴x∈[2，3]，f（x）min＝0．故选：A．9．设m，n为正数，且m+n＝2，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由，结合已知m+n＝2可考虑利用基本不等式求解．解：当m+n＝2时，，因为，当且仅当m+1＝n+2，即时取等号，则，即最小值为．故选：D．10．已知F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点．过点F的直线l交抛物线C于A，B两点，交准线于点M．若＝，|＝9，则p为（）A．2B．3C．4D．5【分析】根据抛物线的性质和相似三角形列方程求出p的值．解：过A，B做准线的垂线，垂足为A1，B1，x轴与准线交点为F1则，设|BF|＝t，则|BB1|＝t，|AA1|＝|AF|＝2t，，因为，p＝4．故选：C．11．已知点A（0，1），B（x1，2），C（x2，﹣2）在函数的图象上，且|BC|min＝5．给出关于f（x）的如下命题：p：f（x）的最小正周期为10q：f（x）的对称轴为x＝3k+1（k∈Z）r：f（2020）＞f（2019）s：方程f（x）＝2lgx有3个实数根；其中真命题的个数是（）A．4B．3C．2D．1【分析】根据函数图象过点A，求出φ的值；再根据图象过点B和点C，两点之间的距离为5，求出|x1﹣x2|＝3，进而求出函数的周期和ω，再由f（x）的性质即可得到结论．解：由题意得，∵f（0）＝1，∴sinφ＝，∴φ＝；∵∴，∴，∴T＝6，所以p为假命题对称轴为x＝3k+1（k∈Z），所以q为真命题；f（2020）＝f（4）＝﹣2，f（2019）＝f（3）＝﹣1，所以r为假命题；方程f（x）＝2lgx有3个根，所以s为真命题．故选：C．12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1各棱长均为2，AA1⊥平面ABC，有一个过点B且平行于平面AB1C的平面α，则该三棱柱在平面α内的正投影面积是（）A．B．C．D．【分析】根据投影面平移不影响正投影的形状和大小，以平面AB1C为投影面，构造四棱柱，画出投影图形，再计算正投影的面积．解：投影面平移不影响正投影的形状和大小，所以以平面AB1C为投影面，构造四棱柱，得到投影为五边形B1MACN，如图所示；则计算可得正投影的面积为S＝S矩形MACN+＝2×+×2×＝．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知{a n}是首项为1的等比数列，若4a n，2a n+1，a n+2成等差数列，则a n＝2n﹣1．【分析】设{a n}是首项为1，公比设为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，解方程可得q，进而得到所求通项公式．解：{a n}是首项为1，公比设为q的等比数列，4a n，2a n+1，a n+2成等差数列，可得4a n+1＝4a n+a n+2，即4qa n+4a n+a n q2，即为4q＝4+q2，∴q＝2，∴a n＝2n﹣1，故答案为：2n﹣1．14．执行如图所示的程序框图，若输出的y值为1，则可输入的所有x值组成的集合为．【分析】由题知是分支结构，分别在不同的分支即可求出结果．解：（1）当x＞0时，|lgx|＝1得；（2）当x＝0时，不符；（3）当x＜0时（x+1）2＝1得x3＝﹣2，故答案为15．若A，B，C三点满足，且对任意λ∈R都有，则的最小值为﹣5．【分析】根据条件可得点C到直线AB的距离为2，设M为AB的的中点，根基平面向量和差关系以及平面向量数量积的运算积的得到答案．解：因为对任意λ∈R都有，故点C到AB所在直线的距离为2设AB中点为M，则当且仅当CM⊥AB时等号成立，故答案为：﹣5．16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线．他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单．某外卖小哥每天来往于r个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，……，r，其中r≥3），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余r﹣1个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推．假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的r﹣1个外卖店取单．设事件A k＝{第k次取单恰好是从1号店取单}，P（A k）是事件A k发生的概率，显然P（A1）＝1，P（A2）＝0，则P（A3）＝，P（A k+1）与P（A k）的关系式为P（A k+1）＝[1﹣P（A k）]．（k∈N*）【分析】A2＝{第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，从而P（A2）＝0，A3＝{第3次取单恰好是从1号店取单}，由此利用条件概率计算公式能求出结果．解：A2＝{第2次取单恰好是从1号店取单}，由于每天第1次取单都是从1号店开始，根据题意，第2次不可能从1号店取单，所以P（A2）＝0，A3＝{第3次取单恰好是从1号店取单}，因此，．故答案为：；P（A k+1）＝[1﹣P（A k）]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝1，．（1）求B；（2）若B，A，C成等差数列，求△ABC的面积．【分析】（1）由余弦定理化简已知等式可求a＝sin A，利用正弦定理可求sin B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（2）利用三角形内角和定理，等差数列的性质可求A，利用两角和的正弦函数公式可求sin C，可求a＝sin A＝，利用三角形的面积公式即可求解．