12.3角平分线的性质(第2课时)(公开课)精品课件

N E C N A C E
Oபைடு நூலகம்
M
O
B M
如何用尺规作角的平分线？
作法：
１．以Ｏ为圆心，适 当长为半径作弧，交ＯＡ 于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ． A Ｍ Ｃ
２．分别以Ｍ，Ｎ
1 为圆心．大于 2
ＭＮ的 Ｂ
长为半径作弧．两弧在
∠AOB的内部交于Ｃ． ３．作射线OC． 则射线ＯＣ即为所求．
Ｎ
Ｏ
C
1〉平分平角∠AOB
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等
用符号语言表示为： ∵OP 平分∠AOB， PD ⊥OA 于D，PE ⊥OB 于E ∴PD=PE.
O E
A
D P B
老师提示:这个结论就可以作为用来证 明两条线段相等的根据之一.
1、如图，点P在∠AOB的角平分线上，
若应用角平分线的性质得PD=PE，则
必须添加的条件是：
A
PD ⊥OA 于D，PE ⊥OB于E
D P
O
E
B
2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC， DE ⊥AB于E，DF ⊥AC于F,则下列结论错 误的是（ ） D
A、DE=DF B、AE=AF C、 ∠ADE= ∠ADF
E F C A
D、BD=DC
B
D
3、如图，在△ABC中，∠C为直角， BE平分∠ABC，ED⊥AB于D，若 AC=7cm,则AE+DE= 7cm
C
E
A D
B
A
4 、 如图：在△ ABC 中， ∠ C=90° AD 是∠ BAC 的平分 线，DE⊥AB于 E，F在AC上， F BD=DF； 求证：CF=EB C D
E B
分析 : 要证 CF=EB, 首先我们想到的是要证它

练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分 线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明： 过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD G 于H，FM⊥BC于M ∵点F在∠BCE的平分线上， M FG⊥AE， FM⊥BC ∴FG＝FM H 又∵点F在∠CBD的平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC ∴FM＝FH ∴FG＝FH ∴点F在∠DAE的平分线上
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB， 点D、E为垂足，QD＝QE． 求证：点Q在∠AOB的平分线上．
证明: ∵ QD⊥OA，QE⊥OB（已知）， ∴ ∠QDO＝∠QEO＝90°（垂直的定义） 在Rt△QDO和Rt△QEO中 QO＝QO（公共边） QD=QE ∴ Rt△QDO≌Rt△QEO（HL） ∴ ∠ QOD＝∠QOE ∴点Q在∠AOB的平分线上
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） 在△OPD和△OPE 中 ∠DOP=∠BOP （已证） ∠ODP=∠OEP （已证） OP=OP （已知） ∴ △ADC≌△ABC (ＡＡS) ∴PD＝PE（全等三角形对应边相等） A D P C
E
B
几何语言:
∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB ∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边Biblioteka 离相等).第一步第二步
第三步
探究
如何用尺规作角的平分线？ 作法：
１．以O为圆心，适当 长为半径作弧，交OA于M， 交OB于N. ２．分别以M，N为
A
Ｍ
Ｃ
1 圆心．大于 MN的长为 2
的内部交于C．
３．作射线OC．
半径作弧．两弧在∠AOB

角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言： ∵ OC平分∠AOB， 且PD⊥OA， PE⊥OB
∴ PD= PE
A D
P到OA的距离
C
角平分线上的点
P
P到OB的距离
O
E B 不必再证全等
反过来，到一个角的两边的距离相等 的点是否一定在这个角的平分线上呢？
P
学习目标
1、掌握角平分线的判定方法。 2、掌握角平分线的性质与判定的综 合应用。
在一个角的内部，且到角的两边距离相 等的点，在这个角的平分线上。
2、三角形角平分线的交点性质： 三角形的三条角平分线交于一点。
3、角的平分线的辅助线作法： 见角平分线就作两边垂线段。
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
又∵点F在∠CBD平分线上， FH⊥AD， FM⊥BC. ∴FM=FH.
G M
∴FG=FH，
∴点F在∠DAE的平分线上.
H
课堂练习 如图, 直线l1、l2、l3表示三条互
相交叉的公路, 现要建一个货物中转站, 要 求它到三条公路的距离相等, 可选择的地
址有几处? 画出它的位置.
l1Βιβλιοθήκη l3l2P2P1 P3
∴ ∠ POD＝∠POE
∴点P在∠AOB的平分线上

角平分线将相对边分为两段相等的线段。
角平分线将相邻的两个小角分别相等。
从一个角的顶点出发，将相对边分为两段相等的线段，则这条射线是这个角的平分线。
如果一条射线将一个角平分为两个相等的小角，则这条射线是这个角的平分线。
角平分线定理的逆定理
角平分线定理
角平分线在几何中的应用
利用角平分线，可以证明三角形中的一些重要性质，如等腰三角形的底角相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等等。
详细描述
在几何问题中，有时需要求出一些角度的值。利用角平分线的性质，可以方便地求出这些角度的值。例如，在三角形ABC中，作角B的平分线交AC于点D，然后过点D作BC的平行线交AB于点E，由于角B被平分线BD分为两个相等的角，所以角EDB = 角EBD = x度。又因为DE平行于BC，所以角EDB = 角C = x度。因此，可以求出角C的值为2x度。利用这个性质，可以解决一些与角度相关的几何问题。
角平分线的性质(时)(公开课)精品通用课件
目录
角平分线的定义与性质角平分线在几何中的应用角平分线的作法角平分线的综合应用习题与答案
角平分线的定义与性质
01
02
角平分线也是从一个角的顶点出发，将相对边分为两段相等的线段。
角平分线是将一个角平分为两个相等的小角的射线。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
角度问题
平行线性质
利用角平分线和平行线的性质，可以证明线段的等量关系。
勾股定理
结合角平分线和勾股定理，可以解决涉及直角三角形的问题。
习题与答案
VS
在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE=DF，BE=CF，求证：三角形BDE全等于三角形CDF。