解：（1）∵．∴由余弦定理可得c•＝sin A﹣，又∵b＝1，∴＝sin A﹣，∴a＝sin A，∴sin B＝b＝，又∵B∈（0，π），∴B＝，或．（2）∵B，A，C成等差数列，即2A＝B+C，又A+B+C＝π，∴A＝，又B＝，可得sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝×（）＝，∴a＝sin A＝，∴S△ABC＝ab sin C＝ab sin（A+B）＝×1×＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AB＝AD＝1，AB∥CD，AB⊥AD，点E为PC的中点．平面ABE交侧棱PD于点F，四边形ABEF为平行四边形．（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；（2）若二面角A﹣PB﹣C的余弦值为，求PD与平面PAB所成角的正弦值．【分析】（1）由四边形ABEF为平行四边形，得AB∥EF，AB＝EF，结合点E为PC 的中点，得CD＝2EF＝2AB＝2，求解三角形可得BD⊥BC，再由已知得到PC⊥BD，由线面垂直的判定可得BD⊥平面PBC，从而得到平面PBD⊥平面PBC；（2）以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，h）（h ＞0），由二面角A﹣PB﹣C的余弦值为列式求得h，求出与平面PAB的一个法向量，可得PD与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵四边形ABEF为平行四边形，∴AB∥EF，AB＝EF，又∵AB∥CD，∴EF∥CD，又∵点E为PC的中点，∴CD＝2EF＝2AB＝2．在直角梯形ABCD中，连接BD，由AB＝AD＝1，CD＝2，可得，则BD2+BC2＝DC2，∴BD⊥BC，又∵PC⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PC⊥BD，而PC∩BC＝C，∴BD⊥平面PBC，又BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PBC；（2）解：由（1）知∠DCB＝45°，又PC⊥底面ABCD，∴以C为原点，CD为x轴，CP为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则A（2，1，0），B（1，1，0），D（2，0，0），设P（0，0，h）（h＞0），∴，∵BD⊥平面PBC，∴平面PBC的法向量可取．设平面ABP法向量为，由，取z＝1，得．∴，解得h＝2．∴，，则，∴PD与平面PAB所成角的正弦值为．19．中华猕猴桃果树喜湿怕旱，喜水怕涝，在我国种植范围较广．某地一生态农业公司建立了一个大型猕猴桃种植基地，该地区雨量充沛，阳光与温度条件也对果树的成长十分有利，但干旱或雨量过大也会造成损失．公司管理人员依据往年猕猴桃生长期30个周降雨量t（单位：mm）的数据，得到如图茎叶图（表中的周降雨量为一周内降雨量的总和）．另外，猕猴桃果树发生灾害与周降雨量的关系如表所示．≤10 （10，50]（50，100]＞100 周降雨量t（单位：mm）猕猴桃轻灾正常轻灾重灾灾害等级根据上述信息，解答如下问题．（1）根据茎叶图中所给的数据，写出周降雨量的中位数和众数；（2）以收集数据的频率作为概率．①估计该地区在今年发生重灾、轻灾以及无灾害的概率；②若无灾害影响，每亩果树获利6000元；若受轻灾害影响，则每亩损失5400元；若受重灾害影响则每亩损失10800元．为保护猕猴桃产业的发展，该地区农业部门有如下三种防控方案；方案1：防控到轻灾害，每亩防控费用400元．方案2：防控到重灾害，每亩防控费用1080元．方案3：不采取防控措施．问：如从获利角度考虑，哪种方案比较好？说明理由．【分析】（1）根据茎叶图，能求出中位数和众数．（2）①根据图中的数据，求出该地区周降雨量t（单位：mm）的概率，由此能估计该地在今年发生重、轻害的概率和无灾害概率，②方案1：设每亩的获利为X1（元），则X1的可能取值为6000，﹣10800，求出X1的分布列，从而得到每亩净利润为5440﹣400＝5040（元）．方案2：设每亩的获利为X2（元），则X2的可能取值为6000元，于是P（X2＝6000）＝1，E（X2）＝6000，净利润为6000﹣1080＝4920（元）．方案3：设每亩的获利为X3（元），则X3的可能取值为6000，﹣5400，﹣10800，求出X3的分布列，从而得到每亩亏损为1400（元）．由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好．解：（1）根据茎叶图，可得中位数为：＝12.5，众数为10．（2）①根据图中的数据，可得该地区周降雨量t（单位：mm）的概率：P（t≤10）＝＝，，P（50＜t≤100）＝，P（t≥100）＝，，，∴估计该地在今年发生重、轻害的概率分别为和，无灾害概率为，②方案1：设每亩的获利为X1（元），则X1的可能取值为6000，﹣10800，则X1的分布列如下：X16000﹣10800P（X1）则E（X1）＝＝5440（元），则每亩净利润为5440﹣400＝5040（元）．方案2：设每亩的获利为X2（元），则X2的可能取值为6000元，于是P（X2＝6000）＝1，E（X2）＝6000，净利润为6000﹣1080＝4920（元）．方案3：设每亩的获利为X3（元），则X3的可能取值为6000，﹣5400，﹣10800，则X3的分布列如下：X16000﹣5400﹣10800P（X1）则E（X3）＝﹣5400×﹣10800×＝﹣1400（元），于是每亩亏损为1400（元）．由此得出，方案一的获利最多，所以选择方案一比较好．20．已知椭圆过点且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若椭圆C上存在三个不同的点A，B，P，满足，求弦长|AB|的取值范围．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，即可求出椭圆的标准方程；（2）由题意可知四边形OAPB为平行四边形，设直线l过A、B两点，对直线l的斜率分情况讨论，若直线l垂直于x轴此时|AB|＝6，若直线l不垂直于x轴，设l：y＝kx+m （m≠0），与椭圆方程联立，利用韦达定理求出，代入椭圆方程得到m2＝3+4k2，再利用弦长公式求出，因为3+4k2≥3，则，解得．解：（1）由题意知，又因为c2+b2＝a2，解得a2＝16，b2＝12．则椭圆标准方程为；（2）因为，则由向量加法的意义知四边形OAPB为平行四边形，设直线l过A、B两点，①若直线l垂直于x轴，易得：P（4，0），A（2，3），B（2，﹣3）或者P（﹣4，0），A（﹣2，3），B（﹣2，﹣3），此时|AB|＝6，②若直线l不垂直于x轴，设l：y＝kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），将直线y＝kx+m代入C的方程得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣48＝0，故，因为，所以x0＝x1+x2，y0＝y1+y2，则，，即，因为P在椭圆上，有，化简得m2＝3+4k2，验证，△＝64k2m2﹣16（3+4k2）（m2﹣12）＝144m2＞0，所以，所以，因为3+4k2≥3，则，即，得，综上可得，弦长|AB|的取值范围为．21．已知函数．（1）当a＝1时，判断f（x）的单调性；（2）求证：．【分析】（1）把a＝1代入后对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可求解；（2）原不等式转化为证，结合不等式的特点构造函数，结合函数性质及导数可证．解：（1）当a＝1时，，，令，则g（x）在（0，+∞）上为减函数，且g（1）＝0，所以，当x∈（0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（1，+∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减．故f（x）递增区间为（0，1）；f（x）递减区间为（1，+∞），（2），，只需证，即，易证ln（1+x）＜x（x＞0）成立．记h（x）＝1﹣xlnx﹣ax，则h'（x）＝﹣lnx﹣1﹣a＝0令h'（x）＝0，得x＝e﹣（a+1），当x∈（0，e﹣（a+1））时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；当x∈（e﹣（a+1），+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，所以，，即，命题得证（二）选考题：共10分．请考生从第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，点P是曲线C：，（t为参数数）上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将线段OP顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，点M的坐标为，射线l与曲线C1、C2分别交于A，B两点，求△MAB的面积．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C1：，（t为参数）转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣2）2＝4．转换为极坐标方程为ρ＝4sinθ．将线段OP顺时针旋转90°得到OQ，设点Q的轨迹为曲线C2．所以Q（ρ，θ）对应的Q（），所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（2）利用点到直线的距离公式的应用，点M到直线的距离d＝4sin＝2．所以|AB|＝|ρ1﹣ρ2|＝，所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x+a|（x+1）+|x﹣1|（x+a）．（1）当a＝0时，求f（x）≥0的解集；（2）若f（x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求得a＝0时，f（x）的解析式，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；（2）讨论a＝0，a＜0，a＞0，化简f（x）的解析式，判断是否恒成立，可得所求范围．解：（1）当a＝0时，f（x）＝|x|（x+1）+|x﹣1|x．当x≥1时，f（x）＝x（x+1）+（x﹣1）x＝2x2，此时f（x）≥0的解集为{x|x≥1}；当0≤x＜1时，f（x）＝x（x+1）+（1﹣x）x＝2x，此时f（x）≥0的解集为{x|0≤x＜1}；当x＜0时，f（x）＝﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＝﹣2x2，此时f（x）≥0的解集为∅，综上所述f（x）≥0的解集为{x|x≥0}；（2）由（1）可知当a＝0时，在x∈（﹣∞，0）内f（x）＜0恒成立；当a＜0时，在x∈（﹣∞，0）内f（x）＝﹣（x+a）（x+1）﹣（x﹣1）（x+a）＝﹣2x （x+a）＜0恒成立；当a＞0时，在x∈（﹣a，0）内f（x）＝（x+a）（x+1）﹣（x﹣1）（x+a）＝2（x+a）＞0，不满足f（x）＜0在（﹣∞，0）上恒成立的条件，综上所述a≤0．。

绝密★启用前2021年高三3月第一次模拟数学（理）试题 含答案注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数z 满足：，则A ．1B ．2C ．D ．52．设函数的定义域为，函数的定义域为，则A. B. C. D.3．设平面、，直线、，，则“” 是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4．下列函数是偶函数，且在上单调递增的是A. B.C. D.5．一简单组合体的三视图如图（1）所示，则该组合体的体积为 A. B. C. D.6．如图(2)所示的程序框图，能使输入的x 值与输出的y 值 相等的x 值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7．设点是函数图象上的任意一点， 点 ()，则|的最小值为 A. B. C. D.. 8．定义一个集合A 的所有子集组成的集合叫做集合A图（3）x0.01500频率/组距0.00250.0100（km/h ）0.0050个数，给出下列命题：①对于任意集合A ，都有；②存在集合A ，使得；③用表示空集，若则；④若则；⑤若则其中正确的命题个数为A ．4B ．3C ．2D ．1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9－13题）9．若点在函数的图象上，则tan 的值 为 ． 10．根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布直方图如图(3)所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h ～120 km/h ，则该时段内过往的这100辆机 动车中属非正常行驶的有 辆，图中的x 值为 ． 11．已知向量、满足，且，则与的夹角为 ．12．已知首项为正数的等差数列中，．则当取最大值时，数列的公差．13．从中任取一个数x ，从中任取一个数y ，则使的概率为 ．（二）选做题（14－15题，考生只能从中选做一题）14.(坐标系与参数方程选做题)又平面SBC ，∴EA ⊥EK ， ---------------------------------------------------8分 同理 AH ⊥KH ，∴E 、H 在以AK 为直径的圆上-----------------------------------------9分（3）方法一：如图，以A 为原点,分别以AB 、AD 、AS 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系如右图示，---------------------------------------------------------------10分 则S （0，0，2），C （1，1，0），由（1）可得AE ⊥SC ，AH ⊥SC ，∴SC ⊥平面AEKH ，为平面AEKH 的一个法向量，-------------------11分为平面ABCDF 的一个法向量，-------------------12分 设平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角为，则626|AS SC |cos |cos AS SC ||AS ||SC |θ⋅=<⋅>===⋅----------------13分 ∴平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值---14分【方法二： 由可知,故,又∵面AEKH ，面AEKH , ∴面AEKH. ----------------------10分设平面AEKH 平面ABCD=l ，∵面AEKH ，∴----------------------------------------------11分∵BD ⊥AC ，∴⊥AC ，又BD ⊥SA ，∴BD ⊥平面SAC ，又平面SAC ，∴BD ⊥AK ， ∴⊥AK ，∴为平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的一个平面角，--------------------13分∴平面AEKH 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为．---------------------------14分】19．解：（1）由,得. --------2分由于是正项数列,所以.--------------------------------------------3分由可得当时，，两式相减得，---------------5分∴数列是首项为1，公比的等比数列，------------------------------------------------------------------7分（2）∵------------------------------------------8分方法一：∴2124141(41)(21)(41)(21)2(21)2(21)2(21)(21)n n n n n n n n c c n n n n n n n --+-+-+-+=-=-+-+ -----------------------------------------------11分 21234212111111()()()13352121n n n T c c c c c c n n -∴=++++++=-+-++--+----------------------------------------------------------------14分 【方法二：∵11(21)2111(1)(1)()(1)1n n n n n n b n c a n n n n --++==-⋅=-⋅+++-----------------11分 2123421211111111()()()()12233445n n n T c c c c c c -∴=++++++=+-+++-++ 11111()()1 1.21222121n n n n n ++-+=-<-++------------------------------------14分】20.解：(1)依题意知：椭圆的长半轴长，则A (2，0)，设椭圆E 的方程为------------------------2分由椭圆的对称性知|OC |＝|OB | 又∵，|BC |＝2|AC |∴AC ⊥BC ，|OC |＝|AC | ∴△AOC 为等腰直角三角形，∴点C 的坐标为(1，1)，点B 的坐标为(－1，－1) ，----4分将C 的坐标(1，1)代入椭圆方程得∴所求的椭圆E 的方程为----------------------------------------------5分（2）解法一：设在椭圆E 上存在点Q ，使得，设，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即点Q 在直线上，---------------------------------------------------7分∴点Q 即直线与椭圆E 的交点，∵直线过点，而点椭圆在椭圆E 的内部，∴满足条件的点Q 存在，且有两个．------------------------------------------------9分【解法二：设在椭圆E 上存在点Q ，使得，设，则()()()2222220000001126222|QB||QA|x y x y x y .-=+++---=+-=即，--------①---------------------------------------------------7分又∵点Q 在椭圆E 上，∴，------------------------------------------②由①式得代入②式并整理得：，--------------------------③∵方程③的根判别式，∴方程③有两个不相等的实数根，即满足条件的点Q存在，且有两个．------------------9分（3）解法一：设点，由M、N是的切点知，,∴O、M、P、N四点在同一圆上，--------------------------------------------------10分且圆的直径为OP,则圆心为，其方程为，-----------11分即-----④即点M、N满足方程④，又点M、N都在上，∴M、N坐标也满足方程---------------⑤⑤-④得直线MN的方程为，--------------12分令得，令得，----------------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值------------------------------------14分【解法二：设点则---------------10分直线PM的方程为化简得-------------------------④同理可得直线PN的方程为----------------⑤------------------------11分把P点的坐标代入④、⑤得∴直线MN的方程为，-----------------------------------------------12分令得，令得，----------------------------------------13分∴，又点P在椭圆E上，∴，即=定值-----------------------------------14分】21.（1）证明：要证，即证，----------------------1分令则----------------------3分∴在单调递增，，，即成立．-------------------------------------4分（2）解法一：由且可得---------------------------------5分令------------------------------------------------6分由（1）知-----------------------------------8分函数在单调递增，当时，．--------------------------------------------------------------------9分【解法二：令，则，-------------------------5分当时，，函数在上是增函数，有，-------------6分当时，∵函数在上递增，在上递减，对，恒成立，只需，即．------------------------7分当时，函数在上递减，对，恒成立，只需，而，不合题意，-------------------------------------------------8分综上得对，恒成立，．----------------------------------9分】【解法三：由且可得---------5分由于表示两点的连线斜率，--------6分由图象可知在单调递减，故当时，------------------8分即-------------------------------------------------------9分】（3）当时，则，要证，即证----------------------10分由（1）可知又42(1)1211,21n n n n n n n n +=++>+>+∴<+++------------------11分 ∴ln(1)221),1n n n n n +>=-+++ ∴ln 2ln 3ln(1)24[(21)(32)(1)]n n n n ++++>--+-+++- ，-------------------------------------------------------------13分 故得证．-----------------------------------------------14分JN37941 9435 鐵24462 5F8E 徎2 /w_29989 7525 甥26694 6846 框36240 8D90 趐N225970 6572 敲。